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2014年自主招生培训讲义10讲第九讲 初等数论


第九讲.初等数论
相关知识
1.了解数的整除性;2.掌握奇偶分析方法;4.了解同余分析; 5.学会不定方程的求解

典型例题
1. 当 p, q 都是奇数时,方程 x2 ? 2 px ? 2q ? 0 是否有有理根?请证明之 (2009 年清华大学) 相关习题 (1) 设 a, b, c 都是有理数, a ? b ? c 也是有理

数,证明: a 、 b 、 c 都是有理 数. 2.求正整数区间 [ m, n] 中不能被 3 整除的数之和. 相关习题 (1)是否存在一个 2012 位数,各数码均由 1 或 2 组成,且可以被 2
2012

(2008 年清华大学) (2008 年清华大学保送生)

整除?

(2012 年南开大学数学试点班试题) 3. 记 2012! ? 1? 2 ? 3 ?

? 2012 为从 1 到 2012 之间所有整数的连乘积,则 2012!的值的
) (2012 年复旦大学)

尾部(从个位往前计数)连续的 0 的个数是( A.504
2

B.503
2

C.502

D.501

4.不定方程 x ? 3 y ? 2 的整数解的个数是( A.0 B.1 C.3 D.无穷多个

) (2013 年复旦大学)
8 4

5. 求证:存在无穷多对正整数对 ( a, b) 满足 ab | a ? b ? 1. (2013 年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营) 相关习题 (1)已知 6xyzabc ? 7abcxyz ,则 xyzabc ? (2004 年上海交通大学) (2)讨论方程 ( x
2014

? 1)(1 ? x2 ? x4 ?

? x2012 ) ? 2014x2013 的根的情况.
(2013 年中国科技大学夏令营)

1


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