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函数单调性与最值(2)


【高考要求】 1.考查求函数单调性和最值的基本方法.2.利用函数的单调性求单调区间. 3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围. 【复习指导】本讲复习首先回扣课本,从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值 的概念,复习中重点掌握:(1)函数单调性的判断及其应用;(2)求函数最值的各种基本方法;对 常见题型的解法要熟练掌握. 基础梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 两种形式 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 ① 结论

②存在 x0∈I,使得 f(x0) =M M 为最大值

②存在 x0∈I,使得 f(x0)= M. M 为最小值

f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2

②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减 函数. 函数单调性的判断 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. 当 x1<x2 时,都有 f(x1)> f(x2),那么就说函数 f (x )在 区间 D 上是减函数 A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) (3)导数法:利用导数研究函数的单调性.(4)图象法:利用图象研究函数的单调性. 双基自测 1.设 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为( B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2) ). )

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意 两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数

图象 描述 自左向右图象是上升的 (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区 间 D 叫做 f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 条件 . 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; 自左向右图象是下降的

2.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( A [2 ? 2 ,2 ? 2 ] B. (2 ? 2 ,2 ? 2 ) C.[1,3] D.(1,3) ).

3.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f ( A.(-1,1) B.(0,1)

1 ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是( x

C.(-1,0)∪(0,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

4.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______. 5.若 x>0,则 x+

2 的最小值为________. x
考点一 函数的单调性的判断

【例 1】?试讨论函数 f(x)=

x 的单调性. x ?1
2

【训练 3】已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 ( f <0.

x1 =f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x) ) x2

(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值.

ax 【训练 1】 讨论函数 f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x ?1

【举一反三】已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)+2=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时, f(x)>2, 且 f(1)=3. (1) 求 f(0)的值; (2) 证明函数 f(x)在 R 上为单调递增函数; (3) 求不等式 f(a2-2a-2)<3 的解.

考点二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)

x2 ? a 【例 2】?已知函数 f(x)= (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围. x

规范解答——如何解不等式恒成立问题 【典例】已知函数 f(x)=x -2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.
2

【举一反三】(1)当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4>0 恒成立,则 m 的取值范围是________. 考点三 利用函数的单调性求最值 【例 3】?已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) 2 =- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数;(2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

2

(2)若函数 y ? lg[ x ? (k ? 3) x ? 4] 的值域恒大于零,则实数 k 的范围是_________
2


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