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江苏省梁丰高级中学2015届考前阅读材料(解析几何综合问题)附详细解答


江苏省梁丰高级中学 2015 届考前指导材料 (解析几何综合问题)
一、填空题:

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F1F2 为直径的圆 a 2 b2 与双曲线渐近线的一个交点为 ? 4,3? ,则此双曲线的方程为 .
1. 已知双曲线 2. 已知点 P 为圆 C : x2

? y 2 ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 上的动点, 点 P 到某直线 l 的最大距离为 5. 若 在直线 l 上任取一点 A 作圆 C 的切线 AB ,切点为 B ,则 AB 的最小值是_____. 3. 已知直线 l :x ? 2 y ? m ? 0 上存在点 M 满足与两点 A(?2, 0), B(2, 0) )连线的斜率 k MA 与 3 k MB 之积为-4,则实数 m 的取值范围是___________. 4. 椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 , A 为椭圆上一点, AF1 ? AF2 ? 0 , a 2 b2 5 . AF2 与 y 轴交与点 M ,若 F2 M ? MA ,则椭圆离心率的值为 4

二、解答题

x2 ? y2 ? 1 的 4 左、右顶点, P ? 2, t ? ?t ? R, 且t ? 0? 为直线 x ? 2 上的一个动点,过点 P 任意作一条直线 l 与椭圆 G 交于 C,D,直线 PO 分别与直线 AC,AD 交 于 E,F. (1)当直线 l 恰好经过椭圆 G 的右焦点和上顶点时,求 t 的值; (2)记直线 AC,AD 的斜率分别为 k1 , k2 . 1 1 ①若 t ? ? 1 ,求证: ? 为定值; k1 k 2
5.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A,B 分别是椭圆 G: ②求证:四边形 AFBE 为平行四边形.

y

C E A O F D P B x

(第 1 题图)

y

x y ? ? 1 ,点 B 是其下顶点,过点 B 的直线交椭圆 12 4 C 于另一点 A(A 点在 x 轴下方) ,且线段 AB 的中点 E 在直线 y ? x 上.
6.如图,已知椭圆 C : (1)求直线 AB 的方程; (2) 若点 P 为椭圆 C 上异于 A、 B 的动点, 且直线 AP,BP 分别交直线 y ? x 于点 M、N,证明:OM·ON 为定值.

2

2

P N A E O B

M

x

1

x2 y2 3 7. 已知椭圆 E: 2+ 2=1 过点 D(1, ),且右焦点为 F(1,0),右顶点为 A.过点 F 的弦为 a b 2 BC.直线 BA,直线 CA 分别交直线 l:x=m,(m>2)于 P?Q 两点. (1)求椭圆方程; (2)若 FP⊥FQ,求 m 的值.

x2 y2 2 8.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0) 的离心率 e= 2 ,右焦点?下顶点?左顶点分别为 F2,B, y A.AB= 3.直线 l 交椭圆 C 于 P,Q 两点,直线 AP 与 BQ 交于点 M. (1)求 a,b 的值; (2)当 BP 过点 F2 时,求过 A?B?P 三点的圆的方程; Q AM BM *(3)当MP=MQ时,求 F2M 的最小值. l M P O F2 A

x

B

2

答案与提示 1、 【提示】双曲线渐近线方程为 y ?

3 x ,双曲线可以设为 9x2 ?16 y2 ? ? (? ? 0) ,即 4

x2

?

?

y2

?

?1

,因为 c ? 5,?

?
9

?

?
16

? 25 ? ? ? 9 ?16 .所以双曲线的方程为

9

16

x2 y 2 ? ?1. 16 9

2、 【提示】由 P 到直线 l 的最大距离为 5,得圆心 C 到直线 l 的距离为 3,从而直线 l 与圆 C 相离.过 A 引圆 C 的切线长 AB ? 3、 【提示】点 M 的轨迹为

AC2 ? r 2 ? AC2 ? 4 ? 9 ? 4 ? 5 .

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) .把直线 l : x ? 2 y ? m 代入椭圆方程得, 4 3 根据条件, 上面方程有非零解, 得? ? 0, 解得 ?4 ? m ? 4 . 16 y2 ?12my ? (3m2 ?12) ? 0 .

5 5 M A, 所 以 (?c, m) ? ( x, y ? m) , 解 得 4 4 4 9 c 9m 9c 9m x ? ? c, y ? m ,又因为 AF1 ? AF2 ? 0 ,所以 (? , ? )( , ? ) ? 0 ,解得 c 2 ? 9m2 ,因 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 x y 16 c 81 m 16 c 2 9 c2 ? ? 1 ,即 ? ? 1, 为点 A 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,所以 2 2 2 a b 25 a 25 b 25 a 25 b 2 10 又即 16c 4 ? 50a 2 c 2 ? 25a 4 ? 0 ,从而 16e4 ? 50e2 ? 25 ? 0 ,解得 e ? . 4
4 、 提 示 : 设 M (0, m) , A( x, y ) , 因 为 F2 M ? 5、解(1)由题意:上顶点 C ? 0,1? ,右焦点 E ? 3,0 ,所以 l : y ? ? 3x ? 1 , 令 x ? 2 ,得 t ? 1 ?

?

?

2 3 . 3

(2)直线 AC : y ? k1 ? x ? 2? 与

? 2 ? 8k12 4k1 ? x2 ? y 2 ? 1 联立,得 C ? , , 2 2 ? 4 ? 1 ? 4k1 1 ? 4k1 ? 2 ? 2 ? 8k2 4k 2 ? 同理得 D ? ,由 C , D , P 三点共线得 kCP ? k DP , , 2 2 ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 ? 4k1 4k 2 ?t ?t 2 2 1 ? 4k1 1 ? 4k 2 即 ,化简得 4k1k2 ? t ? k1 ? k2 ? , ? 2 2 ? 8k12 2 ? 8k2 ?2 ?2 2 1 ? 4k12 1 ? 4k2 1 1 ? ?4 (定值) ① t ? ? 1 时, ? k1 k2 ②要证四边形 AFBE 为平行四边形,即只需证 E,F 的中点即点 O, t ? 4k 2 4k1 ? y ? x, 由? 得 xE ? ,同理 xF ? , 2 t ? 2k1 t ? 2k 2 ? y ? k1 ? x ? 2 ? ?
将t ?

2 ? k1 ? k2 ? 2 ? k1 ? k2 ? 4k1k2 4k 2 4k1 分别代入得 xE ? , xF ? , ? ? k1 ? k2 t ? 2k 2 k1 ? k2 t ? 2k1 k2 ? k1

所以 xE ? xF ? 0 , yE ? yF ?

t ? xE ? xF ? ? 0 .即四边形 AFBE 为平行四边形. 2

6.解: (1)设点 E(m,m) ,由 B(0,-2)得 A(2m,2m+2) . 2 2 2 3 4m (2m ? 2) m ? ? 1 ,即 ? (m? 1 ) 2?1 ,解得 m ? ? 或 m ? 0(舍) 代入椭圆方程得 .所 12 4 3 2 以 A( ? 3 , ? 1 ) ,故直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 .
3

(2)设 P( x0 , y0 ) ,则

x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? 4 ? 0 . 3 12 4

设 M ( xM , yM ) ,由 A,P,M 三点共线,即 AP P AM , ∴ ( x0 ? 3)( yM ? 1) ? ( y0 ? 1)( xM ? 3) , 又 点 M 在 直 线 y=x 上 , 解 得 M 点 的 横 坐 标

uu u r

uuur

uur uuu r 3 y0 ? x0 , y)N , P, N 三点共线, , 设 N ( xN 由 B, 即 BP P BN , ∴ x0 ( yN ? 2) ? ( y0 ? 2) xN , x0 ? y0 ? 2 ?2 x0 点 N 在直线 y=x 上, ,解得 N 点的横坐标 xN ? . x0 ? y0 ? 2 3 y0 ? x0 ?2 x0 | ?| | 所以 OM·ON= 2 | xM ? 0 | ? 2 | xN ? 0 | = 2 | xM | ? | xN | =2 | x0 ? y0 ? 2 x0 ? y0 ? 2
xM ?

2 x0 2 ? 6 x0 y0 x0 2 ? 3x0 y0 2 x0 2 ? 6 x0 y0 2 | | 2 | | |= =2| =6 . x0 2 = x0 2 2 2 x0 ? 2 x0 y0 ? ? x0 y0 ( x0 ? y0 ) ? 4 3 3

y D C P

1 9 7、解: (1)a2+4b2=1,a2-b2=1,解之得 a2=4,b2=3, F A x2 y2 O 所以椭圆方程为 4 + 3 =1; y0 x2 y2 B (2)设 B(x0,y0),则 BC:y= (x-1),联立 E: 4 + 3 =1 联立 x0-1 y0 y= (x-1), x0-1 8-5x0 -3y0 得: 解得 x=x0,y=y0 或 x= ,y= , x2 y2 5-2x0 5-2x0 + = 1 . 4 3 -3y0 x02 9(1 - 2 5-2x0 4) 8-5x0 -3y0 y0 y0 3y0 3y0 9 所以 C( , ). kABkAC= ? = ? = 2 = 2 =-4. 显然 5-2x0 5-2x0 x0-2 8-5x0 x0-2 x0+2 x0 -4 x0 -4 -2 5-2x0 9 y1 y1 m-2 m-2 kAB=kAP,kAC=kAQ,所以 kAPkAQ=-4.设 Q(m,y1),kFQ= = ? = k ,同理 m-1 m-2 m-1 m-1 AQ m-2 m-2 2 m-2 2 9 m-2 2 kFP= kAP.所以 kFP kFQ=( ) kAPkAQ=-4( ) =-1,又 m>2,所以 = ,所 m-1 m-1 m-1 m-1 3 以 m=4. c 2 a= 2 , 8、解: (1)根据条件得, 2 解得 a= 2,b=1. a +b2=3, a2=b2+c2. (2)由(1)知,F2,B 的坐标分别为(1,0),(0,-1).所以 BP 方程为 y=x-1. x2 4 4 1 代入 C: 2 +y2=1 得 3x2-4x=0,解得 x1=0,x2=3.所以 P(3,3). 设过 A,B,P 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 1 D=3( 2-1), - 2D+F=-2, 1 4 1 -E+F=-1, 将 A(- 2, 0), B(0, -1), P(3, 解得 E=-3( 2+1), 3)代入得, 4 1 17 1 3D+3E+F=- 9 . F=-3( 2+4).

x

? ? ?

Q

? ? ?

? ? ?

? ? ? ? ?

4

1 1 1 所以所求圆的方程为 x2+y2+3( 2-1)x-3( 2+1)y-3( 2+4)=0. AM BM (3)设 P,Q,M 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),且MP=MQ=?, ? ? ? ? ? ? 根据条件得,AM=? MP , BM =?MQ.由AM=? MP 得,即(x0+ 2,y0)=?(x1-x0,y1 1 2 x1=(1+ )x0+ , ?x0+ 2=?(x1-x0), ? ? -y0).所以? 解得 1 ?y0=?(y1-y0). y1=(1+ )y0.

? ? ?

?

? ? 同理,由BM =?MQ得,

?x =(1+?)x , ? 1 1 ,因为 P(x ,y )在椭圆 C 上,所以 x y = (1 + ) y + . ? ? ?
1
2 0 1 1 2 0

2 2 1 +2y1

1 2 1 1 1 1 =2.代入得,[(1+ )x0+ ]2+2[(1+ )y0]2=2.同理得,[(1+ )x0]2+2[(1+ )y0+ ]2=2.

?

?

?

?

?

?

把上面两式相减得,(1+ )(x0- 2y0)=0.因为 1+ ≠0,所以 x0- 2y0=0.即点 M 的轨

?

1

?

1

迹是直线 x- 2y=0 在椭圆内的一段. 所以 F2M 的最小值即为 F2 到直线 x- 2y=0 距离. 即 ∣1?1- 2?0∣ 3 F2Mmin= =3. 2 2 1 +(- 2)

5


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