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解析几何和逻辑阶段性测试题2


椭圆简易逻辑测试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.下列语句中是命题的是( ) B.sin 0°=0 D.作△ABC∽△EFG ) A.周期函数的和是周期函数吗? C.求 x2-2x+1>0 的解集

答案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小

题 5 分,共 25 分.
11. 命题 p:?x∈R,x2-x+4>0 的否定为__________________________________ x2 12.若方程 +ay2=1 表示椭圆,则实数 a 满足的条件是_______________________ a 13.若直线 y=kx+1 与曲线 x= 1-4y2有两个不同的交点,则 k 的取值范围是________________ 14.若椭圆 b
2

x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,若∠ABF=90°,则椭圆的离

2. .命题“若 m=10,则 m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题是( A.原命题、否命题 B.原命题、逆命题 C.原命题、逆否命题 D.逆命题、否命题 3.有下列四个命题: (1)“若 x2+y2=0,则 xy=0”的否命题;(2)“若 x>y,则 x2>y2”的逆否命题; (3)“若 x≤3,则 x2-x-6>0”的否命题;(4)“对顶角相等”的逆命题 其中真命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

心率为________ 15.椭圆的两焦点为 F1(-4, 0)、 F2(4, 0), 点 P 在椭圆上, 若△PF1F2 的面积最大为 12, 则椭圆方程为____________
三、解答题:本大题共6小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本题满分 12 分) 设 p:不等式 x2-(a+1)x+1≤0 的解集是 ;q:函数 f(x)=(a+1)x 在定义域内是增函数.如 果 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,求 a 的取值范围.

?

4.命题甲:动点 P 到两定点 A,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P 点轨迹是椭圆.则命题甲是 命题乙的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件 5.若 a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.椭圆 mx2+ny2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是( ) x2 y2 17.(本题满分 12 分)如图所示,P 是椭圆 + =1 上的一点,F1、F2 为椭圆的左、 4 3 ) 右焦点,且∠PF1F2=120° ,求△PF1F2 的面积.

A.(0,± m-n) B.(± m-n,0) C.(0,± n-m) D.(± n-m,0) x2 y2 7.设集合 A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的个数是( m n A.6 个 B.8 个 C.12 个 D.16 个 )

x2 y2 8. 椭圆 + =1 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( 25 9 A.8,2 B.5,4 C.5,1 D.9,1

9.已知 P 为椭圆 C 上一点,F1,F2 为椭圆的焦点,且|F1F2|=2 3,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆 C 的标准方程为(
2 2 2

) x2 y2 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 或 + =1 9 12 48 45 45 48 ) y2 D.x2+ =1 4 x2 y2 18.(本题满分 12 分)椭圆 2+ 2=1(a>0,b>0)的右顶点是 A(a,0),其上存在一点 P,使∠APO=90°,求椭圆 a b 离心率的取值范围.

x y x y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 或 + =1 12 9 12 9 9 12 y2 B.x2+ =1 1 4

10. 已知圆 x2+y2=1,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线,垂足为 P′,则 PP′的中点 M 的轨迹方程是( A.4x2+y2=1 x2 C. +y2=1 4

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 21.(本题满分 14 分)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4 (1)求椭圆 C2 的方程; 19.(本题满分 12 分)椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点,C 是 AB 的中点,若|AB|=2 2, OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方程. 2 (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB =2 OA ,求直线 AB 的方程.

x2 2 20. (本题满分 13 分)已知椭圆 G: +y =1,过点(0,2)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率;(2)O 为坐标原点,求△OAB 的面积.

5-1 3 x2 y2 ) 14. 15. + =1 2 2 25 9 2 2 16.解:对于 p,因为不等式 x -(a+1)x+1≤0 的解集是?,所以 Δ=[-(a+1)] -4<0.解这个不等式得:-3<a<1. BCABA CADBA 11. ?x0∈R,x0 2-x0+4≤0 12. a>0 且 a≠1 13. (-∞,- 对于 q:f(x)=(a+1)x 在定义域内是增函数,则有 a+1>1,所以 a>0.又 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,

所以 p、q 必是一真一假.当 p 真 q 假时有-3<a≤0,当 p 假 q 真时有 a≥1. 综上所述,a 的取值范围是(-3,0]∪[1,+∞). 17.由已知 a=2,b= 3,所以 c= a2-b2= 4-3=1,|F1F2|=2c=2.

(2)设 l 的方程为 y=kx+2,即 kx-y+2=0,由 l 与圆 x2+y2=1 相切得

2 =1,解得 k=± 3.将 y=± 3x+2 1+k2

± 16 3 12 代入 x2+4y2-4=0 得 13x2± 16 3x+12=0.设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 x1+x2= , x1x2= , |AB|=2 ?x1-x2?2 13 13 ② =2 ?x1+x2?2-4x1x2=2 16 3 2 12 24 1 12 ? ? -4× = .又 O 到 AB 的距离 d=1.∴S△OAB= ×|AB|×1= . 13 13 13 2 13

在△PF1F2 中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos 120° , 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|, ①由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF2|=4-|PF1|.

6 1 1 6 3 3 3 3 ②代入①解得|PF1|= .∴S△PF1F2= |PF1|· |F1F2|· sin 120° = × ×2× = .即△PF1F2 的面积是 3. 5 2 2 5 2 5 5 a a 18.解:设 P(x,y),由∠APO=90°知,点 P 在以 OA 为直径的圆上,圆的方程是:(x- )2+y2=( )2,所以 y2= 2 2 ax-x2. x2 y2 ①又 P 点在椭圆上,故 2+ 2=1. a b ②

a2-4 y2 x2 3 3 21.解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2).其离心率为 ,故 = ,则 a=4,故椭圆 C2 的 a 4 2 a 2 y2 x2 方程为 + =1. 16 4 (2)法一:A、B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由 OB =2 OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.将 y=kx 代 x2 4 y2 x2 16 2 入 +y2=1 中, 得(1+4k2)x2=4, 所以 xA = 将 y=kx 代入 + =1 中, 得(4+k2)x2=16, 所以 x2 , 2, B= 4 16 4 1+4k 4+k2 16 16 2 又由 OB =2 OA 得 x2 = ,解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. B=4xA,即 4+k2 1+4k2 法二:A、B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB =2 OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 x2 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 16 16k2 2 2 所以 x2 , 2,由 OB =2 OA 得 xB= 2,yB = A= 1+4k 1+4k 1+4k2 将 y2 x2 2 2 xB,yB代入 + =1 16 4 4+k2 中,得 =1,即 4+k2=1+4k2,解得 k=± 1. 1+4k2

把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,即(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,∵x≠a,x≠0, ab2 ab2 2 ∴x= 2 <a,即 2b2<a2,由 b2=a2-c2,得 a2<2c2,所以 e> , 2,又 0<x<a,∴0< 2 2 a -b a -b2 2 2 又∵0<e<1,∴ <e<1.即椭圆离心率的取值范围是( ,1). 2 2
2 19.[解] 法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,ax2 1+by1=1,① 2 ax2 2+by2=1.②

y2-y1 ②-①,得 a(x1+x2)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而 =k =-1, x2-x1 AB y2+y1 2 =kOC= ,则 b= 2a.又∵|AB|= 2 x2+x1
2 2

1+k2|x2-x1|= 2|x2-x1|=2 2,

? ?ax +by =1, ∴|x2-x1|=2.又由? 得(a+b)x2-2bx+b-1=0, ?x+y=1, ?

故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.

∴x1+x2=

b-1 b-1 2b 2b 2 1 2 ,x1x2= .∴|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=( ) -4· =4.将 b= 2a 代入,得 a= ,b= . 3 3 a+b a+b a+b a+b

x2 2 ∴所求椭圆方程为 + y2=1. 3 3
?ax2+by2=1, ? 法二:由直线方程和椭圆方程联立,得? 得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2).则|AB| ? x + y = 1 , ?

= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]= 2

4b2-4?a+b??b-1? a+b-ab .∵|AB|=2 2,∴ =1.① 2 ?a+b? a+b

x1+x2 b a 2 a 2 1 2 设 C(x,y),则 x= = ,y=1-x= .∵OC 的斜率为 ,∴ = .代入①得 a= ,b= .∴椭圆方 2 2 b 2 3 3 a+b a+b x2 2 程为 + y2=1. 3 3 20.解:(1)由已知得 a=2,b=1,所以 c= a2-b2= 3.所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),离心率为 c 3 e= = . a 2


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