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高考数学选择题解题技巧方法


1.选择题占据了数学试卷“半壁 江山”,是三种题型中的 “大 姐大” . 她,美丽而善变,若即 若离,总让不少人和她“擦肩 而过”,无缘相识;她,含蓄 而冷酷,一字千金,真真假假, 想说爱你不容易.

2. ―选择”是一个属于心智范畴的概念. 尽管她总在A、B、C、D间徘徊,但如 何准确、快捷、精巧地获取正确答案,

我们一向提倡“不

择手

段” 我们坚决反对 “小题大

3.据有关专家测试:
选择题的正常解答时间应在 3 分钟左右,各人按自己的 定位高低、解题情况和得分 重点恰当调整完成.

数学选择题与其它题型的 不同主要体现在三个方面:
1.立意新颖、构思精巧、迷惑性强, 内容相关相近,真伪难分.

把曲线ycosx+2y-1=0沿向量
的方向平移,得到的曲线方程是(

? ? a ? ( , ?1) 2

) C

A. (1-y) sinx+2y-3=0
B. (y-1) sinx+2y-3=0 C. (y+1)sinx+2y+1=0 D. -(y+1)cosx+2y+1=0

1 y? , 2 ? cos x ? ? ?x ' ? x ? 2 ? ? ? y ' ? y ?1

2.技巧性高、灵活性大、概 念性强,题材含蓄多变.
若y=f (x)是周期为t的函数, 则y=f (2x+1)是 ( C) A. 周期为t的周期函数 B. 周期为2t的周期函数 t C. 周期为 2 的周期函数 D. 不是周期函数

3.知识面广、切入点多、
综合性强,内容跨度较大.
M, N 设 F 是双曲线的焦点, 1 , F2 是其顶点,P在双曲线上, ?PF1F2 的内切圆与边 的切点位于 ( ) B FF
1 2

A.线段MN内部 B.点N或点M C.线段F1M或 NF2的内部 D.以上都有可能

正是由于选择题与其他题型特点不 同,解题方法也有很大区别,做选择题 最忌讳:
(1)见到题就埋头运算,按着解答 题的思路去求解,得到结果再去和 选项对照,这样做花费时间较长, 有时还可能得不到正确答案.

(2) 随意“蒙”一个答案,准确率 只有25%!但经过筛选、淘汰,正 确率就可以大幅度提高。

解选择题的基本策略是 多思考一点 , 少计算一点!

多想少算
解选择题的基本原则是 准确,迅速 !

1、仔细审题,吃透题意
第一个关键:

将有关概念、公式、定理等基 础知识加以集中整理.凡在题中出现 的概念、公式、性质等内容都是平 时理解、记忆、运用的重点,也是 我们在解选择题时首先需要回忆的 对象.

第二个关键:
发现题材中的“机关” —— 题目中的一些隐含条件,往往 是该题“价值”之所在,也是我们 失分的“隐患”. 除此而外,审题的过程还是一个解 题方法的选择过程,开拓的解题思 路能使我们心如潮涌,适宜的解题 方法则帮助我们事半功倍.

2、反复析题,去伪存真
析题的过程就是根据题意,联系 知识,形成思路的过程.由于选择 题具有相近、相关的特点.对于一 些似是而非的选项,可以结合题 目,将选项逐一比较,用一些 “虚拟式”的“如果”,加以分 析与验证,从而提高解题的正确 率.

3、抓住关键,全面分析
通过审题、析题后找到题目的关 键所在是十分重要的,从关键处 入手,找突破口,联系知识进行 全面的分析形成正确的解题思路, 就可以化难为易,化繁为简,从 而解出正确的答案.

4、反复检查,认真核对
在审题、析题的过程中, 由于思考问题不全面,往往会 出现偏差.因而,再回首看上一 眼,再认真核对一次,也是解 选择题必不可少的步骤.

直接法
有些选择题是由计算题、应用题、 证明题、判断题改编而成的.这类 题型可直接从题设的条件出发, 利用已知条件、相关公式、公理、 定理、法则,通过准确的运算、 严谨的推理、合理的验证得出正 确的结论,从而确定选择支的方 法.

一、直接法:
就是从题设条件出发,通过正确的运算、 推理或判断,直接得出结论再与选择支 对照,从而作出选择的一种方法。

运用此种方法解题需要扎实的数学基础。

例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射 击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( )

A

81 A. 125

54 B. 125

36 C. 125

27 D. 125

解析:某人每次射中的概率为0.6, 3次射击至少射中两次属独立重复实验。

6 2 4 6 3 27 3 C ? ( ) ? ? C3 ? ( ) ? 10 10 10 125
2 3

二、特例法: 就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位 置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数 等对各选择支进行检验或推理, 利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情 况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。 用特例法解选择题时,特例取得愈简单、愈特殊 愈好。

(1)特殊值

例2、若sinα >tanα >cotα (

?

?
4

?? ?

?
2

)

则α ∈(
A.(
?

) B
0) B.(?, 4
?

? C.(0, ) 4

) , 4 2
?

?

?

D.(
?

? ? , 2) 4

解析:因 ?

?
4

?? ?

π ,取α =- 2 6

代入sinα >tanα >cotα ,满足条件式,则排除A、C、D,

例3、一个等差数列的前n项和为48,
前2n项和为60,则它的前3n项和为( D )
A.-24 B.84 C.72 D.36

解析:结论中不含n,故本题结论的正确性与n取值无关, 可对n取特殊值,如n=1,此时a1=48,a2=S2-S1=12, a3=a1+2d= -24,所以前3n项和为36

(2)特殊函数 例4、如果奇函数f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值 为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是(C ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5

C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 解析:构造特殊函数f(x)=
5 3

x,

虽然满足题设条件,并易知f(x)在区间[-7,-3] 上是增函数,且最大值为f(-3)=-5,

例5、定义在R上的奇函数f(x)为减函数,设a+b≤0,给出 下列不等式:①f(a)· f(-a)≤0;②f(b)· f(-b)≥0; ③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b); ④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)。 其中正确的不等式序号是( B )

A.①②④

B.①④

C.②④

D.①③

解析:取f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。

(3)特殊数列
} 例6、已知等差数列{an 满足 a1 ? a2 ???? ? a101 ? 0,则有





a1 ? a101 ? 0 A、

B、 a2 ? a102 ? 0 D、 a51 ? 51

C、 a3 ? a99 ? 0

解析:取满足题意的特殊数列

an ? 0 ,则

a3 ? a99 ? 0

(4)特殊位置

例7、过

y ? ax2 (a ? 0) 的焦点F 作直线交抛物线于

P、Q 两点,若 PF与 FQ 的长分别是 p、q
1 1 则 p ? q ?( C ) 1 A、 2 a B 2 a C、


4a

4 D、 a

1 解析:考虑特殊位置PQ⊥OP时, | PF |?| FQ |? 2a
所以

1 1 ? ? 2a ? 2a ? 4a p q

的水瓶中注水,注满为止, 例8、向高为 H 如果注水量 V 与水深 那么水瓶的形状是

h 的函数关系的图象如右图所示,
(

B)

由图象可知,此时注水量

H 解析:取 h ? 2

V大于容器容积的

1 2

(5)特殊点

例9、设函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) ,则其反函数

f

?1

(x ) 的图像是

( C )



A、

B、

C、

D、

解析:由函数 f ( x) ? 2 ?

x ( x ? 0)

可令x=0,得y=2;令x=4,得y=4, 则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f-1(x)的图像上

观察得A、C。又因反函数f-1(x)的定义域为 {x | x ? 2}

(6)特殊方程 例10、双曲线b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α ? 离心率为e,则cos 2 C 等于( )

A.eB.e2

C.

1 e

1 D. 2 e

解析:本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的 一个关系式,故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为
x2 4
y2 - =1,易得离心率e= 1


cos 2 =

?

5 2

2 5

(7)特殊模型

例11、如果实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3,
那么 的最大值是( x


y


3

1 3 C. 3 D. B . A. 2 3 2 y 解析:题中 可写成 y ? 0 x x?0

联想数学模型:过两点的直线的斜率公式k=

y 2 ? y1 x 2 ? x1

可将问题看成圆(x-2)2+y2=3上的点与坐标原点O连线 的斜率的最大值



数形结合法

“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石, 二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件 下可以互相转化,而数形结合法正是在这一学科特点的基 础上发展而来的. 在解答选择题的过程中,可以先根据题意,做出草图, 然后参照图形的做法、形状、位置、性质,综合图象的特征, 得出结论.

例 12 值为 A.4

(2009· 海南)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最 ( B.5 C.6 D.7 )

小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大

C

思维启迪

画出函数f(x)的图象,观察最高点,求出纵

坐标即可.本题运用图象来求值,直观、易懂. 解析 由题意知函数 f(x)是三个函
数 y1=2x,y2=x+2,y3=10-x 中 的较小者,作出三个函数在同一个 坐标系之下的图象 ( 如图中实线部 分为 f(x)的图象)可知 A(4,6)为函数 f(x)图象的最高点.

例 13 (2010· 湖北)设集合
? ? ? ? ? ? x? ? ? ?

? ?x2 y2 ? A=?(x,y)? 4 +16=1 ? ? ?

? ? ?, ? ?

B= (x,y)|y=3 ,则 A∩B 的子集的个数是 A.4
F2

( D.1

y

A

)

B.3

C.2

o
F1

x

x2 y2 解析 集合A中的元素是椭圆 4 + 16 =1上的点,集合B中 的元素是函数y=3x的图象上的点.由数形结合,可知 A∩B中有2个元素,因此A∩B的子集的个数为4.

例 14 是 A.0

函数 f(x)=1-|2x-1|,则方程 f(x)· 2x=1 的实根的个数 ( B.1 C.2 D.3

C

)

思维启迪

若直接求解方程显然不可能,考虑到方程可 ?1? x ?1? x 转化为f(x)= ? ? ,而函数y=f(x)和y= ? ? 的图象又都可以 ?2? ?2? 画出,故可以利用数形结合的方法,通过两个函数图象 交点的个数确定相应方程的根的个数. ?1? x 解析 方程f(x)· 2 =1可化为f(x)= ?2? x, ? ? 在同一坐标系下分别画出函数y=f(x)和 ?1? y= ?2? x的图象,如图所示.可以发现其 ? ? ?1? x 图象有两个交点,因此方程f(x)= ?2? 有 ? ? 两个实数根.

探究提高 一般地,研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围 问题,要多考虑利用数形结合法. 方程 f(x)=0 的根就是函数 y=f(x)图象与 x 轴的交点横坐标, 方程 f(x)=g(x)的根就是函数 y=f(x)和 y=g(x)图象的交点横坐标. 利用数形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是 我们熟知的或容易画出的,如果一开始给出的方程中涉及的函数 的图象不容易画出,可以先对方程进行适当的变形,使得等号两 边的函数的图象容易画出时再进行求解.

四 筛选法 数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求 的选项,找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排 除法) 就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例, 对于错误的选项,逐一剔除,从而获得正确的结论.

例 14 方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是( C ) A.0<a≤1 C.a≤1 B.a<1 D.0<a≤1 或 a<0

1 解析 当 a=0 时,x=- ,故排除 A、D. 2

当 a=1 时,x=-1,排除 B.
探究提高 选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题 的关键.对“至少有一个负根”的充要条件取值进行验证要 比直接运算方便、易行.不但缩短时间,同时提高解题效率.

例 15 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴 的交点至少有一个在原点右侧,则实数 m 的取值范围是 ( A.(0,1) C.(-∞,1) B.(0,1] D.(-∞,1]
D )

解析

1 令 m=0,由 f(x)=0 得 x= 适合,排除 A、B. 3

令 m=1,由 f(x)=0 得:x=1 适合,排除 C.

五,分析法:

就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解 或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断 和选择的方法。

(1)特征分析法——根据题目所提供的信息, 如数值特征、结构特征、位置特征等,进行快速推理 ,迅速作出判断的方法,称为特征分析法。 例16、如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们有网线相联,连线标的数字表示该段网线单位时 间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传送信 息,信息可以分开沿不同的路线同时传送,则单位时间内 传递的最大信息量为(D ) A.26 B.24C.20D.19 解析:题设中数字所标最大通信量 是限制条件,每一支要以最小值来计算, 否则无法同时传送,则总数为3+4+6+6=19

例17、设球的半径为R, P、Q是球面上北纬600 圈上的两点,这两点在纬度圈上的劣弧的长是 则这两点的球面距离是 (C ) A、 3RB、
2?R C、 2

?R
2

?R
3

D、

?R
2

解析: 因纬线弧长>球面距离>直线距离,排除A、B、D,

m?3 4 ? 2m ? 例18、已知 sin ? ? , cos ? ? ( ?? ? ?) m?5 m?5 2 则 tan ? 等于 ( D)
2 m?3 A、 9?m
m?3 | | B、 9?m
1 C、 3

D、5

解析:由于受条件sin2θ +cos2θ =1的制约, 故m为一确定的值,于是sinθ ,cosθ 的值应与m的值无关 ,进而推知tan ? 的值与m无关, ? <θ <π , 又 2 2 ? ? ? < <? ,∴tan >1 4 2 2 2

(2)逻辑分析法 通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定 谬误支,选出正确支的方法,称为逻辑分析法

例19、设a,b是满足ab<0的实数,那么
A.|a+b|>|a-b|

( B



B.|a+b|<|a-b|

C.|a-b|<|a|-|b| D.|a-b|<|a|+|b|
解析:∵A,B是一对矛盾命题,故必有一真, 从而排除错误支C,D。 又由ab<0,可令a=1,b= -1,代入知B为真,

c a cos A ? b cos B ? c cos C 例20、 ?ABC 的三边 a, b,满足等式

则此三角形必是( D) A、以 a 为斜边的直角三角形 B、以 b 为斜边的直角三角形 C、等边三角形 D、其它三角形

解析:在题设条件中的等式是关于 a, A 与 b, B
的对称式,因此选项在A、B为等价命题都被淘汰, 1 1 1 1 若选项C正确,则有 ? ? ,即 1 ? 2 2 2 2 从而C被淘汰



估算法

由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过 程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值 特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断, 这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了 思维的层次.

?x≤0 ? 例 21 若 A 为不等式组?y≥0 ?y-x≤2 ? 区域的面积为 3 A. 4

表示的平面区域,则当 a

从-2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分 ( C B.1 7 C. 4 ) D.2

解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉 一个小直角三角形.阴影部分面积比 1 大, 1 比 S△OAB= ×2×2=2 小 2

七,选择题中的隐含信息之挖掘 1、挖掘“词眼”

3 例22、过曲线 S : y ? 3x ? x 上一点 A(2, ? 2) 的切线方程为( D) A、 B、 y ? 2 y ? ?2 C、9x ? y ? 16 ? 0 D、 9 x ? y ? 16 ? 0 或 y ? ?2

错解:

f / ( x) ? ?3x 2 ? 3, f / (2) ? ?9

从而以A点为切点的切线的斜率为–9,即所求切线方程为

9 x ? y ? 16 ? 0. 故选C。

剖析:上述错误在于把“过点A的切线”当成了“在点A处 的切线”,事实上当点A为切点时,所求的切线方程为

而当A点不是切点时,所求的切线方程为

9 x ? y ? 16 ? 0

y ? ?2.

七,选择题中的隐含信息之挖掘 则函数
A、2

2、挖掘背景
1 ? f ( x) f ( x ? a) ? 1 ? f ( x)

, 为常数,且 例23、已知 x ? R, a ? R

f ( x必有一周期为 )

a

( ) C

a

B、3

a

C、4

a

D、5

a

1 ? tan x 分析:由于 tan( x ? ) ? 4 1 ? tan x

?

从而函数 f ( x) 的一个背景为正切函数tanx,取 a ? 4 可得必有一周期为4

?

a

七,选择题中的隐含信息之挖掘

3、挖掘范围

t an ? 例24、设 tan ? 、
? ? ? ? ? ? (? , ), ? ? (? , )

3 x 是方程 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,

A、 ? 2? B、 ?
3

2 2

2 2

则 ? ? ? 的值为 (
?
3 或? 2? 3

) A

错解:易得

? ? ? ? tan(? ? ? ) ? 3, 又? ? (? , ), ? ? (? , ), ? ? ? ? (?? , ? ) 2 2 2 2 ? 2? ? ? ? ? 或 ? . 故选C 剖析:事实上,上述解法是错误的,它没有发现题中的 3 3
隐含范围。由韦达定理知

3

C、

2? D、 ? 或 3 3

?

tan ? ? tan ? ? 0, tan ? tan ? ? 0, 故 tan ? ? 0, 且 tan ? ? 0 2 ? ? ? ? ? (? , 0), ? ? (? , 0) ? ?? ?? . 2 2
3

七,选择题中的隐含信息之挖掘 4、挖掘伪装 例25、若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3)(a ? 0且a ? 1)
a x 满足对任意的 x 2 x1 ? x2 ? 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 1 ,当 、 2

则实数

的取值范围为( a

) D

A、 (0, 1) ? (1, 3) B、(1, 3) C (0, 1) ? (1, 2 3) D (1, 2 3)
a x1 ? x 2 ? 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 分析:“对任意的x1、x2,当 2

实质上就是 “函数单调递减”的“伪装”,同时还隐含了“

f ( x) 有意义”。
事实上由于 g ( x) ? x
2

? ax ? 3

a 在x ? 2

?a ? 1, ? 时递减 ? a g ( ) ? 0. ? ? 2

(1, 2 3 )

七,选择题中的隐含信息之挖掘 5、挖掘特殊化
2x 2 x?3 例26、不等式 C12 D ? C12 的解集是( )

? A、
C、{4,5,6}

B、 {大于3 的正整数}
D、{4,4.5,5,5.5,6}

分析:四个选项中只有答案D含有分数,这是何故? 宜引起高度警觉, 事实上,将x值取4.5代入验证,不等式成立, 这说明正确选项正是D,而无需繁琐地解不等式

七,选择题中的隐含信息之挖掘 6、挖掘修饰语

例27、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上, 两校各派3名代表,校际间轮流发言,对日本侵略者所犯 下的滔天罪行进行控诉,对中国人民抗日斗争中的英勇 事迹进行赞颂,那么不同的发言顺序共有( A ) A、72种 B、36种 C、144种 D、108种

分析:去掉题中的修饰语,本题的实质就是学生所熟悉 的这样一个题目: 三男三女站成一排,男女相间而站,问有多少种站法?

因而易得本题答案为

2 A A ? 72种
3 3 3 3

七,选择题中的隐含信息之挖掘 7、挖掘思想 2 2 例28、方程 2 x ? x ? 的正根个数为( ) A x A、 0 B、 1 C、 2 D、 3
2

分析:本题学生很容易去分母得 2 x

?x ?2
3

然后解方程,不易实现目标。

事实上,只要利用数形结合的思想,分别画出

2 的图象 y ? 2x ? x , y ? x
2

容易发现在第一象限没有交点

七,选择题中的隐含信息之挖掘 8、挖掘数据 例29、定义函数 y ? f ( x), x ? D若存在常数C,对任意的 x1 ? D,存在唯一的 x2 ? D,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C ,则称 函数 f ( x ) 在D上的均值为C 。已知 f ( x) ? lg x, x ?[10, 100]
2

] 则函数 f ( x) ? lg x 在 x ?[10, 100 上的均值为( A、 3 B、 3 C、 7 D、10 10 2 4 分析: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? lg( x1 x2 ) ? C 2 2 令 x1 x2 ? 10 ?100 ? 1000 由此得 C ? lg( x1 x 2 ) ? 3 . 2 2




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