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极坐标参数方程讲义 2016


极坐标参数方程讲义 2016-6 一、基本知识

姓名

班级

1、极坐标方程与直角坐标方程的互化:极坐标 P ?? ,? ?,

? 为终边与极轴的逆时针交角

s ?x ? ? c o ? ?? ? 0,? ? ?0,2? ?? ? ? ?y ? ? s i n
2

、常见的参数方程的标准形式 (1)圆: ?

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?tan? ? ?x ? 0? x ?

? x ? x0 ? r cos? ??为参数,? ? ?0,2? ?? ? y ? y 0 ? r sin ?
? x ? a cos? ??为参数,? ? ?0,2? ??,a,b 为半轴长 ? y ? b sin ?

(2)椭圆: ?

(3)直线: ?

? x ? x0 ? t cos? ?t为参数? ? y ? y 0 ? t sin ?

其中 M0(x0,y0)是直线上的一个定点,M(x,y)表示直线上的动点,

? M 0 M ?| t | (注意方向) ,t>o,M 在 M0 上方,t<o,M 在 M0 下方,t=0,两点重合

3、t 的意义: (1)直线与曲线的交点分别为 A,B,则 AB ? t A ? t B (2)直线与曲线的交点分别为 A,B,中点为 M,则 t M ?

t A ? tB 2

(3)直线与曲线的交点分别为 A,B,并过定点 P,参数方程以 P 进行书写,则

PA ? t A , PB ? t B

二、常见题型一--------利用 t 的意义解决问题 ※基本方法为把直线 l 的参数方程代入与 l 相交的普通方程(包括直线,圆,椭圆)中 ※产生关于的 t 的一元二次方程 ※写出关于 t 的韦达定理,并判断 tA,tB 的符号 ※代入关于的 t 的式子中求值

1

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 1、 (2010 福建)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?t为参数? 。在 ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求|PA|+|PB|。

2、 (2015 昆明摸底)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0,以极点为平面直角坐

标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 设直线 l 的参数方程是

(t 是参数) . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线 l 的参数方程化为普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 E,求|EA|+|EB|.

2

3、 (2015 鞍山一模)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2,直线 l 的倾斜角为 45°且经过点 P(﹣1,0) (Ⅰ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程 2 2 (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于两点 A,B,求|PA| +|PB| 的值.

2

2

4、 (2015 唐山摸底)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已 知曲线 C :

? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点 P( - 2 , - 4) 的直线 l 的参 数方程 为

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 (t 为参数),l 与 C 分别交于 M,N. 2 t 2

(1)写出 C 的平面直 角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

3

5、 (2015 衡水一模)过点 P( N.

)作倾斜角为 α 的直线与曲线 x +2y =1 交于点 M, (2)求|PM|?|PN|的最小值及相应的 α 值.

2

2

(1)写出直线的一个参数方程;

6、 (2015 唐山摸底解析几何题)椭圆 C:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,P(m,0) 2 5 a b 4 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m=0 时, 5
(2)求证: PA ? PB 为定值.
2 2

为 C 的长轴上的一个动点,过 P 点斜率为

??? ? ??? ? 41 PA ? PB ? ? 2

(1)求 C 的方程;

4

7、 (2015 沈阳一模解析几何题)如图所示,椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,其中 e= ,焦

距为 2,过点 M(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A、B,点 B 在 AM 之间.又点 A,B 的 中点横坐标为 ,且 =λ .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求实数 λ 的值.

8、已知直线 l 过点 P(3,2) ,直线 l 的倾斜角为 ? ,且与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A, B 两点 (1)求直线 l 的参数方程 (2)求 PA ? PB 取最小值时直线 l 的方程

5

三、常见题型二--------利用三角函数求最值的问题 ※基本方法为写出曲线的参数方程,并以参数方程设出曲线上的动点坐标 ※代入关于的动点的式子中,从而转化为三角函数的求最值问题,进行合一变形,注意 角的范围 1、 (2016 长春一模)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

( ? 为参数) ,直线 l 的极坐

标方程为 ? sin?? ?

? ?

??

??2 2. 4?

⑴ 写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; ⑵ 设点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值.

2、 (2015 贵阳一模)在平面直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为 极轴,建立极坐标系,已知直线 l 的参数方程为 是 ρ=1. (1)求直线 l 与圆 C 的公共点个数; (2)在平面直角坐标系中,圆 C 经过伸缩变换
2 2

(t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程

得到曲线 C′,设 M(x,y)为曲

线 C′上一点,求 4x +xy+y 的最大值,并求相应点 M 的坐标.

6

3、 (2015 吕梁一模) 在极坐标系中, 曲线 C 的方程为 ρ =

2

, 点R (2

, ) . (Ⅰ)

以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的极坐标方程化为 直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标; (Ⅱ)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴,求矩 形 PQRS 周长的最小值,及此时 P 点的直角坐标.

4、在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐 标方程为 ? ? 4sin? ,? ? ?0,

? ?? ? 2? ?

(1)求曲线 C 的参数方程;

(2)已知直线 l 的方程为 y ? ?

3 x ? 6 ,点 M 在曲线 C 上,过点 M 且斜率为-1 的直线 3

与 l 交于点 Q,当|MQ|取得最小值时,求 M 的坐标

7

5、在直角坐标系 xOy 中,曲线 ? B 对应的参数分别为 ? , ? ?

? x ? a cos? ?a ? b ? 0,?为参数, 0 ? ? ? 2? ? 上的两点 A, ? y ? b sin ?
(1)求 AB 中点 M 的轨迹的普通方程

?
2

(2)求原点 O 到直线 AB 的距离的最大值和最小值。

6、 (2014 全国一)已知曲线 C1 :

? x ? 2 ? t, x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t ,

(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (II)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 ? 的直线,交 l 于点 A , PA 的最大值与最小 值.

8

7、 (2016 江西联考) 已知在直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? (? 为 ? y ? ?4 ? 2 sin ?

参数) (Ⅰ) 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ? ABM 面积的最大值。

四、常见题型三--------利用极坐标中的 ? 及直角坐标方程解决 ※基本见于只是关于直线和圆的交点问题或弦长问题 ※直线过原点并其中的线段的长度关系 1、 (2015 全国一)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,
2 2

以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 4

的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积.

9

2、 (2015 太原一模)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为

(其中 θ

为参数) ,点 M 是曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 (Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程;

=2



(Ⅱ)以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 θ= C2 分别交于 A,B 两点,求|AB|.

,与曲线 C1,

3、 (2014 辽宁)将圆 x 2 ? y 2 ? 1 上每一个点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍, 得曲线 C (1)写出 C 的参数方程 (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程

10

4、 (2011 全国一)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 数)M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 线? ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参 ? y ? 2 ? 2sin ?

uu u v

uuuv

(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射

? 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . 3

5、 (2015 邯郸一模) 在直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,

圆 C 的参数方程为

(θ 是参数) ,直线 l 的极坐标方程为

(ρ∈R)

(Ⅰ)求 C 的普通方程与极坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求|AB|的值.

?x=4+5cost 6、 (2013 全国一)已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数) ,以坐标原点为极点, ?y=5+5sint

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)

11

7、 (2015 全国二)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 ? y ? t sin ? ,

0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,曲线

C3 : ? ? 2 3 cos? .

(Ⅰ).求 C2 与 C1 交点的直角坐标;

(Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值.

8、 (2010 全国一)已知直线 C1 : ? 参数), (Ⅰ)当 ? =

? x ? 1 ? t cos ? . ? x ? cos ? , (t 为参数) ,圆 C2 : ? (? 为 ? y ? t sin ? , ? y ? sin ? ,

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(Ⅱ)过坐标原 点 O 作 C1 的垂线 ,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨 迹的参数方程,并指出它是 什么曲线 ;

12


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