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高三上学期12月份第二次调研联考试题(数学文)




参考公式:锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是正确的. 1.(原创)已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4,5, 6}

,集合 A ? {x ? Z | x ? 5 x ? 6 ? 0} ,集合 B = {1,3, 4, 6} ,
2

则集合 A ? (?U B) =( (A) {0} 【答案】B

) (C) {0,1, 2, 4, 6} (D) {0, 2,3,5}

(B) {2}

【解析】 A ? {2,3} , ? (?U B) ? ?2? ,故选 B. U B ? {0, 2,5} ,则 A ? 【考点】集合的交集与补集运算. 2.(原创)设 a, b ? R ,命题“若 a ? 1且b ? 1 ,则 a ? b ? 2 ”的逆否命题是( (A)若 a ? 1且b ? 1 ,则 a ? b ? 2 (B) 若 a ? 1或b ? 1 ,则 a ? b ? 2 (C) 若 a ? b ? 2 ,则 a ? 1且b ? 1 (D) 若 a ? b ? 2 ,则 a ? 1或b ? 1 【答案】 D 【解析】一个命题的逆否命题,要将原命题的条件、结论加以否定,并且加以互换,故选 D . 【考点】命题及其关系,逻辑连接词. 3.下列函数中,最小正周期为 π 的偶函数是( (A)y=sin(2x+ ) (B)y=cos(2x+ )

? ) 2

?
2

)

(C)y=sin2x+cos2x 【答案】A 【解析】A、B、C 的周期都是 π,D 的周期是 2π

(D)y=sinx+cosx

A 选项化简后为 y=cos2x 是偶函数,故正确答案为 A 【考点】三角函数的基本概念和性质,函数的周期性和奇偶性,诱导公式. 4.(原创) 将直径为 2 的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积 为( )

(A) 2? ? ? ?( ? B) 3? ? ? ?( ? )? 4? ? ? ?( ? )? 6? ? ? ?



【答案】 B 【解析】由题意知,该几何体为半球,表面积为大圆面积加上半个求面积,

1 S ? ? ? 12 ? ? 4 ? ? ? 12 ? 3? ,故选 B . 2
【考点】旋转体的几何特征,球的表面积. 5. (原创) 若 x1 , x2 是函数 f ? x ? ? x ? ax ? b ? a ? 0, b ? 0 ? 的两个不同的零点, 且 x1 , ?2, x2 成
2

等比数列,若这三个数重新排序后成等差数列,则 a ? b 的值等于( (A)7 【答案】C 【解析】由韦达定理得 x1 ? x2 ? a ? 0, x1 ? x2 ? b ? 4 , x2 ? (B)8 (C)9 (D)10



4 .当适当排序后成等差数列时, x1

?2 必不是等差中项,当 x1 是等差中项时, 2 x1 ?

4 4 ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 4 ;当 是等差中项 x1 x1

时,

8 ? x1 ? 2 ,解得 x1 ? 4, x2 ? 1 ,综上所述, x1 ? x2 ? a ? 5 ,所以 a ? b ? 9 . x1

【考点】函数的零点,韦达定理,等差中项,等比中项.

?y ? x 1 ? 6.(原创) 若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z= x+y 的取值范围为( 2 ?y ?1 ?
(A) [ ,3] 【答案】A 【解析】 依题意,画出可行域,如图所示, z=



3 2

(B) [ , ]

3 5 2 2

(C) [ ,3]

5 2

(D) [ ,5]

3 2

1 x+y 在点 A 取得最小值,点 C 取得最大值. 2 3 得点 A 的坐标为(1,1),点 C 的坐标为(2,2),则 z 最大值 3,最小值 . 2

【考点】简单的线性规划. 7.(原创)已知 f ( x) ? lg( x ? 1 ? x) ? 1 ,则 f (2015) ? f ( ?2015) 为(
2



(A) 0

(B) 1

(C)2

(D)4



【答案】C 【解析】 由题意,得函数的定义域为 R,

f ( x) ? f (? x) ? [lg( x 2 ? 1 ? x) ? 1] ? [lg( x 2 ? 1 ? x) ? 1] ? lg1 ? 2 ? 2

? f (2015) ? f (?2015) ? 2
【考点】函数的奇偶性,推理与证明.

8. (原创) 在平面直角坐标系中, O 为原点, A(2, 0), B(0, 2), 动点 P 满足 | AP | =1, 则 | OP ? OB | 的最大值是( ) (A) 2 2 【答案】B 【解析】由 | AP | = 1 ,得动点 P 在以 A 为圆心,半径为 1 的圆上,设 P 为 ( x, y ) , (B) 2 2 ? 1 (C) 2 2 ? 2 (D) 4 2 ? 1

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OP ? OB |? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? [ y ? (?2)]2 ,所以 | OP ? OB | 的最大值为点 P 到点(0,-2)
的最大值,即圆心 A 到点(0,-2)的距离加半径,| OP ? OB |max ? 【考点】向量的坐标运算,向量的几何意义. 9.(原创)函数 f ( x) ? cos x 与函数 g ( x) ? log a ( ) ( a ? 0且a ? 1) ,则函数 F ( x) ?
x

??? ? ??? ?

22 ? [0 ? (?2)]2 ? 1 ? 2 2 ? 1

1 a

f ( x) 的图 g ( x)

象可能是 (

)

【答案】A 【解析】 g ( x) ? log a ( ) ? log a a
x

1 a

?x

? ?x

F ( x) ?

cos(? x) cos x f ( x) cos x ? ? ? F ( x) ,奇函数 ?? ,定义域为 {x | x ? 0} , F (? x) ? ? ?x x g ( x) x

所以答案选择 A 【考点】对数式的运算,函数的定义域,奇偶性,函数的图像. x2 y2 10(2014 浙江卷改编)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐 a b 近线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是() (A)

2

(B)

5 2

(C)

5

(D) 2 5

【答案】B



b 【 解 析 】 双 曲 线 的 渐 近 线 为 y = ± x , 易 求 得 渐 近 线 与 直 线 x - 3y + m = 0 的 交 点 为 a

? -am , bm ? ,B? -am , -bm ? . 设 AB 的中点为 D.由|PA|= |PB|知 AB 与 DP 垂直,则 A? ? ?a-3b a-3b? ?a+3b a+3b? ? ?
-a2m -3b2m ? ?,k =-3, , D? ? ?(a+3b)(a-3b) (a+3b)(a-3b)? DP 解得 a2=4b2,故该双曲线的离心率是 5 . 2

【考点】双曲线的离心率,直线与双曲线的位置关系

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (原创)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

【答案】 2 ? 2 【解析】该几何体为一个四棱锥,直观图如图所示:



由三视图可知, SC ? 平面 ??CD ,

1 1 S ? 1?1 ? 2( ?1?1) ? 2( ?1? 2) ? 2 ? 2 ,故选 C. 2 2
【考点】三视图,棱锥的表面积. 12. (原创)函数 f ( x) ? ln x ? | x ? 2 | 的零点的个数为 【答案】2 【解析】 ln x ?| x ? 2 | ,由图像可知交点有两个,所以函数的零点个数为 2 【考点】函数的零点,函数的图像. 13.(原创) △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列,则角 B 的最大值为 【答案】

? 3
a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2
1 2

【解析】∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 cos B ?

当且仅当 a=c 时等号成立,∴cos B 的最小值为 ∴角 B 的最大值为

? 3

【考点】解三角形,已知三角函数值求角,基本不等式,. 14. ( 2015 四川改编)已知边长为 1 的等边三角形 ?ABC ,向量 a 、b 满足 AB ? 2a ,
? ? ? AC ? 2a ? b ,则下列结论中正确的是

?

?

?

?

.(写出所有正确结论得序号)

① a 为单位向量;② b 为单位向量;③ ? a , b ?? 【答案】②④

?

?

? ?

? ? ? ? ;④ (4a ? b ) ? BC 。 3

【解析】 b ? AC ? 2a ? AC ? AB ? BC ,因为 ?ABC 边长为 1,所以①不正确,②正确;

?

????

?

???? ??? ?

??? ?

2? ? ? ? a , b ?? ,所以③不正确; 3
? ? ??? 1 1 ? ? ? ? ? ? b ? BC , (4a ? b ) ? BC ? (4a ? b ) ? b ? 4 ? ?1 ? (? ) ? 1?1 ? 0 所以④正确 2 2
【考点】向量的基本概念,向量的数量积 15. 设 半径为 3 的圆 C 被直 线 l : x ? y ? 4 ? 0 截得 的弦 AB 的 中点为 P(3,1) , 且弦长

AB ? 2 7 , 则圆 C 的标准方程
(x ? 4 ) ? ( y ? 2) ? 9, 或(x ? 2 )? y ? 9 【答案】
2 2 2 2



【考点】直线与圆的位置关系 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. (16)(本小题满分 12 分) (原创)已知 a ? (sin ? x,1), b ? ( 3, cos ? x) , f ( x) ? a ? b (I)若 x ? [0, 2] ,求 f ( x) ? a ? b 的单调递增区间; (II)设 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的坐标为 P,第一个最低点的坐标为 Q,坐 标原点为 O,求 ?POQ 的余弦值. 【答案】 (I) [0, ] , [ , 2] ; (II) ?

?

?

? ?

? ?

1 3

4 3

16 481 481

【解析】 (I) f ( x) ? a ? b ? a ?

? ?

?

3 sin ? x ? cos ? x ? 2sin(? x ? ) …………………… 2 分 6 2 1 ? x ? 2k ? 3 3
……………………4 分

?

2 k? ?

?
2

??x?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,解得 2k ?

1 4 x ? [0, 2] 时, 0 ? x ? 或 ? x ? 2 3 3 1 4 ? f ( x) 的单调递增区间为 [0, ] , [ , 2] 3 3
(I I)由题意得 P ( , 2) ,Q ( , ?2) .

……………………5 分

…………………… 6 分

1 3

4 3

根据距离公式 |OP|= ( ) ? 2 ?
2 2

1 3

37 4 2 2 13 2 , |OQ|= ( ) ? ( ?2) ? , 3 3 3
3分

1 4 |PQ|= ( ? ) 2 ? (2 ? 2) 2 ? 17 3 3
37 52 64 ? ? 17 ? 9 9 ? ? 16 481 根据余弦定理 cos ?POQ ? 9 ? 481 37 2 13 4 481 2? ? 3 3 9
(I I)另解: 由题意得 P (

6分

1 4 , 2) , Q( , - 2) 3 3

8分



根据距离公式 |OP|=

1 37 ( ) 2 ? 22 ? 3 3
10 分

4 2 13 |OQ|= ( )2 ? (?2)2 ? 3 3

??? ? ???? OP.OQ cos ?POQ = ??? ? ???? ? OP . OQ

4 ?2 16 481 9 ?? 481 37 2 13 . 3 3

12 分

【考点】向量的数量积,三角恒等变换,正线性函数的性质,余弦定理. (17)(本小题满分 12 分) (2014,2015 山东卷改编) 已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列, 数列 ? 为 Sn ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 ? an ? an ?1 ?

n . 2n ? 1

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? (?1) a n ( n ?1) ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 T2 n .
n 2

【答案】 (I) an ? 2n ? 1. (II) T2 n ? 2n ? 2n.
2

【解析】 (I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 .------------2 分 a1a2 3 1 1 2 ? ? ,所以 a2 a3 ? 15 . --------4 分 a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1. -------6 分 (II)由题意知, bn ? (?1) a n ( n ?1) ? (?1) [ n( n ? 1) ? 1] ------7 分
n n 2

所以 T2 n ? ?(1 ? 2 ? 1) ? (2 ? 3 ? 1) ? (3 ? 4 ? 1) ? ? ? (?1) [2n(2n ? 2) ? 1]
2n

------------9 分

? [?(1? 2 ? 1) ? (2 ? 3 ? 1)] ? [?(3 ? 4 ? 1) ? (4 ? 5 ? 1) ? ? {?[2( n ? 1) ? 2 n ? 1] ? [2 n(2 n ? 2) ? 1]}
10 分

? 4 ? 8? ? 4 n n(4 ? 4n) ? ? 2n 2 ? 2n ----------------------------------------12 分 2
【考点定位】 an与S n 的关系,等差数列的通项公式,数列求和



(18)(本小题满分 12 分) (原创)如图所示,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E , F 分别是 BC , CC1 的中点。 (I)证明:平面 AEF ? 平面 B1 BCC1 ; (II)若该三棱柱所有的棱长均为 2,求三棱锥 B1 ? AEF 的体积。

【答案】 (I)略;(II)

3 . 2

【解析】 (I)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱,所以 BB1 ? 面ABC ,所以 AE ? BB1 ,--2 分 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点,所以 AE ? BC , ------------------------4 分 有因为 BC ? BB1 =B ,因此 AE ? 平面 B1 BCC1 ,而 AE ? 平面 AEF , 所以平面 AEF ? 平面 B1 BCC1 。 ---------------------------6 分 (II) VB1 ? AEF ? VA? B1EF , ---------------------------8 分

1 1 1 S ?B1EF =2 ? 2- ? 2 ?1 ? ?1?1- ?1?1=2 , AE ? 3 , ----------------------10 分 2 2 2
由第(I)问可知 AE ? 平面 B1 BCC1

1 3 3 ?VB1 ? AEF ? VA? B1EF = ? ? 3= 3 2 2 --------------------------------------------12 分
(19)(本小题满分 12 分) (2014 四川卷改编) 设等差数列{an}的公差为 d, 点(an, bn)在函数 f(x)=2x 的图像上(n∈N*). (I)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图像上,求数列{an}的通项 an ; 1 ?an? (II)若 a1=1, 函数 f(x)的图像在点(a2, b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- , 求数列?b ?的 ln 2 ? n? 前 n 项和 Sn. 【解析】 (I)由已知得,b7=2a7,b8=2a8=4b7, ------------------ 2 分 所以 2a8=4×2a7=2a7+2,解得 d=a8-a7=2,----------------------- 1 分



所以 an=a1+(n-1)d=2n-4. ------------------------------------------------------ 5 分 (II)函数 f(x)=2x 在点(a2,b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2),------------------7 分 1 其在 x 轴上的截距为 a2- . ln 2 1 1 由题意有 a2- =2- ,解得 a2=2. ln 2 ln 2 所以 d=a2-a1=1. 从而 an=n,bn=2n, an an n 所以数列{ }的通项公式为 = n,--------------------------------------------9 分 bn bn 2 n-1 n 1 2 3 所以 Sn= + 2+ 3+…+ n-1 + n, 2 2 2 2 2 1 2 3 n 2Sn= + + 2+…+ n-1, 1 2 2 2
n 1 1 1 1 n 1 n 2 -n-2 因此,2Sn-Sn=1+ + 2+…+ n-1- n=2- n-1- n= . 2 2 2 2 2n 2 2


2n 1-n-2 所以,Sn= .---------------------------------------------------------------12 分 2n


【考点】等差数列的性质,错位相减求和,函数、导数与数列的综合应用 (20)(本小题满分 13 分)

x2 (2015 北京卷改编)设函数 f ? x ? ? ? k ln x . 2
(I)求 f ? x ? 的单调区间; (II)若 f ? x ? 在 (1, e ] 存在零点,求 k 的取值范围.
' 【答案】 (I) k ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增; k ? 0 时, f ( x) 的单调递减

区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) (II) k ? e . 【解析】 (I) f ? x ? 的定义域为 (0, ??) --------------------------------------1 分

f ' ( x) ? x ?

k x2 ? k ? .---------------------------------------------------------2 分 x x

' (1) k ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增-----------------3 分

(2) k ? 0 时,由 f ( x) ? 0 解得 x ?
'

k.

f ( x) 与 f ' ( x) 在区间 (0, ??) 上的情况如下:



所以, f ( x) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;------------5 分 综上所述, k ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增

k ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ------------------6 分
(Ⅱ) (1) k ? 0 时, f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增且 f ?1? ? ----------------------------------------7 分 (2) k ? 0 时,由(Ⅰ)知, f ( x) 在区间 (0, ??) 上的最小值为 f ( k ) ? 因为 f ( x) 存在零点,所以

1 ? 0 , f ? x ? 在 (1, e ] 没有零点 2

k (1 ? ln k ) ? 0 ,从而 k ? e .-----------------------9 分 2

k (1 ? ln k ) . 2

当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f ( e ) ? 0 , f ? x ? 在 (1, e ] 存在零点;---10 分 当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f (1) ? 所以 f ( x) 在区间 (1, e ] 存在零点.----------------12 分 综上所述, k ? e .-----------------------------------------13 分 【考点】导数的综合应用 (21)(本小题满分 14 分) (2015 湖南卷)已知抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 :

1 e?k ? 0 , f ( e) ? ?0, 2 2

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个 a 2 b2

焦点,C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 , 过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点, 与 C2 相交于 C , D 两 点,且 AC 与 BD 同向. (I)求 C2 的方程; (II)若 AC ? BD ,求直线 l 的斜率.

????

??? ?



【答案】 (I) 【解析】

y 2 x2 6 . ? ? 1 ;(II) ? 9 8 4

(I) 由 C1 : x 2 ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) , 因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点, 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ①; 又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 C1 : x 2 ? 4 y , 由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 (? 6, ) ,?
2 2

3 2

9 6 ? 2 ?1 2 4a b

②,

y 2 x2 联立①②得 a ? 9, b ? 8 ,故 C2 的方程为 ? ? 1 --------------------------------6 分 9 8
(II)如图,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D ( x4 , y4 ),

因 AC 与 BD 同向,且 AC ? BD , 所以 AC ? BD ,从而 x3 ? x1 ? x4 ? x2 ,即 x3 ? x4 ? x1 ? x2 ,于是

????

??? ?

????

??? ?

( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 , 由?



? y ? kx ? 1
2 ?x ? 4 y

得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,由 x1 , x2 是这个方程的两根,? x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ④

? y ? kx ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (9 ? 8k ) x ? 16kx ? 64 ? 0 ,而 x3 , x4 是这个方程的两根,---------8 分 ?1 ? ? 9 ?8
x3 ? x4 ? ? 16k 64 , , x3 x4 ? ? 2 9 ? 8k 9 ? 8k 2
2

⑤-------------------10 分

将④、⑤代入③,得 16(k ? 1) ?

162 k 3 4 ? 64 162 ? 9(k 2 ? 1) 2 ? 16( k ? 1) ? 。即 --------12 (9 ? 8k 2 ) 2 9 ? 8k 2 (9 ? 8k 2 ) 2



分 所以 (9 ? 8k ) ? 16 ? 9 ,解得 k ? ?
2 2

6 6 ,即直线 l 的斜率为 ? -------------------------14 分 4 4

【考点】直线与圆锥曲线的位置关系;抛物线的几何性质,椭圆的标准方程和几何性质性质.

【考试范畴】集合与简易逻辑,函数与导数,三角函数和解三角形,平面向量,数列,不等式 与推理证明,立体几何,解析几何

齐鲁名校教科研协作体 山东省部分重点中学 2016 届高三第二次联考

文科数学试题
命题学校:济南一中 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答卷前,考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用 0.5mm 黑色签字笔和 2B 铅笔分别 涂写在答题卡与答题纸上. 命题人:赵京伟



3.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题直接答在答 题纸相应区域,不能答在试卷上;试题不交,请妥善保存,只交答题卡与答题纸. 参考公式:锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是正确的. 1.【答案】B 【解析】 A ? {2,3} , ? (?U B) ? ?2? ,故选 B. U B ? {0, 2,5} ,则 A ? 【考点】集合的交集与补集运算. 2.【答案】 D 【解析】一个命题的逆否命题,要将原命题的条件、结论加以否定,并且加以互换,故选 D . 【考点】命题及其关系,逻辑连接词. 3.【答案】A 【解析】A、B、C 的周期都是 π,D 的周期是 2π A 选项化简后为 y=cos2x 是偶函数,故正确答案为 A 【考点】三角函数的基本概念和性质,函数的周期性和奇偶性,诱导公式. 4.【答案】 B 【解析】由题意知,该几何体为半球,表面积为大圆面积加上半个求面积,

1 S ? ? ? 12 ? ? 4 ? ? ? 12 ? 3? ,故选 B . 2
【考点】旋转体的几何特征,球的表面积. 5.【答案】C 【解析】由韦达定理得 x1 ? x2 ? a ? 0, x1 ? x2 ? b ? 4 , x2 ?

4 .当适当排序后成等差数列时, x1

?2 必不是等差中项,当 x1 是等差中项时, 2 x1 ?

4 4 ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 4 ;当 是等差中项 x1 x1

时,

8 ? x1 ? 2 ,解得 x1 ? 4, x2 ? 1 ,综上所述, x1 ? x2 ? a ? 5 ,所以 a ? b ? 9 . x1

【考点】函数的零点,韦达定理,等差中项,等比中项. 6.【答案】A 【解析】 依题意,画出可行域,如图所示, z=

1 x+y 在点 A 取得最小值,点 C 取得最大值. 2



得点 A 的坐标为(1,1),点 C 的坐标为(2,2),则 z 最大值 3,最小值

3 . 2

【考点】简单的线性规划. 7.【答案】C 【解析】 由题意,得函数的定义域为 R,

f ( x) ? f (? x) ? [lg( x 2 ? 1 ? x) ? 1] ? [lg( x 2 ? 1 ? x) ? 1] ? lg1 ? 2 ? 2

? f (2015) ? f (?2015) ? 2
【考点】函数的奇偶性,推理与证明. 8.【答案】B 【解析】由 | AP | = 1 ,得动点 P 在以 A 为圆心,半径为 1 的圆上,设 P 为 ( x, y ) ,

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OP ? OB |? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? [ y ? (?2)]2 ,所以 | OP ? OB | 的最大值为点 P 到点(0,-2)
的最大值,即圆心 A 到点(0,-2)的距离加半径,| OP ? OB |max ? 【考点】向量的坐标运算,向量的几何意义. 9.【答案】A 【解析】 g ( x) ? log a ( ) ? log a a
x

??? ? ??? ?

22 ? [0 ? (?2)]2 ? 1 ? 2 2 ? 1

1 a

?x

? ?x

F ( x) ?

cos(? x) cos x f ( x) cos x ? ? ? F ( x) ,奇函数 ?? ,定义域为 {x | x ? 0} , F (? x) ? ? ?x x g ( x) x

所以答案选择 A 【考点】对数式的运算,函数的定义域,奇偶性,函数的图像. 10. 【答案】B b 【 解 析 】 双 曲 线 的 渐 近 线 为 y = ± x , 易 求 得 渐 近 线 与 直 线 x - 3y + m = 0 的 交 点 为 a

? -am , bm ? ,B? -am , -bm ? . 设 AB 的中点为 D.由|PA|= |PB|知 AB 与 DP 垂直,则 A? ? ?a-3b a-3b? ?a+3b a+3b? ? ?
-a m -3b m ? ?,k =-3, , D? ? ?(a+3b)(a-3b) (a+3b)(a-3b)? DP 解得 a2=4b2,故该双曲线的离心率是 5 . 2
2 2



【考点】双曲线的离心率,直线与双曲线的位置关系

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 【答案】 2 ? 2 【解析】该几何体为一个四棱锥,直观图如图所示:

由三视图可知, SC ? 平面 ??CD ,

1 1 S ? 1?1 ? 2( ?1?1) ? 2( ?1? 2) ? 2 ? 2 ,故选 2 2
【考点】三视图,棱锥的表面积. 12.【答案】2 【解析】 ln x ?| x ? 2 | ,由图像可知交点有两个,所以函数的零点个数为 2 【考点】函数的零点,函数的图像. 13.【答案】

? 3
a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2
1 2

【解析】∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 cos B ?

当且仅当 a=c 时等号成立,∴cos B 的最小值为



∴角 B 的最大值为

? 3

【考点】解三角形,已知三角函数值求角,基本不等式,. 14. 【答案】

②④
???? ? ???? ??? ? ??? ?

【解析】 b ? AC ? 2a ? AC ? AB ? BC ,因为 ?ABC 边长为 1,所以①不正确,②正确;

?

2? ? ? ? a , b ?? ,所以③不正确; 3
? ? ??? 1 1 ? ? ? ? ? ? b ? BC , (4a ? b ) ? BC ? (4a ? b ) ? b ? 4 ? ?1 ? (? ) ? 1?1 ? 0 所以④正确 2 2
【考点】向量的基本概念,向量的数量积 15.【答案】 (x ? 4 ) ? ( y ? 2) ? 9, 或(x ? 2 )? y ? 9
2 2 2 2

【考点】直线与圆的位置关系 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. (16)(本小题满分 12 分) 【答案】 (I) [0, ] , [ , 2] ; (II) ?

1 3

4 3

16 481 481

【解析】 (I) f ( x) ? a ? b ? a ?

? ?

?

3 sin ? x ? cos ? x ? 2sin(? x ? ) …………………… 2 分 6 2 1 ? x ? 2k ? 3 3
……………………4 分

?

2 k? ?

?
2

??x?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,解得 2k ?

1 4 x ? [0, 2] 时, 0 ? x ? 或 ? x ? 2 3 3
1 4 ? f ( x) 的单调递增区间为 [0, ] , [ , 2] 3 3
(I I)由题意得 P ( , 2) ,Q ( , ?2) .

……………………5 分

…………………… 6 分

1 3

4 3

根据距离公式 |OP|= ( ) ? 2 ?
2 2

1 3

37 4 2 2 13 2 , |OQ|= ( ) ? ( ?2) ? , 3 3 3
3分

1 4 |PQ|= ( ? ) 2 ? (2 ? 2) 2 ? 17 3 3



37 52 64 ? ? 17 ? 9 9 ? ? 16 481 根据余弦定理 cos ?POQ ? 9 ? 481 37 2 13 4 481 2? ? 3 3 9
(I I)另解: 由题意得 P (

6分

1 4 , 2) , Q( , - 2) 3 3

8分

根据距离公式 |OP|=

1 37 ( ) 2 ? 22 ? 3 3
10 分

4 2 13 |OQ|= ( )2 ? (?2)2 ? 3 3

??? ? ???? OP.OQ cos ?POQ = ??? ? ???? ? OP . OQ

4 ?2 16 481 9 ?? 481 37 2 13 . 3 3

12 分

【考点】向量的数量积,三角恒等变换,正线性函数的性质,余弦定理. (17)(本小题满分 12 分) 【答案】 (I) an ? 2n ? 1. (II) T2 n ? 2n ? 2n.
2

【解析】 (I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 .------------2 分 a1a2 3
1 1 2 ? ? ,所以 a2 a3 ? 15 . --------4 分 a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1. -------6 分 (II)由题意知, bn ? (?1) a n ( n ?1) ? (?1) [ n( n ? 1) ? 1] ------7 分
n n 2

所以

T2 n ? ?(1? 2 ? 1) ? (2 ? 3 ? 1) ? (3 ? 4 ? 1) ? ? ?(?1) 2 n [2n(2n ? 1) ? 1]

------------9 分

? [?(1? 2 ? 1) ? (2 ? 3 ? 1)] ? [?(3 ? 4 ? 1) ? (4 ? 5 ? 1) L 10 分 ?{?[(2n ? 1) ? 2n ? 1] ? [2n(2n ? 1) ? 1]}
? 4 ? 8+... ? 4n n(4 ? 4n) ? ? 2n 2 ? 2n ----------------------------------------12 分 2
【考点定位】 an与S n 的关系,等差数列的通项公式,数列求和



(18)(本小题满分 12 分) 【答案】 (I)略;(II)

3 . 2

【解析】 (I)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱,所以 BB1 ? 面ABC ,所以 AE ? BB1 ,--2 分 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点,所以 AE ? BC , ------------------------4 分 有因为 BC ? BB1 =B ,因此 AE ? 平面 B1 BCC1 ,而 AE ? 平面 AEF , 所以平面 AEF ? 平面 B1 BCC1 。 ---------------------------6 分 (II) VB1 ? AEF ? VA? B1EF , ---------------------------8 分

1 1 1 S ?B1EF =2 ? 2- ? 2 ?1 ? ?1?1- ?1?1=2 , AE ? 3 , ----------------------10 分 2 2 2
由第(I)问可知 AE ? 平面 B1 BCC1

1 3 3 ?VB1 ? AEF ? VA? B1EF = ? ? 3= 3 2 2 --------------------------------------------12 分
(19)(本小题满分 12 分) 【解析】 (I)由已知得,b7=2a7,b8=2a8=4b7, ------------------ 2 分 所以 2a8=4×2a7=2a7+2,解得 d=a8-a7=2,----------------------- 1 分 所以 an=a1+(n-1)d=2n-4. ------------------------------------------------------ 5 分 (II)函数 f(x)=2x 在点(a2,b2)处的切线方程为, y ? 2 2 ? (2 2 ln 2)( x ? a2 ) ------------------7
a a

分 1 其在 x 轴上的截距为 a2- . ln 2 1 1 由题意有 a2- =2- ,解得 a2=2. ln 2 ln 2 所以 d=a2-a1=1. 从而 an=n,bn=2n, an an n 所以数列{ }的通项公式为 = n,--------------------------------------------9 分 bn bn 2 n-1 n 1 2 3 所以 Sn= + 2+ 3+…+ n-1 + n, 2 2 2 2 2 1 2 3 n 2Sn= + + 2+…+ n-1, 1 2 2 2
n 1 1 1 1 n 1 n 2 -n-2 因此,2Sn-Sn=1+ + 2+…+ n-1- n=2- n-1- n= . 2 2 2 2 2n 2 2


2n 1-n-2 所以,Sn= .---------------------------------------------------------------12 分 2n




【考点】等差数列的性质,错位相减求和,函数、导数与数列的综合应用 (20)【答案】 (I) k ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增; k ? 0 时, f ( x) 的单调 递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) (II) k ? e . 【解析】 (I) f ? x ? 的定义域为 (0, ??) --------------------------------------1 分

f ' ( x) ? x ?

k x2 ? k .---------------------------------------------------------2 分 ? x x

(1) k ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增-----------------3 分 (2) k ? 0 时,由 f ( x) ? 0 解得 x ?
'

k.

f ( x) 与 f ' ( x) 在区间 (0, ??) 上的情况如下:

所以, f ( x) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;------------5 分
' 综上所述, k ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增

k ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ------------------6 分
(Ⅱ) (1) k ? 0 时, f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增且 f ?1? ? ----------------------------------------7 分 (2) k ? 0 时,由(Ⅰ)知, f ( x) 在区间 (0, ??) 上的最小值为 f ( k ) ? 因为 f ( x) 存在零点,所以

1 ? 0 , f ? x ? 在 (1, e ] 没有零点 2

k (1 ? ln k ) ? 0 ,从而 k ? e .-----------------------9 分 2

k (1 ? ln k ) . 2

当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f ( e ) ? 0 , f ? x ? 在 (1, e ] 存在零点;---10 分 当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f (1) ?

1 e?k ? 0 , f ( e) ? ?0, 2 2



所以 f ( x) 在区间 (1, e ] 存在零点.----------------12 分 综上所述, k ? e .-----------------------------------------13 分 【考点】导数的综合应用 (21)(本小题满分 14 分) 【答案】 (I) 【解析】 (I) 由 C1 : x 2 ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) , 因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点, 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ①; 又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 C1 : x 2 ? 4 y , 由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 (? 6, ) ,? 联立①②得 a ? 9, b ? 8 ,故 C2 的方程为
2 2

y 2 x2 6 . ? ? 1 ;(II) ? 9 8 4

3 2

9 6 ? 2 ?1 2 4a b

②,

y 2 x2 ? ? 1 --------------------------------6 分 9 8

(II)如图,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D ( x4 , y4 ),

因 AC 与 BD 同向,且 AC ? BD , 所以 AC ? BD ,从而 x3 ? x1 ? x4 ? x2 ,即 x3 ? x4 ? x1 ? x2 ,于是

????

??? ?

????

??? ?

( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 , 由?



? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y
2

得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,由 x1 , x2 是这个方程的两根,? x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ④

? y ? kx ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (9 ? 8k ) x ? 16kx ? 64 ? 0 ,而 x3 , x4 是这个方程的两根,---------8 分 ?1 ? ? 9 ?8



x3 ? x4 ? ?

16k 64 , , x3 x4 ? ? 2 9 ? 8k 9 ? 8k 2
2

⑤-------------------10 分

将④、⑤代入③,得 16(k ? 1) ? 分

162 k 2 4 ? 64 162 ? 9(k 2 ? 1) 2 ? 16( k ? 1) ? 。即 --------12 (9 ? 8k 2 ) 2 9 ? 8k 2 (9 ? 8k 2 ) 2

所以 (9 ? 8k ) ? 16 ? 9 ,解得 k ? ?
2 2

6 6 ,即直线 l 的斜率为 ? -------------------------14 分 4 4

【考点】直线与圆锥曲线的位置关系;抛物线的几何性质,椭圆的标准方程和几何性质性质.


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