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浅析数学归纳法原理及应用举例


浅析数学归纳法原理及应用举例 陕西省延安市第一中学 王雪娟 (邮编:727400) 【摘 要】数学归纳法是中学数学中一种重要的证明方法,在不少问题的证明中,它有着其 他证明方法所不能替代的作用。本文一方面浅谈数学归纳法原理;另一方面浅析在理解原理的前 提下如何进行灵活应用。 【关键词】数学归纳法 递推 归纳假设 证明 归纳法是指由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法,它分为不完全归纳法和完全 归纳法。不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法,其结论不一定正确。完 全归纳法是通过研究事物的所有特殊情况得出结论的推理方法,其结论一定正确,但对于无穷多 个实例的情况,我们不可能做到一一验证。而数学归纳法它不仅克服了不完全归纳法结论不可靠 的不足,又克服了完全归纳法的繁杂不可行,充分体现了利用“有限”的手段解决“无限”的问 题,将无穷的归纳过程转化为有限的特殊演绎过程。在具体的教学实践中,学生往往只知其然不 知其所以然,只是机械套用两个步骤,而对其真正内涵并不理解。本文就结合教学实践浅谈数学 归纳法的来源、理论根据及具体应用。 一、 数学归纳法的来源 最初人们对于正整数只是处理有限个的问题,但正整数集是一个无限集,人们不可能写出所 有的正整数,无法对其作无限次的操作,因此人们只有通过某种方法沟通有限与无限,来研究涉 及无限集的问题,那就是数学归纳法。已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolycos 的 Arithmeticorum libriduo(1575 年) ,Maurolycos 利用递推关系巧妙地证明了“前 n 个奇数的和是 n ” 但他仅仅是用例子加以说明并未对方法作出清晰地表述。 最先明确而清晰地阐 述并使用了数学归纳法的是法国数学家帕斯卡,他在《论算数三角形》 (1645 年)中用数学归纳 法证明了“帕斯卡三角形”等命题,他最先清楚而明确的指出数学归纳法的两个步骤,即第一引 理:该命题对于第一个底成立,这是显然的;第二引理:如果该问题对任一底成立,它必定对其 下一个底也成立。由此知该命题必定对所有的底都成立。1686 年瑞士数学家伯努利在其著作《猜 度术》中提出并使用了现代形式的数学归纳法。现在使用的“数学归纳法”这一名称是由数学家 德摩根提出来的, 直到 1893 年意大利数学家皮亚诺才把数学归纳法作为一条公理即 “归纳公理” 。 二、 数学归纳法的理论根据 数学归纳法原理: (1)证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; (2) 假设当 n ? k (k ? n0 , k ? N? ) 时命题成立, 利用它证明当 n ? k ? 1 时 命题也成立; 由(1)和(2)可知命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。 学生的迷惑之处在于:为什么完成了(1)和(2)两个步骤后,就可断定对于从 n0 开始的正 整数都成立呢? 这是教学过程中的一个难点,为此教师一定要将原理讲清讲透。若将用数学归 纳法证明的一般命题设为: 已知 n ? n0 , n ? N? , 证明 p (n) 成立。 事实上如果满足下面两个条件: (1) (2)
2

p(n0 ) 成立(即当 n ? n0 时命题成立)
假设 p(k )(k ? n0 ) 成立(归纳假设) ,由此证明 p(k ? 1)(k ? N? ) 也成立;就可证得

命题成立。第二个步骤的作用是:证明了命题 p (n) 的成立对于正整数 n 具有传递性,即由
1

n ? k (k ? n0 , k ? N? ) 时命题 p(k ) 成立可推得 p(k ? 1) 成立。具体表现为:由 p(n0 ) 成立可推得
〃 〃 〃 〃 〃 〃这就体现了数学归纳法原理。但是 p(n0 +1) 成立;由 p(n0 +1) 成立可推得 p(n0 +2) 成立; 数学归纳法的理论根据又是什么呢?其理论根据源于皮亚诺提出的“自然数集合公理的归纳公 理” 即 “若一个由自然数组成的集合含有 1, 又当这个集合含有任一自然数 n 时, 它也一定含有 n 的后继数,则此集合含有全部自然数。 我们在讲清原理的基础上,还要让学生认识到数学归纳法的两个步骤缺一不可。若命题只证 到 n ? n0 成立而不做第二步证明,这就是不完全归纳不足以证明命题的正确性。若没有第一步只 做 第 二 步 也 是 不 正 确 的 。 如 等 式 : ?1 ? 1 , ? ? 3 ? 5 ?. . . n ?( 2 ? n2 1 )若 n?k 时

?1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2k ?1) ? k 2









n ? k ?1



?1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2k ?1) ? (2k ?1) ? k 2 ? 2k ?1 ? (k ?1)2 ,然而 n ? 1 时命题显然不成立。此
例说明数学归纳法的两个步骤是问题的两个方面,一是成立的基础,另一个是递推的依据,二者 缺一不可。故只有理解了理论根据,才能凸显这种证明方法具备理论的严密性和应用的广泛性。 三、 数学归纳法的应用 用数学归纳法原理证明要完成两个步骤一个结论。其关键在于第二步:充分利用归纳假设做 好从 n ? k 到 n ? k ? 1 的递推转化,即“双凑”凑假设和凑结论。下面举例说明数学归纳法证明 的思路和方法。 1. 恒等式的证明 例 1:证明: 1 ? 2 ? 3 ? ...n ?
2 2 2 2

n(n ? 1)(2n ? 1) (n ? N ? ) 6

解析:当 n ? 1 时,结论显然成立,设 s n 表示原式左边, f ( n) 表示原式右边。则从 n ? k 到

n ? k ? 1 递推转化的途径是 sk ?1 ? sk ? (k ? 1)2 ? f (k ) ? (k ? 1)2 ,其中 sk ? f (k ) 是归纳假设,
因此需要通过恒等变形证明 f (k ) ? (k ? 1) ? f (k ? 1) 。
2

评注: 在恒等式的证明中关键是第二步, 事实上, “归纳假设” 已经成了已知条件, “ n ? k ?1 时结论正确”则是求证的目标,可借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形凑出假设, 然后利用归纳假设进行适当的变形凑出结论。 2. 不等式的证明

1 1 1 ? ? ... ? (n ? 1, n ? N ? ) 2 3 n n 求证: s2n ? 1 ? ( n ? 2, n ? N ? ) 2 1 1 1 解析:先弄清 s2n 的含义 s2n ? 1 ? ? ? ... ? n ,当 n ? 2 时结论显然成立。由分母变化规 2 3 2
例 2:已知: sn ? 1 ? 律,当 n ? k 时,原式左边不是 k 项,而是 2 项。当 n ? k ? 1 时,原式左边不是 k ? 1 项,而是
k

有 2

k ?1

项 。 用 f ( n) 表 示 原 式 右 边 , 则 从 n ? k 到 n ? k ? 1 转 化 的 途 径 是
2

1 1 1 ? k ? ... ? k ?1 , s2k ? f ( k ) 是 2 ?1 2 ? 2 2 1 k 归纳假设。要使 f ( k ) 与 f (k ? 1) 的结构形式相同,先将 s(k ) 中的 2 项都换成 k ?1 ,再把 2 1 f (k ) ? s(k ) 放缩为 f ( k ) ? ,从而实现递推转化。 2 1 此题学生容易犯两个错误:一是由 n ? k 到 n ? k ? 1 项数变化弄错,认为 k 的后一项为 2 1 1 1 1 1 ? k ? ... ? k ?1 共有多少项,实际上是 2k +1 到 2 k +1 的自 ,实际上是 k ;二是 k k ?1 2 ?1 2 ?1 2 ? 2 2 2
其中 s (k ) ? s2k?1 ? s2k ? s(k ) ? f (k ) ? s(k ) ? f (k ?1) ,
k

然数递增,项数为 2 。另外由 n ? k 推证 n ? k ? 1 的过程中,要有目标意识。如本题得到
k

k 1 1 1 k ?1 1+ ? k ? k ? ... ? k ?1 后 , 注 意 到 目 标 为 1 ? , 故 只 需 证 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? k ? ... ? k ?1 ? 即可。故考虑用放缩法将 k 缩小为 k ?1 ,从而得出目标。 k 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 ?m 2
评注:用数学归纳法证明不等式时:在第二步的证明中,可利用证明不等式的所有方法进行 推导,其中使用放缩法时要朝着结论的方向进行,可通过变化分子、分母、裂项相消等方法达到 证明的目的。 3. 整除类问题的证明 例 3:证明: f (n) ? (2n ? 7)3n ? 9 能被 36 整除。 解 析 : 当 n ? 1 时 , 命 题 显 然 成 立 , 假 设 当 n ? k (k ? 1, k ? N? ) 时 命 题 成 立 , 那 么

f (k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 7]3k ?1 ? 9 ? [(2k ? 7)3k ? 9] ? (4k ? 20)3k ? [(2k ? 7)3k ? 9] ? 36(k ? 5)3k ?2 ? f (k ) ? 36(k ? 5)3k ?2

。第一项由归纳假设能被 36

整除,第二项显然能被 36 整除,这就说明当 n ? k ? 1 时命题也成立。解题的关键是: “凑项” , 可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情形,从而利用归纳假设使问题得证。 评注: 一些整除类问题都可以变换为 f (k ? 1) ? A(k ) f (k ) ? B(k ) 的形式, 其中 A(k ) f (k ) 是 归纳假设部分,能被 P 整除,若能 B ( k ) 被 P 整除,从而推出 f (k ? 1) 能被 P 整除。 4. 几何类问题的证明 例 4:平面上有 n 个圆,每两圆交于两点,每三个圆不过同一点,求证:这 n 个圆分平面为

n2 ? n ? 2 个部分。
解析:当 n ? 1 时,命题显然成立。用 f ( n) 表示 n ? n ? 2 ,从 n ? k 到 n ? k ? 1 ,第 k ? 1 个
2

圆与前 k 个圆有 2 k 个交点,这 2 k 个交点把第 k ? 1 个圆分成 2 k 段,每一段把原来的所在平面一 2k 分 为 二 , 故 共 增 加 了 个 平 面 块 , 故

f (k ? 1) ? f (k ) ? 2k ? k 2 ? k ? 2 ? 2k ? (k ? 1)2 ? (k ? 1) ? 2 ,从而当 n ? k ? 1 时命题也成立。
评注:关于这类几何问题,关键在于分析 k 与 k ? 1 的差异, k 到 k ? 1 的变化情况,然后借 助于图形的直观性,建立 k 与 k ? 1 的递推关系。
3

四、 结束语 总之数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一。这不仅因为其中大量问题都 与正整数有关,更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程,它给我们提供了思考问题的 原则:从简单入手,在看透简单的基础上再复杂一步,找出一般规律,这正是数学归纳法的精髓, 也正是它被广泛应用的根本原因之所在。 参考文献: 1.沈秋华:浅谈数学归纳法及其应用【J】中学数学月刊,2013(6) 2.普通高中课程标准实验教科书【M】北京师范大学出版社,2012 3.段志贵:归纳公理与数学归纳法探究【J】 《上海中学数学》2007(6) 4.胡重光:数学归纳法与皮亚诺公理【J】 《数学理论与应用》2005(4) 5.刘艳:数学归纳法的原理及应用【J】 《山西经济管理干部学院学报》2011(9)

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