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《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题

1.若实数 x,y

?x+2y-5≥0, 满 足 不 等 式 组 ?2x+y-7≥0, ?x≥0,y≥0,
B.15 D.28

则 3x + 4y 的 最 小 值 是

(

) A.1

3 C.20

2.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b,若 x,y 满足不等式|x|+|y|≤1,则 z 的取值范围为 A.[-2,2] C.[-3,2] B.[-2,3] D.[-3,3]
[来源:Zxxk.Com]

(

)

?x≥0, ? 3.若不等式组?x+3y≥4 ?3x+y≤4 ?
分,则 k 的值是 7 A. 3 4 C. 3 3 B. 7 3 D. 4

4 ,所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部 3 ( )

?x+y≥2, ? 4.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1).若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ?y≤2 ? ??? ???? ? ? 动点,则 OA · ( ) OM 的取值范围是
A.[-1,0] C.[0,2] B.[0,1] D.[-1,2]
[来源:Zxxk.Com]

上的一个

?x-y+6≥0 ? 5.已知实数 x,y 满足?x+y≥0 ?x≤3 ?
3,则实数 a 的取值范围为 A.a≥1 C.-1≤a≤1

,若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a-

( B.a≤-1 D.a≥1 或 a≥-1

)

?3≤2x+y≤9, ? 6.若变量 x,y 满足约束条件? 则 z = x + 2y 的 最 小 值 为 ? ?6≤x-y≤9,

(

) A.-8 C.0 二、填空题 B.-6 D.12

?x≥1 ? 7.在平面直角坐标系中,不等式组 ?y≤2 ?x-y≤0 ?
________.

表示的平面区域的外接圆的方程为

?x-ay-1≥0 ? 8.已知实数 x,y 满足?2x+y≥0 ?x≤1 ?

?x=1 ? (a∈R),若目标函数 z=x+3y 只有当? 时 ? ?y=0

取得最大值,则实数 a 的取值范围是________.

?x-y+4≥0 ? 9.已知实数 x,y 满足约束条件?x+y≥0 ?x≤3 ?
三、解答题

,则 z=

4x - 的最小值为________. 2 y

10.已知?ABCD 的三个顶点为 A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),点(x,y)在?ABCD 的内部, 求 z=2x-5y 的取值范围.

?y≥0, ?y≤x, 11.由约束条件? y≤2-x, ?t≤x≤t+1?0<t<1? ?
达式.

所确定的平面区域的面积 S=f(t),试求 f(t)的表

12.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水 化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合 物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚 餐的费用分别是 2.5 元和 4 元.那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童 分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

详解答案

[来源:Z,xx,k.Com]

一、选择题 1.解析:不等式组

?x+2y-5≥0, ? ?2x+y-7≥0, ?x≥0,y≥0, ?

表示的可行域如图所示,根据目标函数 z=

3x+4y 的几何意义容易求得,当 x=3,y=1 时,z 有最小值 13. 答案:A 2.解析:因为 a⊥b,所以 a· b=0,所以 2x+3y=z,不等式|x|+|y|≤1 可转化为

?x+y≤1 ?x≥0,y≥0? ?x-y≤1 ?x≥0,y<0? ?-x+y≤1 ?x<0,y≥0? ?-x-y≤1 ?x<0,y<0? ?

,由图可得其对应的可行域为边长为

2,以点(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形,结合图象可知当直线 2x+3y=z 过点(0,-1)时 z 有最小值-3,当过点(0,1)时 z 有最大值 3.所以 z 的取值范围为[-3,3]. 答案:D 4 3.解析:由图可知,线性规划区域为△ABC 边界及内部,y=kx+ 3 4 4 恰过 A(0, ),y=kx+ 将区域平均分成面积相等两部分,故过 BC 的中 3 3

1 5 5 1 4 7 点 D( , ), =k× + ,k= . 2 2 2 2 3 3 答案:A 4. 解析: 平面区域如图中阴影部分所示的△BDN, N(0,2), D(1,1), 设点 M(x,y),因点 A(-1,1),则 z= OA · OM =-x+y,由图可知; 当目标函数 z=-x+y 过点 D 时,zmin=-1+1=0;当目标函数 z=-x +y 过点 N 时,zmax=0+2=2,故 z 的取值范围为[0,2],即 OA · OM 的取值范围为[0,2]. 答案:C 5.解析:作出 x,y 满足的可行域,如图阴影部分所示,则 z 在点 A 处取得最大值,在点 C 处取得最小值.又 kBC=-1,kAB=1, ∴-1≤-a≤1,即-1≤a≤1. 答案:C
[来源:学§科§网]

??? ???? ? ?

??? ?

???? ?

?3≤2x+y≤9 ? 6.解析:根据? 得可行域如图中阴影部分所示: ? ?6≤x-y≤9

x z x 根据 z=x+2y 得 y=- + ,平移直线 y=- 得过 M 点时取得最小值. 2 2 2
?x-y=9 ?x=4 ? ? 根据? 得? ,则 zmin=4+2×(-5)=-6. ? ? ?2x+y=3 ?y=-5

答案:B 二、填空题 7.解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.易知 △ABC 为等腰直角三角形,A(2,2),B(1,1),C(1,2),因此△ABC 的外 ?2-1?2+?2-1?2 3 3 2 接圆的圆心为( , ),半径为 = .所以所求外接 2 2 2 2 3 3 1 圆的方程为(x- )2+(y- )2= . 2 2 2 3 3 1 答案:(x- )2+(y- )2= 2 2 2

8.解析:在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域,其中直线 x-ay-1=0 1 1 经过定点(1,0)且斜率为 ,结合图形可知,只有当 >0,即 a>0 时,目标函数 z=x+3y 才能 a a 1 在点(1, 0)处取得最大值(如图(1));若 <0,则可行域变为开放的区域,目标函数 z=x+3y 不 a 存在最大值(如图(2)).所以实数 a 的取值范围是 a>0.

答案:(0,+∞) 9.解析:作出不等式组所表示的可行域(图略),z= 4x 2x y 2x+y 2 ,令 ω=2x+y, - =2 · =2 2 y

4x 1 - 可求得 ω=2x+y 的最小值是-2,所以 z= -y的最小值为 2 2= . 4 2 1 答案: 4 三、解答题 10.解:由题可知,平行四边形 ABCD 的点 D 的坐标为(0,-4),点(x,y) 在平行四边形内部,如图,所以在 D(0,-4)处目标函数 z=2x-5y 取得最大值 为 20,在点 B(3,4)处目标函数 z=2x-5y 取得最小值为-14,由题知点(x,y)在 平行四边形内部,所以端点取不到,故 z=2x-5y 的取值范围是(-14,20). 11.解:由约束条件所确定的平面区域是五边形 ABCEP,如图所示,其面积 S=f(t)=S
△OPD

-S△AOB-S△ECD, 1 而 S△OPD= ×1×2=1. 2 1 1 S△OAB= t2,S△ECD= (1-t)2, 2 2 1 1 1 所以 S=f(t)=1- t2- (1-t)2=-t2+t+ . 2 2 2

12.解:法一:设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所 花的费用为 z 元,则依题意得:

z=2.5x+4y,且 x,y 满足

?y≥0, ? ?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ?6x+10y≥54.
x≥0,

?y≥0, ? 即?3x+2y≥16, ?x+y≥7, ?3x+5y≥27.
x≥0,

作出线性约束条件所表示的可行域,如图所示,

[来源:Z+xx+k.Com]

z 在可行域的四个顶点 A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是 zA=2.5×9+4×0=22.5, zB=2.5×4+4×3=22, zC=2.5×2+4×5=25, zD=2.5×0+4×8=32. 比较之,zB 最小,因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满 足要求. 法二:设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用 为 z 元,则依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足

?y≥0, ? ?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ?6x+10y≥54.
x≥0,

?y≥0, ? 即?3x+2y≥16, ?x+y≥7, ?3x+5y≥27.
x≥0,

让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移, 由此可知 z=2.5x+4y 在 B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.


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