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2016届广东省中山市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(解析版)


2016 年广东省中山市高考数学模拟试卷(理科) (4 月份)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 M={x|x2>4},N={x|1<x≤3},则 N∩(?RM)=( ) A.{x|1<x≤2} B.{x|﹣2≤x≤2} C.{x|﹣2≤x<1} D.{x|﹣2≤x≤3}

2.设 i 为虚数单位,则复数 A. + i B. + i =( ) D. ﹣ i )

C. ﹣ i

3.若| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 的夹角为( A. B. C. D.

4.某滨海城市计划沿一条滨海大道修建 7 个海边主题公园,由于资金的原因,打算减少 2 个海边主题公园, 两端海边主题公园不在调整计划之列, 相邻的两个海边主题公园不能在同 时调整,则调整方案的种数是( ) A.12 B.8 C.6 D.4 5.如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( )

A.{x|﹣1<x≤0}

B.{x|﹣1≤x≤1}

C.{x|﹣1<x≤1}

D.{x|﹣1<x≤2}

6.已知点 A(0,2) ,点 P(x,y)坐标的(x,y)满足

,则 z=S 三角形 OAP

(O 是坐标原点)的最值的最优解是( ) A.最小值有无数个最优解,最大值只有一个最优解 B.最大值、最小值都有无数个最优解 C.最大值有无数个最优解,最小值只有一个最优解 D.最大值、最小值都只有一个最优解 7.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法.执行该 程序框图,输入分别为 98,63,则输出的结果是( )

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A.14

B.18

C.9

D.7

8.在正项数列{an}中,且 a1= ,对于任意的 n∈N*,1,2an 的等差中项都是 an+1,则数列 {an}的前 8 项的和为( A.16 B. C. ) D.18 )

9.某几何图形的三视图和尺寸的标示如图所示,该几何图形的体积或面积分别是(

A.

a3,

a2 B.

a3,

C.

a3,

a2

D.

a3,

10.△ABC 中,a.b.c 分别为∠A.∠B.∠C 的对边,如果 a.b.c 成等差数列,∠B=30°, △ABC 的面积为 ,那么 b 等于( )

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A.

B.

C.

D. ,则满足 f(f(a) )=2f(a)的 a 的取值范围是(

11.设函数 f(x)=



A.[ ,1] B.[0,1]

C.[ ,+∞)

D.[1,+∞)

12.过点 P(4,﹣3)作抛物线 y= x2 的两切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 ( ) A.2x﹣y+3=0

B.2x+y+3=0 C.2x﹣y﹣3=0

D.2x+y﹣3=0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.已知 O 为坐标原点,A,B,C 是圆 O 上的三点,若 D(2,0)的直线 l 与圆 O 相切,则直线 l 的方程是 14. =sinx﹣2 已知函数 f (x) 15. ( sin f . (x) 在区间[0, = ( . ]上的最小值是 . + ) ,| |=2,过点

﹣ )9 的二项式展开式中常数项的二项式系数为

(用符号或数字作

答) . 16.由函数 y=lnx 和 y=ex﹣1 的图象与直线 x=1 所围成的封闭图形的面积是 三.解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn=log3 ,数列 =1.



的前 n 项和为 Tn,若不等式 Tn<m,对任意的正整

数 n 恒成立,求 m 的取值范围. 18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 是棱 PD 的中 点,点 F 是 PC 的中点 F. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)若 ABCD 为正方形,探究在什么条件下,二面角 C﹣AF﹣D 大小为 60°?

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19. 现有 4 个人去参加娱乐活动, 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择. 为增加趣味性, 约定: 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X﹣Y|,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ. 20.直角坐标系 xOy 平面内,已知动点 M 到点 D(﹣4,0)与 E(﹣1,0)的距离之比为 2. (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)是否存在经过点(﹣1,1)的直线 l,它与曲线 C 相交于 A,B 两个不同点,且满足 = + (O 为坐标原点)关系的点 M 也在曲线 C 上,如果存在,求出直线 l 的方

程;如果不存在,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,a∈R (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 x≥1 时,f(x)≤ 恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 所做的第一个题目计分.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知 AD、BE、CF 分别是△ABC 三边的高,H 是垂心,AD 的延长线交△ABC 的外接圆于点 G. (Ⅰ)求证:∠CHG=∠ABC; (Ⅱ)求证:AB?GD=AD?HC.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的参数 方程为 (? 为参数,且 0≤?<2π) ,曲线 l 的极坐标方程为

ρ=

(k 是常数,且 k∈R) .

(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和曲线 l 直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 l 被曲线 C 截的弦是以( ,1)为中点,求 k 的值.
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[选修 4-5:不等式选讲] 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|﹣|x|+a. (Ⅰ)若 a=0,求不等式 f(x)≥0 的解集; (Ⅱ)若方程 f(x)=x 有三个不同的解,求 a 的取值范围.

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2016 年广东省中山市华侨中学高考数学模拟试卷 (理科) (4 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 M={x|x2>4},N={x|1<x≤3},则 N∩(?RM)=( ) A.{x|1<x≤2} B.{x|﹣2≤x≤2} C.{x|﹣2≤x<1} D.{x|﹣2≤x≤3} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出集合 M,然后进行集合的补集、交集运算即可. 【解答】解:M={x|x>2,或 x<﹣2},N={x|1<x≤3}; ∴?RM={﹣2≤x≤2}; ∴N∩(?RM)={x|1<x≤2}. 故选 A.

2.设 i 为虚数单位,则复数 A. + i B. + i

=(

) D. ﹣ i

C. ﹣ i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解: 故选:C. 3.若| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 的夹角为( A. B. C. D. ) = ,

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】作 , ,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则 |=| ﹣ |=2| |,可得四边形 OACB 为矩形,利用 【解答】解:作 , 则 = . ∵| + |=| ﹣ |=2| |, ∴四边形 OACB 为矩形, ∴ = =

=

.由| + 即可得出.

,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,

= ,

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∴向量 + 与 的夹角为 故选:B.



4.某滨海城市计划沿一条滨海大道修建 7 个海边主题公园,由于资金的原因,打算减少 2 个海边主题公园, 两端海边主题公园不在调整计划之列, 相邻的两个海边主题公园不能在同 时调整,则调整方案的种数是( ) A.12 B.8 C.6 D.4 【考点】计数原理的应用. 【分析】利用间接法,任选中间 5 个的 2 个,再减去相邻的 4 个,问题得以解决. 【解答】解:利用间接法,任选中间 5 个的 2 个,再减去相邻的 4 个,故有 C52﹣4=6 种, 故选:C. 5.如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( )

A.{x|﹣1<x≤0}

B.{x|﹣1≤x≤1}

C.{x|﹣1<x≤1}

D.{x|﹣1<x≤2}

【考点】指、对数不等式的解法. 【分析】在已知坐标系内作出 y=log2(x+1)的图象,利用数形结合得到不等式的解集. 【解答】解:由已知 f(x)的图象,在此坐标系内作出 y=log2(x+1)的图象,如图

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满足不等式 f(x)≥log2(x+1)的 x 范围是﹣1<x≤1;所以不等式 f(x)≥log2(x+1)的 解集是{x|﹣1<x≤1}; 故选 C.

6.已知点 A(0,2) ,点 P(x,y)坐标的(x,y)满足

,则 z=S 三角形 OAP

(O 是坐标原点)的最值的最优解是( ) A.最小值有无数个最优解,最大值只有一个最优解 B.最大值、最小值都有无数个最优解 C.最大值有无数个最优解,最小值只有一个最优解 D.最大值、最小值都只有一个最优解 【考点】简单线性规划. 【分析】不等式组表示的平面区域如图,判断三角形的面积的最值的情况,推出选项即可. 【解答】解:画出约束条件的可行域如图:BC 垂直 x 轴,BC 到 y 轴距离为 6,点 P(x,y)

坐标的(x,y)满足

,则 z=S 三角形 OAP(O 是坐标原点)的最小值就是 P 在

BC 直线上时取得,最小值由无数个. 当 P 在 D 时,三角形面积取得最大值,只有一个. 故选:A.

7.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法.执行该 程序框图,输入分别为 98,63,则输出的结果是( )

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A.14

B.18

C.9

D.7

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:模拟执行程序,可得: m=98,n=63, 第一次执行循环体,r=35,m=63,n=35,不满足退出循环的条件; 第二次执行循环体,r=28,m=35,n=28,不满足退出循环的条件; 第二次执行循环体,r=7,m=28,n=7,不满足退出循环的条件; 第二次执行循环体,r=0,m=7,n=0,满足退出循环的条件; 故输出的 m 值为 7. 故选:D. 8.在正项数列{an}中,且 a1= ,对于任意的 n∈N*,1,2an 的等差中项都是 an+1,则数列 {an}的前 8 项的和为( A.16 B. C. ) D.18

【考点】数列的求和. 1, 2an 的等差中项都是 an+1, 【分析】 对于任意的 n∈N*, 可得 1+2an=2an+1, 变形 an+1﹣an= , 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:∵对于任意的 n∈N*,1,2an 的等差中项都是 an+1, ∴1+2an=2an+1, ∴an+1﹣an= ,
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∴数列{an}是等差数列才,首项与公差都为 . 则数列{an}的前 8 项的和= 故选:D. 9.某几何图形的三视图和尺寸的标示如图所示,该几何图形的体积或面积分别是( ) =18.

A.

a3,

a2 B.

a3,

C.

a3,

a2

D.

a3,

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图,可得几何体为三条侧棱相等且互相垂直的三棱锥,即可得出结论. 【解答】解:由三视图,可得几何体为三条侧棱相等且互相垂直的三棱锥,侧棱长为 a, 则体积为 故选:B. 10.△ABC 中,a.b.c 分别为∠A.∠B.∠C 的对边,如果 a.b.c 成等差数列,∠B=30°, △ABC 的面积为 ,那么 b 等于( A. B. C. ) D. = ,面积为 = .

【考点】等差数列的通项公式;三角形的面积公式. 【分析】由题意可得 2b=a+c.平方后整理得 a2+c2=4b2﹣2ac.利用三角形面积可求得 ac 的 值,代入余弦定理可求得 b 的值. 【解答】解:∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 平方得 a2+c2=4b2﹣2ac.① 又△ABC 的面积为 ,且∠B=30°, 由 S△ = acsinB= ac?sin30°= ac= ,解得 ac=6,
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代入①式可得 a2+c2=4b2﹣12, 由余弦定理 cosB= 解得 b2=4+2 故选:B = . = = .

,又∵b 为边长,∴b=1+

11.设函数 f(x)=

,则满足 f(f(a) )=2f(a)的 a 的取值范围是(



A.[ ,1] B.[0,1]

C.[ ,+∞)

D.[1,+∞)

【考点】分段函数的应用. 【分析】令 f(a)=t,则 f(t)=2t,讨论 t<1,运用导数判断单调性,进而得到方程无解, 讨论 t≥1 时,以及 a<1,a≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解:令 f(a)=t, 则 f(t)=2t, 当 t<1 时,3t﹣1=2t, 由 g(t)=3t﹣1﹣2t 的导数为 g′(t)=3﹣2tln2, 在 t<1 时,g′(t)>0,g(t)在(﹣∞,1)递增, 即有 g(t)<g(1)=0, 则方程 3t﹣1=2t 无解; 当 t≥1 时,2t=2t 成立, 由 f(a)≥1,即 3a﹣1≥1,解得 a≥ ,且 a<1; 或 a≥1,2a≥1 解得 a≥0,即为 a≥1. 综上可得 a 的范围是 a≥ . 故选 C. 12.过点 P(4,﹣3)作抛物线 y= x2 的两切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 ( ) A.2x﹣y+3=0

B.2x+y+3=0 C.2x﹣y﹣3=0

D.2x+y﹣3=0

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】设出切点 A,B 的坐标,对抛物线方程求导,求得切线方程的斜率,则切线方程可 得,把点 P(4,﹣3)代入直线方程联立求得 AB 的直线方程. 【解答】解:设切点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,又 y'= x, 则切线 PA 的方程为:y﹣y1= x1(x﹣x1) ,即 y= x1x﹣y1, 切线 PB 的方程为:y﹣y2= x2(x﹣x2)即 y= x2x﹣y2, 由 P(4,﹣3)是 PA、PB 交点可知:﹣3=2x1﹣y1,﹣3=2x2﹣y2,
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由两点确定一条直线, 可得过 A、B 的直线方程为﹣3=2x﹣y,即 2x﹣y+3=0. 故选:A. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.已知 O 为坐标原点,A,B,C 是圆 O 上的三点,若 D(2,0)的直线 l 与圆 O 相切,则直线 l 的方程是 x+ = ( + ) ,| |=2,过点 .

y﹣2=0 或 x﹣

y﹣2=0

【考点】圆的切线方程. 【分析】由中点的向量表示形式可得 O 为 BC 的中点,且圆的半径为 1,设过 D(2,0)的 直线为 y=k(x﹣2) ,运用直线和圆相切的条件:d=r,由点到直线的距离公式,计算即可得 到所求方程. 【解答】解:若 = ( + ) ,可得

O,B,C 三点共线,且 O 为 BC 的中点, | |=2,可得圆的半径为 1, 即圆 O 的方程为 x2+y2=1, 设过 D(2,0)的直线为 y=k(x﹣2) , 由直线和圆相切的条件,可得 =1,解得 k=± ,

即有切线的方程为 y=± 故答案为:x+

(x﹣2) . y﹣2=0.

y﹣2=0 或 x﹣

14.已知函数 f(x)=sinx﹣2

sin

.f(x)在区间[0,

]上的最小值是



【考点】三角函数中的恒等变换应用. =2sin 【分析】 由三角函数恒等变换化简函数解析式可得 f (x) (x+ x+ ∈[ ,π],即可求得 f(x)的取值范围,即可得到答案. sin , ) ﹣ x∈[0, , ],

【解答】解:f(x)=sinx﹣2 =sinx﹣ (1﹣cosx) , =sinx+ cosx﹣ , =2sin(x+ x∈[0, ∴2sin(x+ )﹣ ],x+ . ∈[

,π],

)∈[0,2],

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∴2sin(x+

)﹣

∈[﹣

,2﹣

], ,

∴f(x)在区间[0, 故答案为: .

]的最小值为﹣

15. (

﹣ )9 的二项式展开式中常数项的二项式系数为

84 (用符号或数字作答) .

【考点】二项式系数的性质. 【分析】先求出二项展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于零,求得 k 的值,即可求得答 案. 【解答】解: ( ﹣ )9 的二项式展开式的通项公式为 C9k( )9﹣k(﹣1)k ,

令 9﹣3k=0,即 k=3, ∴( ﹣ )9 的二项式展开式中常数项的二项式系数为 C93=84,

故答案为:84 16.由函数 y=lnx 和 y=ex﹣1 的图象与直线 x=1 所围成的封闭图形的面积是 e﹣1 . 【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】做出函数 y=lnx 和 y=ex﹣1 的图象及 x=1,求出交点坐标,可知封闭图形的面积为 函数 ex﹣1﹣lnx 在 1 到 e 的定积分,即可求得结论. 【解答】解:由函数 y=lnx 和 y=ex﹣1 的图象与直线 x=1 所围成的封闭图形如图: 则 A(1,e) 、B(e,1) 、C(0,1) , 则封闭图形的面积 S= 故答案为:e﹣1. =(elnx﹣xlnx+x) =e﹣1,

三.解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ (1)求数列{an}的通项公式; =1.

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(2)记 bn=log3

,数列

的前 n 项和为 Tn,若不等式 Tn<m,对任意的正整

数 n 恒成立,求 m 的取值范围. 【考点】数列的求和. 【分析】 (1)由 , ,相减可得 ,再利用等比数列

的通项公式即可得出; (2)利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出. 【解答】解: (1)由 ② ①﹣②可得 ∴ 当 n=1 时 , ,则 , , ①

∴数列{an}是以 为首项, 为公比的等比数列, 因此 .

(2)







. ∵不等式 Tn<m,对任意的正整数 n 恒成立, ∴ .

18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 是棱 PD 的中 点,点 F 是 PC 的中点 F. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)若 ABCD 为正方形,探究在什么条件下,二面角 C﹣AF﹣D 大小为 60°?

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【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ) 连接 BD, 设 AC∩BD=O, 连结 OE, 则 PB∥EO, 由此能证明 PB∥平面 AEC. (Ⅱ)由题意知 AD,AB,AP 两两垂直,建立空间直角坐标系 A﹣xyz,利用向量法能求出 当 AP 等于正方形 ABCD 的边长时,二面角 C﹣AF﹣D 的大小为 60°. 【解答】证明: (Ⅰ)连接 BD,设 AC∩BD=O,连结 OE, ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴O 是 BD 的中点, ∵点 E 是棱 PD 的中点, ∴PB∥EO, 又 PB?平面 AEC,EO? 平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC. 解: (Ⅱ)由题意知 AD,AB,AP 两两垂直,建立如图所示空间直角坐标系 A﹣xyz, 设 AB=2a,AD=2b,AP=2c, 则 A(0,0,0) ,B(2a,0,0) ,C(2a,2b,0) ,D(0,2b,0) ,P(0,0,2c) . 设 AC∩BD=O,连结 OE,则 O(a,b,0) ,E(0,b,c) . 因为 , ,

所以 ,所以 ∥ ,a=b,A(0,0,0) ,B(2a,0,0) , C(2a,2a,0) ,D(0,2a,0) ,P(0,0,2c) ,E(0,a,c) ,F(a,a,c) , 因为 z 轴? 平面 CAF,所以设平面 CAF 的一个法向量为 =(x,1,0) , 而 ,所以 =2ax+2a=0,得 x=﹣1,所以 =(﹣1,1,0) .

因为 y 轴? 平面 DAF,所以设平面 DAF 的一个法向量为 =(1,0,z) , 而 ,所以 =a+cz=0,得 ,

所以 =(1,0,﹣ )∥

=(c,0,﹣a) .

cos60°=

=

,得 a=c.

即当 AP 等于正方形 ABCD 的边长时,二面角 C﹣AF﹣D 的大小为 60°.

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19. 现有 4 个人去参加娱乐活动, 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择. 为增加趣味性, 约定: 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X﹣Y|,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及 其分布列. 【分析】依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的人数的概 率为 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4) ,故 P(Ai) = (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P(A2) ; (2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B,则 B=A3∪A4,利用 互斥事件的概率公式可求; (3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4,由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,求出相应的概率, 可得 ξ 的分布列与数学期望.

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【解答】解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的人数 的概率为 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4) ,∴P(Ai) = (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P(A2)= ;

(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B,则 B=A3∪A4, ∴P(B)=P(A3)+P(A4)= (3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4,由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 P(ξ=0)=P(A2) = P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= ∴ξ 的分布列是 ξ P 数学期望 Eξ= ,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=

0

2

4

20.直角坐标系 xOy 平面内,已知动点 M 到点 D(﹣4,0)与 E(﹣1,0)的距离之比为 2. (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)是否存在经过点(﹣1,1)的直线 l,它与曲线 C 相交于 A,B 两个不同点,且满足 = + (O 为坐标原点)关系的点 M 也在曲线 C 上,如果存在,求出直线 l 的方

程;如果不存在,请说明理由. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】 (Ⅰ)设出 M 点的坐标,由题目条件即可得出动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)讨论直线 l 的斜率是否存在,由韦达定理,根据题目条件进行计算即可. 【解答】解析: (Ⅰ)设 M(x,y) ,则 , ,

依题意,



化简整理,得 x2+y2=4, ∴曲线 c 的方程为 x2+y2=4. (Ⅱ)假设直线 l 存在,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) (1)若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为:y﹣1=k(x+1) .

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联立

消去 y 得, (1+k2)x2+2k(k+1)x+k2+2k﹣3=0,

由韦达定理得,

=



=



= ∵点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在圆 c 上, ∴ , .





得,





由于点 M 也在圆 c 上,则



整理得,

+



即 x1x2+y1y2=0,所以

+



从而得,k2﹣2k+1=0,即 k=1,因此,直线 l 的方程为 y﹣1=x+1,即 x﹣y+2=0; (2) 若直线 l 的斜率不存在, 则A (﹣1, B ) , (﹣1, ) ,

,故此时点 M 不在曲线 c 上, 综上所知:k=1,直线方程为 x﹣y+2=0. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,a∈R (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 x≥1 时,f(x)≤ 恒成立,求 a 的取值范围.

【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 【分析】 (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) , ,若 a≤0,f(x)在(0,+∞)

上单调递增;若 a>0 时,f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)单调递减.

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(Ⅱ)f(x)﹣

=

,令 g(x)=xlnx﹣a(x2﹣1) , (x≥1) ,g′(x)

=lnx+1﹣2ax,令 F(x)=g′(x)=lnx+1﹣2ax, 求出实数 a 的取值范围. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) , ,

,由此进行分类讨论,能

若 a≤0,则 f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,… 若 a>0,则由 f′(x)=0,得 x= , 当 x∈(0, )时,f′(x)>0, 当 x∈( )时,f′(x)<0,

∴f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)单调递减. 所以当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当 a>0 时,f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)单调递减.…

(Ⅱ)f(x)﹣

=



令 g(x)=xlnx﹣a(x2﹣1) , (x≥1) , g′(x)=lnx+1﹣2ax,令 F(x)=g′(x)=lnx+1﹣2ax, ,… ①若 a≤0,F′(x)>0,g′(x)在[1,+∞)递增, g′(x)≥g′(1)=1﹣2a>0, ∴g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g(1)=0, 从而 f(x)﹣ 不符合题意.… ) ,F′(x)>0,

②若 0<a< ,当 x∈(1, ∴g′(x)在(1, )递增,

从而 g′(x)>g′(1)=1﹣2a, ∴g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g(1)=0, 从而 f(x)﹣ ③若 a 不符合题意.…

,F′(x)≤0 在[1,+∞)恒成立,

∴g′(x)在[1,+∞)递减,g′(x)≤g′(1)=1﹣2a≤0,
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从而 g9x)在[1,+∞)递减, ∴g(x)≤g(1)=0,f(x)﹣ 综上所述,a 的取值范围是[ ≤0, ) .…

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 所做的第一个题目计分.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知 AD、BE、CF 分别是△ABC 三边的高,H 是垂心,AD 的延长线交△ABC 的外接圆于点 G. (Ⅰ)求证:∠CHG=∠ABC; (Ⅱ)求证:AB?GD=AD?HC.

【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质. 【分析】 (Ⅰ)由三角形的高的定义,可得∠HDB=∠HFB=90°,则四点 H,F,B,D 共圆, 由圆内接四边形的性质,即可得证; (Ⅱ) 连结 CG, 由同弧所对圆周角相等, 证得 Rt△ADB∽Rt△GDC, 由相似三角形的性质: 对应边成比例,即可得证. 【解答】证明: (Ⅰ)∵AD、CF 分别是△ABC 三边的高, ∴AD⊥BC,CF⊥AB, 即有∠HDB=∠HFB=90°, 可得四点 H,F,B,D 共圆, 由圆内接四边形的性质可得, ∠CHG=∠ABC. (Ⅱ)连结 CG, ∵∠ABC 与∠AGC 同弧圆周角, ∴∠ABC=∠AGC, ∵∠CHG=∠ABC, ∴∠CHG=∠AGC, ∴GC=HC, 在 Rt△ADB 和 Rt△GDC 中, ∵∠ABC=∠AGC,即∠ABD=∠CGD, ∴Rt△ADB∽Rt△GDC, ∴ ,

∴AB?GD=AD?GC, 又∵GC=HC,
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∴AB?GD=AD?HC.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的参数 方程为 (? 为参数,且 0≤?<2π) ,曲线 l 的极坐标方程为

ρ=

(k 是常数,且 k∈R) .

(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和曲线 l 直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 l 被曲线 C 截的弦是以( ,1)为中点,求 k 的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)由 ,得 ,利用三角函数基本关系式可得曲线 C

的普通方程.曲线 l 的极坐标方程为 ρ= ρcosθ=x,ρsinθ=y,代入即可得出曲线 l 的直角坐标方程. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线 C 是圆,曲线 l 是直线,且以 定理、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)由 ,得 ,

(k 是常数) ,由互换公式,

为弦的中点,利用垂经

则(x﹣2)2+y2=(2cos?)2+(2sin?)2, 即曲线 C 的普通方程为(x﹣2)2+y2=4. 曲线 l 的极坐标方程为 ρ= (k 是常数) .

由互换公式,ρcosθ=x,ρsinθ=y,得 2y﹣2kx=2﹣3k, 即曲线 l 的直角坐标方程为 . 为弦的中点,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线 C 是圆,曲线 l 是直线,且以

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,则



[选修 4-5:不等式选讲] 24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|﹣|x|+a. (Ⅰ)若 a=0,求不等式 f(x)≥0 的解集; (Ⅱ)若方程 f(x)=x 有三个不同的解,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;根的存在性及根的个数判断.

【分析】 (Ⅰ)若 a=0,则 f(x)=

,分 x<﹣1 时、当﹣1≤x<0

时、当 x≥0 时,三种情况,分别求得不等式的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)设 u(x)=|x+1|﹣|x|,由题意易知,把函数 y=u(x)的图象向下平移 1 个单位以 内(不包括 1 个单位)与 y=x 的图象始终有 3 个交点,从而求得 a 的范围.

【解答】解: (Ⅰ)若 a=0,f(x)=|x+1|﹣|x|=



∴当 x<﹣1 时,不等式 即﹣1≥0,解得 x∈?. 当﹣1≤x<0 时,不等式即 2x+1≥0,解得 x≥﹣ .综合可得﹣ ≤x<0. 当 x≥0 时,不等式即 1≥0,恒成立,故不等式的解集为 x≥0. 综上,不等式的解集为[﹣ ,+∞) . (Ⅱ)设 u(x)=|x+1|﹣|x|,则函数 u(x)的图象和 y=x 的图象如右图: 由题意易知,把函数 y=u(x)的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个单位)与 y=x 的 图象始终有 3 个交点, 从而﹣1<a<0.

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2016 年 8 月 27 日

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