tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

常州市第一中学2013届高考数学模拟试卷


常州市第一中学 2013 届高考数学模拟试卷

一、填空题. 1.已知集合 A={-1,0,1, 2},B={x|x2-x≤0},则 A∩B= ▲



2.设 a 为实数,若复数 (1+2i)(1+ai) 是纯虚数,则 a 的值是 ▲



3.某工厂对一批产品进行抽样检测,

根据抽样检测后的产品净重(单位:g)数据绘制的 频率分布直方图如图所示,已知产品净重的范围是区间[96,106],样本中净重在区间 [96,100)的产品个数是 24,则样本中净重在区间[98,104)的产品个数是 ▲ 4.如图所示的流程图的输出 S 的值是 ▲ .
开始
a ? 5, S ? 1



a?4

N
输出 S 结束

S ? S ?a
a ? a ?1

Y

(第 3 题)

(第 4 题)

5.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具) ,先后抛掷两次,则两 次点数之和为偶数的概率是 ▲ .
→ → → → → →

6. 设 k 为实数,已知向量 a =(1,2), b =(-3,2),且(ka + b )⊥( a -3 b ),则 k 的值是 ▲



7. 在平面直角坐标系 xOy 中, 若角 α 的始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在射线 y=- 3( x x>0) 上, 则 sin5α= ▲ 8. 已知实数 x,y 满足约束条件 ?
? x ? y ? 2 ? 0, , 则z ? x ? 2, ? y?2 ?



? x ? y 2 的最小值是 ▲



x2 y2 9.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0) 的焦点到渐近线的距离是 a,则双曲线的离心率的值是 ▲ a b



10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 a=2,3bsinC-5csinBcosA=0,则△ABC 面积的最大值 是 ▲ . .

11. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上是单调增函数. 若 f(1)<f(lnx), 则 x 的取值范围是 ▲

12.若点 P、Q 分别在函数 y=ex 和函数 y=lnx 的图象上,则 P、Q 两点间的距离的最小值是 ▲ 1 1 13.已知一个数列只有 21 项,首项为 ,末项为 ,其中任意连续三项 a,b,c 满足 100 101 2ac b= ,则此数列的第 15 项是 a+c ▲ .



14.设 a1,a2,…,an 为正整数,其中至少有五个不同值. 若对于任意的 i,j(1≤i<j≤n),存在 k,l(k≠l,且异 于 i 与 j)使得 ai+aj=ak+al,则 n 的最小值是 ▲ .

........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,摩天轮的半径为 50 m,点 O 距地面的高度为 60 m,摩天轮做匀速转动,每 3 min 转一圈,摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点 P 距离地面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 85 m?

(第 15 题) 16. (本小题满分 14 分) 1 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥面 ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD= BC. 点 E、F 分别 2 是棱 PB、边 CD 的中点. (1)求证:AB⊥面 PAD; (2)求证:EF∥面 PAD.
P

E

F C B

D

A

17. (本小题满分 14 分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系 式 y= a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. x-3

(1)求 a 的值; (2)若该商品的成品为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

18. (本小题满分 16 分) 如图,椭圆 M :
3 x2 y 2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

ABCD 的面积为 8.
(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形 ABCD 有两 个不同的交点 S , T .求
| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

19. (本小题满分 16 分) αan+1+βan 设非常数数列{an}满足 an+2= ,n∈N*,其中常数 α,β 均为非零实数,且 α+β≠0. α+β (1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是 α+2β=0; 1 5 1 (2)已知 α=1,β= , a1=1,a2= ,求证:数列{| an+1-an-1|} (n∈N*,n≥2)与数列{n+ } (n∈N*)中没有 4 2 2 相同数值的项.

20. (本小题满分 16 分)
2 已知函数 ? ( x) ? 5x ? 5x ? 1 ( x ? R) ,函数 y ? f ( x) 的图象与 ? ( x) 的图象关于点 (0, ) 中心对称。

1 2

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)如果 g1 ( x) ? f ( x) , g n ( x) ? f [ g n?1 ( x)](n ? N , n ? 2) ,试求出使 g 2 ( x) ? 0 成立的 x 取值范围; (3) 是否存在区间 E , 使 E ? x f ( x) ? 0 ? ? 对于区间内的任意实数 x , 只要 n ? N , 且 n ? 2 时, 都有 g n ( x) ? 0 恒成立?

?

?

参考答案
一、 填空题:· 1. {0, 1}
9.

2.

1 2

3. 60

4. 20

5.

1 2 12. 2

6. 19 13.

7.

3 2

8. 2 14. 13

2

10. 2

1 11. (0, )∪(e, +∞) e

10 1007

二、解答题: 15. (1)解:设点 P 离地 面的距离为 y,则可令 y=Asin(ωt+φ)+b. 由题设可知 A=50,b=60. ………………2 分 2π 2π 2π 又 T= =3,所以 ω= ,从而 y=50sin( t+φ)+60. ω 3 3 ………………4 分

2π π 再由题设知 t=0 时 y=10,代入 y=50sin( t+φ)+60,得 sinφ=-1,从而 φ=- . 3 2 ……………… 6 分 2π 因此,y=60-50cos t 3 (t≥0). ………………8 分

2π 2π 1 (2)要使点 P 距离地面超过 85 m,则有 y=60-50cos t>85,即 cos t<- . 3 3 2 ………………10 分 2π 2π 4π 于是由三角函数基本性质推得 < t< ,即 1<t<2. 3 3 3
[来源:Zxxk.Com]

………………12 分

所以,在摩天轮转动的一圈内,点 P 距离地面超过 85 m 的时间有 1 分钟. ………………14 分

16. 证明: (1)因为 PD⊥面 ABCD, 所以 PD⊥AB. ………………2 分 在平面 ABCD 中,D 作 DM//AB,则由 AB=12 得 DM=12. 1 又 BC=10,AD= BC,则 AD=5,从而 CM=5. 2 于是在△CDM 中,CD=13,DM=12,CM=5,则 由 5 ? 12 ? 13 及勾股定理逆定理得 DM⊥BC .
2 2 2

P

E

F C M

D N B

A

又 DM//AB,BC//AD,所以 AD⊥AB. 又 PD∩AD=D,所以 AB⊥面 PAD. (2)[证法一] 取 AB 的中点 N,连结 EN、FN. 1 因为点 E 是棱 PB 的中点,所以在△ABP 中,EN// PA. 2

………………6 分

又 PA?面 PAD,所以 EN//面 PAD. 因为点 F 分别是边 CD 的中点,所以在梯形 ABCD 中,FN//AD. 又 AD?面 PAD,所以 FN//面 PAD.

………………8 分 ……………10 分

又 EN∩FN=N,PA∩DA=A,所以面 EFN//面 PAD. 又 EF?面 EFN,则 EF//面 PAD. [证法二] 延长 CD,BA 交于点 G. 连接 PG,EG,EG 与 PA 交于点 Q. 1 由题设 AD∥BC,且 AD= BC,所以 CD=DG,BA 2

………………12 分 ………………14 分

=AG,即点 A 为 BG 的中点. 又因为点 E 为棱 PB 的中点,所以 EA 为△BPG 的中位线,即 EA∥PG,且 EA:PG=1:2,故有 EA:PG=EQ:QG =1:2. ………………10 分 又 F 是边 CD 的中点,并由 CD=DG,则有 FD:DG =1:2. ………………12 分 在△GFE 中,由于 EQ:QG=1:2,FD:DG=1:2,所以 EF∥DQ. 又 EF?面 PAD,而 DQ?面 PAD,所以 EF∥面 PAD . ………………14 分

P

E

Q G

F C

D B

A

17. 解: (1)由题设知 x=5 时 y=11,则 11=

a +10(5-6)2,解得 a=2. 5-3 ………………3 分

2 (2)由(1)知该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润为 x-3 2 f(x)=(x-3) [ +10(x-6)2]=2+10(x-3) (x-6)2,3<x<6. ………………6 分 x-3 对函数 f(x)求导,得 f ′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6). 令 f ′(x)=0 及 3<x<6,解得 x=4. ………………10 分

当 3<x<4 时,f ′(x)>0,当 4<x<6 时,f ′(x)<0,于是有函 数 f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,所以当 x=4 时函数 f(x)取得最大值 f(4)=42. ………………13 分

答:当销售价格 x=4 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42. ………………14 分
18 解:(I) e ?

c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ① a 2 a2 4 矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2b ? 8 ②

由①②解得: a ? 2, b ? 1 ,∴椭圆 M 的标准方程是
? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , ? y ? x ? m,

x2 ? y2 ? 1 . 4

8 4m2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5
由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 ? 5 ?
线段 CD 的方程为 y ? 1(?2 ? x ? 2) ,线段 AD 的方程为 x ? ?2(?1 ? y ? 1) . (1)不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 1 ? m ? 5, S (?2, m ? 2), D(?2,1) . 所以 ST ?

2

2 SD ? 2[1 ? (m ? 2)] ? 2 (3 ? m) ,则
1 t

PQ ST

?

4 5 ? m2 , 5 (3 ? m) 2

令 t ? 3 ? m(1 ? m ? 5), m ? 3 ? t, t ? (3 ? 5,2] ,则 ? [ ,

1 3? 5 ) [来源:数理化网] 2 4

所以

PQ ST

?

4 5 ? (3 ? t ) 2 4 1 3 5 ? ? 4( ? ) ? , 2 5 5 t 4 4 t

当且仅当 t ?

PQ 4 5 2 时 取得最大值 5 ,此时 m ? ; 3 5 3 ST
PQ ST

(2)不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 CD 边上,此时 ? 1 ? m ? 1 , 因此 ST ?

2 AD ? 2 2 ,此时
PQ ST

?

2 5 ? m2 , 5

当m ? 0时

取得最大值

2 5; 5

(3)不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 BC 边上,可知 ? 5 ? x ? ?1,

PQ 5 2 由椭圆和矩形的对称性可知当 m ? ? 时 取得最大值 5; 3 5 ST
| PQ | 5 2 综上所述当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

19. (1)解:已知数列 {an } , an ? 2 ?

? an ?1 ? ? an . ? ??
? 2an ?1 ? an ,得

① 充分性:若 ? ? ?2? ,则有 an ? 2 ?

?2? an ?1 ? ? an ??

[来源:学科网]

an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ,所以 {an } 为等差数列.
② 必要性:若 {an } 为非常数等差数列,可令 an ? kn ? b (k≠0). 代入

………………4 分

an ? 2 ?

? an ?1 ? ? an ? [k (n ? 1) ? b] ? ? (kn ? b) ,得 k (n ? 2) ? b ? . ? ?? ? ??
? ? ??
k ,即 ? ? 2? ? 0 .
………………8 分 ………………10 分

化简得 2k ?

因此,数列{an}为等差数列的充要条件是 α+2β=0. (2)由已知得 an ? 2 ? an ?1 ? 又因为 a2 ? a1 ?
?1 5 [ a n ?1 ? a n ] .

3 ?1 3 ?1 ? 0 ,可知数列 {an ?1 ? an } (n∈N*) 为等比数列,所以 an ?1 ? an ? ( a2 ? a1 )( ) n ?1 ? ? ( ) n ?1 2 5 2 5
a n ?1 ? a n ? 3

(n∈N*). 从而有 n≥2 时,

2

?(

?1 5

)

n ?1

, an ? an ?1 ?
1

3

2

?(

?1 5

)

n?2

. ………………12 分

于是由上述两式,得

| an ?1 ? an ?1 |?

6
5

?(

5

) n ? 2 ( n ? 2 ).

由指数函数的单调性可知,对于任意 n≥2,| an+1-an-1|= 6 所以,数列 {| an ?1 ? an ?1 |}(n ? N*, n ? 2) 中项均小于等于 . 5

6 1 n?2 6 1 2?2 6 ·( ) ≤ ·( ) = . 5 5 5 5 5

1 1 6 1 6 而对于任意的 n≥1 时,n+ ≥1+ > ,所以数列{n+ }(n∈N*)中项均大于 . 2 2 5 2 5 1 因此,数列 {| an ?1 ? an ?1 |}(n ? N*, n ? 2) 与数列{n+ }(n∈N*)中没有相同数值的项. 2 ………………16 分 20.解: (1) f ( x) ? 5x ? 5x
2

………………………………………………………………(6 分)
2

(2)由 g 2 ( x) ? 5g1 ( x) ? 5g1 ( x) ? 0 解得 g1 ( x) ? 0或g1 ( x) ? 1 即 5x ? 5x 2 ? 0或5x ? 5x 2 ? 1 解得 x ? 0或x ? 1或

5? 5 5? 5 ?x? …………………………………(12 分) 10 10

(1) 由 x f ( x) ? 0 ? x x ? 0或x ? 1 ?, 又(

?

? ?

5? 5 5? 5 , ) ? ?x x ? 0或x ? 1? ? ? , 10 10 5? 5 5? 5 2 , ) 时, g 2 ( x) ? 0 , g3 ( x) ? 5g 2 ( x) ? 5g 2 ( x) ? 0 , 10 10 5? 5 5? 5 , ) ,命题成立。………………(14 分) 10 10

当 x?(

∴对于 n ? 2,3 时, E ? (

以下用数学归纳法证明 E ? (

5? 5 5? 5 , ) 对 n ? N ,且 n ? 2 时,都有 g n ( x) ? 0 成立 10 10

假设 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时命题成立,即 g k ( x) ? 0 , 那么 g k ?1 ( x) ? f [ g k ( x)] ? 5g k ( x) ? 5g k ( x) ? 0 即 n ? k ? 1 时,命题也成立。 ∴存在满足条件的区间 E ? (
2

5? 5 5? 5 , )。 10 10


推荐相关:

高三【解析版】常州市2013届高三上学期期末考试数学试题

高三【解析版】常州市2013届高三上学期期末考试数学试题_数学_高中教育_教育专区...与第三条直线的夹角相等,故若两条平 行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一...


江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷

江苏省常州高级中学2013高考数学模拟试卷_数学_高中教育_教育专区。江苏省常州高级中学 2013高考数学模拟试卷命题:江苏省常州高级中学 一、填空题:本大题共 14...


常州市北郊高级中学2013年高考数学模拟试卷

常州市北郊高级中学 2013高考数学模拟试卷一.填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.设复数 z 满足 ( z ? i)(1 ? i) ? 1 ?...


常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题

(本小题满分 14 分) 第八届中国花博会将于 2013 年 9 月在常州举办,展览...2013 届高三教学期末调研测试 数学试题参考答案一、填空题:本大题共 14 小...


江苏常州市2013届高三上学期期末调研数学测试题

江苏常州市2013届高三上学期期末调研数学测试题_数学_高中教育_教育专区。常州市 2013 届高三教学期末调研测试 数学试题 2013.1 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ...


江苏省常州市2016届高三上学期第一次调研测试数学试题

江苏省常州市 2016 届高三上学期第一次调研测试数学试题试卷包含填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题).本卷满分 160 分, 考试...


江苏省常州二中2013届高三10月综合练习数学试题

江苏省南通市2013届四星... 9页 免费 江苏省无锡一中2013届高... 12页 免费...常州二中 2013 高三文科周末综合练习 2012-10-13 一、填空题:本大题共 14 ...


常州市2014届高三第一次模拟考试数学2

常州市2014届高三第一模拟考试数学2_数学_高中教育_教育专区。常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,…, x n 的方差...


江苏常州市2013届高三调研测试试卷(七)数学试题

江苏常州市2013届高三调研测试试卷(七)数学试题_数学_初中教育_教育专区。2013 届高三调研测试试卷(七) 数学 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2013.01 一、 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com