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河北省邢台市第二中学2014-2015学年度第二学期高二期中考试数学试题(文科含答案)


邢台二中 2014—2015 年学年度第二学期高二年级期中考试 数
项是符合题意要求的.
2 1. 已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0 ,则 CU M =





卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题

给出的四个选项中,只有一

?

?

(A)

? x ?2 ? x ? 2?

(B) x x ? ?2或x ? 2 (D)

?

?

(C) x ?2 ? x ? 2 2. 复数

?

?

? x x ? ?2或x ? 2?
(C) ?i (D) i ) ,得散点图 1;对变量 u , v 有观测数据

3 ? 2i ? 2 ? 3i
(B) ?1

(A) 1

0 , ? ...2 , 1 3. 对变量 x, y 有观测数据( x1 , y1 ) ( i1

( u1 , v1 ) (i=1,2,?,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。

图1 (A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 4. 设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 最小值是 (A)

图2 (B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关

?
3

) ? 2 的图像向右平移

4? 个单位后与原图像重合,则 ? 的 3

2 3

(B)
2

3 2
2

(C)

4 3

(D) 3

5. 已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程为 (A) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(B) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(C) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

1

6. 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax ? b ? 0 ,则下列命题中 为假命题的是 (A) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (C) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (B) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (D) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

7.已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0 ? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为 (A) ?

1 7

(B)
4 '

1 7
3

(C) ?
'

1 6

(D)

1 6

8. 观察 ( x ) ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (cos x) ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数
2 '

f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) =
(A) f ( x ) (B) ? f ( x) (C) g ( x) (D) ? g ( x) ( )

9.设函数 f ( x)(x ? R)为奇函数 , f (1) ? (A)0 (B)1

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则f (5) ? 2
(C)

5 2

(D)5

10. 已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1 ,

BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于
(A)4 ? (B)3 ? (C)2 ? (D) ?

11.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1? x , 其中 a 为大于零的常数,若函数 f ( x)在区间 [1,??) 内单调 ax
(C) [1, ??) (D) [?1, ??)

递增,则 a 的取值范围是 (A) (??,1]
x 2

(B) (??, ?1]

12. 函数 y ? 2 ? x 的图像大致是

2

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? 14.已知 x, y ? R? ,且满足

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4

.

15.定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如图所示,则式子:

(2 tan

5? 1 ) ? ln e ? lg100 ? ( ) ?1 的值是 4 3



16. 一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是 下列几何体中的_____(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ④四棱柱 ②四棱锥 ⑤圆锥 ③三棱柱 ⑥圆柱 15 题图 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos2 ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? , (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到函数 2

? ? ? y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在区间 ? 0, ? 上的最小值. ? 16 ?
18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; 19.(本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的编号为 n,求 n ? m ? 2 的概率.
3

(Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

(20) (本小题满分 12 分) 设F 1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C a 2 b2

相交于 A , B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F 1 到直线 l 的距离为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; 21. (本小题满分 12 分) 为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做实验,将这 200 只 家兔随机地分成两组。每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B。下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果。 (疱疹面积单位: mm )
2

(Ⅱ)如果 AF 2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

(Ⅰ)完成答卷纸上的频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小; (Ⅱ)完成答卷纸上的 2 ? 2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的 疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 。 附: K 2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

P( K 2 ? k )
k

22. 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 已知 P 为半圆 C: ?

? x ? cos ? ( ? 为参数,0≤ ? ≤ π )上的点,点 A 的坐标为(1,0) , ? y ? sin ?
π . 3

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为

(Ⅰ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (Ⅱ)求直线 AM 的参数方程.
4

答卷纸 21、 (Ⅰ)

(Ⅱ) 表3 疱疹面积 注射药物 A 注射药物 B 合计 疱疹面积
2

a? c?

小于 70mm

不小于 70mm 2

合计

b? d?

n?

5

参考答案: BCDBB CADCA CA 13、13 14、3 15、 4 17

16、①②③⑤ 、

因 此1 ? g( x)?

1? 2 , 故 g( x) 在 此 区 间 内 的 最 小 值 为 1. 2

18、 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2
1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

6

所以 Tn =

1 1 1 1 ? (1- + ? + 4 2 2 3

1 1 1 1 n + ) = ? (1)= , n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn = 19

n 。 4(n+1)


20、解: (Ⅰ)设焦距为 2c ,由已知可得 F1 到直线 l 的距离

3c ? 2 3, 故c ? 2.

所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),由题意知y1 ? 0, y2 ? 0, 直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 2).

? y ? 3( x ? 2), ? 得(3a 2 ? b 2 ) y 2 ? 4 3b 2 y ? 3b 4 ? 0. 联立 ? x 2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
解得 y1 ?

? 3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) , y ? . 2 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2

因为 AF2 ? 2F2 B, 所以? y1 ? 2 y2 .

3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) ? 2? . 即 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2
7

得 a ? 3.而a2 ? b2 ? 4, 所以b ? 5.

故椭圆 C 的方程为 21 解: (Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间, 而注射药物 B 后的疱疹面积 的中位数在 70 至 75 之间, 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面 积的中位数。 (Ⅱ)表 3 注射药物 A 注射药物 B 合计 疱疹面积小于 70mm 2 a ? 70
c ? 35 105

疱疹面积不小于 70mm 2 b ? 30
d ? 65

合计 100
100 n ? 200

95

K2 ?

200? (70 ? 65 ? 35 ? 30) 2 ? 24.56 100? 100? 105? 95
2

由于 K ? 10.828 ,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后 的疱疹面积有差异”. 22、解:(Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为(

π π ,且 M 点的极径等于 , 3 3

π π , ) 3 3

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

π 3π , ),A(l,0),故直线 AM 的参数方程为 6 6

8

π ? x ? 1 ? ( ? 1)t. ? 6 ? (t 为参数). ? ? y ? 3? t. ? 6 ?

9


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