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(2)点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用


2012 年高中数学竞赛讲座

在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定 理、塞瓦定理的应用。 1. 点共线的证明 点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明 两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥ 4)点共线可转化为三点共线。

例1

如图,设线段 AB 的中点为

C,以 AC 和 CB 为对角线作平行四边 形 AECD,BFCG。又作平行四边形 CFHD,CGKE。求证:H,C,K 三点共线。



连 AK,DG,HB。 由题意,AD EC KG,知四边形 AKGD 是平行四边形,于是 AK DG。

同样可证 AK HB。四边形 AHBK 是平行四边形,其对角线 AB,KH 互相 平分。而 C 是 AB 中点,线段 KH 过 C 点,故 K,C,H 三点共线。

G D A E K C B H F

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例2

如图所示,菱形 ABCD 中,∠A=120°, O 为△ABC 外接圆,M 为其上一点,连接 MC 交 AB 于 E,AM 交 CB 延长线于 F。求证:

D,E,F 三点共线。
F B
证 如图,连 AC,DF,DE。 因为 M 在

M E O

A D C

O 上,

则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB, 有△AMC∽△ACF,得
MC CF CF ? ? 。 MA CA CD

又因为∠AMC=BAC,所以△AMC∽△EAC,得
MC AC AD ? ? 。 MA AE AE

所以

CF AD ? ,又∠BAD=∠BCD=120°,知△CFD∽ CD AE

△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为 AD∥BC,所以∠ADF=∠DFB=∠ADE, 于是 F,E,D 三点共线。

例3

四边形 ABCD 内接于圆,其边 AB 与 DC 的延长线交于点 P,AD 与 BC 的延长线交于点 Q。由 Q 作该圆的两条切线 QE 和 QF,切 点分别为 E,F。求证:P,E,F 三点共线。
A G C (E') E F D Q M

B

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P



如图。 连接 PQ,并在 PQ 上取一点 M,使得

B,C,M,P 四点共圆,连 CM,PF。设 PF 与圆的另一交点为 E’,
并作 QG 丄 PF,垂足为 G。易如

QE2=QM·QP=QC·QB
∠PMC=∠ABC=∠PDQ。 从而 C,D,Q,M 四点共圆,于是



PM·PQ=PC·PD
由①,②得



PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB,
即 PQ2=QC·QB+PC·PD。 易知 PD·PC=PE’·PF,又 QF2=QC·QB,有

PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2,
即 PE’·PF=PQ2-QF2。又

PQ2-QF2=PG2-GF2=(PG+GF)·(PG-GF)
=PF·(PG-GF), 从而 PE’=PG-GF=PG-GE’,即 GF=GE’,故 E’与 E 重合。 所以 P,E,F 三点共线。

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例4

以圆 O 外一点 P,引圆的两条切线 PA,PB,A,B 为切点。割线

PCD 交圆 O 于 C,D。又由 B 作 CD 的平行线交圆 O 于 E。若 F
为 CD 中点,求证:A,F,E 三点共线。 证 如图,连 AF,EF,OA,OB,OP,BF,OF, 延长 FC 交 BE 于 G。 易如 OA 丄 AP,OB 丄 BP,

A D F O E G B C P

OF 丄 CP,所以 P,A,F,O,B
五点共圆,有∠AFP=∠AOP=∠POB= ∠PFB。 又因 CD∥BE,所以有 ∠PFB=∠FBE,∠EFD=∠FEB,

而 FOG 为 BE 的垂直平分线,故 EF=FB,∠FEB=∠EBF, 所以∠AFP=∠EFD,A,F,E 三点共线。

2. 线共点的证明

证明线共点可用有关定理(如三角形的 3 条高线交于一点),或证 明第 3 条直线通过另外两条直线的交点, 也可转化成点共线的问题给 予证明。

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例5

以△ABC 的两边 AB,AC 向外作正方形 ABDE,ACFG。 △ABC 的高为 AH。求证:AH,BF,CD 交于一点。



如图。延长 HA 到 M, 使 AM=BC。连 CM,BM。 设 CM 与 BF 交于点 K。 在△ACM 和△BCF 中,
D B E

M

G A K H C F

AC=CF,AM=BC,
∠MAC+∠HAC=180°, ∠HAC+∠HCA=90°, 并且∠BCF=90°+∠HCA, 因此∠BCF+∠HAC=180° ∠MAC=∠BCF。

从而△MAC≌△BCF,∠ACM=∠CFB。 所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°, 即 BF 丄 MC。 同理 CD 丄 MB。AH,BF,CD 为△MBC 的 3 条高线,故 AH,BF,

CD 三线交于一点。

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例6

设 P 为△ABC 内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC。又设 D,

E 分别是△APB 及△APC 的内心。证明:AP,BD,CE 交于一点。
证 如图,过 P 向三边作垂线,垂足分别为 R,S,T。 连 RS,ST,RT,设 BD 交 AP 于 M,CE 交 AP 于 N。 易知 P,R,A,S;P,T,B,R;

A R M N D E P B T S

P,S,C,T 分别四点共圆,则
∠APB-∠ACB=∠PAC+∠PBC =∠PRS+∠PRT =∠SRT。 同理,∠APC-∠ABC=∠RST, 由条件知∠SRT=∠RST,所以 RT=ST。 又 RT=PBsinB,ST=PCsinC, 所以 PBsinB=PCsinC,那么
PB PC ? 。 AB AC

C

由角平分线定理知
AN AC AB AM ? ? ? 。 NP PC PB MP

故 M,N 重合,即 AP,BD,CE 交于一点。

例7

O1 与 O2 外切于 P 点,QR 为两圆的公切线,其中 Q,R 分别


O1, O2 上的切点,过 Q 且垂直于 QO2 的直线与过 R 且垂

直于 RO1 的直线交于点 I,IN 垂直于 O1O2,垂足为 N,IN 与 QR 交于点 M。证明:PM,RO1,QO2 三条直线交于一点。
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如图,设 RO1 与 QO2 交于点 O, 连 MO,PO。 因为∠O1QM=∠O1NM=90°,所以 Q,O1,N,M 四点共圆,有∠

QMI=∠QO1O2。
而∠IQO2=90°=∠RQO1, 所以∠IQM=∠O2QO1, 故△QIM∽△QO2O1,得
QO1 O1O2 ? QM MI

I

R Q M O1 N O P O2

同理可证

RO2 O1O2 ? 。因此 RM MI

QM QO1 ? MR RO2



因为 QO1∥RO2,所以有
O1O QO1 ? OR RO2



由①,②得 MO∥QO1。 又由于 O1P=O1Q,PO2=RO2, 所以
O1O O1Q O1 P , ? ? OR RO2 PO2

即 OP∥RO2。从而 MO∥QO1∥RO2∥OP,故 M,O,P 三点共线,所 以 PM,RO1,QO2 三条直线相交于同一点。

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3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用

定理 1 (塞瓦(Ceva)定理): 设 P,Q,R 分别是△ABC 的 BC,CA,AB 边上的点。若 AP,BQ,
A

CR 相交于一点 M,则
Q

BP CQ AR ? ? ? 1。 PC QA RB

M B P C

证 如图,由三角形面积的性质,有
AR S ?AMC BP S ?AMB CQ S ?BMC , , . ? ? ? RB S ?BMC PC S ?AMC QA S ?AMB

以上三式相乘,得

BP CQ AR ? ? ? 1. PC QA RB

定理 2 (定理 1 的逆定理): 设 P, , 分别是△ABC 的 BC, , 上的点。 Q R CA AB 若 则 AP,BQ,CR 交于一点。 证 如图,设 AP 与 BQ 交于 M,连 CM,交 AB 于 R’。 由定理 1 有
BP CQ AR' BP CQ AR ? ? ? 1. 而 ? ? ? 1,所以 PC QA R' B PC QA RB
AR ' AR ? . R' B RB

BP CQ AR ? ? ? 1, PC QA RB

于是 R’与 R 重合,故 AP,BQ,CR 交于一点。

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定理 3

(梅涅劳斯(Menelaus)定理):

一条不经过△ABC 任一顶点的直线和三角形三边 BC,CA,AB(或 它们的延长线)分别交于 P,Q,R,则
A
BP CQ AR ? ? ?1 PC QA RB

R

Q C P

证 如图,由三角形面积的性质,有
AR S ?ARP BP S ?BRP CQ S ?CRP , , . ? ? ? RB S ?BRP PC S ?CPR QA S ?ARP

B

将以上三式相乘,得

BP CQ AR ? ? ? 1. PC QA RB

定理 4 (定理 3 的逆定理): 设 P,Q,R 分别是△ABC 的三边 BC,CA,AB 或它们延长线上的 3 点。若
BP CQ AR ? ? ? 1, PC QA RB

则 P,Q,R 三点共线。 定理 4 与定理 2 的证明方法类似。 塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之 有关的题目中有着广泛的应用。

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例8

如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一 点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G。求证:∠GAC= ∠EAC。



如图,连接 BD 交 AC 于 H, 过点 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I, 过点 C 作 AD 的平行

线交 AE 的延长线于 J。 对△BCD 用塞瓦定理,可得
CG BH DE ? ? ?1 GB HD EC
A


H F B G C E

D

因为 AH 是∠BAD 的角平分线, 由角平分线定理知 代入①式得
CG AB DE ? ? ?1 GB AD EC BH AB ? 。 HD AD

J


CG CI DE AD ? ? , 。 GB AB EC CJ

I

因为 CI∥AB,CJ∥AD,则 代入②式得
CI AB AD ? ? ?1. AB AD CJ

从而 CI=CJ。又由于 ∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ, 所以△ACI≌△ACJ,故∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC.

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例9

ABCD 是一个平行四边形,E 是 AB 上的一点,F 为 CD 上的一点。 AF 交 ED 于 G,EC 交 FB 于 H。连接线段 GH 并延长交 AD 于 L,
交 BC 于 M。求证:DL=BM.



如图,设直线 LM 与 BA 的延长线交于点 J,与 DC 的延长线交于
J A L G E B

点 I。 在△ECD 与△FAB 中分别使用 梅涅劳斯定理,得
EG DI CH AG FH BJ ? ? ?1, ? ? ? 1. GD IC HE GF HB JA
D

H M F C I

因为 AB∥CD,所以
EG AG CH FH ? ? , . GD GF HE HB DI BJ CD ? CI AB ? AJ ? ? 从而 ,即 ,故 CI=AJ. 而 IC JA CI AJ BM BJ DI DL ? ? ? , MC CI AJ LA

且 BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以 BM=DL。

例 10

在直线 l 的一侧画一个半圆 T,C,D 是 T 上的两点,T 上过 C 和 D 的切线分别交 l 于 B 和 A,半圆的圆心在线段 BA 上,E 是线段 AC 和 BD 的交点,F 是 l 上的点,EF 垂直 l。求证:

EF 平分∠CFD。
P

D A

E O F(H)

C B l

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如图,设 AD 与 BC 相交于点 P,用 O 表示半圆 T 的圆心。过 P 作 PH 丄 l 于 H,连 OD,OC,OP。 由题意知 Rt△OAD∽Rt△PAH,

于是有
AH HP ? . AD DO

类似地,Rt△OCB∽Rt△PHB, 则有
BH HP ? . BC CO AH BH AH BC PD ? ? ? ? 1. 由 CO=DO,有 ,从而 AD BC HB CP DA

由塞瓦定理的逆定理知三条直线 AC,BD,PH 相交于一点,即 E 在 PH 上,点 H 与 F 重合。 因∠ODP=∠OCP=90°,所以 O,D,C,P 四点共圆,直径为 OP. 又∠PFC=90°,从而推得点 F 也在这个圆上,因此 ∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP, 所以 EF 平分∠CFD。

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例 11

如图,四边形 ABCD 内接于圆,AB,DC 延长线交于 E,AD、BC 延长线交于 F, 为圆上任意一点, , P PE

PF 分别交圆于 R,S. 若对角线 AC 与 BD 相交于 T.
求证:R,T,S 三点共线。
B R C T D P S

E

先证两个引理。

A

F

引理 1:

A1B1C1D1E1F1 为圆内接六边形,若 A1D1,B1E1,C1F1 交于一点,则有
A1B1 C1D1 E1F1 ? ? ?1. B1C1 D1E1 F1 A1

如图,设 A1D1,B1E1,C1F1 交于点 O,根据圆内接多边形的性质易 知
A1 B1 C1 O

△ OA1B1∽△OE1D1,△OB1C1∽△OF1E1, △OC1D1∽△OA1F1,从而有
A1 B1 B1O EF FO CD DO , 1 1? 1 , 1 1? 1 . ? D1 E1 D1O B1C1 B1O F1 A1 F1O
E1 F1 D1

将上面三式相乘即得 引理 2:

A1B1 C1D1 E1F1 ? ? ?1, B1C1 D1E1 F1 A1

圆内接六边形 A1B1C1D1E1F1,若满足
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A1B1 C1D1 E1F1 ? ? ?1 B1C1 D1E1 F1 A1

则其三条对角线 A1D1,B1E1,C1F1 交于一点。 该引理与定理 2 的证明方法类似,留给读者。 例 11 之证明如图,连接 PD,AS,RC,BR,AP,SD. 由△EBR∽△EPA,△FDS∽△FPA,知
BR EB PA FP ? ? , . PA EP DS FD

两式相乘,得
BR EB ? FP ? . DS EP ? FD


CR EC PD FP ? ? , . 两 PD EP AS FA

又由△ECR∽△EPD,△FPD∽△FAS,知 式相乘,得
CR EC ? FP ? AS EP ? FA BR ? AS EB ? FA ? 由①,②得 . 故 DS ? CR EC ? FD BR CD SA EB AF DC ? ? ? ? ? . RC DS AB BA FD CE





对△EAD 应用梅涅劳斯定理,有
EB AF DC ? ? ?1 BA FD CE



由③,④得
BR CD SA ? ? ? 1. RC DS AB

由引理 2 知 BD,RS,AC 交于一点,所以 R,T,S 三点共线。

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A组

1. 由矩形 ABCD 的外接圆上任意一点 M 向它的两对边引垂线 MQ 和 MP, 向另两边延长线引垂线 MR,MT。证明:PR 与 QT 垂直,且它们的 交点在矩形的一条对角线上。

2. 在△ABC 的 BC 边上任取一点 P,作 PD∥AC,PE∥AB,PD,PE 和以

AB,AC 为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为 D,E。求
证:D,A,E 三点共线。

3. 一个圆和等腰三角形 ABC 的两腰相切,切点是 D,E,又和△ABC 的外接圆相切于 F。求证:△ABC 的内心 G 和 D,E 在一条直线上。

4. 设四边形 ABCD 为等腰梯形,把△ABC 绕点 C 旋转某一角度变成△

A’B’C’。证明:线段 A’D, BC 和 B’C 的中点在一条直线上。

5. 四边形 ABCD 内接于圆 O, 对角线 AC 与 BD 相交于 P。 设三角形 ABP,

BCP,CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1,O2,O3,O4。求证:OP, O1O3,O2O4 三直线交于一点。

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6. 求证:过圆内接四边形各边的中点向对边所作的 4 条垂线交于一 点。

7. △ABC 为锐角三角形,AH 为 BC 边上的高,以 AH 为直径的圆分别 交 AB,AC 于 M,N;M,N 与 A 不同。过 A 作直线 lA 垂直于 MN。类 似地作出直线 lB 与 lC。证明:直线 lA,lB,lC 共点。 8. 以△ABC 的边 BC,CA,AB 向外作正方形,A1,B1,C1 是正方形的边

BC,CA,AB 的对边的中点。求证:直线 AA1,BB1,CC1 相交于一点。

9. 过△ABC 的三边中点 D,E,F 向内切圆引切线,设所引的切线分 别与 EF,FD,DE 交于 I,L,M。求证:I,L,M 在一条直线上。

B组

10. 设 A1,B1,C1 是直线 l1 上的任意三点,A2,B2,C2 是另一条直线

l2 上的任意三点,A1B2 和 B1A2 交于 L,A1C2 和 A2C1 交于 M,B1C2 和 B2C1 交于 N。求证:L,M,N 三点共线。

11. 在△ABC,△A’B’C’中,连接 AA’,BB’,CC’,使这 3 条
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直线交于一点 S。求证:AB 与 A’B’、BC 与 B’C’、CA 与 C’

A’的交点 F,D,E 在同一条直线上(笛沙格定理)。

12. 设圆内接六边形 ABCDEF 的对边延长线相交于三点 P,Q,R,则 这三点在一条直线上(帕斯卡定理)。

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