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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查22 正弦定理和余弦定理


开卷速查(二十二)

正弦定理和余弦定理

A 级 基础巩固练 1 1.在△ABC 中,a=3,b=5,sinA=3,则 sinB 等于( 1 A.5 5 B.9 5 C. 3 D.1 )

a b b 5 1 5 解析:根据正弦定理,sinA=sinB,则 sinB=asinA=3×3=9,故 选 B. 答案:B 2.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a =1,b= 3,则 c=( A.2 3 C. 2 ) B.2 D.1

a b 1 3 解析:由正弦定理sinA=sinB得:sinA=sinB, 1 3 3 又∵B=2A,∴sinA=sin2A=2sinAcosA, 3 ∴cosA= 2 ,∴A=30° . ∴B=60° ,C=90° ,∴c= 答案:B 3. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 asinBcosC 1 +csinBcosA=2b,且 a>b,则 B=( π π 2π 5π A.6 B.3 C. 3 D. 6 ) 12+? 3?2=2.

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1 解析:根据正弦定理:asinBcosC+csinBcosA=2b 等价于 sinAcosC 1 1 +sinCcosA=2,即 sin(A+C)=2. 5π π 又 a>b,∴A+C= 6 ,∴B=6.故选 A 项. 答案:A π 4. 在△ABC 中, ∠ABC=4, AB= 2, BC=3, 则 sin∠BAC=( 10 10 3 10 5 A. 10 B. 5 C. 10 D. 5 解析:在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos∠ 2 AC ABC=2+9-2× 2×3× 2 =5,即得 AC= 5.由正弦定理 = sin∠ABC 5 3 3 10 ,即 = ,所以 sin∠BAC= 10 . 2 sin∠BAC sin∠BAC 2 答案:C 1 5.[2014· 课标全国Ⅱ]钝角三角形 ABC 的面积是2,AB=1,BC= 2,则 AC=( A.5 C.2 ) B. 5 D.5 BC )

1 1 解析:由题意可得2AB· BC· sinB=2, 又 AB=1,BC= 2, 2 所以 sinB= 2 ,所以 B=45° 或 B=135° .

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当 B=45° 时,由余弦定理可得 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cosB=1,

此时 AC=AB=1,BC= 2,易得 A=90° , 与“钝角三角形”条件矛盾,舍去.所以 B=135° . 由余弦定理可得 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cosB= 5.

答案:B 6.[2014· 江西]在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, π c.若 c2=(a-b)2+6,C=3,则△ABC 的面积是( A.3 3 3 C. 2 9 3 B. 2 D.3 3 )

解析: 由 c2=(a-b)2+6 可得 a2+b2-c2=2ab-6 ①.由余弦定理 π 及 C=3可得 a2+b2-c2=ab ②.所以由①②得 2ab-6=ab, 即 ab=6.

1 π 1 3 3 3 所以 S△ABC=2absin3=2×6× 2 = 2 . 答案:C 7.[2014· 福建]在△ABC 中,A=60° ,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于__________. 解析: 方法一 AC BC 4 在△ABC 中, 根据正弦定理, 得sinB=sinA, 所以sinB

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2 3 =sin60° ,解得 sinB=1,因为 B∈(0° ,120° ),所以 B=90° ,所以 C= 1 30° ,所以△ABC 的面积 S△ABC=2· AC· BC· sinC=2 3. 方法二 AC BC 4 在△ABC 中,根据正弦定理,得sinB=sinA,所以sinB=

2 3 ,解得 sinB=1,因为 B∈(0° ,120° ),所以 B=90° ,所以 AB= sin60° 1 42-?2 3?2=2,所以△ABC 的面积 S△ABC=2· AB· BC=2 3. 答案:2 3 π →· → =tanA, 8. [2014· 山东]在△ABC 中, 已知AB AC 当 A=6时, △ABC 的面积为__________. →· → =|AB → |· → |cosA,当 A 解析:根据平面向量数量积的概念得AB AC |AC π π → |· → |=2,故△ABC 的面积为1|AB → |· → |· =6时,根据已知可得|AB |AC | AC sin 3 2 6= 1 6. 1 答案:6 π 9.在△ABC 中,若 BC=1,A=3,sinB=2sinC,则 AB 的长度为 __________. BC AB 1 AB 2 解析:∵sinA=sinC,∴ π=sinC,∴AB= sinC. 3 sin3 又∵sinB=2sinC,∴sin(A+C)=2sinC.

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?π ? 3 ∴sin?3+C?=2sinC,∴tanC= 3 . ? ?

π 1 2 1 3 ∴C=6,∴sinC=2,∴AB= ×2= 3 . 3 3 答案: 3

π 10.[2014· 北京]如图,在△ABC 中,∠B=3,AB=8,点 D 在 BC 1 边上,且 CD=2,cos∠ADC=7. (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 1 4 3 解析:(1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC=7,所以 sin∠ADC= 7 . 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB 4 3 1 1 3 = 7 ×2-7× 2 3 3 = 14 . (2)在△ABD 中,由正弦定理得
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3 3 AB· sin∠BAD 8× 14 BD= = =3. 4 3 sin∠ADB 7 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB 1 =82+52-2×8×5×2 =49. 所以 AC=7. B级 能力提升练

11.[2014· 重庆]已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin2A+sin(A-B 1 +C)=sin(C-A-B)+2,面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A, B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( A.bc(b+c)>8 C.6≤abc≤12 )

B.ab(a+b)>16 2 D.12≤abc≤24

解析:因为 A+B+C=π,由 sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B) 1 1 +2得 sin2A+sin2B+sin2C=2,即 sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)- 1 (A-B)]+sin2C=2,整理得 2sinCcos(A-B)+2sinCcosC=2sinC[cos(A 1 1 1 -B)-cos(A+B)]=2,整理得 4sinAsinBsinC=2,即 sinAsinBsinC=8. 1 1 1 1 1 又 S=2absinC=2bcsinA=2casinB,因此 S3=8a2b2c2sinAsinBsinC=64

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1 a2b2c2.由 1≤S≤2 得 1≤64a2b2c2≤23,即 8≤abc≤16 2,因此选项 C、 D 不一定成立.又 b+c>a>0,因此 bc(b+c)>bc· a≥8,即 bc(b+c)>8, 选项 A 一定成立. 又 a+b>c>0, 因此 ab(a+b)>ab· c≥8, 即 ab(a+b)>8, 显然不能得出 ab(a+b)>16 2,选项 B 不一定成立.综上所述,选 A. 答案:A 12.[2014· 课标全国Ⅰ]已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B, C 的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC 面积的 最大值为__________. 解析:由正弦定理得(2+b)(a-b)=(c-b)c,
2 2 2 b + c - a 即(a+b)(a-b)=(c-b)c, 即 b2+c2-a2=bc, 所以 cosA= 2bc

1 π =2,又 A∈(0,π),所以 A=3.又 b2+c2-a2=bc≥2bc-4,即 bc≤4, 1 1 3 故 S△ABC=2bcsinA≤2×4× 2 = 3,当且仅当 b=c=2 时,等号成立, 则△ABC 面积的最大值为 3. 答案: 3 13.[2014· 辽宁]在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, →· → =2,cosB=1,b=3.求: c 且 a>c.已知BA BC 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. 1 →· → =2 得 c· 解析:(1)由BA BC acosB=2,又 cosB=3,所以 ac=6.

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由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accosB. 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13.

?ac=6, 解? 2 2 ?a +c =13,

得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.

因 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sinB= 1-cos2B=
?1? 2 2 1-?3?2= 3 , ? ?

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sinC=bsinB=3× 3 = 9 . 因 a=b>c, 所以 C 为锐角, 因此 cosC= 7 =9. 1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=3×9+ 3 × 9 =27. 14.[2014· 湖南]如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2, AC= 7. 1-sin2C=
?4 2?2 ? 1-? ? 9 ?

(1)求 cos∠CAD 的值;
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7 21 (2)若 cos∠BAD=- 14 ,sin∠CBA= 6 ,求 BC 的长. 解析:(1)如题图,在△ADC 中,由余弦定理,得 AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= . 2AC· AD 7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = 7 . 2 7 (2)如题图,设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= 7 ,cos∠BAD=- 14 , 所以 sin∠CAD= =
?2 7?2 ? 1-? ? 7 ?

1-cos2∠CAD

21 = 7 , sin∠BAD= = 1-?-
? ?

1-cos2∠BAD 7?2 ? 14 ?

3 21 = 14 . 于是 sinα=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 7? = 14 × 7 -?- ?× 7 ? 14 ?

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3 =2. BC 在△ABC 中,由正弦定理,sinα= 3 7× 2 AC· sinα 故 BC= = =3. 21 sin∠CBA 6 . sin∠CBA AC

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