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9.7.1直线和平面所成的角1


铜 川 市 同 官 高 级 中 学
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周鹏辉

复习提问
1、点在平面上的射影?
A B

a

A1

2、斜线在平面上的射影?

问题1 平面的斜线和它在平面内

的射影所成的
角,与斜线和平面内的任一条直线所成的角之间 有什么关系? OA ? a ? A, OB ? a于B 如图: O 设∠OAB=?1 ∠BAC=?2 ∠OAC=? 不妨设OA为单位长

AB ? AO cos?1 ? cos?1
AC ?

?

A AB cos? 2 ? cos?1 ? cos?2

?1

?2

a
B

而 AC ? AO cos? ? cos? 于是 cos? ? cos?1 ? cos? 2 注意: 平面内的直线可以是任意的



一、公式 cos? ? cos?1 ? cos?2
cos? ? cos?1 ? cos? 2 1、
θ是斜线L与面内非射影所成的角.
θ1是斜线L与面内射影所成的角. θ2是面内直线与射影所成的角.

O

a

2、最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线 和这个平面内的任一直线所成的角中的最小角

练习1、P44 2

二、直线和平面所成的角 简称:线面角 1. l 是a的斜线时
A

l

AB⊥ a于B ,l ∩ a =O

∠AOB(锐角)即为 l 与a所成的角

a

O
0

B

2. l ? a或l // a时, l与a 所成角为0 0 l ? a时, l与a 所成角为90 0 0 斜线与平面所成角 ? ? ?0 ,90 ? 注意:
直线与平面所成角 ? ? 0 ,90
0

?

0

?

练习2、P44 1(1)(3)

练习3、判断
1. 两平行线和同一平面所成的角相等 √ 2.一条直线和两个平行平面所成的角相等 3.一条直线和两个平面所成的角相等,则两平面 平行 4.两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条 直线是平行直线

√ × ×

例1、如图:已知AB为平面a的一条斜线,

B为斜足,AO⊥a,O为垂足,BC为a内的 直线,∠ABC=60°,∠OBC=450,求斜线与 平面所成角。 A
B
O C

a

问题2

如何找线面角?
A

l

1)确定斜足; 2)找(作)线面垂直; O
a

B

3)指出射影,确定线面角; 4)求解。

例2、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 求 A1 B 与平面ABCD所成的角
练习4、
D1

C1
B1

A1 D

AD1与平面ABCD所成角 A1B与平面BB1D1D所成角 A

O

C B

小结:
1、公式:cosθ=cosθ1 cosθ2 2、最小角定理 3、斜线与平面所成角的定义: 4、直线与平面所成的角θ的取值范围是: 5、斜线与平面所成的角θ的取值范围是:

作业
1、P46 1(1)(3)
2、《名师》P84 8

课后研究:请说出下列各角的范围
? ?

?
? ? ? ?

1、两条相交直线的夹角。 2、两条相交直线的到角。 3、直线的倾斜角。 4、两条异面直线所成的角。 5、任意两条直线所成的角。 6、两个向量的夹角。 7、斜线和平面所成的角。


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