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2015年高考数学理真题分类汇编:专题03 导数 Word版含解析


专题三 导数
1. 【2015 高考福建, 理 10】 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0 ? ? ?1 , 其导函数 f ? ? x ? 满 足 f ? ? x ? ? k ? 1 ,则下列结论中一定错误的是( A. f ? )

?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1

? ?? ? k ? k ?1

C. f ?

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

【答案】C 【解析】由已知条件,构造函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ,则 g ( x) ? f ( x) ? k ? 0 ,故函数 g ( x)
' '

在 R 上单调递增,且

1 1 1 k ? 0 , 故 g( ) ? g (0) , 所 以 f ( )? ? ?1 , k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

1 1 , 所以结论中一定错误的是 C, 选项 D 无法判断; 构造函数 h( x) ? f ( x) ? x , )? k ?1 k ?1 1 1 ' ' 则 h ( x) ? f ( x) ? 1 ? 0 ,所以函数 h( x) 在 R 上单调递增,且 ? 0 ,所以 h( ) ? h(0) , k k 1 1 1 1 即 f ( ) ? ? ?1 , f ( ) ? ? 1 ,选项 A,B 无法判断,故选 C. k k k k f(
【考点定位】函数与导数. 【名师点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若 遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通 过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,属于难题. 2.【2015 高考陕西,理 12】对二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ( a 为非零常数) ,四位同学分别
2

给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( A. ?1 是 f ( x) 的零点 C.3 是 f ( x) 的极值 【答案】A B.1 是 f ( x) 的极值点



D. 点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上

【解析】若选项 A 错误时,选项 B、C、D 正确, f ? ? x ? ? 2ax ? b ,因为 1 是 f ? x ? 的极值点,

? ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?2a ? f ? ?1? ? 0 3 是 f ? x ? 的极值,所以 ? ,即 ? ,解得: ? ,因为点 ? 2,8 ? 在 a ? b ? c ? 3 c ? 3 ? a f 1 ? 3 ? ? ? ? ? ?
曲线 y ? f ? x ? 上,所以 4a ? 2b ? c ? 8 ,即 4a ? 2 ? ? ?2a ? ? a ? 3 ? 8 ,解得: a ? 5 ,所以

b ? ?10 , c ? 8 ,所以 f ? x ? ? 5 x 2 ? 10 x ? 8 ,因为

f ? ?1? ? 5 ? ? ?1? ? 10 ? ? ?1? ? 8 ? 23 ? 0 ,所以 ?1 不是 f ? x ? 的零点,所以选项 A 错误,选
2

项 B、C、D 正确,故选 A. 【考点定位】1、函数的零点;2、利用导数研究函数的极值. 【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值,属于难题.解题时 一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误” ,否则很容易出现错误.解推断结论的试题 时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊值进行检验,也可作必要的合 情推理. 3.【2015 高考新课标 2,理 12】设函数 f ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R ) 的导函数, f (?1) ? 0 ,
'

当 x ? 0 时, xf ( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是(
'



A. (??, ?1) ? (0,1) C. (??, ?1) ? ( ?1, 0) 【答案】A

B. (?1, 0) ? (1, ??) D. (0,1) ? (1, ??)

【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质. 【名师点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若 遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通 过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,属于难题. 4.【2015 高考新课标 1,理 12】设函数 f ( x) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的
x

整数 x0 ,使得 f ( x0 ) (A)[-

0,则 a 的取值范围是( ) (C)[错误!未找

3 3 ,1) (B)[-错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ) 2e 4
(D)[错误!未找到引用源。 ,1)

到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ) 【答案】D

【解析】设 g ( x) = e x (2 x ? 1) , y ? ax ? a ,由题知存在唯一的整数 x0 ,使得 g ( x0 ) 在直线

y ? ax ? a 的下方.因为 g ?( x) ? e x (2 x ? 1) ,所以当 x ? ?
1

1 1 时, g ?( x) <0,当 x ? ? 时, 2 2

? 1 g ?( x) >0,所以当 x ? ? 时,[ g ( x)]max = -2e 2 ,当 x ? 0 时, g (0) =-1, g (1) ? 3e ? 0 ,直 2

线 y ? ax ? a 恒过( 1,0)斜率且 a ,故 ? a ? g (0) ? ?1 ,且 g (?1) ? ?3e ?1 ? ? a ? a ,解得

3 ≤ a <1,故选 D. 2e

【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 【名师点睛】对存在性问题有三种思路,思路 1:参变分离,转化为参数小于某个函数(或参 数大于某个函数) ,则参数该于该函数的最大值(大于该函数的最小值) ;思路 2:数形结合, 利用导数先研究函数的图像与性质,再画出该函数的草图,结合图像确定参数范围,若原函 数图像不易做,常化为一个函数存在一点在另一个函数上方,用图像解;思路 3:分类讨论, 本题用的就是思路 2. 5.【2015 高考陕西,理 16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面 边界呈抛物线型(图中虚线表示) ,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .

【答案】 1.2 【解析】建立空间直角坐标系,如图所示:

y

?

x

1 ,因 ? ?10 ? 10 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 16 ,设抛物线的方程为 x 2 ? 2 py ( p ? 0 ) 2 25 25 2 2 2 为该抛物线过点 ? 5, 2 ? ,所以 2 p ? 2 ? 5 ,解得 p ? ,所以 x 2 ? y ,即 y ? x ,所 4 2 25
原始的最大流量是 以当前最大流量是

?

5

?5

2 2? 2 3? ? ? ? 2 ? x ? dx ? ? 2 x ? x ? 25 ? 75 ? ? ?

5 ?5

2 2 40 3? ? ? ? ,故 ? ? 2 ? 5 ? ? 53 ? ? ? 2 ? ? ?5 ? ? ? ? ?5 ? ? ? 75 75 ? ? ? ? 3

原始的最大流量与当前最大流量的比值是

16 ? 1.2 ,所以答案应填: 1.2 . 40 3

【考点定位】1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义. 【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义,属于难题.解 题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前” ,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识 点是定积分的几何意义,即由直线 x ? a , x ? b , y ? 0 和曲线 y ? f ? x ? 所围成的曲边梯形 的面积是

? f ? x ? dx .
a
2

b

6. 【 2015 高 考 天 津 , 理 11 】 曲 线 y ? x 为 【答案】 .

与直线 y ? x

所围成的封闭图形的面积

1 6

【考点定位】定积分几何意义与定积分运算. 【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典 型示范,既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.
2 【2015 高考湖南,理 11】 ? 0 ( x ? 1)dx ?

.

【答案】 0 . 【解析】 试题分析:

?

2

0

1 ( x ? 1)dx ? ( x 2 ? x) 2 0 ? 0. 2

【考点定位】定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算,意在考查学生的运算求解能力,属于容易题,定 积分的计算通常有两类基本方法:一是利用牛顿-莱布尼茨定理;二是利用定积分的几何意义 求解. 7.【2015 高考新课标 2,理 21】 (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e
mx

? x 2 ? mx .

(Ⅰ)证明: f ( x) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ? [ ?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ,求 m 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) [?1,1] . 【解析】(Ⅰ) f ( x) ? m(e
' mx

? 1) ? 2 x .
'

若 m ? 0 ,则当 x ? (??, 0) 时, e mx ? 1 ? 0 , f ( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, e mx ? 1 ? 0 ,

f ' ( x) ? 0 .
若 m ? 0 ,则当 x ? (??, 0) 时, e mx ? 1 ? 0 , f ( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, e mx ? 1 ? 0 ,
'

f ' ( x) ? 0 .
所以, f ( x) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的 m , f ( x) 在 [?1, 0] 单调递减,在 [0,1] 单调递增,故 f ( x) 在 x ? 0 处 取 得 最 小 值 . 所 以 对 于 任 意 x1 , x2 ? [ ?1,1] , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 的 充 要 条 件 是 :
m ? ? f (1) ? f (0) ? e ? 1, ?e ? m ? e ? 1, t 即 ① , 设 函 数 g (t ) ? e ? t ? e ? 1 , 则 ? ? ?m ? ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1, ?e ? m ? e ? 1,

g ' (t ) ? et ? 1.当 t ? 0 时, g ' (t ) ? 0 ;当 t ? 0 时, g ' (t ) ? 0 .故 g (t ) 在 (??, 0) 单调递减,
在 (0, ??) 单调递增.又 g (1) ? 0 , g (?1) ? e ? 2 ? e ? 0 ,故当 t ? [?1,1] 时, g (t ) ? 0 .当 即①式成立. 当 m ? 1 时, 由 g (t ) 的单调性, m ? [?1,1] 时,g (m) ? 0 ,g (?m) ? 0 , g ( m) ? 0 , 即 e m ? m ? e ? 1 ;当 m ? ?1 时, g (? m) ? 0 ,即 e ? m ? m ? e ? 1 .综上, m 的取值范围是
?1

[?1,1] .
【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】 (Ⅰ)先求导函数 f ( x) ? m(e
' mx

? 1) ? 2 x ,根据 m 的范围讨论导函数在 (??, 0) 和

(Ⅱ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 恒成立, 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) max ? e ? 1 . 由 (0, ??) 的符号即可;

x1 , x2 是两个独立的变量,故可求研究 f ( x) 的值域,由(Ⅰ)可得最小值为 f (0) ? 1 ,最大值可
能是 f (?1) 或 f (1) ,故只需 ?

? f (1) ? f (0) ? e ? 1, ,从而得关于 m 的不等式,因不易解出, ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1,

故利用导数研究其单调性和符号,从而得解. 8.【2015 高考江苏,19】 (本小题满分 16 分)

已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R ) .
3 2

(1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是 (??,?3) ? (1, ) ? ( ,??) ,求 c 的值. 【答案】 (1)当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上单调递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ?

3 2

3 2

? ?

2a ? ? 2a ? ? , ? 0, ?? ? 上单调递增,在 ? ? , 0 ? 上单调递减; 3 ? ? 3 ? 2a ? ? 2a ? ? , ?? ? 上单调递增,在 ? 0, ? ? 上单调递减. 3 ? ? 3 ? ?

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, 0 ? , ? ? (2) c ? 1.

当 a ? 0 时, x ? ? ??, 0 ? ? ? ?

2a ? ? 2a ? ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? ? 0, ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 3 ? ? 3 ? ? 2a ? ? 2a ? ? , ?? ? 上单调递增,在 ? 0, ? ? 上单调递减. 3 ? ? 3 ? ? ? 2a ? 4 3 a ? b ,则函数 f ? x ? ?? ? 3 ? 27

所以函数 f ? x ? 在 ? ??, 0 ? , ? ?

(2)由(1)知,函数 f ? x ? 的两个极值为 f ? 0 ? ? b , f ? ? 有三个

?a ? 0 ? ? 2a ? ? 4 3 ? 零点等价于 f ? 0 ? ? f ? ? 或 ? ? b ? a ? b ? ? 0 ,从而 ? 4 3 ? a ?b?0 ? 3 ? ? 27 ? ? ? 27

?a ? 0 ? . 4 ? 0 ? b ? ? a3 ? 27 ?
又 b ? c ? a ,所以当 a ? 0 时, 设 g ?a? ?

4 3 4 a ? a ? c ? 0 或当 a ? 0 时, a 3 ? a ? c ? 0 . 27 27

4 3 a ? a ? c ,因为函数 f ? x ? 有三个零点时, a 的取值范围恰好是 27

? ??, ?3? ? ? ?1,

3? ?3 ? ? 3? ?3 ? ? ? ? , ?? ? ,则在 ? ??, ?3? 上 g ? a ? ? 0 ,且在 ?1, ? ? ? , ?? ? 上 ? 2? ?2 ? ? 2? ?2 ?

g ? a ? ? 0 均恒成立,
从而 g ? ?3? ? c ? 1 ? 0 ,且 g ?
3 2

?3? ? ? c ? 1 ? 0 ,因此 c ? 1 . ?2?
2

此时, f ? x ? ? x ? ax ? 1 ? a ? ? x ? 1? ? ? x ? ? a ? 1? x ? 1 ? a ? ?, 因函数有三个零点,则 x ? ? a ? 1? x ? 1 ? a ? 0 有两个异于 ?1 的不等实根,
2

所以 ? ? ? a ? 1? ? 4 ?1 ? a ? ? a 2 ? 2a ? 3 ? 0 ,且 ? ?1? ? ? a ? 1? ? 1 ? a ? 0 ,
2 2

解得 a ? ? ??, ?3? ? ?1, 综上 c ? 1 .

? 3? ?3 ? ? ? ? , ?? ? . ? 2? ?2 ?

【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点 【名师点晴】 求函数的单调区间的步骤: ①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x), 令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;③把函数 f(x)的间断点(即 f(x) 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间;④确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数 在每个相应区间内的单调性. 已知函数的零点个数问题处理方法为:利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像,数形 结合求解. 已知不等式解集求参数方法:利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系. 9.【2015 高考福建,理 20】已知函数 f( x) = ln(1 + x) , g ( x) = kx, (k ? R ), (Ⅰ)证明:当 x > 0时,f(x) < x ; (Ⅱ)证明:当 k < 1 时,存在 x0 > 0 ,使得对 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x);

(Ⅲ)确定 k 的所以可能取值,使得存在 t > 0 ,对任意的 x ? (0,t), 恒有 | f( x) - g ( x) |< x . 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ) k =1 . 【 解 析 】 解 法 一 : (1) 令 F ( x) = f( x) - x = ln(1 + x) - x, x ? (0, ? ), 则 有

2

F? ( x) =

1 x - 1= 1+x 1+x

当 x ? (0, ? ), F ? ( x) < 0 ,所以 F ( x) 在 (0, +? ) 上单调递减; 故当 x > 0 时, F ( x) < F (0) = 0, 即当 x > 0 时, f(x) < x . (2)令 G( x) = f( x) - g ( x) = ln(1 + x) - kx, x ? (0, ? ), 则有 G? ( x) =

1 - kx + (1 - k) -k= 1+x 1+x

当 k ? 0 G? ( x) > 0 ,所以 G( x) 在 [0, +? ) 上单调递增, G( x) > G (0) = 0

(3)当 k > 1 时,由(1)知,对于 " x 违(0, +

故 g ( x) > f( x) , ), g ( x) > x > f( x),

| f( x) - g ( x) |= g ( x) - f ( x) = k x - ln(1 + x) ,


M( x) = k x - ln(1 + x) - x 2 , x 违 [0,+
1 -2x 2 + ( k -2 x) +k - 2 x = 1+ x 1+ x 1 ,

)







M?(x )= k -





k - 2 + (k- 2)2 + 8(k - 1) x ?(0, ) 4





M? (x ) > 0

,

M( x)



k - 2 + (k - 2) 2 + 8(k - 1) [0, ) 上单调递增,故 M( x) > M(0) = 0 ,即 | f( x) - g ( x) |> x 2 ,所以满 4
足题意的 t 不存在. 当 k < 1 时,由(2)知存在 x0 > 0 ,使得对任意的任意的 x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x) .

此时 | f( x) - g ( x) |= f( x) - g ( x) = ln(1 + x) - k x , 令

N( x) = ln(1 + x) - k x - x 2 , x 违 [0,+
1 -2x 2 -( k + 2 x) - k+ 1 - k - 2x = , 1+ x 1+ x
2 - (k +2) + (k +2) + 8(1 - k) x ?(0, ) 4

)







N ' (x ) =









N? (x ) > 0

,

M( x)



- (k + 2) + (k + 2) 2 + 8(1 - k) [0, ) 上单调递增,故 N( x) > N (0) = 0 ,即 f( x) - g ( x) > x 2 ,记 x0 4 - (k + 2) + (k + 2) 2 + 8(1 - k) 与 中较小的为 x1 , 4
则当 x ? (0,x1 )时,恒有 | f( x) 当 k =1 ,由(1)知, 当x 违(0, +
2

g ( x) |> x 2 ,故满足题意的 t 不存在.

), | f( x) - g ( x) |= g ( x) - f ( x) = x - ln(1 + x) ,
( x) = 1 ) ,则有 H? 1 -2 x 2 - x - 2 x= , 1+ x 1+ x

令 H( x) = x - ln(1 + x) - x , x 违 [0,+

当 x > 0 时, H? 上单调递减,故 H( x) < H (0) = 0 , ( x) < 0 ,所以 H( x) 在 [0, +? ) 故当 x > 0 时,恒有 | f( x) - g ( x) |< x ,此时,任意实数 t 满足题意. 综上, k =1 . 解法二: (1) (2)同解法一. (3)当 k > 1 时,由(1)知,对于 " x 违(0, + , ), g ( x) > x > f( x),
2

故 | f( x) - g ( x) |= g ( x) - f ( x) = k x - ln(1 + x) > k x - x = (k - 1) x , 令 (k - 1) x > x , 解得0 < x < k - 1 , 从而得到当 k > 1 时, 对于x ? (0, k 1) 恒有 | f( x) - g ( x) |> x ,所以满足题意的 t 不存在. 当 k < 1 时,取 k1 =
2 2

k+1 ,从而k < k1 < 1 2

由(2)知存在 x0 > 0 ,使得 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > k1 x > kx = g ( x ) . 此时 | f( x) - g ( x) |= f( x) - g ( x) > ( k1 - k) x =

1- k x, 2

1- k 1- k 2 ,此时 f( x) - g ( x) > x , x > x 2 , 解得0 < x < 2 2 1-k 记 x0 与 中较小的为 x1 ,则当 x ? (0,x1 )时,恒有 | f( x) g ( x) |> x 2 , 2


【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行 转化,探究这类问题的根本,从本质入手,进而求解,利用导数研究函数的单调性,再用单调 性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助函数,把不 等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值,从而证得不等式,注意 f ( x) ? g ( x) 与

f ( x) min ? g ( x) max 不等价, f ( x) min ? g ( x) max 只是 f ( x) ? g ( x) 的特例,但是也可以利用它
来证明,在 2014 年全国Ⅰ卷理科高考 21 题中,就是使用该种方法证明不等式;导数的强大 功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象,这是利用研究基本初等 函数方法所不具备的,而是其延续. 10.【2015 江苏高考,17】 (本小题满分 14 分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 ,山区边

l2 界曲线为 C,计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l 1, l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l 1, l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l 1,
所在的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y ? (其中 a,b 为常数)模型. (1)求 a,b 的值; y l1 C l P N M

a x ?b
2

(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

【答案】 (1) a ? 1000, b ? 0; (2)① f (t ) ?
t ? 10 2, f (t ) min ? 15 3 千米

9 ? 106 9 2 ? t , 定义域为 [5, 20] ,② t4 4

【解析】 (1)由题意知,点 ? , ? 的坐标分别为 ? 5, 40 ? , ? 20, 2.5 ? .

? a ? 40 ? a ? 25 ? b 将其分别代入 y ? 2 ,得 ? , x ?b ? a ? 2.5 ? 400 ? b ?
解得 ?

?a ? 1000 . ?b ? 0
1000 ? 1000 ? ( 5 ? x ? 20 ) ,则点 ? 的坐标为 ? t , 2 ? , 2 x ? t ?
2000 , x3

(2)①由(1)知, y ?

设在点 ? 处的切线 l 交 x , y 轴分别于 ? , ? 点, y? ? ? 则 l 的方程为 y ?

1000 2000 ? 3t ? ? 3000 ? ? ? 3 ? x ? t ? ,由此得 ? ? , 0 ? , ? ? 0, 2 ? . 2 t ? t t ?2 ? ?
2 2

故 f ?t ? ? ?

3 2 4 ?106 t ? 5, 20 ? 3t ? ? 3000 ? , ? ?. ? ? t ? ? ? 2 ? 2 t4 ?2? ? t ?

②设 g ? t ? ? t 2 ?

4 ?106 16 ?106 ? ,则 .令 g ? ? t ? ? 0 ,解得 t ? 10 2 . g t ? 2 t ? ? ? t4 t5

? 当 t ? ?10

当 t ? 5,10 2 时, g ? ? t ? ? 0 , g ? t ? 是减函数;

?

2, 20 时, g ? ? t ? ? 0 , g ? t ? 是增函数.

?

从而,当 t ? 10 2 时,函数 g ? t ? 有极小值,也是最小值,所以 g ? t ?min ? 300 , 此时 f ? t ?min ? 15 3 .

答:当 t ? 10 2 时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 3 千米. 【考点定位】利用导数求函数最值,导数几何意义 【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选 择数学模型,然后将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型;本题已直接给出模型,只需确定其待定参数即可.求解数学模型,得出 数学结论,这一步骤在应用题中要求不高,难度中等偏下,本题是一个简单的利用导数求最 值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率,然后再利用导数求极值与最值. 11.【2015 高考山东,理 21】设函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? a x 2 ? x ,其中 a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 ?x ? 0, f ? x ? ? 0 成立,求 a 的取值范围. 【答案】 (I) :当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一极值点; 当0 ? a ? 当a ?

?

?

8 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点; 9

8 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上有两个极值点; 9

(II) a 的取值范围是 ? 0,1? .

(2)当 a ? 0 时, ? ? a ? 8a ?1 ? a ? ? a ? 9a ? 8 ?
2

①当 0 ? a ?

8 时, ? ? 0 , g ? x ? ? 0 9

所以, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上单调递增无极值;

②当 a ?

8 时, ? ? 0 9

设方程 2ax 2 ? ax ? 1 ? a ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 因为 x1 ? x2 ? ? 所以, x1 ? ?

1 2

1 1 , x2 ? ? 4 4 1 , 4

由 g ? ?1? ? 1 ? 0 可得: ?1 ? x1 ? ?

所以,当 x ? ? ?1, x1 ? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 当 x ? ? x1 , x2 ? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ? x2 , ?? ? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 因此函数 f ? x ? 有两个极值点. (3)当 a ? 0 时, ? ? 0 由 g ? ?1? ? 1 ? 0 可得: x1 ? ?1, 当 x ? ? ?1, x2 ? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 当 x ? ? x2 , ?? ? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 因此函数 f ? x ? 有一个极值点. 综上: 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一极值点; 当0 ? a ? 当a ?

8 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点; 9

8 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上有两个极值点; 9 8 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 9

(II)由(I)知, (1)当 0 ? a ? 因为 f ? 0 ? ? 0 所以, x ? ? 0, ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,符合题意; (2)当

8 ? a ? 1 时,由 g ? 0 ? ? 0 ,得 x2 ? 0 9

所以,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 又 f ? 0 ? ? 0 ,所以, x ? ? 0, ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,符合题意; (3)当 a ? 1 时,由 g ? 0 ? ? 0 ,可得 x2 ? 0 所以 x ? ? 0, x2 ? 时,函数 f ? x ? 单调递减; 又 f ? 0? ? 0 所以,当 x ? ? 0, x2 ? 时, f ? x ? ? 0 不符合题意; (4)当 a ? 0 时,设 h ? x ? ? x ? ln ? x ? 1? 因为 x ? ? 0, ?? ? 时, h? ? x ? ? 1 ?

1 x ? ?0 x ?1 x ?1

当 x ? 1?

1 2 时, ax ? ?1 ? a ? x ? 0 a

此时, f ? x ? ? 0, 不合题意. 综上所述, a 的取值范围是 ? 0,1? 【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用;2、分类讨论的思想. 【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用,着重考查了分类讨论、数形结合、 转化的思想方法,意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力,其中最后一问所 构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解. 12.【2015 高考安徽,理 21】设函数 f ( x ) ? x ? ax ? b .
2

(Ⅰ)讨论函数 f (sin x) 在 (?

? ?

, ) 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 2 2

(Ⅱ)记 f 0 ( x) ? x 2 ? a0 x ? b0 ,求函数 f (sin x) ? f 0 (sin x) 在 [?

? ?

, ] 上的最大值 D; 2 2

(Ⅲ)在(Ⅱ)中,取 a0 ? b0 ? 0 ,求 z ? b ?

a2 满足 D ? 1 时的最大值. 4

【答案】 (Ⅰ)极小值为 b ? 【解析】

a2 ; (Ⅱ) D ?| a ? a0 | ? | b ? b0 | ; (Ⅲ)1. 4

(Ⅰ) f (sin x) ? sin x ? a sin x ? b ? sin x(sin x ? a ) ? b , ?
2

?
2

?x?

?
2

.

[ f (sin x )]' ? (2sin x ? a ) cos x , ?
因为 ?

?
2

?x?

?
2

.

?
2

?x?

?
2

,所以 cos x ? 0, ?2 ? 2sin x ? 2 .

①当 a ? ?2, b ? R 时,函数 f (sin x) 单调递增,无极值. ②当 a ? 2, b ? R 时,函数 f (sin x) 单调递减,无极值. ③当 ?2 ? a ? 2 ,在 (?

? ?

?

?
2

, ) 内存在唯一的 x0 ,使得 2sin x0 ? a . 2 2

? x ? x0 时,函数 f (sin x) 单调递减; x0 ? x ?

?

2

时,函数 f (sin x) 单调递增.

因此,?2 ? a ? 2 ,b ? R 时, 函数 f (sin x) 在 x0 处有极小值 f (sin x0 ) ? f ( ) ? b ? ( Ⅱ )

a 2

a2 . 4


?

?
2

?x?

?
2



| f ( s i nx ? ) f n ?) | a |( ? a 0 (six 0

) sx i ?n b? 0b ? a | ?| 0 a ? | b?|0 , b

|

当 (a0 ? a )(b0 ? b) ? 0 时,取 x ?

?
2

,等号成立,

当 (a0 ? a )(b0 ? b) ? 0 时,取 x ? ?

?
2

,等号成立,

由此可知,函数 f (sin x) ? f 0 (sin x) 在 [?
2

? ?

, ] 上的最大值为 D ?| a ? a0 | ? | b ? b0 | . 2 2

(Ⅲ) D ? 1 ,即 | a | ? | b |? 1 ,此时 0 ? a ? 1, ?1 ? b ? 1 ,从而 z ? b ?

a2 ?1. 4

a2 ? 1. 取 a ? 0, b ? 1 ,则 | a | ? | b |? 1 ,并且 z ? b ? 4
由此可知, z ? b ?

a2 满足条件 D ? 1 的最大值为 1. 4

【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值;2.绝对值不等式的应用.

【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法,在含有参数的试题中,分类 与整合思想是必要的,由于是函数问题,所以函数思想、数形结合思想也是必要的,把 不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等,转化与化归思想 也起着同样的作用,解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用. 13. 【 2015 高考天津,理 20 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? n x ? x , x ? R ,其中
n

n ? N *, n ? 2 .
(I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x ) ,求证: 对 于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

(III)若关于 x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根 x1,x2 ,求证: | x2 -x1 |<

a +2 1- n

【答案】(I) 当 n 为奇数时, f ( x ) 在 ( ??, ?1) , (1, ??) 上单调递减,在 ( ?1,1) 内单调递增; 当 n 为偶数时, f ( x ) 在 ( ??, ?1) 上单调递增, f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减. (II)见解析; (III) 见解析.

(2)当 n 为偶数时, 当 f ?( x ) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递增; 当 f ?( x ) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递减. 所以, f ( x ) 在 ( ??, ?1) 上单调递增, f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减. (II)证明:设点 P 的坐标为 ( x0 ,0) ,则 x0 ? n
1 n ?1

, f ?( x0 ) ? n ? n 2 ,曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处

的切线方程为 y ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,即 g ( x ) ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,令 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,即

F ( x ) ? f ( x ) ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,则 F ?( x ) ? f ?( x ) ? f ?( x0 )
由于 f ?( x ) ? ? nx
n ?1

? n 在 ? 0, ?? ? 上单调递减,故 F ?( x ) 在 ? 0, ?? ? 上单调递减,又因为

F ?( x0 ) ? 0 ,所以当 x ? (0, x0 ) 时, F ?( x0 ) ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时, F ?( x0 ) ? 0 ,所以 F ( x )
在 (0, x0 ) 内单调递增,在 ( x0 , ??) 内单调递减,所以对任意的正实数 x 都有

F ( x ) ? F ( x0 ) ? 0 ,即对任意的正实数 x ,都有 f ( x ) ? g ( x ) .
(III)证明:不妨设 x1 ? x2 ,由(II)知 g ( x ) ? n ? n 2 得

?

? ? x ? x ? ,设方程 g ( x) ? a 的根为 x ? ,可
0 2

x2 ? ?

a ? x0 . ,当 n ? 2 时, g ( x ) 在 ? ??, ?? ? 上单调递减,又由(II)知 n ? n2

g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? a ? g ( x2? ), 可得 x2 ? x2? .
类似的,设曲线 y ? f ( x ) 在原点处的切线方程为 y ? h ( x ) ,可得 h ( x ) ? nx ,当

x ? (0, ??) ,

f ( x ) ? h( x ) ? ? x n ? 0 ,即对任意 x ? (0, ??) , f ( x ) ? h( x ).
设方程 h ( x ) ? a 的根为 x1? ,可得 x1? ?

a ,因为 h ( x ) ? nx 在 ? ??, ?? ? 上单调递增,且 n

h( x1? ) ? a ? f ( x1 ) ? h( x1 ) ,因此 x1? ? x1 .
由此可得 x2 ? x1 ? x2? ? x1? ?

a ? x0 . 1? n
1

1 n ?1 ? x0 , 因为 n ? 2 ,所以 2 n ?1 ? (1 ? 1) n ?1 ? 1 ? Cn ?1 ? 1 ? n ? 1 ? n ,故 2 ? n

所以 x2 ? x1 ?

a ?2. 1? n

【考点定位】1.导数的运算;2.导数的几何意义;3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题 求导后分 n 为奇偶数讨论函数的单调性,体现了数学分类讨论的重要思想;第(II)(III)中都利用 了构造函数证明不等式这一重要思想方法,体现数学中的构造法在解题中的重要作用,是拨 高题.

3 x 2 ? ax 14.【2015 高考重庆,理 20】 设函数 f ? x ? ? ?a ? R? ex
(1) 若 f ? x ? 在 x ? 0 处取得极值, 确定 a 的值, 并求此时曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处 的切线方程; (2)若 f ? x ? 在 ?3, ?? ? 上为减函数,求 a 的取值范围。 【答案】 (1) a ? 0 ,切线方程为 3 x - ey = 0 ; (2) [?

?

?

9 , ??) . 2

当 x < x1 时, g( x) < 0 ,故 f ( x) 为减函数; 当 x1 < x < x2 时, g( x) > 0 ,故 f ( x) 为增函数; 当 x > x2 时, g( x) < 0 ,故 f ( x) 为减函数;

6 ? a ? a 2 ? 36 9 ? 3 ,解得 a ? ? 由 f ( x) 在 [3, ??) 上为减函数,知 x2 ? 6 2
故 a 的取值范围为 [?

9 , ??) . 2

【考点定位】复合函数的导数,函数的极值,切线,单调性.考查综合运用数学思想方法分 析与解决问题的能力. 【名师点晴】导数及其应用通常围绕四个点进行命题.第一个点是围绕导数的几何意义展开, 设计求曲线的切线方程,根据切线方程求参数值等问题,这类试题在考查导数的几何意义的 同时也考查导数的运算、函数等知识,试题的难度不大;第二个点是围绕利用导数研究函数 的单调性、极值(最值)展开,设计求函数的单调区间、极值、最值,已知单调区间求参数或 者参数范围等问题,在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想 等数学思想方法;第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开,涉及不等式的证明、不等式 的恒成立、讨论方程根等问题,主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来 分析不等式和方程等问题的能力,该点和第二个点一般是解答题中的两个设问,考查的核心 是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用;第四个点是围数性质并把函数性质用来分析 不等式和方程等问题的能力,该点和第二个点一般是解答题中的两个设问,考查的核心是导 数研究函数性质的方法和函数性质的应用;本题涉及第一个点和第二个点,主要注意问题的 转化,转化为不等式恒成立,转化为二次函数的性质. 15. 【2015 高考四川, 理 21】 已知函数 f ( x) ? ?2( x ? a ) ln x ? x ? 2ax ? 2a ? a , 其中 a ? 0 .
2 2

(1)设 g ( x) 是 f ( x) 的导函数,评论 g ( x) 的单调性; (2)证明:存在 a ? (0,1) ,使得 f ( x) ? 0 在区间(1,+?)内恒成立,且 f ( x) ? 0 在(1,+?) 内有唯一解. 【答案】 (1) 当0 ? a ?

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 时,g ( x) 在区间 (0, ), ( , ??) 上单调递增, 在 4 2 2

区间 (

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ) 上单调递减;当 a ? 时, g ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增. 4 2 2

(2)详见解析. 【解析】 (1)由已知,函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

a g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2 ln x ? 2(1 ? ) , x
2 2a 所以 g ?( x) ? 2 ? ? 2 ? x x 1 1 2( x ? ) 2 ? 2(a ? ) 2 4 . 2 x

当0 ? a ?

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 时, g ( x) 在区间 (0, ), ( , ??) 上单调递增, 4 2 2

在区间 ( 当a ?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ) 上单调递减; 2 2

1 时, g ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增. 4

(2)由 f ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2 ln x ? 2(1 ? ) ? 0 ,解得 a ? 令 ? ( x) ? ?2( x ?

a x

x ? 1 ? ln x . 1 ? x ?1

x ? 1 ? ln x x ? 1 ? ln x x ? 1 ? ln x 2 x ? 1 ? ln x ) ln x ? x 2 ? 2( ) x ? 2( ) ? . ?1 ?1 1? x 1? x 1 ? x ?1 1 ? x ?1

则 ? (1) ? 1 ? 0, ? (e) ? ?

e(e ? 2) e?2 2 ) ? 2( ) ? 0 ,. ?1 1? e 1 ? e ?1

故存在 x0 ? (1, e) ,使得 ? ( x0 ) ? 0 . 令 a0 ?

x0 ? 1 ? ln x0 , u ( x) ? x ? 1 ? ln x( x ? 1) ,. 1 ? x0 ?1

由 u ?( x) ? 1 ? 所以 0 ?

1 ? 0 知,函数 u ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增. x

u (1) u ( x0 ) u (e) e?2 ? ? a0 ? ? ? 1. ?1 ?1 1 ? 1 1 ? x0 1? e 1 ? e ?1

即 a0 ? (0,1) .

【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考 查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合,化 归与转化等数学思想. 【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考 查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合,化 归与转化等数学思想. 【名师点睛】本题作为压轴题,难度系数应在 0.3 以下.导数与微积分作为大学重要内容,在

中学要求学生掌握其基础知识,在高考题中也必有体现.一般地,只要掌握了课本知识,是完 全可以解决第(1)题的,所以对难度最大的最后一个题,任何人都不能完全放弃,这里还有 不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合,联系图形大胆猜想. 在本题中,结合待证结论,可以想象出 f ( x) 的大致图象,要使得 f ( x) ? 0 在区间(1,+?)内 恒成立,且 f ( x) ? 0 在(1,+?)内有唯一解,则这个解 x0 应为极小值点,且极小值为 0,当

x ? (1, x0 ) 时, f ( x) 的图象递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, f ( x) 的图象单调递增,顺着这个思想,
便可找到解决方法.
1 16.【2015 高考湖北,理 22】已知数列 {an } 的各项均为正数, bn ? n (1 ? ) n an (n ? N ? ) , e 为 n

自然对数的底数.
1 (Ⅰ)求函数 f ( x) ? 1 ? x ? e x 的单调区间,并比较 (1 ? ) n 与 e 的大小; n

(Ⅱ)计算

b1 bb bb b b b ? bn , 1 2 , 1 2 3 ,由此推测计算 1 2 的公式,并给出证明; a1 a1a2 a1a2 a3 a1a2 ? an
1

(Ⅲ)令 cn ? (a1a2 ? an ) n ,数列 {an } , {cn } 的前 n 项和分别记为 Sn , Tn , 证明: Tn ? eS n .
1 【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的单调递增区间为 (??, 0) ,单调递减区间为 (0, ??) . (1 ? ) n ? e ; (Ⅱ) n

详见解析; (Ⅲ)详见解析. 【解析】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? 1 ? e .
x

当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递减. 故 f ( x) 的单调递增区间为 (??, 0) ,单调递减区间为 (0, ??) . 当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 1 ? x ? e x . 令x?

1 1 1 ,得 1 ? ? e n ,即 (1 ? ) n ? e . n n n

1



(Ⅱ)

b1 bb b b 1 1 ? 1 ? (1 ? )1 ? 1 ? 1 ? 2 ; 1 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2(1 ? ) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 32 ; a1 1 a1a2 a1 a2 2

b1b2 b3 b1b2 b3 1 ? ? ? 32 ? 3(1 ? )3 ? (3 ? 1)3 ? 43 . a1a2 a3 a1a2 a3 3

由此推测:

b1b2 ? bn ? (n ? 1) n . a1a2 ? an



下面用数学归纳法证明②. (1)当 n ? 1 时,左边 ? 右边 ? 2 ,②成立.

(2)假设当 n ? k 时,②成立,即 当 n ? k ? 1 时, bk ?1 ? (k ? 1)(1 ? 由归纳假设可得

b1b2 ? bk ? (k ? 1) k . a1a2 ? ak

1 k ?1 ) ak ?1 , k ?1

b1b2 ? bk bk ?1 b1b2 ? bk bk ?1 1 k ?1 ? ? ? (k ? 1) k (k ? 1)(1 ? ) ? (k ? 2) k ?1 . a1a2 ? ak ak ?1 a1a2 ? ak ak ?1 k ?1

所以当 n ? k ? 1 时,②也成立. 根据(1) (2) ,可知②对一切正整数 n 都成立. (Ⅲ)由 cn 的定义,②,算术-几何平均不等式, bn 的定义及①得
Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? (a1 )1 ? (a1a2 ) 2 ? (a1a2 a3 ) 3 ? ? ? (a1a2 ? an ) n
1 1 1 1

1

1

1

1

(b b ? bn ) n (b )1 (b b ) 2 (b b b ) 3 ? 1 ? 1 2 ? 1 2 3 ??? 1 2 2 3 4 n ?1

?

b ? b ? ? ? bn b1 b ?b b ?b ?b ? 1 2 ? 1 2 3 ??? 1 2 1? 2 2 ? 3 3? 4 n( n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 ? b1[ ? ??? ] ? b2 [ ? ??? ] ? ? ? bn ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 ? 3 3? 4 n( n ? 1) n( n ? 1)
? b1 (1 ? 1 1 1 1 1 ) ? b2 ( ? ) ? ? ? bn ( ? ) n ?1 2 n ?1 n n ?1

?

b b1 b2 1 1 1 ? ? ? ? n ? (1 ? )1 a1 ? (1 ? ) 2 a2 ? ? ? (1 ? ) n an 1 2 n 1 2 n

? ea1 ? ea2 ? ? ? ? ? ean ? eS n .
即 Tn ? eS n . 【考点定位】导数的应,数列的概念,数学归纳法,基本不等式,不等式的证明. 【名师点睛】使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不 可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源 与目的. 运用数学归纳法应注意以下三点:(1)n=n0 时成立,要弄清楚命题的含义.(2)由假设 n =k 成立证 n=k+1 时,要推导详实,并且一定要运用 n=k 成立的结论.(3)要注意 n=k 到 n =k+1 时增加的项数. 17.【2015 高考新课标 1,理 21】已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min

1 , g ( x) ? ? ln x . 4

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min f ( x), g ( x)

?

? ( x ? 0)

,讨

论 h(x)零点的个数. 【答案】 (Ⅰ)a ?

3 3 5 3 5 ; (Ⅱ) 当 a ? ? 或 a ? ? 时,h( x) 由一个零点; 当a ? ? 或a ? ? 4 4 4 4 4

时, h( x) 有两个零点;当 ?

5 3 ? a ? ? 时, h( x) 有三个零点. 4 4

若a ? ? 点.

5 5 ,则 f (1) ? a ? ? 0 , h(1) ? min{ f (1), g (1)} ? f (1) ? 0 ,故 x =1 不是 h( x) 的零 4 4

当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,所以只需考虑 f ( x) 在(0,1)的零点个数. ( ⅰ ) 若 a ? ?3 或 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 3 x ? a 在( 0,1 )无零点,故 f ( x) 在(0,1)单调,而
2

f (0) ?

1 5 , f (1) ? a ? ,所以当 a ? ?3 时, f ( x) 在(0, 1) 有一个零点;当 a ? 0 时, f ( x) 4 4

在(0,1)无零点. (ⅱ)若 ?3 ? a ? 0 , 则 f ( x) 在 (0, ?

a a a ) 单调递减, 在 ( ? , 1) 单调递增, 故当 x = ? 3 3 3 a 1 a 2a ? ? . )= 3 3 4 3

时, f ( x) 取的最小值,最小值为 f ( ?

①若 f ( ?

3 a ) >0,即 ? < a <0, f ( x) 在(0,1)无零点. 3 4

②若 f ( ?

3 a ) =0,即 a ? ? ,则 f ( x) 在(0,1)有唯一零点; 3 4

③若 f ( ?

3 1 5 5 3 a 即 ?3 ? a ? ? , 由于 f (0) ? , f (1) ? a ? , 所以当 ? ? a ? ? 时, ) <0, 3 4 4 4 4 4

5 f ( x) 在(0,1)有两个零点;当 ?3 ? a ? ? 时, f ( x) 在(0,1)有一个零点.?10 分 4
综上,当 a ? ? 点;当 ?

3 5 3 5 或 a ? ? 时, h( x) 由一个零点;当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 有两个零 4 4 4 4
??12 分

5 3 ? a ? ? 时, h( x) 有三个零点. 4 4

【考点定位】利用导数研究曲线的切线;对新概念的理解;分段函数的零点;分类整合思想 【名师点睛】本题主要考查函数的切线、利用导数研究函数的图像与性质、利用图像研究分 段函数的零点,试题新颖.对函数的切线问题,主要在某一点的切线与过某一点点的切线不同, 在某点的切线该点是切点,过某点的切线该点不一定是切点,对过某点的切线问题,设切点, 利用导数求切线,将已知点代入切线方程,解出切点坐标,即可求出切线方程. 18.【2015 高考北京,理 18】已知函数 f ? x ? ? ln

1? x . 1? x

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0 ? ? 处的切线方程;
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ; (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? ? x3 ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. (Ⅲ)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ? ? 对 x ? ? 0 , 3? ?

【答案】 (Ⅰ) 2x ? 【解析】

y ? 0, (Ⅱ)证明见解析, (Ⅲ) k 的最大值为 2.

试题分析:利用导数的几何意义,求出函数在 x ? 0 处的函数值及导数值,再用直线方
? x3 ? 1? 成立,可用 程的点斜式写出直线方程;第二步要证明不等式 f ? x ? ? 2 ? x ? ? 在 x ? ? 0 , 3? ?

作差法构造函数 F (x ) ? ln

1?x x3 利用导数研究函数 F(x)在区间 (0, 1) ?2 (x ? ), 1?x 3

上的单调性,由于 F ? (x ) ? 0 , F (x )在(0,1)上为增函数,则 F (x ) ? F(0) ? 0 , 问题得证;第三步与第二步方法类似,构造函数研究函数单调性,但需要对参数 k 作讨 论,首先 k ? [0,2]符合题意,其次当 k ? 2 时,不满足题意舍去,得出 k 的最大值为 2.

?x ? (0,1),

f(x ) ? 2(x ?

x3
3

)成立;

? x3 ? 1? ,等价于 (Ⅲ)使 f ? x ? ? k ? x ? ? 成立, x ? ? 0 , 3? ?

F(x ) ? ln
F ?(x ) ?

1?x x3 1? ; ? k(x ? ) ? 0 , x ??0 , 1?x 3

2 kx 4 ? 2 ? k 2 , ? k (1 ? x ) ? 1 ? x2 1 ? x2

当 k ? [0,2]时, F ? (x ) ? 0 ,函数在(0,1)上位增函数, F (x ) ? F(0) ? 0 ,符 合题意;

(x ) ? 0,x 0 当 k ? 2 时,令 F ?

4

?

k ?2 ? (0,1), k
x0
0 极小值

x

(0,x 0 )
-

(x 0 ,1)
+

F ?(x )

F(x )

?

?

F(x ) ? F(0),显然不成立,

综上所述可知: k 的最大值为 2. 考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨 论. 【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题,本题第一步为基础, 第二、三步属于中等略偏难问题,首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标,写出 切线方程,其次用作差法构造函数,利用导数研究函数的单调性,证明不等式,最后一步对 参数 k 进行分类讨论研究. 19.【2015 高考广东,理 19】设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? (1 ? x 2 )e x ? a . (1) 求 f ( x) 的单调区间 ; (2) 证明: f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上仅有一个零点; (3) 若曲线 y = f ( x) 在点 P 处的切线与 x 轴平行, 且在点 M (m, n) 处的切线与直线 OP 平行 ( O 是坐标原点),证明: m ? 3 a ?

2 ? 1. e

【答案】 (1) ? ??, ?? ? ; (2)见解析; (3)见解析. 【解析】 (1)依题 f ' ? x ? ? 1 ? x 2 ' e x ? 1 ? x 2 ∴ f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上是单调增函数; (2)∵ a ? 1 , ∴ f ? 0 ? ? 1 ? a ? 0 且 f ? a ? ? 1 ? a 2 ea ? a ? 1 ? a 2 ? a ? 0 , ∴ f ? x ? 在 ? 0, a ? 上有零点, 又由(1)知 f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上是单调增函数,

?

?

?

?? e ? ' ? ?1 ? x ?
x

2

ex ? 0 ,

?

?

f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上仅有一个零点;
(3)由(1)知令 f ' ? x ? ? 0 得 x ? ?1 ,又 f ? ?1? ?

2 2 ? ? ? a ,即 P ? ?1, ? a ? , e e ? ?

∴ kOP

2 ?a?0 2 2 ? e ? a ? ,又 f ' ? m ? ? ?1 ? m ? e m , ?1 ? 0 e

【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式,导数的几何意义等知识. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立,导数的几何意义等基 础知识,属于中高档题,解答此题关键在于第(1)问要准确求出 f ? x ? 的导数,第(2)问首 先要说明 ? 0, a ? 内有零点再结合函数在 ? ??, ?? ? 单调性就易证其结论,第(3)问由导数的几 何意义易得 ?1 ? m ? e m ? a ?
2

2 对比要证明的结论后要能认清 e m ? m ? 1 的放缩作用并利用导 e

数证明 e m ? m ? 1 成立,则易证 m ? 3 a ?

2 ? 1. e
ax

【2015 高考湖南,理 21】.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? e sin x( x ? [0, ??)) ,记 xn 为 f ( x) 的 从小到大的第 n (n ? N ) 个极值点,证明:
*

(1)数列 { f ( xn )} 是等比数列 (2)若 a ?

1 e ?1
2

,则对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 求 导 , 可 知

f '( x) ? e ax (a sin x ? cos x) ? e ax (a sin x ? cos x) ? a 2 ? 1e ax sin( x ? ? ) ,利

用三角函数的知识可求得 f ( x) 的极值点为 xn ? n? ? ? (n ? N * ) ,即可得证; (2)分析题意 可知,问题等

a2 ? 1 e a? n? ? ? ? et 价于 恒成立,构造函数 g (t ) ? ,利用导数判断其单调性即可得证. ? a a ? n? ? ? ? t
试题解析: (1) f '( x) ? ae ax sin x ? e ax cos x ? e ax (a sin x ? cos x) ? 其中 tan ? ?

a 2 ? 1e ax sin( x ? ? )

1 ? m? N* , , 令 f '( x) ? 0 , 由 x ? 0 得 x ? ? ? m? , 即 x ? m? ? ? , 0?? ? , a 2

对 k ? N ,若 2k? ? x ? ? ? (2k ? 1)? ,即 2k? ? ? ? x ? (2k ? 1)? ? ? ,则 f '( x) ? 0 , 若 (2k ? 1)? ? x ? ? ? (2k ? 2)? ,即 (2k ? 1)? ? ? ? x ? (2k ? 2)? ? ? ,则 f '( x) ? 0 , 因此,在区间 ((m ? 1)? , m? ? ? ) 与 (m? ? ? , m? ) 上, f '( x) 的符号总相反,于是 当 x ? m? ? ? (m ? N ) 时, f ( x) 取得极值,∴ xn ? n? ? ? (n ? N * ) ,
*

此时, f ( xn ) ? e

a ? n? ? ? ?

sin(n? ? ? ) ? (?1) n ?1 e

a ? n? ? ? ?

sin ? ,易知 f ( xn ) ? 0 ,而

f ( xn ?1 ) (?1) n ? 2 e ?? ? ? sin ? ? ? ?e ax 是 非 零 常 数 , 故 数 列 n ?1 a ? n? ? ? ? f ( xn ) (?1) e sin ?
a ? n ?1 ? ? ? ?

? f ( xn )?

是首项为

f ( x1 ) ? e

a ? n? ? ? ?

(2)由(1)知, sin ? ? sin ? ,公比为 ?e ax 的等比数列;

1 a2 ? 1

,于是

对 一 切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | | 恒 成 立 , 即 n? ? ? ?

1 a ?1
2

e

a ? n? ? ? ?

恒成立,等价于

a2 ? 1 e a? n? ? ? ? ? ( ? )恒成立(∵ a ? 0 ) , a a ? n? ? ? ?
设 g (t ) ?

et et (t ? 1) ,令 g '(t ) ? 0 ,得 t ? 1 , (t ? 0) ,则 g '(t ) = t t2

当 0 ? t ? 1 时, g '(t ) ? 0 ,∴ g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减; 当 t ? 1 时, g '(t ) ? 0 ,∴ g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递增, 从 而 当 t ? 1 时 , 函 数 g (t ) 取 得 最 小 值 g (1) ? e , 因 此 , 要 是 ( ? ) 式 恒 成 立 , 只 需

a2 ? 1 1 1 1 ? g (1) ? e ,即只需 a ? ,而当 a ? 时, tan ? ? ? e 2 ? 1 ? 3 , a a e2 ? 1 e2 ? 1

且0 ? ? ?

?
2

,于是

? ?? ?
axn ?

2? 3? 且当 n ? 2 时, 因此对一切 n ? N * , ? e2 ? 1 , n? ? ? ? 2? ? ? ? ? e2 ? 1 , 3 2

n? ? ? e2 ? 1

? 1 ,∴ g (axn ) ? g (1) ? e ?
1 e ?1
2

a2 ? 1 ,故( ? )式亦恒成立. a

综上所述,若 a ?

,则对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.

【考点定位】1.三角函数的性质;2.导数的运用;3.恒成立问题. 【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题,主要考查了函数思想,化归思想, 抽象概括能力,综合分析问题和解决问题的能力,属于较难题,近来高考在逐年加大对导数 问题的考查力度,不仅题型在变化,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大,本部分的 要求一定有三个层次:第一层次主要考查求导公式,求导法则与导数的几何意义;第二层次 是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;第三层次是综合考查,包括解 决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合,设计综 合题.


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