tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛讲义


目录
第一章 第二章 集合????????????????2 函数????????????????15
函数及其性质?????????15 二次函数 函数迭代

§2.1 §2.2 §2.3 §2.4
第三章

?????????21 ?????????28 ?????????32

抽象函



数列????????????????37
等差数列与等比数列????????37 递归数列通项公式的求法 ??????44 递推法解题????????????48

§3.1 §3.2 §3.3
第四章 第五章

三角 平面向量 复数?????????51 直线、圆、圆锥曲线?????????60

第六章 空间向量 简单几何体?????????68 第七章 第八章 二项式定理与多项式?????????75 联赛二试选讲 ?????????82

§8.1 §8.2 §8.3

平几名定理、名题与竞赛题 ??82 数学归纳法 ?????????99 排序不等式 ?????????103

第0页

第一章

集合

集合是高中数学中最原始、最基础的概念,也是高中数学的起始单元,是整个高中数学 的基础.它的基础性体现在:集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函 数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛 中,很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础,也是支撑现代数学 大厦的基石之一,本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.

§1.1 集合的概念与运算
【基础知识】
一.集合的有关概念 1.集合:具有某些共同属性的对象的全体,称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的 元素. 2.集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. 3.集合的分类:无限集、有限集、空集 ? . 4. 集合间的关系: 二.集合的运算 1.交集、并集、补集和差集 差集:记 A、B 是两个集合,则所有属于 A 且不属于 B 的元素构成的集合记作 A \ B . 即 A \ B ? {x ? A 且 x ? B} . 2.集合的运算性质 (1) A ? A ? A , A ? A ? A (幂等律); (2) A ? B ? B ? A , A ? B ? B ? A (交换律); (3) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) , ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) (结合律); (4) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) , A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) (分配律); (5) A ? ( B ? A) ? A , A ? ( A ? B) ? A (吸收律); (6) CU (CU A) ? A (对合律); (7) CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) , CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) (摩根律) (8) A \ ( B ? C ) ? ( A \ B) ? ( A \ C ) , A \ ( B ? C ) ? ( A \ B) ? ( A \ C ) . 3.集合的相等 (1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等; (2)利用定义,证明两个集合互为子集; (3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;
第1页

(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集 合相等的必要条件.

【典例精析】
【例 1】在集合 {1,2,?, n} 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之 和是 .

〖分析〗已知 {1,2,?, n} 的所有的子集共有 2 n 个.而对于 ?i ?{1,2, ?, n} ,显然 {1,2,?, n} 中 包 含 i 的 子 集 与 集 合 {1,2, ?, i ? 1, i ? 1, ?, n} 的 子 集 个 数 相 等 . 这 就 说 明 i 在 集 合

{1,2,?, n} 的所有子集中一共出现 2n?1 次,即对所有的 i 求和,可得 S n ? 2 n?1 (? i ).
i ?1

n

【解】集合 {1,2,?, n} 的所有子集的元素之和为 2 = n ? (n ? 1) ? 2 .
n?1

n?1

(1 ? 2 ? ? ? n) ? 2 n?1 ?

n(n ? 1) 2

〖说明〗本题的关键在于得出 {1,2,?, n} 中包含 i 的子集与集合 {1,2, ?, i ? 1, i ? 1, ?, n} 的 子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛. 【例 2】 已知集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 4ax ? 3a ? 0} 且 A ? B ,求参数 a
2 2 2

的取值范围. 〖分析〗首先确定集合 A、B,再利用 A ? B 的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得 A ? {x | ?2 ? x ? ?1}, B ? {x | ( x ? a)( x ? 3a) ? 0} 当 a ? 0 时, B ? {x | a ? x ? 3a} ,由 A ? B 知无解; 当 a ? 0 时, B ? ? ,显然无解; 当 a ? 0 时, B ? {x | 3a ? x ? a} ,由 A ? B 解得 ? 1 ? a ? 综上知,参数 a 的取值范围是 [?1, ] . 〖说明〗 本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合 B 要分类讨论使其取值范围数 字化,才能通过条件求出参数的取值范围. 【例 3】 已知 x ? R, y ? R ,集合 A ? {x ? x ? 1,? x,? x ? 1}, B ? {? y,?
2
?

2 . 3

2 3

y , y ? 1} .若 A ? B , 2

则 x ? y 的值是(
2 2

) B.4 C.25
2

A.5
2

D.10

【解】? ( x ? 1) ? 0 ,? x ? x ? 1 ? ? x ,且? x ? x ? 1 ? 0 及集合中元素的互异性知
2

x 2 ? x ? 1 ? ? x ,即 x ? ?1 ,此时应有 x 2 ? x ? 1 ? ? x ? ? x ? 1.
第2页

而 y ? R ,从而在集合 B 中, y ? 1 ? ?

?

y ? ? y. 2

? x 2 ? x ? 1 ? y ? 1 (1) ? y ? 由 A ? B ,得 ? ?x?? (2) 2 ? (3) ? ? x ?1 ? ? y ?
由(2)(3)解得 x ? 1, y ? 2 ,代入(1)式知 x ? 1, y ? 2 也满足(1)式.

? x 2 ? y 2 ? 12 ? 2 2 ? 5.
〖说明〗 本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中 对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的 关键. 【例 4】 已知集合 A ? {x, y, lg( xy)}, B ? {0, | x |, y} .若 A ? B ,求 ( x ?

1 1 ) ? ( x 2 ? 2 ) ? ?? y y

+ (x

2008

?

1 y
2008

) 的值.

〖分析〗从集合 A=B 的关系入手,则易于解决. 【解】? A ? B ,? ?

? x ? xy ? lg( xy) ?| x | ? y ,根据元素的互异性,由 B 知 x ? 0, y ? 0 . ? x ? xy ? lg( xy) ? 0

? 0 ? B 且 A ? B ,?0 ? A ,故只有 lg( xy) ? 0 ,从而 xy ? 1.
又由 1? A 及 A ? B ,得 1? B. 所以 ?

? xy ? 1 ? xy ? 1 或? ,其中 x ? y ? 1 与元素的互异性矛盾! ?| x |? 1 ? y ? 1

所以 x ? y ? 1, 代入得:

1 1 1 ( x ? ) ? ( x 2 ? 2 ) ? ??+ ( x 2008 ? 2008 ) =( ? 2 )+2+( ? 2 )+2+??+( ? 2 )+2=0. y y y
〖说明〗 本题是例 4 的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的 必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、 各元素之积及元素个数相等.这是解 决本题的关键. 【例 5】已知 A 为有限集,且 A ? N ,满足集合 A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写
*

出所有这样的集合 A. 【解】 设集合 A= {a1 , a2 , ?, an }( n ? 1) 且 1 ? a1 ? a2 ? ? an ,由 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an ,

an ? n(n ? N *) ,得 nan ? a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an (n ? 1)!,即 n ? (n ? 1)!
第3页

?n ? 2 或 n ? 3 (事实上,当 n ? 3 时,有 (n ? 1)!? (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1) ? 2 ? n) .
当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ,? a1 ? 2,? a1 ? 1 ,而 1 ? a2 ? 1 ? a2 ,? n ? 2. 当 n ? 3 时, a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3a3 ,? a1 ? a2 ? 3 ,? a1 ? 1, a2 ? 2. 由 2a3 ? 3 ? a3 ,解得 a3 ? 3. 综上可知, A ? {1,2,3}. 〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合 A.在解决问题时,应注意 分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解. 【例 6】 已知集合 P ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, S ? {x | x ? 2ax ? a ? 0} ,若 S ? P ,求实数 a 的
2 2

取值组成的集合 A. 【解】 P ? {x | 1 ? x ? 2} ,设 f ( x) ? x ? 2ax ? a .
2

①当 ? ? (?2a) ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时, S ? ? ,满足 S ? P ;
2

②当 ? ? (?2a) ? 4a ? 0 ,即 a ? 0 或 a ? 1 时,
2

若 a ? 0 ,则 S ? {0} ,不满足 S ? P ,故舍去; 若 a ? 1 时,则 S ? {1} ,满足 S ? P . ③当 ? ? (?2a) ? 4a ? 0 时,满足 S ? P 等价于方程 x ? 2ax ? a ? 0 的根介于 1 和 2 之间.
2

2

??0 ? ?a ? 0或a ? 1 (?2a) ? ? ?2 ?1 ? ? ? 1? a ? 2 2 即? ? a ?? . ?? 1? a ? 0 f (1) ? 0 ? ? ? f (2) ? 0 ? 4 ? 3a ? 0 ? ?
综合①②③得 0 ? a ? 1 ,即所求集合 A ? {a | 0 ? a ? 1} . 〖说明〗先讨论特殊情形(S= ? ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对 ? 分类讨论,确定

a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论 ? ? 0.
2 2 【例 7】(2005 年江苏预赛)已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x ? y ), x, y ? R},

N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ? 1| ? 1, x, y ?R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是


第4页

【解】 由题意知 M 是以原点为焦点、 直线 x ? y ? 1 ? 0 为 准线的抛物线上及其凹口内侧的点集, N 是以 (a,1) 为中
y

心的正方形及其内部的点集(如图). 考察 M ? N ? ? 时, a 的取值范围: 令 y ? 1, 代入方程 | x ? y ? 1|?

3 2 1 2 1 3 4 5 6 7

2( x 2 ? y 2 ) ,
-3 -2 -1

O
-1

x

得 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ? 6 . 所以, 当 a ? 2 ? 6 ? 1 ? 1 ? 6 时, 令 y ? 2 ,代入方程

M ? N ? ?.

???? ③

| x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) , 得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 . 解出得
???? ④

x ? 3 ? 10 .所以,当 a ? 3 ? 10 时, M ? N ? ? .

因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当 1 ? 6 ? a ? 3 ? 10 ,即 a ? [1 ? 6, 3 ? 10] 时,

M ? N ? ? .故填 [1 ? 6,3 ? 10] .
【例 8】已知集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } , B ? {a1 , a2 , a3 , a4 } ,其中 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,
2 2 2 2

a1 , a2 , a3 , a4 ? N .若 A ? B ? {a1 , a4 } , a1 ? a4 ? 10 .且 A ? B 中的所有元素之和为 124,求
集合 A、B. 【解】? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,且 A ? B ? {a1 , a4 } ,? a1 ? a1 ,又 a1 ? N ,所以 a1 ? 1.
2

又 a1 ? a4 ? 10 ,可得 a4 ? 9 ,并且 a2 ? a4 或 a3 ? a4 .
2
2

若 a2 ? 9 ,即 a2 ? 3 ,则有 1 ? 3 ? a3 ? 9 ? a3 ? 81 ? 124 , 解得 a3 ? 5 或 a3 ? ?6 (舍)
2
2

此时有 A ? {1,3,5,9}, B ? {1,9,25,81}. 若 a3 ? 9 ,即 a3 ? 3 ,此时应有 a2 ? 2 ,则 A ? B 中的所有元素之和为 100 ? 124.不合题意.
2

综上可得, A ? {1,3,5,9}, B ? {1,9,25,81}. 〖说明〗 本题的难点在于依据已知条件推断集合 A、 中元素的特征.同时上述解答中使用发 B 分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分 的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了. 【 例 9 】 满 足 条 件 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | 的 函 数 g (x) 形 成 了 一 个 集 合 M, 其 中
2 x1 , x2 ? R ,并且 x12 , x2 ? 1 ,求函数 y ? f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2( x ? R) 与集合 M 的关系.

第5页

〖分析〗求函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 集合 M 的关系,即求该函数是否属于集合 M,也就是判断
2

该函数是否满足集合 M 的属性. 【解】? f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| ( x1 ? 3x1 ? 2) ? ( x2 ? 3x2 ? 2) |?| x1 ? x2 | ? | x1 ? x2 ? 3 | |
2 2

取 x1 ?

4 5 9 , x2 ? 时, | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? | x1 ? x2 |? 4 | x1 ? x2 | . 6 6 2

由此可见, f ( x) ? M . 〖说明〗本题中 M 是一个关于函数的集合.判断一个函数 f (x) 是否属于 M,只要找至一个或 几个特殊的 xi 使得 f ( xi ) 不符合 M 中的条件即可证明 f ( x) ? M . 【例 10】对集合 {1,2, ?,2008} 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按 递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如 {1,2,4,6,9} 的“交替和”是

9 ? 6 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6 ,集合 {7,10} 的“交替和”是 10-7=3,集合 {5} 的“交替和”是 5 等等.
试求 A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合 {1,2, ?, n} 求出所有的“交替和”. 〖分析〗集合 A 的非空子集共有 2
2008

? 1个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可

能的.必须分析 “交替和” 的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共 有 15 个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1; {1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的 “交替和” 可以发现, 除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含 4,另一类不包含 4,并且构成这样 的对应:设 Ai 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令 Ai 与 {4} ? Ai 相对应,显然这两个集合的 “交替和”的和为 4,由于这样的对应应有 7 对,再加上{4}的“交替和”为 4,即{1,2,3.4} 的所有子集的“交替和”为 32. 【解】集合 {1,2, ?,2008} 的子集中,除了集合 {2008} ,还有 2
2008

? 2 个非空子集.将其分为两

类:第一类是含 2008 的子集,第二类是不含 2008 的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果

Ai 是第二类的,则必有 Ai ? {2008} 是第一类的集合;如果 B j 是第一类中的集合,则 B j 中除
2008 外,还应用 1,2,??,2007 中的数做其元素,即 B j 中去掉 2008 后不是空集,且是第二类中 的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有 2008,从而可得 A 的所有子集的“交替 和”为

1 2008 (2 ? 2) ? 2008 ? 2008 ? 22007 ? 2008 . 2
n

同样可以分析 {1,2, ?, n} ,因为 n 个元素集合的子集总数为 2 个(含 ? ,定义其 “交替和”

第6页

为 0),其中包括最大元素 n 的子集有 2n?1 个,不包括 n 的子集的个数也是 2n?1 个,将两类子集 一一对应(相对应的子集只差一个元素 n ),设不含 n 的子集“交替和”为 S,则对应的含 n 子集 的“交替和”为 n ? S ,两者相加和为 n .故所有子集的“交替和”为 2
n?1

? n.

〖说明〗 本题中"退到最简",从特殊到一般的思想及分类讨论思想、 对应思想都有所体现, 这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化. 【例 11】一支人数是 5 的倍数的且不少于 1000 人的游行队伍,若按每横排 4 人编队,最后 差 3 人;若按每横排 3 人编队,最后差 2 人;若按每横排 2 人编队,最后差 1 人,求这支游 行队伍的人数最少是多少? 〖分析〗已知游行队伍的总人数是 5 的倍数,那么可设总人数为 5n .“按每横排 4 人编队, 最后差 3 人” ,从它的反面去考虑,可理解为多 1 人,同样按 3 人、2 人编队都可理解为“多 1 人” ,显然问题转化为同余问题. 5n 被 4、3、2 除时都余地,即 5n ? 1是 12 的倍数,再由 总人数不少于 1000 人的条件,即可求得问题的解. 【解】设游行队伍的总人数为 5n(n ? N ) ,则由题意知 5n 分别被 4、3、2 除时均余 1,即
? 于是可令 5n ? 1 ? 12 m(m ? N ) , 由此可得:n ? 5n ? 1是 4、3、2 的公倍数, ?

要使游行队伍人数最少, 则式①中的 m 应为最少正整数且 12 m ? 1 为 5 的倍数, 应为 2.于是 可令 m ? 5q ? 2( p ? N ) , 由此可得:n ? [12 ? (5 p ? 2) ? 1] ? 12 p ? 5 ,5n ? 60 p ? 25 所以 60 p ? 25 ? 1000 , p ? 16
?

12 m ? 1 5



1 5



1 . 4

取 p ? 17 代入②式,得 5n ? 60 ?17 ? 25 ? 1045 故游行队伍的人数最少是 1045 人. 〖说明〗 本题利用了补集思想进行求解, 对于题目中含有 “至少” 、 “至多” 、 “最少” 、 “不都” 、 “都”等词语,可以根据补集思想方法,从词义气反面(反义词)考虑,对原命题做部分或 全部的否定,用这种方法转化命题,常常能起到化繁为简、化难为易的作用,使之寻求到解 题思想或方法,实现解题的目的. 【例 12】 n ? N 且 n ≥15,A, B 都是{1, 3, n }真子集,A ? B ? ? , A ? B ={1, 设 2, ?, 且 2,3,?, n }.证明: A 或者 B 中必有两个不同数的和为完全平方数. 【证明】由题设,{1,2,3,…, n }的任何元素必属于且只属于它的真子集 A, B 之一. 假设结论不真,则存在如题设的{1,2,3,…, n }的真子集 A, B ,使得无论是 A 还 是 B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数. 不妨设 1∈ A ,则 3 ? A ,否则 1+3= 2 ,与假设矛盾,所以 3∈ B .同样 6 ? B ,所以
2

6∈ A ,这时 10 ? A , ,即 10∈ B .因 n ≥15,而 15 或者在 A 中,或者在 B 中,但当 15∈ A 时,因 1∈ A ,1+15= 4 ,矛盾;当 15∈ B 时,因 10∈ B ,于是有 10+15= 5 ,仍然矛盾. 因此假设不真,即结论成立.
第7页
2
2

【赛向点拨】
1.高中数学的第一个内容就是集合,而集合又是数学的基础.因此,深刻理解集合的概念,熟 练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤 其重要. 2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考 查集合语言和集合思想的应用. 3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题 的前提. 4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.

【针对练习】 (A 组)
1.(2006 年江苏预赛) 设在 xOy 平面上, 0 ? y ? x , 0 ? x ? 1 所围成图形的面积为
2
2

1 , 3

则集合 M ? {( x, y ) y ? x ? 1}, N ? {( x, y ) y ? x ? 1} 的交集 M ? N 所表示的图形面 积为( A. )

1 3

B.

2 3

C. 1

D.

4 3

2. (2006 年陕西预赛) a, b 为实数,集合 M= { ,1}, P ? {a,0}, f : x ? x 表示把集合 M 中的元 素 x 映射到集合 P 中仍为 x ,则 a ? b 的值等于( A. ? 1 B.0 C.1 ) D. ? 1
2 2

b a

3. (2004 年全国联赛)已知 M= ( x, y ) | x ? 2 y ? 3 ,N= ?( x, y) | y ? mx ? b?,若对于所有 的 m ? R ,均有 M ? N ? ? , 则 b 的取值范围是 A.[ ?

?

?

6 6 6 6 2 3 2 3 2 3 2 3 , , , , ] B.( ? )C.( ? ) D.[ ? ] 2 2 2 2 3 3 3 3

4. (2005 年全国联赛) 记集合 T ? {0,1,2,3,4,5,6}, M ? {

a1 a2 a3 a4 ? ? ? | ai ? T , i ? 1,2,3,4}, 7 7 2 73 7 4


将 M 中的元素按从大到小的顺序排列,则第 2005 个数是( A.

5 5 6 3 ? 2 ? 3? 4 7 7 7 7 1 1 0 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7

5 5 6 2 ? 2 ? 3? 4 7 7 7 7 1 1 0 3 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7
B.

5. 集合 A,B 的并集 A∪B={a1,a2,a3},当且仅当 A≠B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这 样的(A,B)对的个数有( ) A.27 B.28. C.26 D.25 6.设 A={n|100≤n≤600,n∈N},则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为 ______________.
1? x 2 2 7. 已知 A ? { x x ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R}, B ? { x 2 ? a ≤ 0, 且x ? 2(a ? 7) x ? 5 ≤ 0, x ? R} .若

A ? B ,则实数 a 的取值范围是

.
第8页

8. 设 M={1,2,3,…,1995},A 是 M 的子集且满足条件: 当 x∈A 时,15x ? A,则 A 中元素的 个数最多是_______________. 9. (2006 年集训试题)设 n 是正整数,集合 M={1,2,…,2n}.求最小的正整数 k,使得对 于 M 的任何一个 k 元子集,其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 10. 设 A ={ a | a = x ? y , x , y ? Z },
2 2

求证:⑴ 2k ? 1 ∈ A ( k ? Z );

⑵ 4k ? 2 ? A ( k ? Z ) .

11. (2006 年江苏) 设集合 A ? ? x log 1 ? 3 ? x ? ? ?2 ? ,B ? ? x

? ? ? ?

? ? ? ?

?

2

2a ? ? 1? .若 A ? B ? ? , ? x?a ?

求实数 a 的取值范围. 12. 以某些整数为元素的集合 P 具有下列性质:① P 中的元素有正数,有负数;② P 中的 元素有奇数,有偶数; ③-1 ? P ; ④若 x ,y ∈ P ,则 x + y ∈ P 试判断实数 0 和 2 与集合 P 的关系.

(B 组) 1. 设 S 为满足下列条件的有理数的集合:①若 a ∈ S , b ∈ S ,则 a + b ∈ S , ab? S ;②对任一个有理数 r ,三个关系 r ∈ S ,- r ∈ S ,r =0 有且仅有一个成立.证明: S 是由全体正有理数组成的集合.
S 2. 1 , S 2 , S 3 为非空集合, 对于 1, 3 的任意一个排列 i, j , k , x ? S i , y ? S j , x ? y ? S k 2, 若 则
(1)证明:三个集合中至少有两个相等. (2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素? 3.已知集合: A ? {( x, y) | ax ? y ? 1}, B ? {( x, y) | x ? ay ? 1}, C ? {( x, y) | x ? y ? 1} 问
2 2

(1)当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为含有两个元素的集合? (2)当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为含有三个元素的集合?
2 2 4.已知 A ? ( x , y ) x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0, x , y ? R ,

?

?

B ? ?( x , y ) xy ? ?10, x , y ? R? .
⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合 A 与 B 的 距离定义; ⑵依据⑴中的定义求出 A 与 B 的距离. 5.设集合 P ? {不小于3的正整数} ,定义P上的函数如下:若 n ? P ,定义 f (n) 为不是 n 的 约 数 的 最 小 正 整 数 , 例 如 f (7) ? 2, f (12) ? 5 . 记 函 数 f 的 值 域 为 M . 证 明 :

19 ? M ,99 ? M .
6. 为了搞好学校的工作, 全校各班级一共提了 P ( P ? N ? ) 条建议.已知有些班级提出了相同

第9页

的建议,且任何两个班级都至少有一条建议相同,但没有两个班提出全部相同的建议.求证 该校的班级数不多于 2P?1 个.

【参考答案】
A组 1.解: M ? N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M ? N 的图形面积只要 算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得.为此,只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意 可得, M ? N 的图形在第一象限的面积为 A= 所以选 B. 2.解:由 M=P,从而

1 1 1 2 ? ? .因此 M ? N 的图形面积为 . 2 3 6 3

b ? 0, a ? 1 ,即 a ? 1, b ? 0 ,故 a ? b ? 1. 从而选 C. a
2 2

3. 解 : M ? N ? ? 相 当 于 点 ( 0 , b ) 在 椭 圆 x ? 2 y ? 3 上 或 它 的 内 部

?

2b 2 6 6 ? 1, ?? ?b? .故选 A. 3 2 2
4

4.解: 用 [a1 a 2 ? a k ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得

M ? ? {a1 ? 73 ? a2 ? 7 2 ? a3 ? 7 ? a4 | ai ? T , i ? 1, 2,3, 4} ? {[a1a2 a3a4 ]7 | ai ? T , i ? 1, 2,3, 4}.

M ? 中的最大数为 [6666 ]7 ? [2400 ]10 .在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列的第
2005 个 数 是 2400 - 2004=396. 而 [396 ]10 ? [1104 ] 7 将 此 数 除 以 7 , 便 得 M 中 的 数
4

1 1 0 4 ? 2 ? 3 ? 4 . 故选 C. 7 7 7 7
5.解:A=φ 时,有 1 种可能;A 为一元集时,B 必须含有其余 2 元,共有 6 种可能;A 为二 元集时,B 必须含有另一元.共有 12 种可能;A 为三元集时,B 可为其任一子集.共 8 种可能. 故共有 1+6+12+8=27 个.从而选 A. 6.解:被 7 除余 2 的数可写为 7k+2. 由 100≤7k+2≤600.知 14≤k≤85. 又若某个 k 使 7k+2 能被 57 整除,则可设 7k+2=57n. 即 k ?
57 n ? 2 7

?

56 n ? n ? 2 7

? 8n ? n? 2 . 7

即 n-2 应为 7 的倍数. 设 n=7m+2 代入, k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. ∴m=0,1.于是 得 所求的个数为 85-(14-1)-2=70. 7.解:依题意可得 A ? { x 1 ? x ? 3} ,设 f ( x ) ? 2
1? x

? a , g( x ) ? x 2 ? 2(a ? 7) x ? 5

要使 A ? B ,只需 f ( x ) , g ( x ) 在(1,3)上的图象均在 x 轴的下方,则 f (1) ≤ 0 , f (3) ≤ 0 ,

g(1) ≤ 0 , g(3) ≤ 0 ,由此可解得结果.
8.解:由于 1995=15?133,所以,只要 n>133,就有 15n>1995.故取出所有大于 133 而不超 过 1995 的整数. 由于这时己取出了 15?9=135, ? 15?133=1995. 故 9 至 133 的整数都不能 再取,还可取 1 至 8 这 8 个数,即共取出 1995—133+8=1870 个数, 这说明所求数≥1870.
第 10 页

另一方面,把 k 与 15k 配对, 不是 15 的倍数,且 1≤k≤133)共得 133—8=125 对, (k 每对数中至多能取 1 个数为 A 的元素,这说明所求数≤1870,综上可知应填 1870. 9.解:考虑 M 的 n+2 元子集 P={n-l,n,n+1,…,2n}.P 中任何 4 个不同元素之和不小 于(n-1)+n+( n +1)+( n +2)=4 n +2,所以 k≥n +3.将 M 的元配为 n 对,Bi=(i,2 n +1-i), 1≤i≤n. 对 M 的任一 n+3 元子集 A, 必有三对 Bi1 , Bi2 , Bi3 同属于 A(i1、 2、 3 两两不同). I I 又 将 M 的元配为 n-1 对,C I (i,2n-i),1≤i≤n-1.对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有一对 Ci4 同属于 A,这一对 Ci4 必与 Bi1 , Bi2 , Bi3 中至少一个无公共元素,这 4 个元素互不相同,且和 为 2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数 k= n +310. 10.解: ⑴∵ k , k ? 1 ∈ Z 且 2k ? 1 = k ? ( k ? 1) ,∴ 2k ? 1 ∈ A ;
2 2

⑵假设 4k ? 2 ? A (k ? Z ) ,则存在 x, y ? Z ,使 4k ? 2 = x ? y 即 ( x ? y )( x ? y ) ? 2(2k ? 1) (*)
2 2

由于 x ? y 与 x ? y 具有相同的奇偶性,所以(*)式左边有且仅有两种可能:奇数或 4 的 倍 数 , 另 一 方面 , *) 式 右 边 只 能被 4 除余 2 的 数 , 故( *) 式 不 能 成 立 . 由 此 , (

4k ? 2 ? A(k ? Z ).
11.解: A ? x ?1 ? x ? 3 , B ? x ? x ? a ?? x ? 3a ? ? 0 .

?

?

?

?

? ? 当 a ? 0 时, B ? ? x 3a ? x ? a ? 0? ,由 A ? B ? ? 得 a ? ?1 ;
当 a ? 0 时, B ? x x ? 0 ? ? ,与 A ? B ? ? 不符.
2

当 a ? 0 时, B ? x 0 ? a ? x ? 3a ,由 A ? B ? ? 得 0 ? a ? 3 ;

?

?

综上所述, a ? ? ?1, 0 ? ? ? 0,3? . 12.解:由④若 x , y ∈ P ,则 x + y ∈ P 可知,若 x ∈ P ,则 kx ? P (k ? N ) (1)由①可设 x , y ∈ P ,且 x >0, y <0,则- y x =| y | x 故 x y ,- y x ∈ P ,由④,0=(- y x )+ x y ∈ P . (2)2 ? P .若 2∈ P ,则 P 中的负数全为偶数,不然的话,当-( 2k ? 1)∈ P ( k ? N ) 时 , - 1 = ( - 2k ? 1 ) + 2k ∈ P , 与 ③ 矛 盾 . 于 是 , 由 ② 知 P 中 必 有 正 奇 数 . 设 (| y |∈ N )

? 2m,2n ? 1 ? P (m, n ? N ) ,我们取适当正整数 q ,使 q? | ?2m |? 2n ? 1 ,则负奇数 ? 2qm ? (2n ? 1) ? P .前后矛盾
B组 1.证明:设任意的 r ∈ Q , r ≠0,由②知 r ∈ S ,或- r ∈ S 之一成立.再由①,若 ∈ S , 则 r ? S ;若- r ∈ S ,则 r ? (?r ) ? (?r ) ? S .总之, r ? S .
2
2

r

2

取 r =1,则 1∈ S .再由①,2=1+1∈ S ,3=1+2∈ S ,?,可知全体正整数都属于 S .
第 11 页

设 p, q ? S ,由① pq? S ,又由前证知

p 1 1 ? S ,所以 ? pq ? 2 ∈ S .因此, S 含有全 2 q q q

体正有理数.再由①知,0 及全体负有理数不属于 S .即 S 是由全体正有理数组成的集合. 2.证明: (1)若 x ? S i , y ? S j ,则 y ? x ? S k , ( y ? x) ? y ? ? x ? S i ,所以每个集合中均 有非负元素. 当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立. 否则,设 S1 , S 2 , S 3 中的最小正元素为 a ,不妨设 a ? S1 ,设 b 为 S 2 , S 3 中最小的非负元素, 不妨设 b ? S 2 , 则 b - a ∈ S 3 . 若 b >0,则 0≤ b - a < b ,与 b 的取法矛盾.所以 b =0. 任取 x ? S1 , 因 0∈ S 2 ,故 x -0= x ∈ S 3 .所以 S1 ? S 3 ,同理 S 3 ? S1 . 所以 S 1 = S 3 . (2)可能.例如 S 1 = S 2 ={奇数}, S 3 ={偶数}显然满足条件, S 1 和 S 2 与 S 3 都无公共元素. 3.解: ( A ? B) ? C = ( A ? C ) ? ( B ? C ) . A ? C 与 B ? C 分别为方程组 (Ⅰ) ?

? ax ? y ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

(Ⅱ) ?

? x ? ay ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

的解集.由(Ⅰ)解得( x, y )=(0,1)=(

1? a2 2a , ) ;由(Ⅱ)解得 1? a2 1? a2

( x, y )=(1,0)( ,

1? a2 2a , ) 2 1? a 1? a2

(1)使 ( A ? B) ? C 恰有两个元素的情况只有两种可能:

? 2a ?1 ? a 2 ? 0 ? ①? 2 ?1 ? a ? 1 ?1 ? a 2 ?
由①解得 a =0;由②解得 a =1.

? 2a ?1 ? a 2 ? 1 ? ②? 2 ?1 ? a ? 0 ?1 ? a 2 ?

故 a =0 或 1 时, ( A ? B) ? C 恰有两个元素.

(2)使 ( A ? B) ? C 恰有三个元素的情况是:

2a 1 ? a 2 = 1? a2 1? a2

解得 a ? ?1? 2 ,故当 a ? ?1? 2 时, ( A ? B) ? C 恰有三个元素.
第 12 页

4.解: (1)设 d ?

P1 ? A , P2 ?B

min

P1 P2 (即集合 A 中的点与集合 B 中的点的距离的最小值),

则称 d 为 A 与 B 的距离. ⑵解法一:∵ A 中点的集合为圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1, 圆心为 M ( ?2, ? 2) ,令 P ( x , y ) 是
2 2

双曲线上的任一点,则 MP
2

2

? ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 = x 2 ? y 2 ? 4( x ? y ) ? 8
2

= ( x ? y ) ? 2 xy ? 4( x ? y ) +8= ( x ? y ) ? 4( x ? y ) ? 28
2 2 令 t ? x ? y ,则 MP = t ? 4t ? 28 ? ( t ? 2) ? 24
2

当 t ? ?2 时,即 ?

? xy ? ?10 有解,∴ MP min ? 2 6 ∴ d ? 2 6 ? 1 ? x ? y ? ?2
2 2

解法二: 如图, P 是双曲线上的任一点, Q 为圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1 上任一点,圆心为 M .显然, P Q ? M Q ≥ MP (当 P 、 、M 三点共 Q 线时取等号)∴ d ? MP min ? 1 . 5.解:记 n ? 18! 时,由于 1,2,??18 都是 n 的约数,故此时 f (n) ? 19. 从而 19 ? M . 若存在 n ? P ,使 f (n) ? 99 ,则对于小于 99 的正整数 k ,均有 k | n ,从而 9 | n,11 | n ,但 是 (9,11) ? 1 , 由整数理论中的性质 9×11=99 是 n 的一个约数, 这是一个矛盾! 从而 99 ? M . 6.证明:假设该校共有 m 个班级,他们的建议分别组成集合 A1 , A2, ? , Am 。这些集合中没 有两个相同(因为没有两个班级提出全部相同的建议) ,而任何两个集合都有相同的元素, 因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在 A1 , A2, ? , Am 中至多有 A(所有 P 条建议所组成的集合)的

1 P ? 2 ? 2 P?1 个子集,所以 m ? 2 P?1. 2

第 13 页

第二章
§2.1
一、函数的基本性质:
1. 函数图像的对称性 (1) (2)

函数
函数及其性质

奇函数与偶函数:奇函数图像关于坐标原点对称,对于任意 x ? D ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 成立; 偶函数的图像关于 y 轴对称,对于任意 x ? D ,都有 f (? x) ? f ( x) 成立。 原函数与其反函数:原函数与其反函数的图像关于直线 y ? x 对称。 示同一函数时,那么此函数的图像就关于直线 y ? x 对称。 若某一函数与其反函数表

(3)

若 函 数 满 足 f ( x) ? f (2a ? x) , 则 f ( x ) 的 图 像 就 关 于 直 线 x ? a 对 称 ; 若 函 数 满 足

f ( x) ? ? f (2a ? x) ,则 f ( x) 的图像就关于点 (a, 0) 对称。
(4) 互对称知识:函数 y ? f ( x ? a)与y ? f (a ? x) 的图像关于直线 x ? a 对称。

2.函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导 数法或借助其他函数结合单调性的性质(如复合函数的单调性) 特别提示:函数 y ? x ? 3.函数的周期性 对 于 函 数 y ? f ( x) , 若 存 在 一 个 非 零 常 数 T , 使 得 当 x 为 定 义 域 中 的 每 一 个 值 时 , 都 有

a (a ? 0) 的图像和单调区间。 x

f ( x ? T) ? f ( x)成立,则称 y ? f ( x) 是周期函数,T 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中
存在一个最小的正数,就称其为最小正周期。 (1) (2) (3) (4) 若 T 是 y ? f ( x) 的周期,那么 nT (n ? Z ) 也是它的周期。

T 的周期函数。 a 若函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 和 x ? b 对称,则 y ? f ( x) 是周期为 2(a ? b) 的函数。
若 y ? f ( x) 是周期为 T 的函数,则 y ? f (ax ? b) (a ? 0) 是周期为 若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? a) ? ? f ( x) (a ? 0) ,则 y ? f ( x) 是周期为 2a 的函数。

4.函数的最值: 常规求法:配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法 5.Gauss(高斯)函数 对于任意实数 x ,我们记不超过 x 的最大整数为 [ x] ,通常称函数 y ? [ x] 为取整函数。又称高斯 函数。又记 {x} ? x ? [ x] ,则函数 y ? {x} 称为小数部分函数,它表示的是 x 的小数部分。 高斯函数的常用性质: (1) (3) (4) (5) 对任意 x ? R, 均有 x ? 1 ? [ x] ? x ? [ x] ? 1 (2) 对任意 x ? R ,函数 y ? {x} 的值域为 [0,1)

高斯函数是一个不减函数,即对于任意 x1 , x2 ? R, 若 x1 ? x2 , 则 [ x1 ] ? [ x2 ] 若 n ? Z , x ? R, 则有[ x ? n] ? n ? [ x] , {n ? x} ? {x} ,后一个式子表明 y ? {x} 是周期为 1 的函数。 若 x, y ? R, 则 [ x] ? [ y] ? [ x ? y] ? [ x] ? [ y] ? 1 (6) 若 n ? N * , x ? R, 则 [nx] ? n[ x]

二、应用举例: 例 1.已知 f (x) 是一次函数,且 f 10 ( x) ? 1024 x ? 1023 .求 f (x) 的解析式.
第 14 页

例 2.已知 f ( x) ?

bx ? 1 1 k (a, b是常数,ab ? 2), 且f ( x) f ( ) ? k.(1)求k ; (2)若f ( f (1)) ? , 求a, b. 2x ? a x 2

n ? 1000 ?n ? 3 例 3.函数 f (n) ? ? ,求 f (84) ? f ( f (n ? 5)), n ? 1000

函数迭代中的”穿脱”技巧 设函数 y=f(x),并记 fn(x)=f(f(f?(fx)?),其中 n 是正整数, fn(x)叫做函数 f(x)的 n 次迭代,函 数迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外 数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由 f(x)(或 fn(x)的表达 式”穿上”或”脱去”n-1 个函数符号得出 fn(x)(或 f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中 穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索. 1 程序化穿脱 “穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上 f,或从外至内一层层脱 去 f,往往是一种程序化的模式, 例 已知 f(x)=

x 1? x2

,求 fn(x).

2 实验法穿脱 许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去 发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉,是发现规律的金钥匙. 例函数定义在整数集上,且满足 f(n)= n-3 (n≥1000) f[f(n+5)](n<1000 求 f(84) 例 21 对任意的正整数 k, 令 f1(k) 定义为 k 的各位数字和的平方 . 对于 n ≥ 2 令 fn(k)=f1(fn-1(k)),求 f1988(11). 3 周期性穿脱 在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达 到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程. 例定义域为正整数的函数,满足: f(n)= n-3 (n≥1000) f[f(n+7)](n<1000. 试求 f(90) 练习
第 15 页

1.设 n 是自然数,f(n)为 n2+1(十进制)的数字之和,f1(n)=f(n),求的 f100(1990)值. 2.已知 f(x)= 例 4.求函数 y ? x ?

2x ? 1 .设 f35(x)=f5(x),求 f28(x). x ?1
x 2 ? 3 x ? 2 的值域。

y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 ? x 2 ? 3x ? 2 ? y ? x ? 0

y2 ? 2 3 两边平方得 (2 y ? 3) x ? y ? 2 ,从而 y ? 且 x ? 。 2y ? 3 2
2

由y?x? y?

y2 ? 2 y 2 ? 3y ? 2 3 ?0? ? 0 ? 1 ? y ? 或 y≥2。 2y ? 3 2y ? 3 2 y2 ? 2 ,易知 x≥2,于是 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 。 2y ? 3

任取 y≥2,由 x ?

y2 ? 2 3 任取 1 ? y ? ,同样由 x ? ,易知 x≤1。 2y ? 3 2
于是 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 。 因此,所求函数的值域为 [1, ) ? [2,??) 。

3 2

?( x ? 1) 3 ? 2004 ( x ? 1) ? ?1 ? 例 5(1)设 x,y 是实数,且满足 ? ,求 x+y 的值 ?( y ? 1) 3 ? 2004 ( y ? 1) ? 1 ?
(2) 若方程 x ? 2a sin(cos x) ? a ? 0 有唯一解,求 a
2 2

例 6:解方程、不等式: (1) x ? log 2 (2 x ? 31) ? 5

(2)(x+8)2007+x2007+2x+8=0

(3) ( x2 ? 20 x ? 38)3 ? 4 x 2 ? 152 ? x3 ? 84 x

Ex1.求 y ? (3x ? 1)( 9 x ? 6 x ? 5 ? 1) ? (2 x ? 3)( 4 x ? 12 x ? 13 ? 1) 的图象与 x 轴交点坐
2 2

标。
第 16 页

解: y ? (3 x ? 1)( (3 x ? 1) 2 ? 4 ? 1) ? (2 x ? 3)( (2 x ? 3) 2 ? 4 ? 1) 令 f (t ) ? t ( t 2 ? 4 ? 1) ,可知 f (t ) 是奇函数,且严格单调,所以

y ? f (3x ? 1) ? f (2 x ? 3) ,当 y ? 0 时, f (3x ?1) ? ? f (2 x ? 3) ? f (3 ? 2 x) ,
所以 3x ?1 ? 3 ? 2 x ,故 x ?

4 4 ,即图象和 x 轴交点坐标为 ( , 0) 5 5

若函数 f ( x) 为单调的奇函数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 。若遇两个式子 结构相同,不妨依此构造函数,若刚好函数能满足上述性质,则可解之。
Ex2. 设 函 数 f ( x) ? x ? log 2 ( x ?
3

x 2 ? 1) , 则 对 任 意 实 数 a,b, a ? b ? 0 是

f (a) ? f (b) ? 0 的( )
A.充分必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

探求讨论函数的有关性质, 历年来都是数学竞赛的命题热点之一, 例如探求函数的周期 性, 函数的不等式证明, 以及解反函数的不等式等问题。 而解决这类问题 的办法就是要 “穿 脱”函数符号“f” ,下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法. 1.单调性穿脱法 对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f”进行“穿 脱”,进而达到化简的目的,由此使问题获得解答. 已知函数 f(x)在区间(- ? ,+ ? )上是增函数,a 和 b 是实数.试证: ⑴证明命题:如果 a+b≥0 那么 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). ⑵判断⑴中的逆命题是否正确,并证明你的结论. 2 反函数穿脱法 灵活自如地处理原函数 f(x)与反函数 f-1(x),并能熟练地运用 f-1 (f(x))=x,f(f-1(x))=x 进行穿脱函数符号“f” ,这是极为常用而又重要的方法. 引理 若 f(x),g(x)互为反函数,且 f(a+b)=f(a) f(b),则 g(mn)=g(m)+g(n)

1 例 已知函数 f(x)满足:①f( 2 )=1;②函数的值域为[-1,1];③严格递减; ④f(xy)= f(x)+f(y).

1 1 1 试求:⑴求证: 4 不在 f(x)的定义域内⑵求不等式 f-1(x)f-1( )≤ 的解集 1? x 2
3 定义探求法

在求解有关函数方程的问题时,我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数,此时我们一 般采用周期函数的定义来求解,探求函数的有关性质. 例 设 a>0, f(x)是定义在实数集上的一个实值函数,且对每一实数 x,有

1 f(x+a)= 2 +

f ( x ) ? [ f ( x )] 2

⑴证明: f(x)是周期函数;
第 17 页

⑵对 a=1,具体给出一个这样的非常数的函数 f(x)
例 7. a ? 1 ,a,? 均为实数, 设 试求当 ? 变化时, 函数 y ?

(a ? sin ? )( 4 ? sin ? ) 的最小值。 1 ? sin ?

例 8. f ( x) 是定义在 Z 上的一个实值函数,f ( x) 满足 ? 设 求证: f ( x) 是周期为 4 的周期函数。

? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) f ( y ) ? f (1) ? 0

① ②



例 9.已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=-

1 ? f (x) ,求证 f(x)是周期函数 1 ? f (x)

三、练习 1 . 集 合 M 由 满 足 如 下 条 件 的 函 数 f ? x ? 组 成 : 当 x1 , x2 ? ? ?1, 1

?

时,有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 x1 ? x2 ,对于两个函数 f1 ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 5, f 2 ? x ? ?
中成立的是( )

x ,以下关系

A. f1 ? M , f 2 ? M ; B. f1 ? M , f 2 ? M ; C. f1 ? M , f 2 ? M ; D. f1 ? M , f 2 ? M ;
2.设 f ( x) =

1? x = ,记 f1 ? x ? ? f ? x ? ,若 f n ?1 ( x) ? f ( f n ( x)), 则 f 2006 ( x) ( 1? x 1 1? x x ?1 C、 A、 x B 、D、 x 1? x x ?1
?y



3.若(log23)x?(log53)x≥(log23)

?(log53)

?y

,则(

)

(A)x?y≥0 (B)x+y≥0 (C)x?y≤0 (D)x+y≤0 4.定义在实数集上的函数 f(x),对一切实数 x 都有 f(x+1)=f(2-x)成立,若 f(x)=0 仅有 101 个不同的实数根,那么所有实数根的和为( ) A.150 B.
303 2

C.152
第 18 页

D.

305 2

5. 已知 f ( x) ? a sin x ? b3 x ? 4 、 实数) f (lg log 3 10) ? 5 , f (lg lg 3) 的值是 ( (a b; 且 则 (A) ? 5 6.函数 f ( x) ? A.奇函数 (B) ? 3 (C) 3 (D) 随 a、b 取不同值而取不同值



lg(1 ? x 2 ) 的奇偶性是: | x ? 2 | ?2
B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数又不是偶函数

7 . 已 知 函 数 f ?x ? ? l o g ? ax ? x ? a
2

? ?

1? ? 在 [1,2] 上 恒 正 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 2?

(

) (A) ? , ?

?1 5? ? 2 8?

(B) ?

?3 ? ,?? ? ?2 ?

(C) ? , ? ? ? ,?? ?

?1 5? ?2 8?

?3 ?2

? ?

(D) ? 8.函数 f ? x ? ?

?1 ? ,?? ? ?2 ?
x ? 3 ? 12 ? 3x 的值域为(


A. ?1, ?

2? ?

B. ?1, ?

3? ?

? 3? C. ?1, ? ? 2?

D.

?1, 2?
( )
④ f ( x) ? x ? [ x]是偶函数

9.给定实数 x ,定义 [ x] 为不大于 x 的最大整数,则下列结论中不正确的序号是
① x ? [ x] ? 0 ② x ? [ x] ? 1
3

③ f ( x) ? x ? [ x]是周期函数

10.函数 f ( x) ? x ? x ? 10 sin x ? 3, ( x ? [?10,10]) ,则 f min ( x) ? f max ( x) ? 11。实数 x,y 满足 x2=2xsin(xy)-1,则 x2006+6sin5y=______________ 12.方程 ln( x ? 1 +x)+ln( 4 x ? 1 +2x)+3x=0 的解集是
2 2

13..已知 x, y ? [?

? ?

? 3 ? x ? sin x ? 2a ? 0 ,则 cos(x ? 2 y) = , ], a ? R ,且 ? 3 4 4 ?4 y ? sin y cos y ? a ? 0 ?

14.下列说法正确的是 (1)函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (a ? x) 关于直线 x ? a 对称; (2)函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (a ? x) 关于 y 轴对称; (3)若函数 f (x) 满足 f (a ? x) = f (a ? x) ,则 f (x) 关于直线 x ? a 对称; (4)若函数 f (x) 满足 f (a ? x) = f (a ? x) ,则 f (x) 关于 y 轴对称 15 . 若 函 数

f ( x) 的 定 义 域 为

R , 且 对 于 x 的 任 意 值 都 有

第 19 页

f ( x ? 2005) ? f ( x ? 2004) ? f ( x ? 2006) ,
则函数 f ( x) 的周期为__________。 16.设方程 log 3 x ? x ? 3 ? 0 的根为 x1 ,方程 3 ? x ? 3 ? 0 的根为 x 2 ,则 x1 ? x2 =
x

17.函数 f ( x) ? min{ 4 x ? 1, x ? 2,?2 x ? 4} ,则 f max ( x) ? 18.设 x ? 1, y ? 1, S ? {log x 2, log 2 y, log y (8 x )} 则 S 的最大值为
2

19.设函数 f 0 ( x) ? x , f1 ( x) ? f 0 ( x) ? 1 , f 2 ( x) ? f1 ( x) ? 2 ,求函数 y ? f 2 ( x) 的图象与 x 轴所 围成的封闭部分的面积. 20. k 为何实数时,方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? k 有四个互不相等的实数根. 21.(1)若函数满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ,求证 f ( x) 的图像就关于直线 x ? a 对称 (2)函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? cx 的图像关于某条垂直于 x 轴的直线对称, 求实数 c 的值
4 3 2

?x ? 1 , 0 ? x ? 1 ? 2 2 22.已知 f ( x ) ? ? ,定义 f n ( x ) ? f ( f (? f ( x )?)), n ? N * ??????? 1 ? x ?1 ?2(1 ? x ), n个 2 ? (1)求 f 2001( 2 ) (2)设 B ? ?x | f15 ( x) ? x, x ? [0,1]?,求证: B 中至少含有 9 个元素. 15 函数 f (x ) 的定义域关于原点对称,但不包括数 0 ,对定义域中的任何实数 x ,在定义域中存

在 x1 , x2 ,使得 x ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且满足以下三个条件: (1) x1 , x2 是定义域中的 数,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 或 0 ? x1 ? x2 ? 2a ,则 f ( x1 ? x2 ) ?

f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ; (2) f ( a ) ? 1 ( a 是一 f ( x2 ) ? f ( x1 )

个正常数)(3)当 0 ? x ? 2a 时, f ( x ) ? 0 .求证: ; (1) f (x ) 是奇函数; (2) f (x ) 是周 期函数,并求出其周期; (3) f (x ) 在 (0,4a) 内为减函数.

§2.2
一、 基础知识: 1. 二次函数的解析式 (1)一般式: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) (2)顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k ,顶点为 (h, k ) (3)两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) (4)三点式: f ( x) ?

二次函数

( x ? x1 )( x ? x3 ) ( x ? x2 )( x ? x3 ) ( x ? x1 )( x ? x2 ) f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ( x3 ? x1 )( x3 ? x2 ) ( x2 ? x1 )( x2 ? x3 ) ( x1 ? x2 )( x1 ? x3 )

2.二次函数的图像和性质 (1) f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的图像是一条抛物线,顶点坐标是 (?

b 4ac ? b 2 , ) ,对称轴方程为 2a 4a

第 20 页

x??

b ,开口与 a 有关。 2a

b b ] 上为减函数,在 [? , ??) 上为增函数; a ? 0 时相反。 2a 2a (3)奇偶性:当 b ? 0 时, f ( x ) 为偶函数;若 f (a ? x) ? f (a ? x) 对 x ? R 恒成立,则 x ? a 为 f ( x ) 的
(2)单调性:当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??, ? 对称轴。 (4)最值:当 x ? R 时, f ( x ) 的最值为

4ac ? b2 b ,当 x ? [ m, n],? ? [m , n ]时, f ( x) 的最值可从 4a 2a

f ( m), f (n ), f ( ?

b b )中选取;当 x ? [m, n], ? ? [m, n] 时, f ( x) 的最值可从 f (m), f (n) 中选取。常依 2a 2a

轴与区间 [m, n] 的位置分类讨论。 3.三个二次之间的关联及根的分布理论: 二次方程 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的区间根问题,一般情况需要从三个方面考虑:判别式、区间端 点函数值的符号;对称轴与区间端点的关系。 二、 综合应用: 例 1:已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [?2, 2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 例 2.设 f (x) ? ax 2 ?bx ?c (a ? 0) 满足条件: (1)当 x ? R 时, f ( x ? 4) ? f (2 ? x)且f ( x) ? x , (2)当

? x ?1? ①求 f ( x ) 的解析式; ②求最大的 m(m ? 1) x ? (0,2) 时 f ( x) ? ? , ? ,(3) f ( x) 在 R 上的最小值为 0。 ? 2 ? 使得存在 t ? R ,只要 x ? [1, m] 就有 f ( x ? t ) ? x 。
2

设实数 a、b、c 满足 a2-bc-8a+7=0 b2+c2+bc-6a+6=0 求 a 的取值范围. …………① …………②

分析:如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题,转化为只含有 a 的不等式,是解决本题的关键, 仔细分析观察方程组的特点, 发现可以利用 a 来表示 bc 及 b+c, 从而用韦达定理构造出 a 为变量的一元二 次方程,由△ ≥0 建立 a 的不等式. 解:由①得:bc=a2-8a+7 …………③ 由①②得:(b+c)2=a2-2a+1 即 b+c=± -1) (a
…………④

由③④得 b,c 为方程 x2± -1)x+(a2-8a+7)=0 的两个实数根, (a 由于 b,c∈R,所以△ ≥0 即:[± -1)]2-4(a2-8a+7)≥0 即:a2-10a+9≤0 得:1≤a≤9 (a

例 3 。 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c 和 一 次 函 数 g ( x) ? ?bx , 其 中 a, b, c 满 足
2

a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 , (a, b, c ? R) .
(1)求证:两函数的图像交于不同的两点 A、B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1 B1 的范围。

命题意图:本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力. 知识依托:解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析:由于此题表面上重在“形” ,因而本题难点就是一些考生可能走入误区,
第 21 页

老是想在“形”上找解问题的突破口,而忽略了“数”. 技巧与方法:利用方程思想巧妙转化.
? y ? ax 2 ? bx ? c (1)证明:由 ? 消去 y 得 ax2+2bx+c=0 y ? ?bx ?

c 3 2 2 2 2 2 Δ =4b -4ac=4(-a-c) -4ac=4(a +ac+c )=4[(a+ ) 2 ? c ] 2 4 3 ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴ c2>0,∴Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点. 4 2b c (2)解:设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=- ,x1x2= . a a

|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
2b 2 4c 4b 2 ? 4ac 4( ?a ? c) 2 ? 4ac ) ? ? ? a a a2 a2 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 c 2 c c 1 2 3 ? 4[( ) ? ? 1] ? 4[( ? ) ? ] a a a 2 4 c 1 ∴a>-a-c>c,解得 ∈(-2,- ) 2 a c c c c 1 ∵ f ( ) ? 4[( ) 2 ? ? 1] 的对称轴方程是 ? ? . a a a a 2 c 1 ∈(-2,- )时,为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( 3 ,2 3 ). 2 a 例 4.已知二次函数 f(x)=ax2+bx (a,b 是常数,且 a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x),且方程 f(x)=2x 有等根。 ①求 f(x)的解析式; ②是否存在实数 m,n (m<n),使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]?如果存在,求 出 m,n 的值;如果不存在,请说明理由。 解析:①∵方程 f(x)=2x 有等根?⊿=0?b=2 ? (?

∵f(x-1)=f(3-x)?f(x)=f(2-x)?图象的对称轴为 x=∴f(x)=-x2+2x ②f(x)=-(x-1)2+1≤1 ∴4n≤1?n≤

b =1?a=-1 2a

1 4

∵抛物线 y=-x2+2x 的对称轴为 x=1 ∴n≤

1 时,f(x)在[m,n]上为增函数 4

若满足题设条件的 m,n 存在,则

? f (m) ? 4m ?m ? 0或m ? ?2 ?? ? ? f ( n) ? 4n ?n ? 0或n ? ?2
∵m<n≤

1 4

∴m=-2,n=0,这时定义域为[-2,0],值域为[-8,0]
第 22 页

∴存在 m=-2,n=0,满足条件。
例 5. 对于函数 y=f(x), 若存在实数 x0, 满足 f(x0)=x0, 则称 x0 为 f(x)的不动点。 已知 F1(x)=f(x), F2(x)=f[F1(x)], F3(x)=f[F2(x)], ?, Fn(x)=f[Fn-1(x)] (n∈N*,n≥2)。 ①若 f(x)存在不动点,试问 F2(x), F3(x), ?,Fn(x)是否存在不动点?写出你的结论,并加以证 明。 ②设 f(x)=2x-x2。求使所有 Fn(x)<0 (n∈N*,n≥2)成立的所有正实数 x 值的集合。 ①y=f(x)存在不动点 x0,则 f(x0)=x0,下证 x0 是 Fn(x)的不动点。 ∵F2(x0)=f[F1(x0)]=f[f(x0)]f(x0)=x0 ∴x0 也是 F2(x)的不动点。 若 Fn-1(x)存在不动点 x0,即 Fn-1(x0)=x0 ∴Fn(x0)=f[Fn-1(x0)]=f(x0)=x0? Fn(x)存在不动点 x0 综上所述:对于任意 n∈N*,n≥2,Fn(x)都存在不动点,并且有相同的不动点。 ②方法一: ∵f(x)<0?2x-x2<0?x<0 或 x>2 ∵要使 Fn(x)<0 (n≥2)?f[Fn-1(x)]<0?2Fn-1(x)-[Fn-1(x)]2<0?Fn-1(x)<0 或 Fn-1(x)>2 依此类推, 要使 F2(x)<0?f[F1(x)]<0?f[f(x)]<0?2f(x)-[f(x)]2<0?f(x)<0 或 f(x)>2?2x-x2<0 2 或 2x-x >2?x<0(舍去)或 x>2 或 x∈??x>2 ∴所求 x 的取值范围为(2,+∞)。

? 例 6 : 求 实 数 a 的 取 值 范 围 , 使 得 对 于 任 意 实 数 x 和 任 意 实 数 ? ? [0, ] , 恒 有 2
( x ? 3 ? 2sin ? cos? )2 ? ( x ? a sin ? ? a cos? )2 ?

1 。 8 1 8

设 t ? sin ? ? cos? , t ? [1, 2] ,原不等式化为: ( x ? 2 ? t 2 )2 ? ( x ? at )2 ? 恒成立 记 f ( x) ? ( x ? 2 ? t 2 )2 ? ( x ? at )2 ,则 ? f ( x)min , ? a2 ? b2 ?
1 (2 ? t 2 ? at )2 ? ? ? 2t 2 ? 2at ? 3 ? 0或2t 2 ? 2at ? 5 ? 0 , 8 2
?1 ? t ? 2 , ? (t ? 3 5 7 ) min ? 6 ; (t ? ) max ? 2t 2t 2

1 8

(a ? b)2 (2 ? t 2 ? at )2 , ? f ( x) ? 2 2 3 5 或a ? t ? 2t 2t

?a ? t ?
7 2

? a ? 6或a ?

例 7:已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,方程 f ( x) ? x 的两根是 x1 , x2 , 且x2 ? x1 ?
0 ? t ? x1 ,试比较 f (t )与x1 的大小。

1 ,又若 a

解法一:设 F(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=a(x-x1)(x-x2)∴ f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x 作差:f(t)-x1=a(t-x1)(t-x2)+t-x1 =(t-x1)[a(t-x2)+1] =a(t-x1)(t-x2+ 又 t-x2+
1 <t-(x2-x1)-x1=t-x1<0∴ f(t)-x1>0∴ f(t)>x1 a 1 ) a

解法二:同解法一得 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x 令 g(x)=a(x-x2)∵ a>0,g(x)是增函数,且 t<x1 ? g(t)<g(x1)=a(x1-x2)<-1 另一方面:f(t)=g(t)(t-x1)+t
第 23 页



f (t ) ? t =a(t-x2)=g(t)<-1∴ f(t)-t>x1-t∴ f(t)>x1 t ? x1
2

例 8.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,方程 f ( x) ? x 的两个根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ? 2 (1) 求证: x1 , x2 也是方程 f ( f ( x)) ? x 的根; (2) 设 f ( f ( x)) ? x 的另两个根是 x3 , x4 , x3 ? x4 , 且 试判断 x1 , x2 , x3 , x4 的大小。 解: (1)易证。 (2)由方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根为 x1 , x2 ,设 f ( x) ? x ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) 所以 f ( f ( x)) ? x ? ( f ( x) ? x1 )( f ( x) ? x2 ) ? f ( x) ? x

[( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( x ? x1 )][( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( x ? x2 )] ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )[( x ? x1 ? 1)( x ? x2 ? 1) ? 1]
记 g ( x) ? ( x ? x1 ? 1)( x ? x2 ? 1) ? 1 ,则 x3 , x4 是 g ( x) ? 0 的两根,而

g ( x1 ) ? x1 ? x2 ? 2 ? 0, g ( x2 ) ? x2 ? x1 ? 2 ? 0 ,且 x3 ? x4 ,
故 x4 ? x2 ? x3 ? x1 。 例 9.设 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a ? 0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 , x2 ,若 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设
y ? f ( x) 的对称轴为 x

? x0 ,求证 x0 ? ?1
? g (2) ? 0 可以推出结论。 ? g (4) ? 0

构造 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax 2 ? (b ? 1) x ? 1, ?

.设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) ,当 x ?[0,1] 时, | f ( x) |? 1 ,求证:适合 b ? A 的最小实数 A 的值为 8。

1 1 1 1 ? f (1) ? a ? b ? c ? f (1) ? a ? b ? c 4 4 4 4 ? 1 1 b 3 f (0) ? c ? ? f ( ) ? f (1) ? ? f (0) ? 2 4 4 4 ? 1 1 b 1 1 b ?f ( ) ? a? ?c f ( ) ? a? ?c ? 2 4 2 2 4 2

1 1 ? b ? 4 f ( ) ? f (1) ? 3 f (0) ?| b |? 4 | f ( ) | ? | f (1) | ?3 | f (0) |? 8 ,所以 A 的最小值为 8 2 2
2 例 10.设 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? x2 ?

1 , a

(1)当 x ? (0, x1) 时,证明 x ? f ( x) ? x1 ; (2)设 f ( x) 的图像关于直线 明 x0 ?

x ? x0 对称,证

x1 2 该题是一九九七年全国普通高考理工类数学第 24 题,它综合考查二次函数、二次方程和不
第 24 页

等式的基础知识,以及灵活运用数学知识和方法分析、解决问题的能力,当年没有几个考生 能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考: 从代数角度看,f(x)是二次函数,从而方程 f(x)-x=0 即 ax2+(b-1)x+c=0 (a>0)是二次方 程,由于 x1,x2 是它的两个根,且方程中 x2 的系数是 a,因此有表达式:f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) , 进而,利用二次函数的性质和题设条件,可得第(1)问的证明。 从几何角度看,抛物线 y=f(x)-x 开口向上,因此在区间[x1,x2]的外部,f(x)-x>0, 1) ( 的左端得证。其次,抛物线 y=f(x)的开口也向上,又 x1=f(x1),于是为了证得(1)的右端, 相当于要求证明函数 f(x)在区间[0,x1]的最大值是 f(x1),这相当于证明 f(0)≤f(x1),也即 C ≤x1,利用韦达定理和题设,立即可得。 至于(Ⅱ)的证明,应用配方法可得 x0= ? 2ba ,进而利用韦达定理与题设,即得证明。 证明:①欲证:x<f(x)<x1
只须证:0<f(x)-x<x1-x ①

∵方程 f(x)-x=0 的两根为 x1,x2, ∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) ①式即: 0<a(x-x1)(x-x2)<x1-x ② ∵a>0,x∈(0,x1),x1-x>0,∴ a(x1-x)>0 ②式两边同除以 a(x1-x)>0,得:0<x2-x< 1 ,即:x<x2< 1 +x a a 这由已知条件:0<x<x1<x2< 1 ,即得:x<x2< 1 < 1 +x, a a a 故命题得证。 (2)欲证 x0<
x1 2

,因为 x0= ? 2ba ,故只须证:x0x1 ? x2 2

x1 2

= ? 2ba -

x1 2

<0
x1 2


x2 2

? 由韦达定理,x1+x2= ? ba 1 ,

= ? b2?1 ,代入①式,有 ? 2ba a

=

1 - 2a <0

即:x2< 1 a 由已知:0<x1<x2< 1 ,命题得证。 a
三、练习 1.二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) ,则 f ( x1 ? x 2 ) 等于:
2

A. ?

b 2a

B. ?

b a
2

C.c

D.

4ac ? b 2 4a

2.已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 1? a ? 0, b ? R ? ,设方程 f ? x ? ? x 有两个实数根

x1 , x2 .
①如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; ②如果 0 ? x1 ? 2 ,且 f ? x ? ? x 的两实根的差为 2,求实数 b 的取值范围.
第 25 页

(1) f ( x) ? x 即为: g ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? 1
? b ?1 ?? 2 ? 4 它的两根满足 x1 ? 2 ? x 2 ? 4 的充要条件是: ? g (2) ? 4a ? 2b ? 1 ? 0 ? ? g (4) ? 16 a ? 4b ? 3 ? 0 ? ?

又 x0 ? ?

b 2a ? b g (4) ? g (2) ,所以: x 0 ? 1 ? ? 2a 2a 8a

因为: a ? 0, g (2) ? 0, g (4) ? 0 ,所以: x0 ? 1 ? 0 ,即: x 0 ? ?1
? g ( 0) g ( 2) ? 0 (1) 由题意得: ? (b ? 1) 2 ? 4a ? ?2 ? a ?
?4a ? 2b ? 1 ? 0 即: ? ( a ? 0) 2 2 ?(b ? 1) ? 4a ? 4a

?3 ? 2b ? 0 消去 a 得: 2 (b ? 1) 2 ? 1 ? 3 ? 2b ,此不等式等价于: ? 2 2 ?4 ?b ? 1? ? 1 ? ?3 ? 2b ?

?

?

1 4 3 . 已 知 函 数 f(x)=6x - 6x2 , 设 函 数 g1(x)=f(x), g2(x)=f[g1(x)], g3(x)=f[g2(x)], ? , gn(x)=f[gn-1(x)], ?。 ①求证:如果存在一个实数 x0,满足 g1(x0)=x0,那么对一切 n∈N*, gn(x0)=x0 都成立; ②若实数 x0,满足 gn(x0)=x0,则称 x0 为稳定动点,试求所有这些稳定不动点。 ③设区间 A=(-∞,0),对于任意 x∈A,有 g1(x)=f(x)=a<0, g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0,且 n≥2 时, gn(x)<0。 试问是否存在区间 B (A∩B≠?), 对于区间内任意实数 x, 只要 n≥2, 都有 gn(x)<0? 解:①数学归纳法:当 n=1 时,g1(x0)=x0 显然成立;当 n=k 时,在 gk(x0)=x0 (k∈N*)成立,则 gk+1(x0)=f[gk(x)]=f(x0)=g1(x0)=x0,即当 n=k+1 时,命题成立。 ∴对一切 n∈N*,若 g1(x0)=x0,则 gn(x0)=x0。 ②由①知,稳定不动点 x0 只需满足 f(x0)=x0,

解得: b ?

∵f(x0)=x0?6x0-6x02=x0?x0=0 或 x0=

5 。 6

③∵f(x)<0?6x-2x2<0?x<0 或 x>1 ∴gn(x)<0?f[gn-1(x)]<0? gn-1(x)<0 或 gn-1(x)>1 要使一切 n∈N,n≥2,都有 gn(x)<0,必须有 g1(x)<0 或 g1(x)>1 ∵g1(x)<0?6x-2x2<0?x<0 或 x>1
g1(x)>1?6x-2x2>1?

3? 3 3? 3 <x< 6 6

∴对于区间(-∞,0), (

3? 3 3? 3 , )和(1,+∞)内的任意 x, 只要 n≥2,n∈N*, 都有 gn(x)<0。 6 6

第 26 页

§2.3
知识提要

函数迭代

先看一个有趣的问题:李政道博士 1979 年 4 月到中国科技大学,给少年班的同学面试 这样一道题: 五只猴子,分一堆桃子,怎么也平分不了,于是大家同意先去睡觉,明天再说.夜里一 只猴子偷偷起来, 把一个桃子吃掉后正好可以分成 5 份, 收藏起自己的一份后又去睡觉了. 第 二只猴子起来后,像第一只猴子一样,先吃掉一个,剩下的又刚好分成 5 份,也把自己的一 份收藏起来睡觉去了.第三、第四、第五只猴子也都是这样:先吃掉一个,剩下的刚好分成 5 份.问这堆桃子最少是多少个? 设桃子的总数为 x 个.第 i 只猴子吃掉一个并拿走一份后,剩下的桃子数目为 xi 个,则

4 xi ? ( xi ?1 ? 1) , i ? 1, 2,3, 4,5 5 4 4 且 x0 ? x .设 f ( x) ? ( x ? 1) ? ( x ? 4) ? 4 .于是 5 5 4 x1 ? f ( x) ? ( x ? 4) ? 4 5 4 x2 ? f ( f ( x)) ? ( ) 2 ( x ? 4) ? 4 5 4 x3 ? f ( f ( f ( x))) ? ( )3 ( x ? 4) ? 4 5 4 x4 ? f ( f ( f ( f ( x)))) ? ( ) 4 ( x ? 4) ? 4 5 4 x5 ? f ( f ( f ( f ( f ( x))))) ? ( )5 ( x ? 4) ? 4 5
由于剩下的桃子数都是整数,所以,5 | x ? 4 .因此,最小的 x 为:x ? 5 ? 4 ? 3121.
5

5

上面的解法,我们利用了一个函数自身复合多次,这就叫迭代.一般地,设 f : D ? D 是一个函数,对 ?x ? D ,记 f
(0)

( x) ? x , f (1) ( x) ? f ( x) , f (2) ( x) ? f ( f ( x)) ,?,

(n) (n) f ( n?1) ( x) ? f ( f ( n ) ( x)) ,n ? N ? , 则称函数 f ( x ) 为 f ( x) 的 n 次迭代, 并称 n 为 f ( x ) (?n)

的迭代指数.反函数记为 f

( x) .

第 27 页

一些简单函数的 n 次迭代如下: (1)若 f ( x) ? x ? c ,则 f
a (3)若 f ( x) ? x ,则 f
(n)

(n)

( x) ? x ? nc ;
n

(2)若 f ( x) ? ax ,则 f (4)若 f ( x) ?

(n)

( x) ? a n x ;

( x) ? x a ;
(n)

x x ,则 f ( n ) ( x) ? ; 1 ? ax 1 ? nax

(5)若 f ( x) ? ax ? b ( a ? 1 ) ,则 f

( x) ? a n x ?

1 ? an b; 1? a

f ( n ) ( x) 的一般解法是先猜后证法:先迭代几次,观察规律并猜测表达式,证明时常用
数学归纳法.

例题讲解
1.求迭代后的函数值 例 1:已知 f ( x) 是一次函数,且 f
(10)

( x) ? 1024 x ? 1023 ,求 f ( x) 的解析式.

例 2:自然数 k 的各位数字和的平方记为 f1 ( k ) ,且 f n (k ) ? f1[ f n ?1 (k )] ,则 f n (11) ( n ? N )的值域为( (A) N
?
?

) (B) 5 (C) {4,16, 49,169, 256} (D )

{2, 4, 7,13,16}
(第 14 届希望杯) 例 3 : 设 f1 ( x) ?

f (2) ? 1 2 ? , 而 f n ?1 ( x) ? f1[ f n ( x)] , n ? N . 记 an ? n ,则 f n (2) ? 2 x ?1

a99 ?

. (第 14 届希望杯)

2.不动点法 一般地,若 f ( x) ? ax ? b ,则把它写成

第 28 页

f ( x) ? a ( x ?
因而

b b )? 1? a 1? a

f (2) ( x) ? a 2 ( x ?

b b )? 1? a 1? a b b f (3) ( x) ? a3 ( x ? )? 1? a 1? a
??

f ( n ) ( x) ? a n ( x ?
这里的 不动点. 如果 x0 是函数 f ( x) 的不动点,则 x0 也是 f

b b )? 1? a 1? a

b 就是方程 ax ? b ? x 的根.一般地,方程 f ( x) ? x 的根称为函数 f ( x) 的 1? a

(n)

( x) 的不动点.可用数学归纳法证明.利

用不动点能较快地求得函数 f ( x) 的 n 次迭代式.
(n) 例 4:若 f ( x) ? 19 x ? 93 ,求 f ( x ) .
2

3.相似法 若存在一个函数 ? ( x) 以及它的反函数 ? ( x) ,使得 f ( x) ? ? ( g (? ( x))) ,我们称
?1
?1

f ( x) 通过 ? ( x) 和 g ( x) 相似,简称 f ( x) 和 g ( x) 相似,其中 ? ( x) 称为桥函数.
如果 f ( x) 和 g ( x) 相似,即 f (x) ? ? ( g ( ?( x))) ,则有: f
?1 ( n)

( x) ? ? ?1 ( g ( n) (? ( x))) .

例 6:若 f ( x) ? 2 x ?1 ,求 f
2

(n)

( x) .

(n) 例 7:若 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,求 f ( x ) .

第 29 页

课后练习
1.若 f ( x) ?

x ?1 的定义域为 A , f [ f ( x)] 的定义域为 B ,则( x ?1
(B) A ? B (C) A ? B

) (D)A ? B (第

(A) A ? B ? R 5 届希望杯)

? 2.在正整数集 N 上定义的函数 f (n) ? ?

?n ? 3 ? f [ f (n ? 7)]

(n ? 1000) (n ? 1000)

,则 f (90) 的值是



) (A) 997 (B) 998 (C) 999 (D) 1000 (第

2 届希望杯) 3.已知 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,则 f ( x) 的解析式为 4.已知函数 f ( x ? a) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | ,且 f [ f (a)] ? ,则 a ? 3 6 届希望杯) 5 . 设 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且 对 于 任 意 实 数 a, b , 有 f [ af ( b)]? ab 则 , . . (第

| f (1999) | ?



6.设函数 f (n) ? k , k 是无理数 ? ? 3.1415926535?的小数点后第 n 位数字,并且规定

f (0) ? 3 F[ f( ?





F (n) ? f ( f ( f (? f (n))?)) ??? ???? ? ?
10重f









1

9? f

9

0 f?

)

F. (

f 5

)

f (

3 f

)

]

[

(第 1 届希望杯) 7.给定 n 个数: a1 ? 0.5
0.5

, ak ? 0.5

ak ?1

( k ? 2,3,?, n )将这 n 个数由大到小地排成一

列 , 定 义 : 第 k 位 上 恰 是 ak 的 数 k ( k ? 2 ) 叫 做 希 望 数 , 试 求 n ? 2999 时 的 希 望 数.
2

(第 11 届希望杯)
1 n n ?1

8.设 f ( x) ? x ? a .记 f ( x) ? f ( x) , f ( x) ? f ( f

( x)) ( n ? 2,3,? ) ,
(2006

1 M ? {a ? R | 对任意正整数n,| f n (0) |? 2}.证明: M ? [?2, ] . 4
年全国联赛)

第 30 页

§2.4
知识提要

抽象函数

1.所谓抽象函数泛指不具体的函数,然而抽象函数又多以具体函数为背景,所以研究 抽象函数很有应用价值.抽象函数也是高考、竞赛命题的热点之一. 2.抽象函数与它的代表函数 抽象函数满足条件 1 代表函数

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ? kx ( k ? 0 )

2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
3

f ( x) ? a x ( a ? 0, a ? 1 )

f ( x) ? log a x
( a ? 0, a ? 1 )

f(
4 5

x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) x2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ? x a

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (
f ( x ? 1) ?

x1 ? x2 x ?x )? f ( 1 2 ) 2 2
1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

f ( x) ? cos x

6

f ( x) ? tan

?x
4 1? x 1? x

7

x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( 1 2 ) 1 ? x1 x2

f ( x) ? log a

8

1 f ( x) ? ? f ( x)

f ( x) ? log a x 或

f ( x) ? x ?

1 x

3.抽象函数的性质 ( 1 ) 若 f ( x) 的 定 义 域 为 R , 当 x ? 0 时 , f ( x )? 1, 且 对 任 意 x, y 有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,则 f ( x) 是 R 上的增函数;
(2)若 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 对任意实数 x, y 都成立,则 f ( x) 是奇函数; (3)若 f (a ? x) ? ? f (b ? x) 对任意实数 x 都成立,则 f ( x) 的图像以点 (

a?b , 0) 为 2

第 31 页

中心对称; (4)若 f ( x ? T ) ? ?

1 ,则 2T 是 f ( x) 的一个周期. f ( x)

例题讲解
1.抽象函数的值(值域)

? ) 例 1: 函数 f ( x) 的值域 ( , 4] , g (x) ?f (x) 2 f( x 则
7 届希望杯)

1 4

的值域为

. (第

例 2 : 定 义 为 R 的 函 数 f ( x) , 对 任 何 a, b? R, 都 有 f [ a f( b ? )]

a, 则 b

f 2(1 9 9 4 ) ?

. (第 5 届希望杯)

例 3: f ( x) 是 [0,1] 上的不减函数, 设 即对于 0 ? x1 ? x2 ? 1 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 且满足: (1)f (0) ? 0 ; 2)f ( ) ? (

x 3

1 1 ( 则 f ( x) ; 3)f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) , f ( )? 2 2005



例 4 : 设 奇 函 数 y ? f ( x) 的 定 义域 为 R , f (1) ? 2 , 且 对 任 意 x1 , x2 ? R , 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ?

f ( x2 ) ,当 x ? 0 时, f ( x) 是增函数,则函数 y ? ? f 2 ( x) 在区间 [?3, ?2] 上的最大值
是 . (第 4 届希望杯)

第 32 页

2.抽象函数的单调性 例 5: 奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数, 在区间 [3, 6] 上的最大值为 8, 最小值为 ?1 , 则

2 f (?6) ? f (?3) ?
14 届希望杯)



(第

例 6:设 f ( x) 是定义在 R ? 上的增函数,且 f ( x) ? f ( ) ? f ( y ) ,若 f (3) ? 1,则

x y

f ( x) ? f (

1 ) ? 2成立的 x 的取值范围是 x ?5



3.抽象函数的奇偶性 例 7 : f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 它 的 最 小 正 周 期 为 2 , 则

f ( 1? f ( ? )f ) 2
(A)1 或 0 6 届希望杯)

? )? f ?3 (

( 1? 9 5 ) 9
(B)1 或 ?1 (C)0 (D) 1 (第

例 8:函数 f ( x) 的定义域是 R ,函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 ? f (? x) ,已知 g (5) ? ?3 ,则

g (?5) ?

. (第 4 届希望杯)

4.抽象函数的周期性 例 9:定义在实数集上的函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x ? 1) , 1 ? f ( x ? 1)

第 33 页

则 f (1) ? f (2) ? f (3)? f (2000) ? 2000 的值为 12 届希望杯)



(第

例 10 : 定 义 在 R 上 的 非 常 数 函 数 , 满 足 ( 1 ) f (10 ? x) 为 偶 函 数 ; 2 ) (

f (5 ? x) ? f (5 ? x) ,则 f ( x) 一定是(
(A)是偶函数,也是周期函数

) (B)是偶函数,但不是周期函数

(C)是奇函数,也是周期函数 12 届希望杯)

(D)是奇函数,但不是周期函数

(第

课后练习
1.函数 f ( x) 是定义在 R 上的实函数,它既关于 x ? 5 对称,又关于 x ? 7 对称,那么 f ( x) 的周期是( ) (A) 4 (B) 2 (C)

? 2

(D)?

2.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数, 则( )

(A) f ?6? ? f ?7 ? (B) f ?6? ? f ?9? (C) f ?7 ? ? f ?9? (D) f ?7? ? f ?10 ? (2007 年重庆高考) 3.定义在 R 上的函数 f (x) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期.若将方程

f ( x) ? 0 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为(
(A)0 年安徽高考) (B)1 (C)3 (D) 5

) (2007

第 34 页

4. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) , 它具有下述性质: 对任何 x ? R , (1) 都有 f ( x ) ? f ( x) ;
3 3

(2) 对任何 x1 , x2 ? R ,x1 ? x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . f (0) ? f (1) ? f (?1) 的值为 则 ( (A)0 确定 (B)1 (C) ?1



(D)不

5.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 3 ,当 x ? [0,1] 时,

f ( x) ? 2 ? x ,则 f (?2005.5) ?


2

6.函数 f ( x) 是定义域为 [?1,1] 的奇函数,且为增函数, f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 ,则实数

a
是 5 届希望杯)

的 .







围 (第

7 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) , 恒 有 f ( x? y) ? f ( x)? f ( y) 若 f (16) ? 4 , 那 么 .

f (2003) ?



8.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,并对一切实数 x ,都满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) . (1)证明:函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称. (2)若 f ( x) 又是偶函数,且 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,求 x ?[?4,0] 时的 f ( x) 的表达 式. 9.设函数 f (x) 在 (??,??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区 间 [0, 7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 . (1)试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; (2)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005 ,2005 ] 上的根的个数,并证明你的结论. (2005 年广东高考)

第 35 页

第三章:数列
§3.1 等差数列与等比数列
数列是中学数学中一个重要的课题,也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是 a1, a2, ?,an, ?通常简记为 {an}.如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可用一个公式来表示, 这个公式就叫做这 个数列的通项公式. 从函数的角度看,数列可以看做是一个函数,定义域是自然数集或自然数集的一个有 限子集,函数表达式就是数列的通项公式. 对于数列{an},把 Sn=a1+a2+?+an 叫做数列{an}的前 n 项和,则有

(n ? 1), ? S1 an ? ? ?S n ? S n ?1 ( n ? 2).
I.等差数列与等比数列 1.等差数列 (1)定义: a n ?1 ? a n ? d (常量)或a n ?1 ? (2)通项公式:an=a1+(n-1)d . (3)前 n 项和公式: S n ?

an ? an?2 . 2

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

(4)等差中项: a n ?1 ?

an ? an?2 . 2

(5)任意两项:an=am+(n-m)d. (6)性质: ①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为 n 的一次函数; ②公差为非零的等差数列的充要条件是前 n 项和公式为 n 的不含常数项的二次函数; ③设{an}是等差数列,如果 m、n、p、q∈N*,且 m+n=p+q,那么 am+an=ap+aq; ④设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, ?, Spm-S(p-1)m(m>1,p ≥3,m、p∈N*)仍成等差数列; ⑤设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 {

Sn } 是等差数列; n

⑥设{an}是等差数列,则{λ an+b}(λ ,b 是常数)是等差数列; ⑦设{an}与{bn}是等差数列,则{λ 1an+λ 2bn}(λ 1,λ 2 是常数)也是等差数列; ⑧设{an}与{bn}是等差数列,且 bn∈N*,则{abn}也是等差数列(即等差数列中等距离分 离出的子数列仍为等差数列) ; ⑨设{an}是等差数列,则{ C n }(c>0, c≠1)是等比数列. 2.等比数列
a

第 36 页

(1)定义:

a n ?1 a a ? q(常量), 或 n ? 2 ? n ?1 an a n ?1 an


(2)通项公式:an=a1qn 1.

( q ? 1). ?na1 ? (3)前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q ( q ? 1). ?
(4)等比中项: a n ?1 ? ? a n a n ? 2 . (5)任意两项:an=amqn m. (6)无穷递缩等比数列各项和公式: S=


?a
n ?1

??

n

? lim S n ?
n ??

a1 (0 ?| q |? 1). 1? q

(7)性质: ①设{an}是等比数列,如果 m、n、p、q∈N*,且 m+n=p+q,那么 am·an=ap·aq; ②设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,则 Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, ?, Spm-S(p-1)m(m>1, p≥3,m、n∈N*)仍为等比数列; ③设{an}是等比数列,则{λ an}(λ 是常数) a n }(m∈Z*)仍成等比数列; 、{ ④设{an}与{bn}是等比数列,则{an·bn}也是等比数列; ⑤设{an}是等比数列,{bn}是等差数列,bn∈Z*,则{abn}是等比数列(即等比数 列中等距离分离出的子数列仍为等比数列) ; ⑥设{an}是正项等比数列,则{logcan}(c>0, c≠1)是等差数列.
m

赛题精讲
例 1 设 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn=2an - 1(n=1, 2, ? ) , 数 列 {bn} 满 足 b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2,?),求数列{bn}的前 n 项之和. (1996 年全国数学联赛二试题 1) 【思路分析】欲求数列{bn}前 n 项和,需先求 bn. 由 ak=bk+1-bk, 知求 ak 即可,利用 ak=Sk-Sk-1(k=2, 3, 4,?)可求出 ak. 【略解】由 Sn=2an-1 和 a1=S1=2a1-1,得 a1=1, 又 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即 an=2an-1, - 因此{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则有 an=2n 1. 由 ak=bk+1-bk,取 k=1,2,?,n-1 得 a1=b2-b1, a2=b3-b2, a3=b4-b3, ?, an-1=bn-bn-1,将上面 n-1 个等式相加,得 bn- - - b1=a1+a2+?+an. 即 bn=b1+a1+a2+?+an=3+(1+2+22+?+2n 1)=2n 1+2,所以数列{bn}的前 n 项和 为 - Sn′=(2+1)+(2+2)+(2+22)+?+(2+2n 1)=2n+2n-1. 【评述】求数列的前 n 项和,一般情况必须先研究通项,才可确定求和的方法. 例 2 求证:若三角形的三内角成等差数列,对应的三边成等比数列,则此三角形必是 正三角形. 【思路分析】由△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,知∠B=60°,三个角可设
第 37 页

为 60°-d, 60°, 60°+d,其中 d 为常数;又由对应的三边 a、b、c 成等比数列,知 b2=ac, 或将三边记为 a、aq、aq2,其中 q 为正常数,由此知要证此三角形为正三角形只须证明 d=0 或 q=1 或 a=b=c. 【证】设△ABC 的三个内角为 A、B、C 及其对边 a、b、c,依题意 b2=ac, ∠B=60°. 【 方 法 1 】 由 余 弦 定 理 , 得

cos B ?

a2 ? c2 ? b2 1 ? cos 60 ? ? , 所以a 2 ? c 2 ? ac ? ac, 2ac 2

整理得(a-c)2=0 因此 a=c. 故△ABC 为正三角形. 【方法 2】设 a、b、c 三边依次为 a、aq、aq2,由余弦定理有 cosB=

a 2 ? (aq) 2 ? (aq 2 ) 2 1 ? cos 60 ? ? ,整理得 q4-2q2+1=0,解得 q=1, q=-1 舍去) ( 2 2 2 ? a ? aq

所以 a=b=c,故此△ABC 为正三角形. 【方法 3】因为 b2=ac, 由正弦定理: (2RsinB)2=2RsinA·2RsinC(其中 R 是△ABC 外接圆半径)即 sin2B=sinA·sinC,把 B=60°代入得 sinA·sinC=

3 1 3 ,整理得 [cos(A-C)-cos(A+C)= ,即 cos(A-C)=1, 4 2 4

所以 A=C,且∠B=60°,故此△ABC 为正三角形. 【方法 4】将 60°-d, 60°, 60°+d 代入 sin2B=sinAsinC, 得 sin(60°-d)·sin(60°+d)=

3 1 3 ,即 [cos(2d)-cos120°]= . 4 2 4

得 cos2d=1, d=0°,所以∠A=∠B=∠C,故△ABC 为正三角形. 【评述】方法 1、2 着眼于边,方法 3、4 着眼于角. 例 3 各项都是正数的数列{an}中,若前 n 项的和 Sn 满足 2Sn=an+

1 ,求此数列的通项 an

公式. 【思路分析】 在 Sn 与 an 的混合型中, 应整理成数列{Sn}的递推式或数列{an}的递推式, 然后用递推关系式先求出 Sn,再求 an,或直接求 an.本题容易得到数列{Sn}的递推式,利用 an=Sn-Sn-1 先求出 Sn,再求 an 即可. 【解】n≥2 时,将 an=Sn-Sn-1 代入 2Sn=an+

1 1 ,得 2Sn=Sn-Sn-1+ ,整理得 an S n ? S n ?1

2 2 2 S n ? S n ?1 ? 1(n ? 2), 且S1 ? a1 ? 1, 所以数列 {S n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,

即 S n ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n, S n ?
2

n , 从而a n ? S n ? S n?1 ? n ? n ? 1(n ? 2), 当 n=1

时,由 2S1=a1+

1 ,得 a1=1 也满足 a n ? n ? n ? 1 . an
n ? n ?1 .

故数列{an}的通项公式为 a n ?

第 38 页

【评述】处理本例的思想方法,可用来求满足 Sn 与 an 混合型中的通项公式. 例 4 设数列{an}的前 n 项和 Sn 与 an 的关系为 Sn=-ban+1-

1 ,其中 b 是与 n (1 ? b) n

无关的常数,且 b≠-1.(1)求 an 与 an-1 的关系式; (2)写出用 n 与 b 表示 an 的表达式. 【思路分析】利用 Sn=an-an-1(n≥2)整理出数列{an}的递推关系式求 an. 【解】 (1) a1 ? S1 ? ?ba1 ? 1 ? 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= -ban+1-

1 1 得a1 ? (1 ? b) (1 ? b) 2

1 1 b ? [?ban ?1 ? 1 ? ] ? ?ban ? ban ?1 ? ,整理得 n n ?1 (1 ? b) (1 ? b) (1 ? b) n

an ?

b b a n ?1 ? (n ? 2) 1? b (1 ? b) n ?1 1 , 4

(*)

(2)当b ? 1时, a1 ?

1 1 1 1 得 an?1 ? n?1 , 两边同乘以 2n, 2nan=2n-1an-1+ ,可知数列{2nan}是以 2a= 2 2 2 2 1 1 1 n n n 为首项,公差为 的等差数列.所以 2 a n ? ? (n ? 1) ? ,即a n ? n?1 . 2 2 2 2 2 an ?
当 b≠1,b≠-1 时, 由(*)式得(1+b)nan=b(1+b)n 1an-1+


b 1? b

有(

1? b n 1 ? b n ?1 1 ) an ? ( ) a n ?1 ? . b b (1 ? b)b n ?1 1? b n 1 ) a n , 则c n ? c n ?1 ? . b (1 ? b)b n ?1

令c n ? (

从而数列{cn-cn-1}就是一个等比数列,n 取 2,3,?,n 得

1 1 , c3 ? c 2 ? ,?, (1 ? b)b (1 ? b)b 2 1 c n ? c n ?1 ? , 上述n ? 1个式子相加得 (1 ? b)b n ?1 1 1 1 1 1? b 1 c n ? c1 ? ( ? 2 ? ? ? n ?1 ), 且c1 ? a1 ? , 1? b b b b 1? b b 1 1 1 1 1? bn 所以c n ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? n ?1 , 1? b b b b b (1 ? b)(1 ? b) c 2 ? c1 ? 从而a n ? bn bn 1? bn b(1 ? b n ) ? cn ? ? n ?1 ? , (1 ? b) n (1 ? b) n b (1 ? b)(1 ? b) (1 ? b)(1 ? b) n ?1

第 39 页

故数列{an}的通项公式为

?n ?2n , ? an ? ? n ? b(1 ? b ) ? (1 ? b)(1 ? b) n ?1 ?

b ? 1, b ? ?1.

【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法,本例构造 了辅助数列{cn}、{cn-cn-1},使数列{cn-cn-1}为等比数列,化未知为已知,从而使问题获 解. 例 5 n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列 a11 a12 a13 a14?? a1n a21 a22 a23 a24?? a2n a31 a32 a33 a34?? a3n a41 a42 a43 a44?? a4n ? ? ? ? ?? ? an1 an2 an3 an4?? ann 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知 a24=1, a42=

1 3 ,a43= ,求 a11+a22+a33+?+ann.(1990 年全国高中数学联赛试题) 8 16

【思路分析】求和需要研究 a11 和 akk,又每列成等比数列且公比相等,只需要研究 a1k 和 q,又每行成等差数列,需要求得 an 和第一行的公差 d,因而本题利用已知建立 an、d 和 q 之间关系,使问题获解. 【解】设第一行数列公差为 d,各列数列公比为 q.因为 2a43=a42+a44, 所以 a44=2a43-a42=2×

3 1 1 1 - = .又因为 a44=a24·q2=q2,所以 q= ,于是有 16 8 4 2

1 ? ?a 24 ? a14 ? q ? (a11 ? 3d ) 2 ? 1, ? ? ?a ? a ? q 3 ? (a ? d )( 1 ) 3 ? 1 , 12 11 ? 42 2 8 ?
解此方程组,得 d=

1 1 ,a11= . 2 2

对于任意的 1≤k≤n,有

第 40 页

1 1 1 k a kk ? a1k ? q k ?1 ? [a11 ? (k ? 1)d ]q k ?1 ? [ ? (k ? 1) ]( ) k ?1 ? k , 2 2 2 2 设S ? a11 ? a 22 ? a33 ? ? ? a nn , 则有 1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 , 2 2 3 2 1 1 1 1 1 n 两式相减得 S ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n ? 1? 1 ? n , ? 2 1 2 n ?1 2 n 2 n ?1 1? 2 1 n 故a11 ? a 22 ? a33 ? ? ? a nn ? 2 ? n ?1 ? n . 2 2 S?
【评述】数列求和应先研究通项,通项 cn=anbn,其中{an}成等差为九列,{bn}为等比数 列,数列{cn}的求和用错项相减去. 例 6 将正奇数集合{1,3,5,?}从小到大按第 n 组有(2n-1)奇数进行分组:{1}, {3,5,7} , {9, 11, 13, 15, 17}, ? (第 1 组) (第 2 组) (第 3 组) 问 1991 位于第几组中? (1991 年全国高中数学联赛试题) 【思路分析】思路需要写出第 n 组的第 1 个数和最后一个数,1991 介于其中,而第 n 组中最后一个数是第(1+3+?+2n-1)=n2 个奇数为 2n2-1. 【解】因为 1+3+5+?+(2n-1)=n2 所以前 n 组共含有奇数 n2 个, n 组最后一个数即第 n2 个奇数为 2n2-1,第 n 组第一个 第 数即第 n-1 组最后一个数后面的奇数为[2(n-1)2-1]+2=2(n-1)2+1.由题意,有不等式 2(n-1)2+1≤1991≤2n2-1. 解得(n-1)2≤995 且 n2≥996,从而 n≤32 且 n≥32, 故 n=32,即 1991 位于第 32 组中. 【评述】应用待定的方法,假定位于第 n 组中然后确定 n 即可. 例 7 设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 是前 n 项和,证明

log 0.5 S n ? log 0.5 S n? 2 ? log 0.5 S n?1 . 2
(1995 年全国高考题) 【思路分析】要证原结论成立,只需证 SnSn+2< S n ?1 成立,用等比数列前 n 项和公式表 示或建立 Sn、Sn+1、Sn+2 的关系,用比较法证之. 【证法 1】设{an}的公比为 q,由题设知 a1>0, q>0. (1)当 q=1 时,Sn=na1,从而 SnSn+2- S n ?1 =na1(n+2)a1- a1 (n+1)2=- a1 <0. (2)当 q≠1 时, S n ?
2 2

2

2

a1 (1 ? q n ) , 1? q

第 41 页

S n S n ? 2 ? S n ?1 ?

a12 (1 ? q n )(1 ? q n ? 2 ) a12 (1 ? q n ?1 ) 2 ? ? ?a12 q n ? 0. (1 ? q) 2 (1 ? q) 2
2

由①、②知 S n S n ? 2 ? S n ?1 . 根据对数函数的单调性,得
2 log 0.5 ( S n S n? 2 ) ? log 0.5 S n?1 .即

log 0.5 S n ? log 0.5 S n ? 2 ? log 0.5 S n ?1 . 2

【证法 2】设{an}的公比为 q,由题设知 a1>0, q>0. 因为 Sn+1+=a1+qSn, Sn+2=a1+qSn+1, 所以 SnSn+2- S n ?1 =Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn-Sn+1) =-a1(Sn+1-Sn) =-a1an+1<0. 即 S n S n ? 2 ? S n ?1 . (以下同证法 1).
2 2

【评述】明确需要证 S n S n ? 2 ? S n ?1 ,建立 Sn、Sn+1、Sn+2 之间的关系较为简单.
2

针对性训练题
1. 设等差数列{an}满足 3a8=5a13, 且 a1>0, Sn 为其前 n 项之和, Sn(n∈N*)中最大的是什么? 求 (1995 年全国高中数学联赛题) -5 2.一个等比数列{an}的首项 a1=2 ,它的前 11 项的几何平均数为 25,若在前 11 项中抽出 一 项后的几何平均数为 24,求抽去的是第几项? 3.已知 a1, a2 , a3,?, an 是 n 个正数,满足 a1·a2·?·an=1, 求证(2+a1)(2+a2)?(2+an)≥3n. 4.已知数列{an}满足:a1=

1 ,a1+a2+?+an=n2an(n≥1).试求数列{an}的通项. 2

5.已知 95 年数 a1, a2, ?, a95,每个都只能取+1 或-1 两个值之一,那么,它们两两之积的 和 a1a2+a1a3+?+a94a95 的最小正值是多少? (1994 年全国高中数学联赛试题) 2 6.设{an}为等差数列,又设方程 aix +2ai+1x+ai+2=0(i=1,2,?)中每个 ai 及公差都是非零的 实数.(1)求这些方程的公共根; (2)证明,若上述方程的另一根为α i,则

1 1 1 , , ?, 成等差数列. ?1 ? 1 ? 2 ? 1 ?n ?1

第 42 页

§3.2 递归数列通项公式的求法
确定数列的通项公式,对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项 公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键,本文着重对递归数列通项公式加以研究。

基础知识
定义:对于任意的 n? N ,由递推关系 an ? f (an?1 , an?2 ,?, an?k ) 确定的关系称为 k 阶
*

递归关系或称为 k 阶递归方程, k 阶递归关系及给定的前 k 项 a1 , a2 ,?, ak 的值(称为初始 由 值)所确定的数列称为 k 阶递归数列。若 f 是线性的,则称为线性递归数列,否则称为非线 性递归数列,在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。 求递归数列的常用方法: 一.公式法 (1)设 {a n } 是等差数列,首项为 a1 ,公差为 d ,则其通项为 an ? am ? (n ? m)d ; (2)设 {a n } 是等比数列,首项为 a1 ,公比为 q ,则其通项为 an ? am q (3)已知数列的前 n 项和为 S n ,则 a n ? ? 二.迭代法 迭代恒等式: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ; 迭乘恒等式: an ?
n?m



?

S1

(n ? 1)

?S n ? S n?1 (n ? 2)



an an?1 a ? ?? ? 2 ? a1 ,( an ? 0 ) an?1 an?2 a1

迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题: 类型一:已知 a1 ? b, an?1 ? an ? f (n) ,求通项 a n ; 类型二:已知 a1 ? b, an?1 ? f (n)an ,求通项 a n ; 三.待定系数法 类型三:已知 a1 ? b, an?1 ? pan ? q( p ? 1) ,求通项 a n ; 四.特征根法 类型四:设二阶常系数线性齐次递推式为 x n ? 2 ? pxn ?1 ? qxn ( n ? 1, p, q为常数,q ? 0 ) ,其 特征方程为 x ? px ? q ,其根为特征根。
2

(1) 若特征方程有两个不相等的实根 ? , ? , 则其通项公式为 x n ? A? ? B? ( n ? 1 ) ,
n n

其中 A、B 由初始值确定;
第 43 页

(2) 若特征方程有两个相等的实根 ? , 则其通项公式为 x n ? [ A? ? B(n ? 1)? 其中 A、B 由初始值确定。 证明:设特征根为 ? , ? ,则 ? ? ? ? p, ?? ? ?q

n ?1

( n ? 1) ,

所以 xn? 2 ? ?xn?1 = pxn?1 ? qxn ? ?xn?1 = ( p ? ? ) xn?1 ? qxn = ?xn?1 ? ??xn = ? ( xn?1 ? ?xn ) 即 {xn?1 ? ?xn } 是以 ? 为公比,首项为 x2 ? ?x1 ) 的等比数列。 所以 xn?1 ? ?xn ? ( x2 ? ?x1 ) ?
n ?1

,所以 xn ? ?xn?1 ? ( x2 ? ?x1 ) ?

n?2

n n (1)当 ? ? ? 时, 则其通项公式为 x n ? A? ? B? , 其中 A ? x2 ? ? x1 , ? x2 ? ?x1 ; B (? ? ? ) ? (? ? ? )?

(2)当 ? ? ? 时, 则其通项公式为 xn ? [ A? ? B(n ? 1)]?

n ?1

, 其中 A ?

?

x1

,B ?

x2 ? ?x1

?

五.代换法 代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等,其中代换相消法可以解决以下 类型五:已知 a1 ? b, a2 ? c , an?1 ? pan ? qan?1 ? r (r ? 0) ,求通项 a n 。 六.不动点法 若 f (? ) ? ? ,则称 ? 为 f (x) 的不动点,利用不动点法可将非线性递归式化归为等差 数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系,从而达到求解的目的。 类型六:(1)已知 an ?1 ?

a ? an ? b (c ? 0 ,且 ad ? bc ? 0) ,求通项 a n ; c ? an ? d
2

(2)已知 an ?1 七.数学归纳法 八.构造法

a ? an ? b ? ,求通项 a n ; 2a ? an ? c

典例分析
例 1.数列{an}中,a1=1,an+1>an,且 an?1 ? an ? 1 ? 2(an?1an ? an?1 ? an ) 成立,求 a n 。
2 2

例 2.已知正数数列 { x n } 满足: xn?1 ?

xn
k (1 ? cxn ) 1 k

,其中 k ? N , c ? R, c ? 0 ,求 x n 。
*

例 3.已知数列{an}满足: a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ?

2an an?1 ,求 a n 。 an ? an?1

例 4.已知 a1 ? a2 ? 1, an ?

2 an?1 ? 2 (n ? 3) ,证明:该数列中的一切数都是整数。 an ?2

第 44 页

例 5.已知 a1 ? a 2 ? a3 ? 1, a n ?3 ?

1 ? an?1an? 2 (n ? N * ) ,求 a n 。 an



6 . 数 列 {an },{bn } 满 足 a n ? an ?1bn , bn ?

bn?1 (n ? 2) , a1 ? p, b1 ? q 且 2 1 ? an

p, q ? 0, p ? q ? 1,求 {an },{bn } 的通项公式。
2 例 7.已知 a1 ? b, a n ?1 ? pan ? ( p ? 1) ? q ,求 a n 。

例 8.数列 {a n } 满足 ?

a1 ? 1 ? ? ,求 a n 。 1 ?an?1 ? 16 (1 ? 4an ? 1 ? 24 an ), n ? 1,2,? ?
a ?b 2an bn 5 , an?1 ? n n , bn?1 ? ,求 {an },{bn } 的通项公式。 2 2 an ? bn
?a n ? a n ?1 co s? ? bn ?1 s in? ,且 a1 ? 1, b1 ? tan? ,求 ?bn ? a n ?1 s in? ? bn ?1 co s?

例 9.已知 a1 ? 1, a2 ?

例 10.已知数列 {an },{bn } 满足: ?

{an },{bn } 的通项公式。
例 11. 若数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 ? a(a ? 0) , 且满足 a n ?1 ? 的通项公式。 拓 展 : 若 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , a1 ? a(a ? 0) , 且 满 足
2 an?1 ? a 2 ? taSn ? S n (?2 ? t ? 2) ,求 {a n } 的通项公式。 2 a 2 ? aSn ? S n , {a n } 求

(参考答案: an ?

t a sin? ,其中 cos? ? ) ? ?? 2 sin n?1 2

例 12.设数列 {an },{bn } 满足: a0 ? 1, b0 ? 0 ,且 ? 证明: a n ( n ? 1,2, ??)是完全平方数。

?a n ?1 ? 7 a n ? 6bn ? 3 , n ? 0,1,2? , ? bn ? 8a n ? 7bn ? 4

练习题:
第 45 页

1. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N ) , 求数列 {an } 的通项 an
*

2. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an ? 2 ? 4an ?1 ? an (n ? N ) , 求数列 {an } 的通项 an
*

3.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?

an ?1 ? 2 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项 an 2an ?1 ? 1 2an ? 1 (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an 4an ? 6

4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 练习答案:

1.解:其特征方程为 x 2 ? 3x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 ,令 an ? c1 ?1n ? c2 ? 2n ,
?c1 ? 1 ? a1 ? c1 ? 2c2 ? 2 ? 由? ,得 ? 1, ? a2 ? c1 ? 4c2 ? 3 ? c2 ? 2 ?
2

? an ? 1 ? 2n?1

1 ?1? 2.解:其特征方程为 4 x ? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x2 ? ,令 an ? ? c1 ? nc2 ? ? ? , 2 ?2?
1 ? ? a1 ? (c1 ? c2 ) ? 2 ? 1 ?c1 ? ?4 ? 由? ,得 ? , ? c2 ? 6 ? a ? ( c ? 2c ) ? 1 ? 2 1 2 ? 2 ? 4

n

? an ?

3n ? 2 2n?1

3.解:其特征方程为 x ?
an ?1 ? 1 a ?1 ? c? n an ?1 ? 1 an ? 1

x?2 ,化简得 2 x 2 ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ?1 ,令 2x ?1
? a ?1? 4 1 a ?1 1 , 可得 c ? ? , 数列 ? n ? 是以 1 ? ? a1 ? 1 3 5 3 ? an ? 1 ?
n ?1

由 a1 ? 2, 得 a2 ?

a ?1 1 ? 1 ? 3n ? (?1) n 1 ? ? ? ? ? ,? an ? n 为首项,以 ? 为公比的等比数列,? n an ? 1 3 ? 3 ? 3 ? (?1) n 3

4.解:其特征方程为 x ?
1 1 an ?1 ? 2 ? 1

?c 1 an ? 2 ? ? ? 1 ? 1 2 ? 为首项,以1为公差的等差数列, ?数列 ? ? 是以 1 5 ? an ? 1 ? a1 ? ? 2? 2

1 2x ?1 , 即 4 x2 ? 4 x ? 1 ? 0 , 解 得 x1 ? x2 ? ? , 令 2 4x ? 6 3 由 a1 ? 2, 得 a2 ? ,求得 c ? 1 , 14

第 46 页

?

1 an ? 1 2

?

13 ? 5n 2 3 ? (n ? 1) ?1 ? n ? ,? an ? 10n ? 6 5 5

§3.3 递推法解题
基础知识
对于某些与自然数有关的问题,我们有时可以用递推法解决,扎谓用递推法解题,就是 根据题目的特点,构造出递推关系解题的一种方法,解决问题的关键在于构造递推关系。递 推关系一般可以用归纳、猜想等途径获得。 利用递推法解题的一般步骤为:(1)确定初始值;(2)建立递推关系;(3)利用递推关系求 通项。 递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中 最小的数是 1,比 1 大 1 的数是 2,接下来比 2 大 1 的数是 3,?由此得到了自然数数列:1, 2,3,4,5,?.在这里实际上就有了一个递推公式,假设第 n 个数为 an,则 an+1=an+1; 即 由自然数中第 n 个数加上 1,就是第 n+1 个数。由此可得 an+2=an+1+1,这样 就可以得到自然数数列中任何一个数. 再看一个例子: 平面上 5 条直线最多能把圆的内部分成几部分?平面上 100 条直线最多能把圆的内部 分成几部分? 解:假设用 ak 表示 k 条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里 k=0,1,2,?. a0=1 a1=a0+1=2 a2=a1+2=4 a3=a2+3=7 a4=a3+4=11

?
归纳出递推公式 an+1=an+n. (1) 即画第 n+1 条直线时,最多增加 n 部分.原因是这样的:第一条直线最多把圆 分成两部分,故 a1=2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多,就应 和第一条直线在圆内相交,交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段,而每条线 段又把原来的一个区域划分成两个区域,因而增加的区域数是 2,正好等于第二条 直线的序号.同理,当画第三条直线时,要想把圆内部分割的部分数尽可能多,它就 应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段. 而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是 3,正好等 于第三条直线的序号,?.这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式(1) 是正确的.这样就易求得 5 条直线最多把圆内分成: a5=a4+5=11=5=16(部分) 。 要想求出 100 条直线最多能把圆内分成多少区域,就去求通项公式。
第 47 页

一般来说,如果一个与自然数有关的数列中的任一项 an 可以由它前面的 k(≤n-1)项经 过运算或其他方法表示出来,我们就称相邻项之间有递归关系,并称这个数列为递归数列. 如果这种推算方法能用公式表示出来,就称这种公式为递推公式或递推关系式.通过寻求递 归关系来解决问题的方法就称为递推方法. 许多与自然数有关的数学问题都常常具有递推关系, 可以用递推公式来表达它的数量关 系.如何寻求这个递推公式是解决这类问题的关键之一,常用的方法是“退”到问题最简单 情况开始观察.逐步归纳并猜想一般的速推公式.在小学生阶段,我们仅要求学生能拨开问题 的一些表面现象由简到繁地归纳出问题的递推公式就行了,不要求严格证明.当然能证明更 好.所谓证明,就是要严格推出你建立的关系式适合所有的 n,有时,仅仅在前面几项成立的 关系式,不一定当 n 较大时也成立。 1、 “河内塔问题” 传说在印度的佛教圣地贝拿勒斯圣庙里安放着个一个黄铜板,板上插着三根宝石针, 在第一根宝石针上,从下到上穿着由大到小的 64 片中心有孔的金片.每天都有一个值班僧侣 按下面规则移动金片:把金片从第一根宝石针移到其余的某根宝石针上.要求一次只能移动 一片,而且小片永远要放在大片的上面.当时传说当 64 片金片都按上面的规则从第一根宝石 针移到另一根宝石针上时,世界将在一声霹雳中毁灭.所以有人戏称这个问题叫“世界末日” 问题(也称为“Hanoi 塔”问题) ,当然,移金片和世界毁灭并无联系,这只是一个传说而 已,但说明这是一个需要移动很多很多次才能办到的事情.解这个问题的方法在算法分析中 也常用到.究竟按上述规则移动完成 64 片金片需要移动多少次呢? 将此问题一般化为: 设有 n 个银圈,大小不同,从大到小排列在三根金棒中的一根。这些银圈要搬到另一根 金棒上, 每次搬一个。 第三根金棒作为银圈暂时摆放用。 在搬动过程中, 仍要保持大圈在下, 小圈在上,问要搬动多少次,才能将所有银圈从一根棒搬到另一根,且搬完后银圈相对位置 不变? 思路:寻找 a n 与前面各项之间的关系,由题设条件列出等式。 解:令用 a n 表所求的搬动次数,把第一棒 n 个银圈的 n ? 1 个搬到第三棒,再将最大一 个银圈搬到第二棒,然后又将第三棒上的 n ? 1 个圈搬到第二棒上,如此继续,可完成这次 搬动任务。 因为搬 n ? 1 个银圈从一棒到另一棒需 an ?1 次,故可得递推式 an ? 2an ?1 ? 1, a1 ? 1 。 下面对递推式 an ? 2an ?1 ? 1, a1 ? 1 的求解。 最后,可得 a n ? 2 ? 1 。
n

典例分析
例 1.用 100 元人民币购买物品,规定每天只能用以下三种方式之一购买物品: (1)买甲物品 1 元;(2)买乙物品 2 元;(3)买丙物品 2 元 而且规定不允许不买物品。试问有多少种方式花完这 100 元钱?

第 48 页

例 2.有一种用硬币下棋的游戏,棋盘上标有第 0 站,第 1 站,第 2 站,??,第 100 站。 一枚棋子开始在第 0 站,棋手每掷一次硬币,棋子跳动一次:若掷出的是正面,棋子向前跳 两站,若掷出的是反面,则棋子向前跳一站,直到棋子恰好跳到第 99 站(胜利大本营)或第 100 站(失败大本营)时,游戏结束。如果硬币出现正反面的概率都是 利大本营与失败大本营的概率。

1 ,分别求棋子跳到胜 2

例 3.现有四个人做传球游戏,要求接球后马上传给别人。由甲先传球,并作为第 1 次传球, 求经过 10 次传球仍回到发球人甲手中的传球方式的种数。

例 4. (Bernoulli-Euler 装错信问题)某人写了 n 封信, 并在每个信封上写下了对应的地址和收 信人的姓名。问:将所有的信都错信封的情况共有多少种?

例 5.现将 n 边形的边依次记为 a1 , a2 ,?, an ,每条边都涂上红、黄、绿三种颜色中的一种, 要使相邻两边的颜色互不相同,有多少种不同的涂色方法?

第 49 页

例 6.(第五届西部竞赛题)已知 ? 求这个多项式的系数之和。

2005

? ? 2005 可以表示成 ? ? ? ,?? 为变元的二次多项式,

例 7. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) , 数列 {a n } 是公差为 d 等差数列, 数列 {bn } 为公比为 q(q ? 1)
2

的等比数列, a1 ? f (d ? 1) ,a3 ? f (d ? 1) ;b1 ? f (q ? 1) ,b3 ? f (q ? 1) 。 且 设数列 {c n } 对于任意的正整数 n 都有

c c1 c2 c3 ? ? ? ? ? n ? an?1 成立, c1 ? c3 ? c5 ? ? ? c2 n?1 的值。 求 b1 b2 b3 bn

例 8.已知一列非零向量 a n 满足:a1 ? ( x1 , y1 ) , an ? ( xn , yn ) ? (1)证明:{| a n |}是等比数列; (2)求向量 an?1 与向量 a n 的夹角;

?

?

?

1 ( xn?1 ? yn?1 , xn?1 ? yn?1 ) ( n ? 2 ) 2

?

?
?

?

(3)设向量 a1 ? (1,2) ,把 a1 , a2 ,??, a n 中所有与 a1 共线的向量取出按原来的顺序排 成一列,组成一组新数列,记为: b1 , b2 ,??, bn ,求数列{ bn }的通项公式;若令

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? OB n = b1 + b2 +?+ bn , O 为坐标原点,求点列 {Bn } 的坐标。

第四章

三角 平面向量 复数
第 50 页

一 能力培养 1,数形结合思想 二 问题探讨

2,换元法

3,配方法

4,运算能力

5,反思能力

问题 1 设向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , 求证: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? .

?

?

问题 2 设 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (2cos x,1) , b ? (cos x, 3 sin 2 x) , x ? R (I)若 f ( x) ? 1 ? 3 且 x ? [? 按向量 c ? (m, n)( m ?

? ?

?
2

, ] ,求 x ; 3 3

(II)若函数 y ? 2sin 2 x 的图象

) 平移后得到函数 y ? f ( x) 的图象,求实数 m, n 的值.

问题 3(1)当 x ?

?
4

,函数 f ( x) ? cos x ? sin x 的最大值是
2 3 2

,最小值是 .

.

(2)函数 y ? cos x ? sin x ? cos x 的最大值是
2 2

(3)当函数 y ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x 取得最小值时, x 的集合是 (4)函数 y ?

.

sin x (0 ? x ? ? ) 的值域是 cos x ? 1

.

问题 4 已知 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 a ? 4, b ? c ? 5 , tan A ? tan B =

? 3(1 ? tan A tan B) ,求角 A.

三 习题探讨 选择题
第 51 页

1 在复平面内,复数 ? ? ?

??? ? ??? ? 1 3 2 ? i 对应的向量为 OA ,复数 ? 对应的向量为 OB , 2 2

那么向量 AB 对应的复数是 A,1 B, ?1 C, 3i D, ? 3i

??? ?

2 已知 ? 是第二象限角,其终边上一点 P( x, 5 ),且 cos ? ?

2 x ,则 sin ? = 4
D, ?

A,

10 4

B,

6 4

C,

2 4

10 4

3 函数 y ? 2sin(3x ?

) 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 4 2? 4? ? A, B, C, ? D, 3 3 3 ??? ? ???? ??? ? 4 已知向量 OB ? (2, 0) ,向量 OC ? (2, 2) ,向量 CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ?) ,则向量
??? ? ??? ? OA 与向量 OB 的夹角的取值范围是
A, [0,

?

?
4

]

B, [

? 5?
4 12 ,

]

C, [

5? ? , ] 12 2

D, [

, ] 12 12

? 5?

5 已知 a ? (? , 2) , b ? (?3,5) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是 A, ? ?

10 3

B, ? ?

10 3

C, ? ?

10 3

D, ? ?

10 3

6 若 x 是三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的值域是 A, [?1, ??) 填空题 7 已知 sin ? ? sin ? ? 1 ,则 cos(? ? ? ) = . 象限. B, [?1, 2] C, (0, 2] D, (1, 2 ? ]

1 2

8 复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则 z ? z1 ? z2 在复平面内的对应点位于第 9 若 tan ? ? 2 ,则 4sin ? ? 3sin ? cos ? ? 5cos ? =
2 2

. . .

10 与向量 a ? ( 3, ?1) 和 b ? (1, 3) 的夹角相等,且长度为 2 的向量 c ? 11 在复数集 C 内,方程 2 x ? (5 ? i ) x ? 6 ? 0 的解为
2

解答题

第 52 页

12 若 ? ? [?

] ,求函数 y ? cos( ? ? ) ? sin 2? 的最小值,并求相应的 ? 的值. 12 12 4 ,

? ?

?

13 设函数 f ( x) ? 2

x ?1

? 2? x ?1 , x ? R ,若当 0 ? ? ?

?
2

时, f (cos ? ? 2m sin ? ) ?
2

f (?2m ? 2) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

z ?2 5? ? R ,复数 ? 满足 ? ? 1 ,求 ? ? z 的最大值与最小值勤. 14 设 arg z ? ,且 z 4

2

? 3 3 x x ? x,sin x) , b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [0, ] 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? (I)求 a ? b 及 a ? b ; (II)求函数 f ( x ) ? a ? b ? 4 a ? b 的最小值.
15 已知向量 a ? (cos

?

16 设平面向量 a ? ( 3, ?1) , b ? ( ,

?

?

1 3 ? ? ) .若存在实数 m(m ? 0) 和角 ? (? ? (? , )) , 2 2 2 2

使向量 c ? a ? (tan ? 3)b , d ? ?ma ? b tan ? ,且 c ? d .
2

?

?

? ? ?

? ?

?

? ?

(I)求函数 m ? f (? ) 的关系式; (II)令 t ? tan ? ,求函数 m ? g (t ) 的极值.

参考答案:
第 53 页

问题 1 证明:由 a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,且 a ? b ? a ? b cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 得 cos(? ? ? ) = cos ? cos ? ? sin ? sin ? 在①中以 ①

? ?

? ?

? ?

?

? ? 代换 ? 得 cos[ ? (? ? ? )] = cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? )sin ? . 2 2 2 2

?

?

?

即 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . 温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等 问题. 问题 2 解:(I)可得 f ( x) ? 2cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? 由 1 ? 2sin(2 x ? 又?

?
6

)

?

? 3 ) =1 ? 3 ,得 sin(2 x ? ) ? ? 6 2 6

?
3

?x?

?
3

,得 ?

?
2

? 2x ?

?
6

?

5? ? ? ? ,有 2 x ? = ? ,解得 x ? ? . 6 6 3 4

(II)函数 y ? 2sin 2 x 的图象按向量 c ? (m, n) 平移后得到函数 y ? n ? 2sin 2( x ? m) , 即 y ? f ( x) 的图象.也就是 y ? 1 = 2sin 2( x ? 而m ?

?
12

) 的图象.

?
2

,有 m ? ?

?
12

, n ? 1.
2

问题 3 解:(1) y ? 1 ? sin x ? sin x ? ?(sin x ? ) ?
2

1 2

5 4

而 x ?

?
4

,有 ?

2 2 ? sin x ? , 2 2

当 sin x ?

2 3 2 1 ? 5 ? ,即 x ? 时, ymax ? ;当 sin x ? ? ,即 x ? ? 时, ymin ? ? . 2 2 2 2 6 4 4
3 2

(2) y ? cos x ? (1 ? cos x) ? cos x ,令 t ? cos x ,则 ?1 ? t ? 1,有

y ? t 3 ? t 2 ? t ? 1 ,得 y ' ? 3t 2 ? 2t ? 1
令 y ? 0 ,有 t1 ? 1 , t2 ? ?
'

1 3 1 ? t ? 1 时, y ' ? 0 , y 为减函数. 3

①当 ?1 ? t ? ? 时, y ? 0 , y 为增函数;②当 ?
'

1 3

1 1 1 32 y极大 ? (? )3 ? (? )2 ? (? ) ? 1 = ,而 yx=1 ? 1 ?1 ?1 ? 1 ? 0 , 3 3 3 27 32 于是 y 的最大值是 . 27

第 54 页

(3) y ? 2cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 当 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

3? 时, ymin ? 2 ? 2 . 8

2 sin(2 x ? ) ? 2 4

?

(4)可得 y cos x ? 2 y ? sin x ,有 sin x ? y cos x ? 2 y
2 得 1 ? y sin( x ? ? ) ? 2 y ,有 sin( x ? ? ) ?

2y 1? y2

? 1,

得?

3 3 3 ,又 y ? 0 ,于是有 y 的值域是 (0, ? y? ]. 3 3 3

问题 4 解:由已知得
0

tan A ? tan B ? ? 3 ,即 tan( A ? B) ? ? 3 ,又 00 ? A ? B ? 1800 1 ? tan A ? tan B
0

得 A ? B ? 120 , C ? 60 . 又 a ? 4, b ? c ? 5, 得 b ? 5 ? c, 由余弦定理 c ? 16 ? (5 ? c) ? 8(5 ? c)cos60 .
2 2 0

得c ?

7 3 ,b ? . 2 2

7 4 3 4 由正弦定理得 . ? 2 0 ,有 sin A ? 7 sin A sin 60 又 a ? c ? b ,得 A 为最大角.
又 sin B ?

3 3 1 ? ? sin 300 ,有 B ? 300 ,于是 B ? C ? 900 . 14 2

所以得 A ? ? ? arc

4 3 . 7

习题:1 得 ? ? ?
2

? ? ? 1 3 ??? ??? ??? 1 3 1 3 ? i , AB ? OB ? OA ? (? ? i ) ? (? ? i ) ? ? 3i ,选 D. 2 2 2 2 2 2
x x ?5
2

2 OP ?

x 2 ? 5 ,又 cos ? ?

?

2 x ,得 x ? ? 3 或 3 (舍去), 4

有 cos ? ? ?

6 10 2 , sin ? ? 1 ? cos ? ? ,选 A. 4 4

3 它的对称轴为: 3x ?

?
4

? k? ?

?
2

,即 x ?

k? ? (k ? 1)? ? k? ? ? ? ,有 [ ? ] ? ( ? ) ? ,选 A. 3 4 3 4 3 4 3

4(数形结合)由 CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) ,知点 A 在以

??? ?

第 55 页

C (2,2)为圆心, 2 为半径的圆周上(如图),过原点 O 作
' ' 圆 C 的切线 OA , A' 为切点,由 OC ? 2 2 , A C ?

2

' 知 ?AOC ?

?
6

' ,有 ?AOB ?

?
4

?

?
6

?

?
12

,

过点 O 作另一切线 OA , A'' 为切点,则 ?A''OB ?
''

?

4 6 ? ? ? ? ? ? 2 0 0 5 由 a ? b ? ?3? ? 10 , a ? b ? ? ? 2 ? 34 ,设 a 与 b 的夹角为 ? ,则 90 ? ? ? 180 ,
有 ?1 ? cos ? ? 0 ,即 ?1 ? 6 由0 ? x ?

?

?

?

5? ,选 D. 12

?25? 2 ? 60? ? 32 ? 0 10 ,有 ? ? ,选 A. ? 0 ,得 ? 3 ? 2 ? 2 ? 34 ??3? ? 10 ? 0

?3? ? 10

?
3

,令 t ? sin x ? cos x ?

? ? ? 7 2 sin( x ? ), 而 ? x ? ? ? ,得1 ? t ? 2 . 4 4 4 12
t 2 ?1 , 2

又 t ? 1 ? 2sin x cos x ,得 sin x cos x ?
2

得y?t?

t 2 ?1 1 ( 2)2 ? 1 1 ? 2 ? ,选 D. ? (t ? 1) 2 ? 1 ,有 1 ? 0 ? y ? 2 ? 2 2 2 2 1 , sin ?

7 显然 sin ? ? 0 且 sin ? ? 0 ,有 sin ? ?

当 0 ? sin ? ? 1 时,

1 ? 1 ,有 sin ? ? 1 ,于是 sin ? ? 1,得 sin ? ? 1 ,则 cos ? ? cos ? ? 0 sin ?

得到 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?1 , 当 ?1 ? sin ? ? 0 时,同理可得 cos(? ? ? ) ? ?1 . 8 z ? z1 ? z2 ? (3 ? i )(1 ? i ) ? 2 ? 4i ,它对应的点位于第一象限. 9 由 tan ? ? 2 ,得 sin ? ? 2cos ? ,有 sin ? ? 4cos ? ,即 1 ? cos ? ? 4cos ? .
2 2 2 2

则 cos ? ?
2

1 2 2 2 2 ,原式= 16cos ? ? 6cos ? ? 5cos ? ? 5cos ? ? 1 . 5

10 设 c ? ( x, y) ,则 a ? c ? ( 3, ?1) ? ( x, y ) ? 3x ? y , b ? c ? (1, 3) ? ( x, y ) ? x ? 3 y . 设 c 与 a , b 的夹角分别为 ? , ? ,则 cos ? ?

a ?c 3x ? y b?c x ? 3y ? ? , cos ? ? a?c b?c 2 2 2 2

2 2 由 ? ? ? ,得 3x ? y = x ? 3 y ①;由 c = 2 ,得 x ? y ? 2 .②

第 56 页

? 3 ?1 ? 3 ?1 ? x1 ? ? x2 ? ? 3 ? 1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ? ? 2 2 由①,②得, ? ,? ,于是 c ? ( ,? ) , ) 或 (? 2 2 2 2 ? y ? 3 ?1 ? y ? ? 3 ?1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2
11 设 x ? a ? bi , a, b ? R ,代入原方程整理得 (2a ? 2b ? 5a ? 6 ? b) ? (4ab ? a ? 5b)i ? 0
2 2

3 ? a? ? 2a 2 ? 2b 2 ? 5a ? 6 ? b ? 0 ?a ? 1 ? 3 3 ? 2 有? ,解得 ? 或? ,所以 x ? 1 ? i 或 x ? ? i . 2 2 ?b ? 1 ?b ? ? 3 ? 4ab ? a ? 5b ? 0 ? ? 2
12 解: y ? cos(? ?

?

) ? sin 2? ? cos(? ? ) ? cos( ? 2? ) 4 4 2

?

?

? ?2 c o2s ? (?
令 t ? cos(? ? 由?

?

?
?

4

?)

c?o? ( ? s 4

?

)

1

1 9 ) ,得 y ? ?2t 2 ? t ? 1 ? ?2(t ? )2 ? 4 4 8
,得

?
12

?? ?

?
6

12

?? ?

?
4

?

?
3

,有

1 ? 3 1 3 ? cos(? ? ) ? , ?t ? . 2 4 2 2 2

于是当 t ?

3 ? 3 3 1 ? ? . ,即 cos(? ? ) ? ,得 ? ? ? 时, ymin ? 2 4 2 2 2 12
? x ?1

13 解:由 f (? x) ? 2 而 f ( x) ? 2
' x ?1

? 2? ( ? x )?1 ? ? f ( x) ,知 f ( x) 是奇函数,

ln 2 ? 2? x ?1 ln 2(? x ? 1)' ? 2 x ?1 ln 2 ? 2? x?1 ln 2 ? 0

得 f ( x) 在 R 上为增函数,则有

cos2 ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ,令 t ? sin ? 有
t 2 ? 2mt ? (2m ? 1) ? 0 , t ? [0,1] 恒成立.①
将①转化为: 2m(1 ? t ) ? ?(t ? 1) , t ? [0,1]
2

(1)当 t ? 1时, m ? R ; (2)当 0 ? t ? 1 时, 2m ? h(t ) ? 2 ? [(1 ? t ) ? 当 t ? 0 时, hmin (t ) ? ?1 ,于是得 m ? ? 综(1),(2)所述,知 m ? ?

2 2 ] ,由函数 g ( x) ? x ? 在 (0,1] 上递减,知 1? t x

1 . 2

1 . 2

第 57 页

14 解:设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,由 arg z ?
2

5? 得b ? a ? 0 , 4

z ? 2 a 2 (1 ? i ) 2 ? 2 ?(a 2 ? 1) ? (1 ? a 2 )i ? ? 得 z a (1 ? i ) a

z ?2 ? R ,得 1 ? a 2 ? 0 ,从而 z ? ?1 ? i , 由 z
设 ?, z 在复平面上的对应点分别为 W , Z ,由条件知 W 为 复平面单位圆上的点, ? ? z 的几何意义为单位圆上的点 W 到点 Z 的距离,所以

2

? ? z 的最小值为 OZ ? OA ? 2 ? 1 ;最大值为 OZ ? OA ? 2 ? 1 .
15 解(I) a ? b ? cos

3 x 3 x x cos ? sin x(? sin ) ? cos 2 x , 2 2 2 2 ? ? ? ? 3 x 3 x a ? b ? (cos x ? cos ,sin x ? sin ) ,得 a ? b ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos x ? 2cos 2x 2 2 2 2

? ?

( x ? [0,

?

2

] ).
2 2

(II) f ( x) ? cos 2 x ? 8cos x ? 2cos x ? 8cos x ? 1 ? 2(cos x ? 2) ? 9 当且仅当 cos x ? 1 时, f min ( x) ? ?7 . 16 解:(I)由 c ? d , a ? b ?

?

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? 1 3 ? 3 ? 1? ? 0 ,得 c ? d ? [a ? (tan 2 ? ? 3)b] ? [?ma ? b tan ? ] 2 2
?2

= ?ma ? (tan ? ? 3 tan ? )b ? 0 ,即 m a ? (tan3 ? ? 3tan ? ) b ,得
3

?2

?2

?2

1 ? ? m ? (tan 3 ? ? 3tan ? )(? ? ? ? ) . 4 2 2 1 3 (II)由 tan ? ? t ,得 m ? g (t ) ? (t ? 3t ), t ? R 4 3 2 ' ' ' 求导得 m ? g (t ) ? (t ? 1) ,令 g (t ) ? 0 ,得 t1 ? ?1 , t2 ? 1 4
当 t ? (??, ?1) , g (t ) ? 0 , g (t ) 为增函数;当 t ? (?1,1) 时, g (t ) ? 0 , g (t ) 为减函数;
' '

当 t ? (1, ??) 时, g (t ) ? 0 , g (t ) 为增函数.
'

所以当 t ? ?1 ,即 ? ? ?

?
4

时, m ? g (t ) 有极大值

1 ? ;当 t ? 1,即 ? ? 时, m ? g (t ) 有极小 2 4

1 值? . 2

第 58 页


推荐相关:

高中数学竞赛讲义(免费)

高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年《全日制普通高 级中学数学教学大纲》中所...


高中数学竞赛资料-数论部分

高中数学竞赛资料-数论部分_数学_高中教育_教育专区。初等数论简介绪言:在各种数学竞赛中大量出现数论题,题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1. 请看下面的例...


高中数学竞赛讲义——格点问题

高中数学竞赛讲义——格点问题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。决赛的好帮手。格点问题 [赛点直击] 1.格点,是指方格纸上纵线和横线的交点,如果取一个格点...


高中数学竞赛资料收集

高中数学竞赛资料收集_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学竞赛资料收集_学科竞赛_高中教育_教育专区。收集了许多人介绍推荐的...


高中数学竞赛讲义1

高中数学竞赛讲义( 高中数学竞赛讲义(八)──平面向量 平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示 ...


高中数学竞赛讲义01:集合与简易逻辑

高中数学竞赛讲义(一) 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示; 集合中的各个...


高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)

(Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, 所以 x0= , 所以 , 高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导( 高中数学竞赛讲义+完美数学...


高中数学竞赛讲义十二

高中数学竞赛讲义(十二)──立体几何 一、基础知识 公理 1 记作:a a. 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线在这个平面内, 公理 2 两个...


高中数学竞赛培训讲义(word版43页)

高中数学竞赛培训讲义(word版43页)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 高中数学竞赛培训教材编者:全国特级教师 (一)集合与容斥原理 集合是一种基本数学语言、一种基...


高中数学竞赛讲义(五)──数列

高中数学竞赛讲义(五)──数列_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学竞赛讲义(五) ──数列 一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,例如 1,2,...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com