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2015杭州市高三一模数学(理科)试卷精选(解析版)


2015 杭州市高三一模数学(理科)试题精选
1.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( A.24cm3 B.40cm3 C.36cm3 D.48cm3 )

【解答】由该几何体的三视图,知该几何体是具有公共边 CD 的两个等腰梯形 ABCD 和 A1B1CD 组成的几何体,体积的计算,利用分割法,过 D,C 作 DG⊥ A1

B1,CH⊥A1B1,DE⊥AB,CF⊥AB,则左右四棱锥的底面为矩形,长为 4,宽 为 2,高为 3,棱柱的底面三角形,底边为 4,高为 3,棱柱的高为 4,所以它 的体积 V=VD-A1AEG+VEDG-FCH+VC-BFHB1=

1 1 1 ?(2?4) ?3+ ( ?4?3) ?4+ ?(2 3 2 3

?4)?3=8+2+4+8=40(cm3). 故选:B 2.设 a,b∈R,则“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充 分也不必要条件 【解析】若 a=0,b=3,满足 a+b≥2 但 2a+2b=1+8=9,2a+b=8,则 2a+2b=2a+b 不成立, 若 2a+2b=2a+b,则 2a+b=2a+2b≥ 2 2 2 = 2 2
a b a?b

,即(2a+b)2≥4(2a+b),解得 2a+b≥4 或 2a+b≤0(舍去) ,

即 a+b≥2 成立,即“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的充分不必要条件, 故选:A 3.设函数 f(x)=e|lnx|(e 为自然对数的底数).若 x1≠x2 且 f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是( ) A. x2f(x1) >1 B. x2f(x1) =1 C. x2f(x1) <1 D.x2f(x1)<x1f(x2) 【分析】作出 f(x)的图象,对选项分 0<x1<1<x2,0<x2<1<x1,由于 f(x1)=f(x2),则有 x2x1=1,一一讨论 即可得到结论. 【解答】f(x)=e
|lnx|

?e ln x ? x, x ? 1 ? = ? ?ln x 1 ,作出 y=f(x)的图象, ? , 0<x<1 ?e x ?
1 >1,f(x2)=x2>1,则 x2f(x1) >1,则 A 可能成立; x1 1 >1,f(x1)= x1>1,则 x2f(x1)= x2x1=1,则 B 可能成立; x2

若 0<x1<1<x2,则 f(x1) =

若 0<x2<1<x1,则 f(x2)=

对于 D.若 0<x1<1<x2,则 x2f(x1) >1,x1f(x2)=1,则 D 不成立; 若 0<x2<1<x1,则 x2f(x1)=1,x1f(x2)>1.则 D 成立. 故有 C 一定不成立. 故选:C. 4.设 F 为双曲线 C:

x2 y2 过点 F 且斜率为-1 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, a 2 b2


线分别交于 A,B 两点,若 AB ? ?3 AF ,则双曲线 C 的离心率 e=(

A.

10 3

B.

5 2

C.

5

D.

34 3

【分析】设出过焦点的直线方程,与双曲线的渐近线方程联立把 A,B 表示出来,再由 AB ? ?3 AF ,求
1

出 a,b,c,然后求双曲线的离心率. 【解答】设 F(c,0),则过双曲线 渐近线的方程是: y ? ?

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作斜率为-1 的直线为:y=-(x-c),而 a 2 b2

b x, a

?y ? c ? x ?y ? c ? x ac bc ac bc ? ? ? 由? , ),由 ? , ), b 得:B( b 得:A( a?b a?b a?b a?b y?? x y? x ? ? a a ? ?

AB =(

2abc 2abc bc bc ,? 2 ), AF =( ,? ), 2 2 2 a ?b a ?b a?b a?b 2abc bc 5 34 =-3? ,即有 b= a,则 c= a 2 ? b2 = a, 2 2 a ?b a?b 3 3

由 AB ? ?3 AF ,则

则 e=

c 34 = .故选:D. a 3 2 ,则 k=() 5

5.为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆圆心) , AP ? K ( AB ? AC) (k?R).若 cos∠BAC= A.

5 14

B.

2 14

C.

5 7

D.

3 7

[解答]如图所示,取 BC 的中点 D,连接 PD,AD,则 PD⊥BC, AB ? AC ? 2 AD , ∵满足 AP ? K ( AB ? AC) (k?R) ,∴ AP ? 2K AD ,∴A,P,D 三点共线,∴AB=AC. ∴cos∠BAC=cos∠DPC=

DP DP 2 5 5 5 ? = ,∴AP= AD .∴2k= ,解得 k= . PC PA 5 7 7 14

故选:A. 6.函数 f(x)(x?R)是以 4 为周期的奇函数,当 x?(0,2)时,f(x)=ln(x2-x+b).若函数 f(x)在区间[-2,2]上有 5 个零 点,则实数 b 的取值范围是() A.-1≤b≤1 B.

5 1 ≤b≤ 4 4

C.-1<b<1 或 b=

5 4

D.

5 1 <b≤1 或 b= 4 4

【解析】由题意知,f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 0 是函数 f(x)的零点,因为 f(x)是定义在 R 上以 4 为周期的周期函数,所以 f(-2)=f(2),且 f(-2)=-f(2),则 f(-2)=f(2)=0,即±2 也是函数 f(x)的零点, 因为函数 f(x)在区间[-2,2]上的零点个数为 5,且当 x?(0,2)时,f(x)=ln(x2-x+b), 所以当 x?(0,2)时,x2-x+b>0 恒成立,且 x2-x+b=1 在(0,2)有一解,

?? ? 1 ? 4b ? 0 ? ? ? 1 ? 4b ? 0 5 1 ? ? 2 即? 1 2 1 或 ?0 ? 0 ? b ? 1 ? 0 ,解得 <b≤1 或 b= 4 4 ( ) ? ?b ?1 ? 2 ? ? 2 2 ?2 ? 2 ? b ? 1 ? 0
故选:D. 7.设函数 f(X)=x|x-2|,则当 x∈(0,2)时,函数 f(x)的最大值等于_____,若 x0 是函数 g(x)=f(f(x))-1 的所有零 点中的最大值,且 x0∈(k,k+1)(k∈z),则 k=____. 【解答】当 x∈(0,2)时,f(x)=x|x-2|=x(2-x)=-(x-1)2+1≤1; 作函数 f(x)=x|x-2|的图象如下, 解 x|x-2|=1 得,x=1 或 x=1+ 2 ;又∵x0 是函数 g(x)=f(f(x))-1 的所有零点中的最
2

大值,∴f(X0)=1+ 2 ; 且 f(2)=0<1+ 2 ,f(3)=3>1+ 2 ;故 k=2. 故答案为:1,2. 8.已知抛物线 C:y2=2px(p>0),过点 G(3p,0)的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点(点 B 在第四象限) ,O 为 坐标原点,且∠OBA=90°,则直线 l 的斜率 k=_____. 【解答】设直线 l:y=k(x-3p),直线 OB:y=-

1 3kp 3k 2 p x ,联立可得 B( 2 ,? 2 )(k>0), k k ?1 k ?1

代入 y2=2px 可得( ?

3kp 2 2 3k 2 p ) =2p ? ,∴k= . 2 2 k ?1 2 k ?1

故答案为:

2 . 2
d1 的取值范围是______. d2

9.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,其中 ABCD 是正方形,AA1>AB.设点 A 到直线 B1D 的距离和到平面 DCB1A1 的距离分别为 d1,d2,则

【分析】 设 AB=a, AA1=b(b>a), 利用长方体中的垂直关系和面积相等求出 d1, 连接 A1D、 过 A 作 AE⊥A1D, 利用长方体中的垂直关系、线面垂直的判定定理和定义,得到 d2=AE,利用面积相等求出 d2,化简

d1 后 d2

设 t=

d a2 ,求出 0<t<1,化简后利用基本不等式和函数的单调性求出 1 的范围. 2 d2 b

【解答】设 AB=a,AA1=b,由 AA1>AB 得 b>a,在 Rt△AB1D 中,由三角形面积相等得,点 A 到直线 B1D

AD ? AB1 a a 2 ? b 2 ? 的距离 d1= ,连接 A1D,过 A 作 AE⊥A1D,由 CD⊥平面 ADD1A1 得,CD⊥AE,又 B1 D 2a 2 ? b 2
AE⊥A1B, 则 AE⊥平面 DCB1A1, 所以 AE 为点 A 到平面 DCB1A1 的距离, 则 d2=AE=

AD ? AA1 ab ? , A1 D a2 ? b2

d1 a(a 2 ? b 2 ) a2 ? b2 所以 = = ,上式分子分母同除以 b2 得, 2 2 2 2 d 2 ab 2a ? b b 2a ? b

a2 ?1 2 d1 d a2 t ?1 b = ,设 t= 2 ,则 0<t<1,代入上式可得 1 = , b d2 d2 2t ? 1 a2 2 2 ?1 b
1 t 2 ? 2t ? 1 ? 设 y= = = 2 2t ? 1 2t ? 1
t ?1

1 1 1 (t ? ) 2 ? t ? ? 1 1 1 1 2 2 4 = 1 ? [t ? 1 ? ? 1] ≥ ( ? 1) =1, 1 1 2 2 2 2 4 t? 4(t ? ) 2 2

3

当且仅当 t+

1 = 2

1 1 4(t ? ) 2
=

时取等号,此时 t=0,因为 0<t<1,函数 y 在(0,1)上是增函数,

当 t=1 时,y=

2

2 3 2 3 d1 2 3 ,所以 1<y< , ∈(1, ). 3 3 3 d2 3
2 3 ). 3
3 =2cosA. 2

故答案为:(1,

10.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 cos2A+ (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围. 【解答】 (1)cos2A+ 即 cosA=

1 ? , (0<A<π ) ,则 A= ; 2 3

3 3 =2cosA.即 2cos2A-1+ =2cosA,即有 4cos2A-4cosA+1=0,(2cosA-1)2=0, 2 2

(2)由正弦定理可得 b=

a sin B sin B 2 a sin C 2 ? ? sin B ,c= ? sin C , sin A sin A 3 3 3 2

则 l=a+b+c=1+

2? ? 2 (sin B ? sin C ) ,由 A= ,B+C= , 3 3 3 2? 3 ? 3 -B)= sinB+ cosB= 3 sin(B+ ), 3 2 6 2 2? ? ? 5? 1 ? ,则 <B+ < , <sin(B+ )≤1,即有 2<l≤3. 3 6 2 6 6 6

则 sinB+sinC=sinB+sin( 即有 l=1+2sin(B+

?
6

),由于 0<B<

则? ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3]. 11.已知四边形 ABCD 是矩形,BC=kAB(k∈R),将△ABC 沿着对角线 AC 翻折,得到△AB1C,设顶点 B1 在平 面 ABCD 上的投影为 O. (1)若点 O 恰好落在边 AD 上, ①求证:AB1⊥平面 B1CD; ②若 B1O=1,AB>1.当 BC 取到最小值时,求 k 的值. (2)当 k= 3 时,若点 O 恰好落在△ACD 的内部(不包括边界),求二面角 B1-AC-D 的余弦值的取值范围.

解: (1)①证明:∵点 B1 在平面 ABCD 上的射影为 O,点 O 恰好落在边 AD 上,∴平面 AB1D⊥平面 ACD, 又 CD⊥AD, ∴CD⊥平面 AB1D,∴AB1⊥CD, 又∵AB1⊥CB1,∴AB1⊥平面 B1CD. ②作矩形 ABMN,使得 B1 在 MN 上,设 AB=x,BC=y,则 NB1= x 2 ? 1 ,
4

∵AB1⊥B1D,∴△ANB1∽△B1MD,∴B1D=

MD ? AB1 ? B1 N

x x2 ?1



∴y=B1C= x ?
2

x2 1 = x2 ?1 ? 2 ? 2 ≥2,当且仅当 x= 2 时取等号,y 有最小值,k= 2 ; 2 x ?1 x ?1

(2)作 BF⊥AC,交 AC 于 E,交 AD 于 F,当点 O 恰好落在△ACD 的内部(不包括边界) ,点 O 恰好在线 段 EF 上,又∵B1E⊥AC,EF⊥AC,∴∠B1EF 为二面角 B1-AC-D 的平面角,∴cos∠B1EF=

1 EO ∈(0, ), 3 B1 E

故二面角 B1-AC-D 的余弦值的取值范围为(0,

1 ). 3

12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+an=n(n?N*). (1)求数列{an}的通向公式; (2)求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 2 . 2a1 2 a2 2 a3 2 an
1 . 2 1 1 (an-1-1),a1-1=- . 2 2

[解答](1)当 n=1 时,a1+a1=1,解得 a1=

Sn+an=n,当 n≥2 时,Sn-1+an-1=n-1,可得 an+an-an-1=1,∴an-1= ∴数列{an-1}是等比数列,an-1=(2)证明:∵

1 1 n ?1 1 ? ( ) ,∴an=1- n . 2 2 2

1 1 1 ? n ? n ?1 , 2 an 2 ? 1 2
n

1 1 1 1 1 1 1 1 2 n ? 2(1 ? 1 ) ? 2 . ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 = ∴ 1 2a1 2 a2 2 a3 2 an 2 2 2 2n 1? 2 1?


1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 2 2a1 2 a2 2 a3 2 an

13.在直角坐标系 xoy 中,设点 A(-1,0),B(1,0),Q 为△ABC 的外心.已知 CG ? 2OG ? 0 ,OG∥AB. (1)求点 G 的轨迹 T 的方程; (2)设经过 F(0, 2 )的直线交轨迹 T 与 E, H, 直线 EH 与直线 l:y=

3 2 交于点 M,点 P 是直线 y= 2 上 2

异于点 F 的任意一点.若直线 PE, PH, PM 的斜率分别为 k1, k2, k3, 问是否存在实数 t, 使得 若存在,求 t 的值;若不存在,说明理由. 解: (1)设 C(x,y), CG ? 2OG ? 0 ,则 G( (2)当直线 EF 的斜率不存在时,t=2.

1 1 t + = , k1 k 2 k 3

x y y y2 , ),Q(0, ),根据|QA|=|QC|,可得 x2+ =1(y≠0). 3 3 3 3

5

当直线 EF 的斜率存在时,设斜率为 k,则直线 EH 的方程为 y=kx+ 2 ,点 M 的坐标为(

2 3 2 , ). 2k 2

把直线方程代入椭圆方程可得(k2+3)x2+ 2 2 kx-1=0,设 E(x1,y1),H(x2,y2),P(a, 2 )(a≠0). 则 x1+x2=

x ? a x1 ? a ?1 1 1 x2 ? a 1 1 ? 2 2k ,x1x2= 2 ,∴ = 1 = , = , = ? 2a . 2 k ?3 k1 y1 ? 2 k2 k3 k kx1 kx2 k ?3

又∵

x ? a x2 ? a 2 1 1 t + = ,∴ 1 + = ? 2 2a . k k1 k 2 k 3 kx1 kx2

故存在常数 t=2 满足条件.

? x( x ? a), ( x ? 0) ? 14.已知实数 a>0,函数 f ( x) ? ? 9 ? x( x ? a), ( x ? 0) ? ? 40
(1)若函数 f(x)在区间(-b,b)(b>0)上存在最小值,求 b 的取值范围; (2)对于函数 f(x),若存在区间[m,n](n>m),使{y|y=f(x),x∈[m,n]}=[m,n],求 a 的取值范围,并写 出满足条件的所有区间[m,n]. 【分析】 (1) 画出函数 f(x)的图象, 由图象可得, 函数 f(X)在区间(-b, b)(b>0)上存在最小值, 最小值为

a a ? ( 2 2

-a)=-

a2 a2 ,令 f(x)=(x<0),求出 x,即可得到 b 的范围; 4 4

(2)画出直线 y=x,求出交点,通过图象观察,当 x<0 时,递增,再由 x>0 的最小值,解不等式 a-

40 ≤ 9

-

a2 ,即可得到 a 的范围,进而区间[m,n]. 4

【解答】 (1)画出函数 f(x)的图象,由图象可得,函数 f(X)在区间(-b,b)(b>0)上存在最小值,则最小值为

a a 2a a2 9 a2 ? ( -a)=,令x( x ? a) ? ? ( x ? 0) ,解得 x=- , 2 2 3 4 40 4
即有

a 2a <b≤ ; 2 3 9 x( x ? a ) ? x ,可得 x=0, 40

(2)当区间[m,n]?(-∞,0),即为增区间,由或 a-

40 40 40 ,由 a<0,可得 0<a< . 9 9 9

40 40 20 8 a2 则区间[m,n]为[a,0],再由 x(x-a)=x,解得 x=0 或 a+1,由 a≤,解得≤a≤ . 9 9 3 3 4 8 40 .则区间[m,n]为[a,a+1]. 3 9 40 40 40 综上可得 a 的范围是 0<a< ,区间为[a,0],[a,a+1]. 9 9 9
但 a>0,则有 0<a≤

6


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