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2015高考数学(理)真题分类汇编:专题16+选修部分(Word版含解析)


专题十六 选修部分
π? ? 1.【2015 高考北京,理 11】在极坐标系中,点 ? 2 ? ? 到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 6 的距离 3? ?

?

?



. 【答案】1 【解析】先把点(2, )极坐标化为直角坐标(1, 3),再把直线的极坐标方程

>
?

3

? cos ? ? 3 sin ? ? 6 化为直角坐标方程 x ?

?

?

3y ? 6 ? 0 ,利用点到直线距离公式

d ?

1?3?6 1?3

? 1.

考点定位: 本题考点为极坐标方程与直角坐标方程的互化及求点到直线距离, 要求学生 熟练使用极坐标与直角坐标互化公式进行点的坐标转化及曲线方程的转化, 熟练使用三 个距离公式,包括两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离. 【名师点睛】 本题考查极坐标基础知识, 要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲 线方程的转化,然后利用点到直线距离公式求出距离,本题属于基础题,先把点的极坐标化 为直角坐标,再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,最后求点到直线的距离. 2.【2015 高考湖北,理 15】 (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线, 且 BC ? 3PB , 则
AB ? AC

.

P

B

C

A

第 15 题图 【答案】

1 2

【解析】因为 PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线, 由切割线定理知, PA ? PB ? PC ? PB ( PB ? BC ) ,因为 BC ? 3PB ,
2

所以 PA ? 4 PB ,即 PA ? 2 PB ,
2 2

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由 ?PAB ∽ ?PCA ,所以

AB PB 1 ? ? . AC PA 2

【考点定位】圆的切线、割线,切割线定理,三角形相似.
【名师点睛】 判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理. 在一个题 目中,相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到. 3.【2015 高考湖北,理 16】在直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立
1 ? x?t? , ? ? t 极坐标系. 已知直线 l 的极坐标方程为 ? (sin ? ? 3cos ? ) ? 0 , 曲线 C 的参数方程为 ? ? y ?t ?1 ? t ?

( t 为参数) , l 与 C 相交于 A B 两点,则 | AB |? 【答案】 2 5

.

由两点间的距离公式得 | AB |?

(

2 2 2 3 2 3 2 2 ? ) ?( ? ) ?2 5. 2 2 2 2

【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化,两点间的距离.
【名师点睛】化参数方程为普通方程时,未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错. 4.【2015 高考重庆,理 14】如图,圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E,过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED=2:1,则 BE=_______.

A

O

P

C

E B 题(14)图

D

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【答案】2 【解析】首先由切割线定理得 PA2 ? PC ? PD ,因此 PD ?

62 ? 12 ,CD ? PD ? PC ? 9 , 3

又 CE : ED ? 2 :1 , 因 此 CE ? 6, ED ? 3 , 再 相 交 弦 定 理 有 AE ? EB ? CE ? ED , 所 以

BE ?

CE ? ED 6 ? 3 ? ? 2. AE 9

【考点定位】相交弦定理,切割线定理. 【名师点晴】平面几何问题主要涉及三角形全等,三角形相似,四点共圆,圆中的有关比例 线段(相关定理)等知识,本题中有圆的切线,圆的割线,圆的相交弦,由圆的切割线定理 和相交弦定理就可以得到题中有关线段的关系. 5. 【2015 高考重庆,理 15】已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t (t 为参数) ,以坐标原点 ? y ? 1? t

为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos 2? ? 4( ? ? 0,
【答案】 (2, ? )

3? 5? ?? ? ) ,则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_______. 4 4

【解析】直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 ,由 ? cos 2? ? 4 得 ? (cos ? ? sin ? ) ? 4 ,直角
2 2 2 2

坐标方程为 x ? y ? 4 ,把 y ? x ? 2 代入双曲线方程解得 x ? ?2 ,因此交点.为 (?2, 0) ,
2 2

其极坐标为 (2, ? ) . 【考点定位】参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化. 【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如 cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 等三角恒等 式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程,利用关系

? x2 ? y 2 ? ? 2 ? x ? ? cos ? ? 式? ,? y 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,本题这类问题 ? y ? ? sin ? ? ? tan ? ?x
一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题. 6. 【2015 高考重庆, 理 16】 若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值为 5, 则实数 a=_______. 【答案】 a ? 4 或 a ? ?6 【 解 析 】 由 绝 对 值 的 性 质 知 在 x ? ?1 或 x ? a 时 f ( x) 可 能 取 得 最 小 值 , 若
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f (?1) ? 2 ?1 ? a ? 5 ,a ?

3 7 或a ? ? , 经检验均不合; 若 f (a) ? 5 , 则 x ?1 ? 5 , a?4 2 2

或 a ? ?6 ,经检验合题意,因此 a ? 4 或 a ? ?6 . 【考点定位】绝对值的性质,分段函数. 【名师点晴】与绝对值有关的问题,我们可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号,把问题转 化为不含绝对值的式子(函数、不等式等) ,本题中可利用绝对值定义把函数化为分段函数, 再利用函数的单调性求得函数的最小值,令此最小值为 5,求得 a 的值. 7. 【 2015 高考广东,理 14 】 ( 坐标系与参数方程选做题 ) 已知直线 l 的极坐标方程为

π 2 ? sin(? ? ) ? 2 ,点 A 的极坐标为 4
为 【答案】

7? ? ? A ? 2 2, ? ,则点 A 到直线 l 的距离 4 ? ?

.
5 2 . 2

【考点定位】极坐标方程化为普通方程,极坐标化平面直角坐标,点到直线的距离,转化与 化归思想. 【名师点睛】本题主要考查正弦两角差公式,极坐标方程化为普通方程,极坐标化平面直角 坐标,点到直线的距离,转化与化归思想的应用和运算求解能力,属于容易题,解答此题在 于准确把极坐标问题转化为平面直角坐标问题,利用平面几何点到直线的公式求解. 8. 【2015 高考广东, 理 15】 (几何证明选讲选作题) 如图 1, 已知 AB 是圆 O 的直径,AB ? 4 ,

EC 是圆 O 的切线,切点为 C , BC ? 1 , 过圆心 O 做 BC 的平行线, 分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P , 则 OD ?
.

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【答案】 8 . 【解析】如下图所示,连接 OC ,因为 OD / / BC ,又 BC ? AC ,所以 OP ? AC ,又 O 为 AB 线段的中点,所以 OP ?

1 1 1 BC ? ,在 Rt ?OCD 中, OC ? AB ? 2 ,由直角三 2 2 2

角形的射影定理可得 OC 2 ? OP ? OD 即 OD ?

OC 2 22 ? ? 8 ,故应填入 8 . 1 OP 2

【考点定位】直线与圆的位置关系,直角三角形的射影定理. 【名师点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系, 直角三角形的射影定理运用, 属于中档题, 解答平面几何问题关键在于认真审题分析图形中的线段关系, 适当作出辅助线段, 此题连接

OC ,则容易得到 Rt ?OCD ,并利用直角三角形的射影定理求得线段 OD 的值.
9.【2015 高考天津,理 5】如图,在圆 O 中, M , N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD, CE 分 别经过点 M , N .若 CM ? 2, MD ? 4, CN ? 3 ,则线段 NE 的长为( (A) )

8 3

(B)3

(C)

10 3

(D)

5 2

D E O A M C
【答案】A 【解析】 由相交弦定理可知, AM ? MB ? CM ? MD, CN ? NE ? AN ? NB , 又因为 M , N 是 弦 AB 的 三 等 分 点 , 所 以 AM ? MB ? AN ? NB ? CN ? NE ? CM ? MD , 所 以
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N

B

NE ?

CM ? MD 2 ? 4 8 ? ? ,故选 A. CN 3 3

【考点定位】相交弦定理. 【名师点睛】本题主要考查相交弦定理、数形结合思想、数学计算能力.应用相交弦定理及, 得到相应线段的关系: AM ? MB ? CM ? MD, CN ? NE ? AN ? NB ,再利用线段三等分析 点的性质,结合图形,进行适当的转化,进行运算,体现数学基本思想:数形结合.是基础 题. 10.【2015 高考安徽,理 12】在极坐标中,圆 ? ? 8sin ? 上的点到直线 ? ? 的最大值是 【答案】 6 .

?
3

( ? ? R) 距离

【考点定位】1.极坐标方程与普通方程的转化;2.圆上的点到直线的距离. 【名师点睛】 对于极坐标与参数方程的问题, 考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方 程,抓住核心: ? ? x ? y , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y ,普通方程转化成极坐标方程,
2 2 2

抓住核心: x 2 ? y 2 ? ? 2 , tan ? ?

y .圆上的点到直线的距离最大值或最小值,要考虑到 x

圆的半径加上(或减去)圆心到直线的距离. 11.【2015 高考新课标 2,理 22】选修 4—1:几何证明选讲 如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ?ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点与底边 上的高 AD 交于点 G ,与 AB 、 AC 分别相切于 E 、 F 两点.

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A

G E O B M D N C F

(Ⅰ)证明: EF / / BC ; (Ⅱ) 若 AG 等于 ? O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积.

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

16 3 . 3

【解析】 (Ⅰ)由于 ?ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线.又因

AC 相切于 E 、 为 ? O 分别与 AB 、 所以 AE ? AF , 故 AD ? EF . 从而 EF / / BC . F 两点,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 是 ? O 的

OM , 弦, 所以 O 在 AD 上. 连接 OE , 则 OE ? AE . 由 AG 等于 ? O 的半径得 AO ? 2OE ,
所以 ?OAE ? 300 . 所以 ?ABC 和 ?AEF 都是等边三角形. 因为 AE ? 2 3 , 所以 AO ? 4 ,

OE ? 2 .
因为 OM ? OE ? 2 , DM ?

10 3 1 .所 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 .于是 AD ? 5 , AB ? 3 2

以四边形 EBCF 的面积

1 10 3 2 3 1 3 16 3 . ?( ) ? ? ? (2 3) 2 ? ? 2 3 2 2 2 3

【考点定位】1.等腰三角形的性质;2、圆的切线长定理;3、圆的切线的性质. 【名师点睛】平面几何中平行关系的证明往往有三种方法:①由垂直关系得出;②由角的关 系得出;③由平行关系的传递性得出;除了用常规方法求面积外,通过割补法,将所求面积 转化为易求面积的两个图形的和或者差更简洁.
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【 2015 高考上海,理 3 】若线性方程组的增广矩阵为 ?

? 2 3 c1 ? ?x ? 3 ,则 ? 、解为 ? ?y ? 5 ? 0 1 c2 ?

c1 ? c2 ?
【答案】 16



【解析】由题意得: c1 ? 2 x ? 3 y ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 21, c2 ? 0 ? x ? y ? 5, c1 ? c2 ? 21 ? 5 ? 16. 【考点定位】线性方程组的增广矩阵 【名师点睛】 线性方程组的增广矩阵是线性方程组另一种表示形式, 明确其对应关系即可解
? a11 x1 +a12 x2 +? +a1n xn ? b1 ?a x +a x +? +a x ? b 21 1 22 2 2n n 2 ? ? 决相应问题.即 ? 对应增广矩阵为 ? ? ? ? ? ? ?an1 x1 +an 2 x2 +? +ann xn ? bn ? a11 ? ? a21 ? ? ? ?a ? n1 a12 ? a22 ? ? ? an 2 ? a1n a2 n b1 ? ? b2 ? ? ? ? bn ? ?

ann

12.【2015 高考新课标 2,理 23】选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ,在以 ? y ? t sin ? ,

O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C2 : ? ? 2sin ? , 曲 线
C3 : ? ? 2 3 cos ? .
(Ⅰ).求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值. 【答案】 (Ⅰ) (0, 0) 和 (

3 3 (Ⅱ) 4 . , ); 2 2

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? .因此 A 得到极坐标
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(2sin ? , ? )



B











(2 3 cos? ,? )







AB ? 2 sin? ? 2 3 cos? ? 4 s in(? ?
为4.

?
3

) ,当 ? ?

5? 时, AB 取得最大值,最大值 6

【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化;2、三角函数的最大值. 【名师点睛】 (Ⅰ)将曲线 C2 与 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程,联立求交点,得其交 点的直角坐标,也可以直接联立极坐标方程,求得交点的极坐标,再化为直角坐标; (Ⅱ) 分别联立 C2 与 C1 和 C3 与 C1 的极坐标方程,求得 A, B 的极坐标,由极径的概念将 AB 表 示,转化为三角函数的最大值问题处理,高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标 方程中极径和极角的概念考查加大了力度,复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区. 13. 【2015 高考新课标 2,理 24】 (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (Ⅰ)若 ab ? cd ,则 a ? b ? (Ⅱ) a ? b ?

c? d;

c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 (Ⅰ)因为 ( a ? b ) 2 ? a ? b ? 2 ab , ( c ? d ) 2 ? c ? d ? 2 cd ,由题设

a ? b ? c ? d , ab ? cd ,得 ( a ? b ) 2 ? ( c ? d ) 2 .因此 a ? b ? c ? d .
2 2 2 2 (Ⅱ) (ⅰ) 若 a ?b ? c ?d , 则 ( a ? b ) ? (c ? d ) . 即 (a ? b) ? 4ab ? (c ? d ) ? 4cd . 因

为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,由(Ⅰ)得 a ? b ? ( ⅱ ) 若

c? d.
, 即

a? b? c? d





( a ? b )2 ? ( c ? d )2

a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd . 因 为 a ? b ? c ? d , 所 以 ab ? cd , 于 是 (a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab ? (c ? d ) 2 ? 4cd ? (c ? d ) 2 . 因 此 a ? b ? c ? d , 综 上 , a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.
【考点定位】不等式证明. 【名师点睛】 (Ⅰ)要证明 a ? b ?

c ? d ,只需证明 ( a ? b ) 2 ? ( c ? d ) 2 ,展
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开结合已知条件易证; (Ⅱ)充要条件的证明需要分为两步,即充分条件的证明和必要条件 的证明.证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系. 15. 【2015 江苏高考,21】A(选修 4—1:几何证明选讲) 如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , ?ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D 求证: ?ABD ∽ ?AEB A

O B E (第 21——A 题) 【答案】详见解析 【解析】 试题分析:利用等弦对等角,同弧对等角,得到 ?ABD ? ?E ,又公共角 ?BAE ,所以两三 角形相似 试题解析:因为 ?? ? ?C ,所以 ???D ? ?C . 又因为 ?C ? ?? ,所以 ???D ? ?? , 又 ???? 为公共角,可知 ???D ∽ ???? . 【考点定位】相似三角形 【名师点晴】 1.判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等; (2)若只能找到一 对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例;(3)若找不到角相等,就判断三 边是否对应成比例,否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”. 2.借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似; (2)有公共角或相等 角的可围绕角做文章,再找其他相等的角或对应边成比例;(3)有公共边的可将图形旋转, 观察其特征,找出相等的角或成比例的对应边. 21.B(选修 4—2:矩阵与变换) 已知 x, y ? R ,向量 ? ? ? D C

? x 1? ?1? 是矩阵 A ? ? ? 的属性特征值 ? 2 的一个特征向量,矩阵 ? ?? 1? ? y 0?

A 以及它的另一个特征值.
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【答案】 ? ? ?

? ?1 1 ? ? ,另一个特征值为 1 . ? 2 0?

从而矩阵 ? 的特征多项式 f

? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? ? 1? ,所以矩阵 ? 的另一个特征值为1 .

【考点定位】矩阵运算,特征值与特征向量 【名师点晴】求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵 ? ? ?

?a b ? ? 的特征值 ? 满足 ?c d ? ? x? ? 0 ? (? ? a)(? ? d ) ? bc ? 0 ,属于 ? 的特征向量 ? ? ? ? 满足 ? ?d ? y? ?b

f ?? ? ?

? ?a
?c

? x? ? x? A? ? ? ? ? ? . ? y? ? y?
(2)求特征向量和特征值的步骤: ①解 f ? ? ? ?

? ?a
?c

?b

? ?d

? 0 得特征值;

②解 ?

? (? ? a ) x ? by ? 0 ,取 x=1 或 y=1,写出相应的向量. ??cx ? (? ? d ) y ? 0

21. C(选修 4—4:坐标系与参数方程) 已知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 2 ? sin(? ? 【答案】 6 【解析】 试题分析:先根据 ? 2 ? x 2 ? y 2 , y ? ? sin ? , x ? ? cos ? 将圆 C 的极坐标方程化成直角坐标 方程,再根据圆的标准方程得到其半径.

?
4

) ? 4 ? 0 ,求圆 C 的半径.

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试题解析:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ? ,以极轴为 x 轴的正半轴,建立 直角坐标系 x?y . 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 ? ? ? 2 sin ? ? 2 cos ? ? ??4 ? 0, ? ?
2

? 2

2

?

化简,得 ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? 0 . 则圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 4 ? 0 , 即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 6 ,所以圆 C 的半径为 6 .
2 2

【考点定位】圆的极坐标方程,极坐标与之间坐标互化 【名师点晴】1.运用互化公式: ? 2 ? x 2 ? y 2 , y ? ? sin ? , x ? ? cos ? 将极坐标化为直角坐 标; 2.直角坐标方程与极坐标方程的互化, 关键要掌握好互化公式, 研究极坐标系下图形的性质, 可转化直角坐标系的情境进行. 21.D(选修 4—5:不等式选讲) 解不等式 x ? | 2 x ? 3 |? 3 【答案】 ? x x ? ?5或x ? ? ?

? ?

1? 3?

【解析】 试题分析:根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集,分别求解即可

3 3 ? ? ?x ? ? ?x ? ? 试题解析:原不等式可化为 ? 2 或? 2 . ? ? ?? x ? 3 ? 2 ?3 x ? 3 ? 2
解得 x ? ?5 或 x ? ? . 综上,原不等式的解集是 ? x x ? ?5或x ? ? ? .

1 3

? ?

1? 3?

【考点定位】含绝对值不等式的解法 【名师点晴】①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
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16.【2015 高考福建,理 21】选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?

? 2 1? ?1 1 ? ?, B ? ? ?. ? 4 3? ? 0 ?1?
-1

(Ⅰ)求 A 的逆矩阵 A ; (Ⅱ)求矩阵 C,使得 AC=B.

1? ? 3 ? 3 ? ? ? 2? ? ? 【答案】(Ⅰ) 2 ; ( Ⅱ ) . 2 2 ? ? ? ? ? ?2 1 ? ? ?2 ?3 ?

【考点定位】矩阵和逆矩阵. 【名师点睛】本题考查逆矩阵和逆矩阵的性质,是通过伴随矩阵和矩阵的乘法求解,属于基 础题,注意运算的准确性. 17.【2015 高考福建,理 21】选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 í

ì ? x = 1 + 3cos t (t 为参数) .在极坐标系(与 ? ? y = - 2 + 3sin t

平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中, 直线 l 的方程为 2 r sin(q -

p ) = m, (m ? R). 4

(Ⅰ)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. 【答案】(Ⅰ)

( x - 1) +( y + 2)

2

2

= 9 , x - y - m = 0 ;(Ⅱ) m=-3 ± 2 2 .

【解析】(Ⅰ)消去参数 t,得到圆的普通方程为 x - 1

(

) +( y + 2)

2

2

=9,

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由 2 r sin(q -

p ) = m ,得 r sin q - r cos q - m = 0 , 4

所以直线 l 的直角坐标方程为 x - y - m = 0 . (Ⅱ)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即

|1 - ( - 2) + m | 2

= 2, 解得 m=-3 ± 2 2

【考点定位】1、参数方程和普通方程的互化;2、极坐标方程和直角坐标方程的互化;3、 点到直线距离公式. 【名师点睛】 本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、 直线极坐标方程和直角坐标方程的 转化以及点到直线距离公式,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去 参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法, 极坐标方程化为直角坐标方程,只要将 ? cos ? 和 ? sin ? 换成 y 和 x 即可 18.【2015 高考福建,理 21】选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,函数 f ( x) =| x + a | + | x - b | +c 的最小值为 4. (Ⅰ)求 a + b + c 的值;

1 2 1 2 2 a + b + c 的最小值. 4 9 8 【答案】(Ⅰ) 4 ;(Ⅱ) . 7
(Ⅱ)求 【解析】 ( Ⅰ ) 因为 f (x) =| x + a | + | x + b | +c ? | (x a ) - (x + b ) | +c =| a + b | +c ,当且仅当

- a #x b 时, 等号成立, 又 a > 0, b > 0 , 所以 | a + b |= a + b ,所以 f (x) 的最小值为 a + b + c ,
所以 a + b + c = 4 . (Ⅱ)由(1)知 a + b + c = 4 ,由柯西不等式得

b 2 ?1 2 1 2 2? ?a ? ? a ? b ? c ? ? 4 ? 9 ? 1? ? ? ? 2+ ? 3+c ?1? ? ? a ? b ? c ? ? 16 9 3 ?4 ? ?2 ?
1 2 1 2 2 8 a + b +c ? . 4 9 7 1 1 b a c 8 18 2 3 2 = = ,即 a = , b = , c = 时,等号成立 当且仅当 2 3 1 7 7 7 1 1 8 所以 a 2 + b 2 + c 2 的最小值为 . 4 9 7
即 【考点定位】1、绝对值三角不等式;2、柯西不等式.
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2

【名师点睛】当 x 的系数相等或相反时,可以利用绝对值不等式求解析式形如

f ( x) ? x ? a ? x ? b 的函数的最小值,以及解析式形如 f ( x) ? x ? a ? x ? b 的函数的最
小值和最大值,否则去绝对号,利用分段函数的图象求最值.利用柯西不等式求最值时,要 注意其公式的特征,以出现定值为目标. 19. 【2015 高考陕西,理 22】 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?? 切 ? ? 于点 ? ,直线 ?D 交 ? ? 于 D , ? 两点, ?C ? D? ,垂足为 C . (I)证明: ?C?D ? ?D?? ; (II)若 ?D ? 3DC , ?C ?

2 ,求 ? ? 的直径.

【答案】 (I)证明见解析; (II) 3 .

又 ?C ? D? ,所以 ?C?D ? ??D? ? 90? ,从而 ?C?D ? ???D . 又 ?? 切圆 ? 于点 ? ,得 ?D?? ? ???D ,所以 ?C?D ? ?D?? . (II)由(I)知 ?D 平分 ?C?? ,则 所以 AC =

BA AD = = 3 ,又 BC = 2 ,从而 AB = 3 2 , BC CD

AB 2 - BC 2 = 4 ,所以 AD=3 .
2

由切割线定理得 AB =AD ×AE ,即 AE =

AB 2 ?6, AD

故 D? ? ?? ? ?D ? 3 ,即圆 ? 的直径为 3 . 考点:1、直径所对的圆周角;2、弦切角定理;3、切割线定理. 【名师点晴】本题主要考查的是直径所对的圆周角、弦切角定理和切割线定理,属于容易 题.解题时一定要注意灵活运用圆的性质,否则很容易出现错误.凡是题目中涉及长度的, 通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识. 20.【2015 高考陕西,理 23】选修 4-4:坐标系与参数方程
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1 ? x ? 3? t ? 2 ? 在直角坐标系 x?y 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) . 以原点为极点,x 轴 ?y ? 3 t ? ? 2
正半轴为极 轴建立极坐标系, ? C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? . (I)写出 ? C 的直角坐标方程; (II) ? 为直线 l 上一动点,当 ? 到圆心 C 的距离最小时,求 ? 的直角坐标. 【答案】 (I) x ? y ? 3
2

?

?

2

(II) ? 3, 0 ? . ? 3;

【解析】 试题分析: ( I ) 先 将 ? ? 2 3 sin ? 两 边 同 乘 以 ? 可 得 ? 2 ? 2 3? sin ? , 再 利 用 ( II ) 先 设 ? 的 坐 标 , 则 ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? sin ? 可 得 ? C 的 直 角 坐 标 方 程 ;

?C ? t 2 ? 12 ,再利用二次函数的性质可得 ?C 的最小值,进而可得 ? 的直角坐标.
试题解析: (I)由 ? ? 2 3 sin ? ,得 ? 2 ? 2 3? sin ? , 从而有 x 2 +y 2 ? 2 3 y ,所以 x + y ? 3
2

?

?

2

? 3.
2

2 ? 1 ? ? 3 1 3 ? (II)设 P (3 ? t, t) ,又 C(0, 3) ,则 | PC |? ? 3 ? t ? ? ? t ? 3 ? t 2 ? 12 , ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ?

故当 t ? 0 时, ?C 取最小值,此时 ? 点的直角坐标为 ? 3, 0 ? . 考点:1、极坐标方程化为直角坐标方程;2、参数的几何意义;3、二次函数的性质. 【名师点晴】 本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、 参数的几何意义和二次函数 的性质, 属于容易题. 解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系 方程,并把几何问题代数化. 21. 【2015 高考陕西,理 24】 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4 . (I)求实数 a , b 的值; (II)求 at ? 12 ? bt 的最大值. 【答案】 (I) a ? ?3 , b ? 1 ; (II) 4 .
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?

?



(

- 3t +12+ t

)

max

=4.

考点:1、绝对值不等式;2、柯西不等式. 【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式和柯西不等式,属于容易题.解题时一定要注 意不等式与方程的区别,否则很容易出现错误.零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零 点;②划区间,去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每段结果的并集,注意在 分段时不要遗漏区间的端点值. 用柯西不等式证明或求最值要注意: ①所给不等式的形式是 否与柯西不等式的兴致一致,若不一致,需要将所给式子变形;②等号成立的条件. 22.【2015 高考新课标 1,理 22】选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 ? O 的直径,AC 是 ? O 的切线,BC 交 ? O 于 E.

(Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 ? O 的切线; (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求∠ACB 的大小.
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【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)60° 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由圆的切线性质及圆周角定理知,AE⊥BC,AC⊥AB,由直角三角形中线 性质知 DE=DC,OE=OB,利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90° ,即∠OED=90° ,所以 DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)设 CE=1,由 OA ? 3CE 得,AB= 2 3 ,设 AE= x ,由勾股定理得

BE ? 12 ? x 2 ,由直角三角形射影定理可得 AE 2 ? CE ?BE ,列出关于 x 的方程,解出 x ,
即可求出∠ACB 的大小. 试题解析: (Ⅰ)连结 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB, 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连结 OE,∠OBE=∠OEB, ∵∠ACB+∠ABC=90° ,∴∠DEC+∠OEB=90° , ∴∠OED=90° ,∴DE 是圆 O 的切线. ……5 分
2

(Ⅱ)设 CE=1,AE= x ,由已知得 AB= 2 3 , BE ? 12 ? x , 由射影定理可得, AE 2 ? CE ?BE , ∴ x ? 12 ? x ,解得 x = 3 ,∴∠ACB=60°.
2 2

……10 分

【考点定位】圆的切线判定与性质;圆周角定理;直角三角形射影定理 【名师点睛】在解有关切线的问题时,要从以下几个方面进行思考:①见到切线,切点与圆 心的连线垂直于切线;②过切点有弦,应想到弦切角定理;③若切线与一条割线相交,应想 到切割线定理; ④若要证明某条直线是圆的切线, 则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该 直线垂直. 23.【2015 高考新课标 1,理 23】选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :

x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求 ? C2 MN

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的面积. 【答案】 (Ⅰ) ? cos ? ? ?2 , ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 (Ⅱ)
2

1 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ) 将将 ? =

?
4

代入 ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可
2

求出 ? C2 MN 的面积.

【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系 【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题,要熟记互化公式,另外要注意互化 时要将极坐标方程作适当转化,若是和角,常用两角和与差的三角公式展开,化为可以公式 形式,有时为了出现公式形式,两边可以同乘以 ? ,对直线与圆或圆与圆的位置关系,常 化为直角坐标方程,再解决. 24.【2015 高考新课标 1,理 24】选修 4—5:不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|,a>0.

(Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) {x | 【解析】 (Ⅰ)当 a=1 时,不等式 f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|>1, 等价于 ?

2 (2,+∞) ? x ? 2} (Ⅱ) 3

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ?x ? 1 2 或? 或? ,解得 ? x ? 2 , 3 ?? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1
2 ? x ? 2} . 3
??5 分学优高考网

所以不等式 f(x)>1 的解集为 {x |

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? x ? 1 ? 2a, x ? ?1 ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
所以函数 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A(

2a ? 1 , 0) , B(2a ? 1, 0) , 3

2 C (a, a +1) ,所以△ABC 的面积为 (a ? 1) 2 . 3
由题设得

2 (a ? 1) 2 >6,解得 a ? 2 . 3
??10 分

所以 a 的取值范围为(2,+∞).

【考点定位】含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法 【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题,常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个 不等式组问题, 原不等式的解集是这些不等式组解集的并集; 对函数多个绝对值的函数问题, 常利用分类整合思想化为分段函数问题, 若绝对值中未知数的系数相同, 常用绝对值不等式 的性质求最值,可减少计算. 25.【2015 高考湖南,理 16】16.(1)如图,在圆 O 中,相交于点 E 的两弦 AB , CD 的中 点分别是 M , N ,直线 MO 与直线 CD 相交于点 F ,证明: (1) ?MEN ? ?NOM ? 180? ; (2) FE ? FN ? FM ? FO

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)首先根据垂径定理可得 ?OME ? 90? , ?ENO ? 90? ,再由四边形的内角 和即可得证; (2) 由(1)中的结论可得 O , M , E , N 四点共圆,再由割线定理即得 FE ? FN ? FM ? FO 试题解析: ( 1 )如图 a 所示, ∵ M , N 分别是弦 AB , CD 的中点,∴ OM ? AB ,

ON ? CD ,
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即 ?OME ? 90? , ?ENO ? 90? ,?OME ? ?ENO ? 180? , 又四边形的内角和等于 360? , 故 ?MEN ? ?NOM ? 180? ; (2)由(I)知, O , M , E , N 四点共圆,故由割线定理 即得 FE ? FN ? FM ? FO

【考点定位】1.垂径定理;2.四点共圆;3.割线定理. 【名师点睛】本题主要考查了圆的基本性质等知识点,属于容易题,平面几何中圆的有关问 题是高考考查 的热点,解题时要充分利用圆的性质和切割线定理,相似三角形,勾股定理等其他平面几何 知识点的交汇.

? 3 x ? 5? t ? ? 2 (Ⅱ)已知直线 l : ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建 ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? . (1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 设点 M 的直角坐标为 (5, 3) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A , B ,求 | MA | ? | MB | 的值. 【答案】 (1) x ? y ? 2 x ? 0 ; (2) 18 .
2 2

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的两个实数根分别为 t1 , t 2 ,则由参数 t 的几何意义即知, |MA| ?|MB| ? |t1t 2| ? 18 . 【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化;2.直线与圆的位置关系. 【名师点睛】 本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关 系,属于容易 题,在方程的转化时,只要利用 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 进行等价变形即可,考查极坐标 方程与参数方程, 实为考查直线与圆的相交问题,实际上为解析几何问题,解析几何中常用的思想,如联立方 程组等,在极 坐标与参数方程中同样适用. (Ⅲ)设 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? (1) a ? b ? 2 ; (2) a 2 ? a ? 2 与 b 2 ? b ? 2 不可能同时成立. 【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)将已知条件中的式子可等价变形为 ab ? 1 ,再由基本不等式即可得证; (2) 利用反证法, 假设假设 a 2 ? a ? 2 与 b 2 ? b ? 2 同时成立,可求得 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 ,从而与 ab ? 1 矛 盾,即可得证 试题解析: 由a ?b ?

1 1 ? . a b

1 1 a?b b ? 0, ,a ? 0 , 得 ab ? 1 , (1) 由基本不等式及 ab ? 1 , ? ? a b ab
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有 a ? b ? 2 ab ? 2 ,即 a ? b ? 2 ; ( 2 )假设 a 2 ? a ? 2 与 b 2 ? b ? 2 同时成立,则由 同理 0 ? b ? 1 , 从而 ab ? 1 , 这与 ab ? 1 矛盾, 故 a2 ? a ? 2 a2 ? a ? 2 及 a ? 0 得 0 ? a ? 1, 与 b 2 ? b ? 2 不可能成立. 【考点定位】1.基本不等式;2.一元二次不等式;3.反证法. 【名师点睛】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点,属于中档题,第一小问需将 条件中的式子 作等价变形,再利用基本不等式即可求解,第二小问从问题不可能同时成立,可以考虑采用 反证法证明, 否定结论,从而推出矛盾,反证法作为一个相对冷门的数学方法,在后续复习时亦应予以关 注.

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