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2011高三数学单元测试题---函数与导数


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2011 高三数学单元测试题---函数与导数 高三数学单元测试题 函数与导数
(考试时间:90 分钟 考试时间: 总分: 总分:100 分)

班级

姓名 选择题( 第一部分 选择题(共 40 分)

分数

选择题: 小题, 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.已知全集 U = Z , A = {1 0,2} , B = x x = x ,则 A ∩ CU B 为: ,1,
2

2.函数 f (x ) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ′(x ) 在 2. 所示,则函数 f (x ) 在开区间 (a, b) 内有极小值点: A.4 个 B.3 个 C.2 个 D. 1 个 3.

A. {1 2} ,

B. {1 0} ,

C. {0, 1}

D. {1, 2}

{

}

y

y = f ′(x)

(a, b) 内的图象 如图



π
2

0

(sin x + a cos x)dx =2,则实数 a 等于(
B、 1 C、-


a O

b x

3 D、 3 4.根据表格中的数据,可以断定函数 f ( x ) = e x x 2 的
A、-1 是: A. (—1, (1,2) D . (2, 3) 5 . 设 命 题

一个零点所在的区间 1 2 7.39 4 3 20.09 5 0) B. C. ( 0 , 1 )

x
ex x+2

—1 0.37 1

0 1 2

2.72 3

4 p : f ( x) = x 3 + 2 x 2 + mx + 1 在 (∞, ∞) 内单调递增,命题 q : m ≥ ,则命题 p 是命题 q 的: + 3
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2 + a 是奇函数,则使 f ( x) < 0 的 x 的取值范围是: 1 x A. (1, 0) B. (0, 1) C. (∞, 0) D. ( ∞, U (1, ∞) 0) + 2 7.设函数 f (x) = x +bx+c,(x≤0) , f (4) = f (0), f (2) = 2, 则函数 F ( x)= f ( x) x 的零点有: (x>0) 2,
6.设 f ( x ) = lg 个 C. 2 个 D. 3 个 8 . 函 数 f ( x) =

A. 0 个

B. 1

x, x∈P

x, x∈M f (M ) ={ y| y = f ( x), x∈M } ,给出下列四个判断: ①若 P∩M = ,则 f ( P)∩ f (M ) = ②若 P ∩ M ≠ ,则 f ( P)∩ f (M ) ≠ ③若 P ∪ M = R ,则 f ( P)∪ f (M ) = R ④若 P ∪ M ≠ R ,则 f ( P)∪ f (M ) ≠ R
(B) 2 个 2 3 4 (C) 3 个 5 6 (D) 4 个 7 8

, 其 中 P 、 M 为 实 数 集 R 的 两 个 非 空 子 集 , 又 规 定 f ( P) ={ y| y = f ( x), x∈P} ,

其中正确判断有: (A) 1 个 题号 答案 1

第二部分 非选择题 填空题: 小题, ,每小题 二、填空题:本大题共 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分. ,
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9.



2

1

| x 2 2 x |dx =_________
f (2 x) 的定义域是 x 1

10.若函数 y = f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) = 11.函数 f(x)= f ( x ) =

x 1 + 的最大值为 x +1 2

12.已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) = 0 ,

xf ′( x) f ( x) >0 x ( x2

> 0) ,则不等式 x

2

f ( x) > 0 的解集是

13.如图 2,由两条曲线 y = x ,4 y = x 及直线 y = 1
2 2

所围成的图形的面积为 14.已知函数

1 f ( x) = x3 + ax 2 2 x 在区间 3 [ 1,+∞ ) 上有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是

图2 。

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 3 15. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) = x + bx 2 + ax + d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M (1,f ( 1)) 处的切线方 程为 6 x y + 7 = 0 . (Ⅰ)求函数 y = f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y = f (x) 的单调区间.

16. (本题满分 10 分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时) 1 3 的函数解析式可以表示为: y = x 3 x + 8(0 < x ≤ 120). 128000 80 已知甲、乙两地相距 100 千米。 (I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
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(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

且 17. ( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分 10 分) 已知二次函数 y = g ( x ) 的导函数的图像与直线 y = 2 x 平行, y = g ( x ) 在 x = 1 处取得极小值 m 1( m ≠ 0) .设 f ( x ) =

g ( x) . x

(1)若曲线 y = f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值;
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(2) k ( k ∈ R ) 如何取值时,函数 y = f ( x ) kx 存在零点,并求出零点.

新安中学高三数学单元测试题---函数与导数答案 安中学高三数学单元测试题 函数与导数答案

15. 解: (Ⅰ)由 f (x ) 的图象经过 P(0,2) ,知 d=2,所以 f ( x) = x3 + bx 2 + cx + 2 .

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f ′( x) = 3 x 2 + 2bx + c 由 于 函 数 f ( x) = x3 + bx 2 + cx + 2 在 点 M ( 1, f ( 1)) 处 的 切 线 方 程 是 6 x y + 7 = 0 , ∴

6 f (1) + 7 = 0,即f (1) = 1, f ′(1) = 6.
3 2b + c = 6, 2b c = 3, 所以 即 解得b = c = 3 1 + b c + 2 = 1, b c = 0,
故所求函数的解析式是 f ( x) = x 3 x 3 x + 2 .
3 2

(Ⅱ) f ′( x) = 3 x 6 x 3.
2

令3 x 2 6 x 3 = 0,即x 2 2 x 1 = 0 .

解得 x1 = 1 2,x2 = 1 + 2 .当 x < 1 2,或x > 1 + 2时,f ′( x ) > 0 ; 当 1 2 < x < 1 + 2时,f ′( x) < 0 . 故 f ( x ) = x 3 3 x 2 3 x + 2在(∞, 2) 内是增函数,在 (1 2,+ 2) 内是减函数, 1 1 在 (1 +

2 ,+∞) 内是增函数.

17. 解: (1)依题可设 g ( x) = a ( x + 1) 2 + m 1 ( a ≠ 0 ),则 g ' ( x ) = 2a ( x + 1) = 2ax + 2a ; 又 g ′ ( x ) 的图像与直线 y = 2 x 平行

∴ 2a = 2

a =1 g ( x) = x+
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

∴ g ( x) = ( x + 1) 2 + m 1 = x 2 + 2 x + m , f ( x ) =

x m 2 2 2 2 2 设 P ( xo , yo ) ,则 | PQ | = x 0 + ( y 0 2) = x 0 + ( x 0 + ) x0
2 = 2 x0 +

m +2, x

m2 + 2 m ≥ 2 2 m 2 + 2 m = 2 2 | m | +2 m 2 x0
2

当且仅当 2 x 0 =

m2 时, | PQ | 2 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 2 x0

当 m > 0 时, ( 2 2 + 2) m = 当 m < 0 时, ( 2 2 + 2) m =

2 2

解得 m =

2 1

解得 m = 2 1

m + 2 = 0 ( x ≠ 0 ),得 (1 k ) x 2 + 2 x + m = 0 x m m 当 k = 1 时,方程 (*) 有一解 x = ,函数 y = f ( x ) kx 有一零点 x = ; 2 2 当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有二解 = 4 4m (1 k ) > 0 ,
(2)由 y = f ( x ) kx = (1 k ) x + 若 m > 0 , k > 1

( *)

1 , m

函数 y = f ( x ) kx 有两个零点 x = 若 m < 0 , k < 1

1 ± 1 m(1 k ) 2 ± 4 4m(1 k ) ,即 x = ; k 1 2(1 k )

1 , m

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1 ± 1 m(1 k ) 2 ± 4 4m(1 k ) ,即 x = ; k 1 2(1 k ) 1 当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有一解 = 4 4m (1 k ) = 0 , k = 1 , m 1 = m 函数 y = f ( x ) kx 有一零点 x = k 1 m 综上,当 k = 1 时, 函数 y = f ( x ) kx 有一零点 x = ; 2 1 1 当 k > 1 ( m > 0 ),或 k < 1 ( m < 0 )时, m m 1 ± 1 m(1 k ) 函数 y = f ( x ) kx 有两个零点 x = ; k 1 1 1 当 k = 1 时,函数 y = f ( x ) kx 有一零点 x = = m . m k 1
函数 y = f ( x ) kx 有两个零点 x =

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