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1.3空间几何体的表面积和体积


人民教育出版社A版必修2
樊成河 马登盛

1.3 空间几何体的表面积与体积

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主要内容
1.3.1 柱体、椎体、台体的表面积与体积 1.3.2 球的表面积和体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的 表面积与体积

什么是面积? 面积:平面图形所

占平面的大小
a b a A c h a C
? ab sin A

S=ab 1 S ? ah
2

b

h

S?

1 ( a ? b) h 2

?

1 ac sin B 2

r

S ? ? ?r2
1 n S ? l ?r ? ? ?r2 360 2

B

b A a

S ? a ? ha ? b ? hb

l
r

圆心角为n0

特殊平面图形的面积
正三角形的面积
1 3 s? ? a?a 2 2

a

正方形的面积
正六边形的面积

s?a

2

a

a

1 3 3 3 2 S ? 6? ? a?a ? a 2 2 2

多面体的表面积
正方体和长方体的表面积

h b a

长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形,其表面是这六个矩形面积的和. 设长方体的长宽高分别为a、b、h,则 S=2(ab+ah+bh) 其表面积为

特别地,正方体的表面积为S=6a2

多面体的表面积
一般地,由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体,其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
棱柱的表面积=2 ?底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和

棱锥的表面积=底面积+侧面积

棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积

多面体的表面积
例1.已知棱长为a,底面为正方形,各侧面均 为等边三角形的四棱锥S-ABCD,求它的表面积. 解:四棱锥的底面积为a2,
S ? a 2 ? 3a 2 ? (1 ? 3)a 2

每个侧面都是边长为a的正三 角形,所以棱锥的侧面积为
1 3 S侧 ? 4 ? ? a ? a ? 3a 2 2 2 所以这个四棱锥的 表面积为

旋转体的表面积
一般地,对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体,其 底面是平面图形(圆形),其侧面多是曲面,需要 按一定规则展开成平面图形进行面积的计算,最终 得到这些几何体的表面积. S ? 2?r (r ? l )


圆柱
S侧 ? 2?r ? l

圆柱的侧面展 开图是一个矩 形

底面是圆形

S底 ? ?r 2

旋转体的表面积
圆锥 侧面展开图是 一个扇形

底面是圆形
1 S侧 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl

S底 ? ?r

2

S表 ? ?r (r ? l )

旋转体的表面积
圆台 侧面展开图是 一个扇状环形

底面是圆形

S上底

2 ? ? ?r

S下底 ? ?r

2

S侧 ? ? (r ? ? r )l
2 2 ? S表 ? ? (r ? r ? r ?l ? rl )

旋转体的表面积
例2.一个圆台形花盆盆口直径为 20cm,盆底直 径为 15cm ,底部渗水圆孔直径为 1.5cm ,盆壁长 15cm,为了美化花盆的外观,需要涂油漆. 已知每 平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多 少 油 漆 ( 精 确 到 1 毫 升 ) ?
20
S表 ? ? [( 15 2 15 20 1.5 ) ? ?15 ? ?15] ? ? ? ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ? 1000(cm) ? 0.1(m )

解:由圆台的表面积公式得一 个花盆外壁的表面积

15

所以涂100个花盆需油漆: 0.1?100?100=1000(毫升).

空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
正方体的体积=棱长3

长方体的体积=长×宽×高

棱柱和圆柱的体积
高h

底面积S 柱体的体积 V=Sh

棱锥和圆锥的体积
S 高h

D
E O

底面积S
1 体积 V ? Sh 3

C

A

B

棱台和圆台的体积

高h
1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg(铁的密度是7.8g/cm3),已知螺帽的底 面是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm, 高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个? 解答: V≈2956(mm3)=2.956 (cm3) 5.8×100÷7.8×2.956 ≈252(个)

小结
? 常见平面图形的面积 ? 多面体的表面积和体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 ? 旋转体的表面积和体积 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

作业
? P27 练习1,2 ? P28-29 习题1.3 A组 1,2,3,4,5,6

1.3.2 球的体积和表面积


球的表面积
球的体积 球面距离

球的体积和表面积
设球的半径为R,则有体积公式和表面积公式

4 3 V ? ?R 3

A

R
O

S ? 4?R

2
B

球的体积和表面积
例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直 2 径,求证:(1)球的体积等于圆柱体积的 3 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 解:设球的半径为R,则圆柱的底面 半径为R,高为2R.
1)因为 V球 ? ?R 3, V圆柱 ? ?R ? 2R ? 2R
2

4 3

3

2 所以, V球 ? V圆柱 3

2)因为 S球 ? 4?R ,S圆柱侧 ? 2?R ? 2R ? 4R
2

2

所以,S球 ? S圆柱侧

球的体积和表面积
例2. 已知正方体的八个顶点都在球O的球面上, 且正方体的棱长为a,求球O的表面积和体积. 解答:正方体的一条对 角线是球的一条直径, 所以球的半径为
3a R? 2

C′

o
3a 2 ) ? 3?a 2 2

S球 ? 4?R ? 4?(
2

4 3 3 3 3 V球 ? ?( a) ? ?a 3 2 2

A

球的体积和表面积
例3 已知A、B、C为球面上三点,AC=BC=6, AB=4,球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的 一半,求这个球的表面积和体积.
3 6 解答:R ? , 2 S ? 54? ,V ? 27 6?

O A
M B C

球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离, 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度. 球心O
B

O
A

B

大圆劣弧的圆心角为α弧 度,半径为R,则弧长为

A

大圆圆弧

L=αR

球面距离
例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上 经度差为1200的两点间距离.
2 120 0 ? ? 3

答案:
o B A

2 球面距离为 d ? ?R 3

作业
P28 练习1,2,3 P29-30 习题 B组 1,2,3


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