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浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试数学试卷(理科)


浙江省金丽衢十二校 2013 届高三第二次联合考试数学试卷 (理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生将所有试 题的答案涂、写在答题纸上.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.在复平面内

,复数 A.第一象限

? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于 3 ? 4i
B.第二象限

x 2 2. 设集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? x 2 ? 2 ,则 M ? C R N 等于

?

C.第三象限

?

D.第四象限

A. ?? 1,1?

B. (?1,0)

C. ?1,3?

D. (0,1)

2 3. (2 x ? ) 的展开式中 x 的系数为
6

1 x

A. ?240 4. ? ? “

B. 240

C. ?60

D. 60

?
2

”是“函数 f ?x ? ? cos x 与函数 g ?x ? ? sin?x ? ? ? 的图像重合”的 B.必要而不充分条件

A.充分而不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 设 m、n 为空间的两条不同的直线,α、β 为空间的两个不同的平面,给出下列命题: ①若 m∥α,m∥β,则 α∥β;②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n;④若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n. 上述命题中,所有真命题的序号是 A. ①② B. ③④ C. ①③
*

D. ②④

6.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? n ? 1( n ? N ),则 A.

2012 2013

B.

4024 2013

C.

2013 1007

1 1 1 等于 ? ??? a1 a2 a2013 1006 D. 1007

7. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是

4 3 3 4 ?k? C. 4 3
A. 0 ? k ?

4 3 4 D. k ? 0 或 k > 3
B. k <0 或 k >
第 1 页 共 9 页

8.对数函数 y ? loga x( a ? 0且a ? 1)与二次函数 y ? ?a ? 1?x 2 ? x 在同一坐标系内的图 象可能是

? 1 ?x ? , x ? 0 9. 已知函数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 f x 2 ? 2 x ? a 有六个不同的实根, x ? x3 ? 9, x ? 0 ?

?

?

则实数 a 的取值范围是 A. ? 2,8? B. ? 2,9? C. ?8,9? D.

?8,9?

10. 记集合 P ? ?0,2,4,6,8? , Q ? m m ? 100a1 ? 10a2 ? a3 , a1 , a2 , a3 ? P ,将集合 Q 中 的所有元素排成一个递增数列,则此数列第 68 项是 A.68 B.464 C.468 D.666

?

?

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 ▲ 12. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是 ▲

13. 等 比 数 列 { an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S2 ,3S3 成等差数列, 则 等比数列{ an }的公比为___▲ __

?2 x ? y ? 0 ? 14.若实数 x 、 y 满足 ? y ? x ,且 z = 2 x + y 的最小值为 3 ,则实数 b 的值为__▲ ?y ? ?x ? b ?
第 2 页 共 9 页

15.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知 F1 、

F2 是一对“黄金搭档”的焦点, P 是它们在第一象限的交点,当 ?F1 PF2 ? 60? 时,这一
对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 ▲

16.已知实数 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 1 ,那么

a2 ? b2 的最大值为 a?b

▲ 17. 如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A,D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上移动,则 OB ? OC 的最大值是

??? ??? ? ?



(第 17 题图)

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? cos ?x( 3 sin ?x ? cos ?x) ? 期为 2? . (Ⅰ)求 ? 的值;

1 ( ? ? 0 )的周 2

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a , 求 f (B ) 的值.

19. 某竞猜活动有 4 人参加, 设计者给每位参与者 1 道填空题和 3 道选择题, 答对一道填空 题得 2 分, 答对一道选择题得 1 分, 答错得 0 分, 若得分总数大于或等于 4 分可获得纪念品, 假定参与者答对每道填空题的概率为

1 1 ,答对每道选择题的概率为 ,且每位参与者答题 2 3

互不影响. (Ⅰ)求某位参与竞猜活动者得 3 分的概率; (Ⅱ)设参与者获得纪念品的人数为 ? , 求随机变量 ? 的分布列 及数学期望. 20. 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , AB ? AD ? 4 ,

BC ? CD ? 7 ,点 E 为线段 AD 上的一点.现将 ?DCE 沿
线段 EC 翻折到 PAC (点 D 与点 P 重合) 使得平面 PAC ? 平面 ABCE , , 连接 PA ,PB . (Ⅰ)证明: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 ?BAD ? 60? ,且点 E 为线段 AD 的中点,求二面角 P ? AB ? C 的大小. 21. (本题满分 15 分) 已知点 M 到定点 F ?1,0? 的距离和它到定直线 l : x ? 4 的距离的比是 常数

1 ,设点 M 的轨迹为曲线 C . 2
第 3 页 共 9 页

(Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)已知曲线 C 与 x 轴的两交点为 A 、 B , P 是曲线 C 上异于 A , B 的动点,直线 AP 与 曲线 C 在点 B 处的切线交于点 D ,当点 P 运动时,试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明. 22. 已知函数 f ( x) ?

( x ? a) 2 (其中 a 为常数). ln x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数的单调区间; (Ⅱ) 当 0 ? a ? 1 时,设函数 f (x) 的 3 个极值点为 x1,x2,x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 . 证明: x1 ? x3 ?

2 e

.

金丽衢十二校 2012 学年第二次联合考试 数学试卷(理科)参考答案
一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案

1 B

2 C

3 B
1 3

4 A
9 4

5 D

6 C

7 A
16. ? 1

8 A

9 D

10 B

二、填空题(4×7=28 分) 11.16 12. 3 13. 14. 15.

3

17. 2

三、解答题(共 72 分)
第 4 页 共 9 页

18.解: (Ⅰ) f ?x ? ?

3 sin ?x cos?x ? cos2 ?x ?

1 3 1 ? cos 2?x 1 ? sin 2?x ? ? 2 2 2 2
——7 分

?

3 1 sin 2?x ? cos2?x 2 2

1 ?? ? ? s i n 2?x ? ? ? ? ? ? 2 6? ?

(Ⅱ)解法(一) 2b cos A ? 2c ? 3a ? 2b ?

b2 ? c2 ? a2 ? 2c ? 3a 2bc

a2 ? c2 ? b2 3 整理得 a ? c ? b ? 3ac ,故 cos B ? ? 2ac 2
2 2 2

? 0 ? B ? ? ,? B ?

?
6

? f ( B ) ? sin( B ?

?
6

) ? sin 0 ? 0

——14 分

解法(二) 2b cos A ? 2c ? 3a ? 2 sin B cos A ? 2 sin C ? 3 sin A

? 2 sin B cos A ? 2 sin(A ? B) ? 3 sin A ? 2 sin A cos B ? 3 sin A ? 0 ? sin A(2 cos B ? 3) ? 0
? 0 ? A ? ? ,? sin A ? 0
又? 0 ? B ? ? ,? B ?

?c o s ? B

3 2

?
6
——14 分

? f ( B ) ? sin( B ?

?
6

) ? sin 0 ? 0

19 解:(Ⅰ)答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为 答错填空题且答对三道选择题的概率为

1 2 1 2 ? C32 ? ( ) 2 ? ? , 2 3 3 9

1 1 3 1 ?( ) ? (对一个 4 分) 2 3 54 2 1 13 ? ∴某位参与竞猜活动者得 3 分的概率为 ? ; ??????? 7 分 9 54 54
(Ⅱ)由题意知随机变量 ? 的取值有 0,1,2,3,4.又某位参与竞猜活动者得 4 分的概率为

1 1 2 1 ? C32 ? ( ) 2 ? ? 2 3 3 9
某位参与竞猜活动者得 5 分的概率为 ∴参与者获得纪念品的概率为

1 1 3 1 ?( ) ? 2 3 54
????????? 11 分

7 54

第 5 页 共 9 页

7 47 k 7 ) ,分布列为 P(? ? k ) ? C 4 ( ) k ( ) 4? k , k ? 0,1,2,3,4 54 54 54 7 14 ? ∴随机变量 ? 的数学期望 E? = 4 ? . ????????? 14 分 54 27 20 解:(Ⅰ)连接 AC , BD 交于点 O ,在四边形 ABCD 中,
∴ ? ~ B(4, ∵ AB ? AD ? 4 , BC ? CD ?

7

∴ ?ABC ? ?ADC ,∴ ?DAC ? ?BAC , ∴ AC ? BD 又∵平面 PAC ? 平面 ABCE ,且平面 PAC ? 平面 ABCE = AC ∴ BD ? 平面 PAC ??? 6 分

(Ⅱ)如图, O 为原点, 以 直线 OA ,OB 分别为 x 轴, y 轴,平面 PAC 内过 O 且垂直于直线 AC 的直线为 z 轴 建立空间直角坐标系,可设点 P( x,0, z ) 又

A(2 3,0,0) , B(0,2,0) , C(? 3,0,0) ,

E( 3,?1,0) ,且由 PE ? 2 , PC ? 7 有
?( x ? 3 ) 2 ? 1 ? z 2 ? 4 2 3 ,∴ ,解得 x?z? ? 2 2 3 ? ( x ? 3) ? z ? 7
P( 2 2 3 ,0, 3) 3 3
???? 9 分

则有 AP ? (?

4 3 2 3 ,0, ) ,设平面 PAB 的法向量为 n ? (a, b, c) , 3 3
??? 12 分

由?

? AP ? n ? 0 ? z ? 2x ? ,即 ? ,故可取 n ? (1, 3,2) ? AB ? n ? 0 ? y ? 3x ?

又易取得平面 ABC 的法向量为 (0,0,1) ,并设二面角 P ? AB ? C 的大小为 ? , ∴ cos? ?

(0,0,1) ? (1, 3,2) 1? 8

?

? 2 ,∴ ? ? 4 2
? . 4
???????14 分

∴二面角 P ? AB ? C 的大小为

21.解: (Ⅰ)设点 M ? x, y ? ,则据题意有
2 2

?x ? 1?2 ? y 2
x?4

?

1 2

y P

D

? 化简得

x y ? ?1 4 3
A O

E F B x

第 6 页 共 9 页

故曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,????5 分 4 3

(Ⅱ)如图由曲线 C 方程知 A?? 2,0?, B?2,0? ,在点 B 处的切线方程为 x ? 2 . 以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ?

16k 2 ? 12 . 3 ? 4k 2
???????????7 分

所以 x0 ?

12k 6 ? 8k 2 , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

因为点 F 坐标为 (1, 0) , 当k ? ?

1 3 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) . 2 2

2 2 直线 PF ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 与直线 PF 相切.

当k ? ?

1 y0 4k 时,则直线 PF 的斜率 k PF ? . ? 2 x0 ? 1 1 ? 4k 2

所以直线 PF 的方程为 y ? 点 E 到直线 PF 的距离

4k ( x ? 1) . 1 ? 4k 2

d?

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 (1 ? 4k 2 ) 2

2k ? 8k 3 1 ? 4k 2 ? ? 2 | k |. 1 ? 4k 2 |1 ? 4k 2 |

又因为 BD ? 2R ? 4 k , 故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.???15 分 22 解:(Ⅰ) f ' ( x) ? 令 f ' ( x) ? 0 可得 x ?

x(2 ln x ? 1) ln 2 x

e .列表如下:
第 7 页 共 9 页

x
f ?? x ? f ?x ?

?0,1?


?1, e ?


e
0 极小值

?


e ,??
+

?

单调减区间为 ?0,1? , 1, e ;增区间为

? ?

?

e ,?? .------------5 分

?

(Ⅱ)由题, f ' ( x) ?

( x ? a)(2 ln x ? ln 2 x

a ? 1) x

a 2x ? a ? 1 ,有 h' ( x) ? x x2 a a ∴函数 h(x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( ,?? ) 上单调递增 2 2
对于函数 h( x) ? 2 ln x ? ∵函数 f (x) 有 3 个极值点 x1 ? x2 ? x3 , 从而 hmin ( x) ? h( ) ? 2 ln

a 2

a 2 ? 1 ? 0 ,所以 a ? , 2 e

当 0 ? a ? 1 时, h(a) ? 2 ln a ? 0 , h(1) ? a ? 1 ? 0 , ∴ 函数 f (x) 的递增区间有 ( x1 , a) 和 ( x3 ,??) ,递减区间有 (0, x1 ) , (a,1) , (1, x3 ) , 此时,函数 f (x) 有 3 个极值点,且 x2 ? a ; ∴当 0 ? a ? 1 时, x1 , x3 是函数 h( x) ? 2 ln x ?

a ? 1 的两个零点,————9 分 x

? ? 2 ln x1 ? ? 即有 ? ?2 ln x3 ? ? ?

a ?1 ? 0 x1 ,消去 a 有 2 x1 ln x1 ? x1 ? 2 x3 ln x3 ? x3 a ?1 ? 0 x3
1 e
,且 x1 ?

令 g ( x) ? 2 x ln x ? x , g ' ( x) ? 2 ln x ? 1 有零点 x ?

1 e

? x3

∴函数 g ( x) ? 2 x ln x ? x 在 (0,

1 e

) 上递减,在 ( 2 e
2 e

1 e

,??) 上递增

要证明

x1 ? x3 ?

2 e

? x3 ?

? x1 ? g ( x3 ) ? g (

2 e
2

? x1 )

? g ?x1 ? ? g ?x3 ? ? 即证 g ( x1 ) ? g (

? x1 ) ? g ( x1 ) ? g (

e

? x1 ) ? 0

第 8 页 共 9 页

构造函数 F ? x ? ? g ( x) ? g (

2

? 1 ? ? x) ,? F ? ? =0 ? ? e ? e?
2 e ? x) ? 2 ,

只需要证明 x ? (0,

1 e

] 单调递减即可.而 F ??x ? ? 2 ln x ? 2 ln(

F ' ' ?x ? ?

2( x(

2 e 2 e

? 2 x) ? x)

? 0 ? F ??x ? 在 (0,

1

? 1 ? ] 上单调递增, ? F ??x ? ? F ? ??0 ? ? e ? e?

∴当 0 ? a ? 1 时, x1 ? x3 ?

2 e

.————————15 分

第 9 页 共 9 页


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