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江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题


南通市 2015 届高三上学期期末考试数学试题



学I

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需要写出解答过程,请把答案 直接填写在答题卡的相应位置上 . ......... 1. 已知集合 A ? {?2, ?1}, B ? {?1, 2,3} ,则 A

B?



. .

2. 已知复数 z 满足 ? 3 ? 4i ? z ? 1(i 为虚数单位,则 z 的模为

3. 某中学共有学生 2800 人,其中高一年级 970 人,高二年级 930 人,高三年级 900 人, 现采用分层抽样 的方法,抽取 280 人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为 . 4. 函数 f ( x) ? lg(? x2 ? 2 x ? 3) 的定义域为 5. 有图是一个算法流程图,则输出的 x 的值是 . .

6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子一种各面上分别标有 1, 2,3, 4,5,6 个 点的正方体玩具,观察向上的点数,则两个点数之积不小于 4 的概 率为 . 7. 底面边长为 2 ,高为的正四棱锥的侧面积为 . 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,以直线 y ? ?2 x 为渐近线,且经过抛物 线 y ? 4 x 焦点的双曲线的方程是
2

9. 在















xOy









线

m ( x ? R, m ? ?2) x ? 1 处的切线为直线.若直线在 x 两坐标轴上的截距之和为 12 ,则 m 的值为 . y ? 2x ?
10. 已 知 函 数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? . 若 y ? f ( x ? ? )(0 ? ? ? 2 ) 是 偶 函 数 , 则 6?

??

.

11. 在等差数列 {an } 中,已知首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 . 若 a1 ? a2 ? 60, a2 ? a3 ? 100 ,则

5a1 ? a5 的最大值为
x

.

12. 已知函数 y ? a ? b(b ? 0) 的图像经过点 P(1,3) ,如下图所示,则 为 .

4 1 ? 的最小值 a ?1 b

13. 如 上 图 , 圆 O 内 接 ? ABC 中 , M 是 BC 的 中 点 , AC ? 3 . 若 AO ? AM ? 4 , 则

AB ?
14. 已 知 函 数

.

f ( x)









?1, ???













?1? | 2 x ? 3 |,1 ? x ? 2 ? f ( x) ? ? 1 1 , y ? 2 xf ( x) ? 3 在 区 间 f ( x),    x ? 2 ? ?2 2
为 .

2015? 上 的 零 点 个 数 ?1,

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出必要 .... 的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 b cos C ? c cos B ? 2a cos A.

?1? 求角 A 的大小;

? 2 ? 若 AB ? AC ?

3, ,求? ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC, CC1 ? 4, M 是棱 CC1 上的一点.

?1? 求证: BC ? AM ;
? 2 ? 若 N 是 AB 的中点,且 CN ∥平面 AB1M .

17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

2 顶点 B 的坐标为 ? 0, b ? ,且? BF 1F 2 是边长为 的等边三角形.

?1? 求椭圆的方程;
记? ABF2 , ? BCF2 的面积分别为 S1 , S2 . ? 2 ? 过右焦点 F2 的直线与椭圆交于 A, C 两点, 若 S1 ? 2S2 ,求直线的斜率.

18. (本小题满分 16 分) 在长为 20 m,宽为 16 m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台圆心为点 C ) ,展厅入口位于 长方形的长边的中间,在展厅一角 B 点处安装监控摄像头,使点 B 与圆 C 在同一水平面上, 且展台与入口都在摄像头水平监控范围内如图阴影所示.

?1? 若圆盘半径为 2

5 m,求监控摄像头最小水平视角的正切值;
,求圆盘半径的最大值.

? 2 ? 过监控摄像头最大水平视角为 60

注:水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角.

19. (本小题满分 16 分) 若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ln x ?1(a ? R).

?1? 当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值;
? 2 ? 若 f ( x) 在区间 (e, e ) 上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围.
1

20. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若

1 an ?1 ? ? 2 ? n ? N * ? ,则称 {an } 是“紧密数列”. 2 an

?1? 若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 4 ? n 2 ? 3n ?? n ? N * ? ,证明: {an } 是“紧密数列”;
? 2 ? 设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列.若数列 {an } 与 {Sn } 都是“紧密数列”,求. q 的取
值范围.

1

数学Ⅱ 附加题部分
注意事项
1.本试卷共 2 页,均为解答题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) .本卷满分为 40 分,考试时 间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置 作答一律无效. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作 ....... ........... 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,CD 是圆 O 的弦,分别延长 AB, CD 相交于点 M,N 为圆 O 上一点,AN=AC,证明:∠MDN=2∠OCA

B.选修 4-2:矩阵与变换

(本小题满分 10 分)已知矩阵

的逆矩阵

,求实数 m,n

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 xoy 中 , 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 为

,曲线与直线

相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长。

D.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)已知 a,b,c 均为正数,求证:

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解 ....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图, 在四棱锥 A-BCDE 中, 底面 BCDE 为平行四边形, 平面 ABE⊥ 平面 BCDE,AB=AE,DB=DE,∠BAE=∠BDE=90? 。 (1)求异面直线 AB 与 DE 所成角的大小; (2)求二面角 B-AE-C 的余弦值。

23、设 an 是满足下述条件的自然的个数:各数位上的数字之和为 n( n ? N * ) ,且每数位 上的数字只能是 1 或 2。

(1)求 (2)求证:

的值; 是 5 的倍数。


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