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湖北省重点中学2013年高三上学期期末联考数学文试题


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湖北省 2013 年高三上学期期末联考 文科数学试题
_______________________________________________________________________________ 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只 有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 A={x||x-1|≤2},B={x|x2-4x>0,x∈R},则 A∩(CRB)= ( ) B. [0,3] C. [-1,4] D. [0,4]

A. [-1,3]

2. i 为虚数单位,如果 z=a2+2a-3+(a2-4a+3)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为 ( A. 1 B. 3 或-1 ) C. -3 D. 1 或-3

3. 函数 f (x)=x+ln(x-1)的零点所在的区间为 ( )

A. (1,

3 ) 2

B. (

3 ,2) 2

C. (2,e)

D. (e,+∞)

4. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn . 已知 a5=8,S3=6,则 a9= ( A. 8 ) B. 12 C. 16 D. 24

5. 抛物线 y=4x2 的准线方程为 ( )

A. y ? ?

1 16

B. x ? ?

1 16

C. y ?

1 16

D. x ?

1 16

6. 某三棱柱侧棱和底面垂直,底面边长均为 a,侧棱长为 2a,其体积为 4 3 ,若它的三视 图中的俯视图如图所示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的面积 ( A. 4 C. 8 ) B. 4 3 D. 8 3
第 6 题图



7. 从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数求和,则和恰为偶数的概 是 ( )



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A.

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C.

2 3

B.

8. 将函数 y=cos(x-

5? )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将 6

2 5

1 2

D.

1 3

所得图象向左平移 ( )

? 个单位,则所得函数图象对应的解析式是 3

A. y=cos

? ) 6

1 x 2

B. y=cos(2x-

? ) 6

C. y=sin(2x-

? ) 6

D. y=sin(

1 x- 2

9. 某程序框图如图所示,若输出结果是 126,则判断框中可以是 A. i>6? C. i≥6? B. i>7? D. i≥5?

(

)

10. 对于函数 f (x)和 g(x),其定义域为[a, b],若对任意的 x∈[a, b]总有 |1-

1 g ( x) |≤ ,则称 f (x)可被 g(x)置换,那么下列给出的函数中能置 f ( x ) 10

换 f (x)=

x x∈[4,16]的是

( B. g(x)=x2+9 x∈[4,16]

)
第 9 题图

A. g(x)=2x+6 x∈[4,16]

1 C. g(x)= (x+8) x∈[4,16] 3

1 D. g(x)= (x+6) x∈[4,16] 5

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡相应题号后的横 线上,答错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 11. 对某商店一段时间内的顾客人数进行了统计,得到了样本 的茎叶图(如图所示),则该样本中的中位数为_________, 众数为_________。 12. 学校为了调查学生的学习情况,决定用分层抽样的方法从
第 11 题图

高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人,相关数据如下表: 相关学生 高一学生 高二学生 高三学生 则抽取的总人数为_________. 56 a 35 抽取人数 b 3 5

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2 围成的三角形区域(包括边界)为 E, 2

13. 设双曲线 4x2-y2=1 的两条渐近线与直线 x ?

P(x, y)为该区域内的一动点,则目标函数 z=x-2y 的最小值为________. 14. 若不等式|x-a|<3 成立的一个充分条件是 0<x<4,则实数 a 的取值范围是_________. 15. 海中有一小岛, 周围 4 2 n mile 内有暗礁, 海轮由西向东航行, 望见这岛在北偏东 60°, 航行 6 n mile 以后,望见这岛在北偏东 30°. 如果这艘海轮不改变航向继续前行,则经 过________n mile 后海轮会触礁. 16. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0,2), 直线 l: x+y-4=0, B(x,y)是圆 C:2+y2-2x-1=0 点 x 上的动点,AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为 D、E,则线段 DE 的最大值是________. 17. 在如图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai,j,且满足 a1,j=2j 1,ai,1=i,ai+1,j+1=ai,j+ai+1,j (i, j∈N*);又记第 3 行的数 3,5,8,13,22,39……为数列{bn},则 (1)此数表中的第 2 行第 8 列的数为_________. (2)数列{bn}的通项公式为_________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 已知在锐角△ABC 中,a, b, c 分别为角 A、B、C 所对的边,向量 m ? (cos A,sin A) ,
第 17 题图


??

?? ? ? n n ? (cos B,sin B) , m? ? 3 sin B ? cos C .
(1)求角 A 的大小; (2)若 a=3,求△ABC 面积的最大值.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在□ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4. 将△CBD 沿 BD 折起到△EBD 的位置,使平面 EBD⊥平面 ABD. (1)求证:AB⊥DE; (2)求三棱锥 E—ABD 的侧面积.
第 19 题图

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20. (本小题满分 13 分)

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已知数列{an}的首项 a1= t >0, an ?1 ?

3an ,n=1,2,…… 2an ? 1

(1)若 t =

3 1 ,求 { ? 1} 是等比数列,并求出{an}的通项公式; 5 an

(2)若 an+1>an 对一切 n∈N*都成立,求 t 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆的中心是坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 点的距离和为 2 2 ,过点 M(0, ? (1)求椭圆的方程; (2)在 y 轴上是否存在定点 N, 使以 PQ 为直径的圆恒过这个点?若存在, 求出 N 的坐标, 若不存在,说明理由.

2 ,又椭圆上任一点到两焦 2

1 )与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点. 3

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)=ex,g(x)=lnx,h(x)=kx+b. (1)当 b=0 时,若对 ? x∈(0,+∞)均有 f (x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数 k 的取值范围; (2)设 h(x)的图象为函数 f (x)和 g(x)图象的公共切线,切点分别为(x1, f (x1))和(x2, g(x2)), 其中 x1>0. ①求证:x1>1>x2; ②若当 x≥x1 时,关于 x 的不等式 ax2-x+xe
?x

+1≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2013 年高三上学期期末联考

文科数学答案
考试时间:2013 年 1 月 21 日 15:00—17:00 试卷满分:150 分 _______________________________________________________________________________ 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 B 7 D 8 D 9 A 10 D

二、填空题 13. ?

11. 45;45
1

12. 16

3 2 2

14. [1,3]

15. 3 ? 5

16. 5 2 2

17. 129;bn=2n



+n+1

三、解答题 18. 解:(1) m? ? cos A cos B ? sin A sin B n 又 m? ? 3sin B ? cos( A ? B) ? 3sin B ? cos A cos B ? sin Asin B … … (2 n 分) ∴ 3 sin B ? 2sin B sin A ,sinA= 分) 又 A 为锐角, ∴A= (2) a2=b2+c2-2bcosA ∴b2+c2-bc=9≥bc 分) 故△ABC 面积的最大值为 分) 19. (1) 证明 在△ABD 中,∵AB=2,AD=4,∠DAB=60° ∴BD= ∴S=

?? ?

?? ?

3 …………………………………………(4 2

? ……………………………………………………………(6 分) 3

1 3 9 3 bcsinA= bc≤ ………………………(10 2 4 4

9 3 …………………………………………………(12 4

AB2 ? AD2 ? 2 AB?AD cos ?DAB ? 2 3 .

∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD.
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又∵平面 EBD⊥平面 ABD,

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平面 EBD∩平面 ABD=BD,AB ? 平面 ABD, ∴AB⊥平面 EBD. 又∵DE ? 平面 EBC,∴AB⊥DE. …………………………(5 分) (2)解:由(1)知 AB⊥BD. ∵CD∥AB ∴CD⊥BD,从而 DE⊥BD

在 Rt△DBE 中, ∵DB=2 3 ,DE=DC=AB=2, ∴S△DBE=

1 DB?DE ? 2 3 .……………………………………………………(7 分) 2 1 AB·BE=4………………………………………(9 分) 2 1 AD·DE=4. ………………(11 分) 2

又∵AB⊥平面 EBD,BE ? 平面 EBD,∴AB⊥BE. ∵BE=BC=AD=4,S△ABE=

∵DE⊥BD,平面 EBD⊥平面 ABD,∴ED⊥平面 ABD, 而 AD ? 平面 ABD,∴ED⊥AD,∴S△ADE=

综上,三棱锥 E—ABD 的侧面积 S=8+2 3 ……………………………… (12 分) 20. 解:(1)由题意 an>0,

3a ? 1 1 1 2 1 , ? n ? ? an 3an 3 an ?1 3an

1 1 1 1 2 ? 1 ? ( ? 1) , ? 1 ? …………………………………………………(4 an?1 3 an a1 3
分) 所以数列{ 分)

2 1 1 公比为 的等比数列……………………………(5 ? 1 }是首项为 , 3 3 an

3n 1 5 1 2 ………………………………………(7 ? 1 ? ( ? 1)( ) n ?1 ? n , an ? n 3 ?2 an ?1 3 3 3
分) (2)由(1)知 分) 由 a1>0,an+1=

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) , ? 1 ? ( ? 1)( )n ?1 ……………………………(9 an?1 3 an an t 3

3an 1 1 ? 知 an>0,故 an+1>an 得 ………………………(10 2 an ? 1 an an?1

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分) 即( -1)(

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1 t

1 n 1 1 n?1 1 ) +1<( -1) ( ) +1 得 -1>0 3 3 t t

又 t>0

则 0<t<1……………………………………………………………………………(13 分) 21. 解:(1)因为离心率为

2 ,又 2a= 2 2 ,∴a= 2 ,c=1 2

x2 ? y 2 ? 1………………………………………………(4 故 b=1,故椭圆的方程为 2
分) (2)设 l 的方程为 y=kx-

1 3

1 ? y ? kx ? ? 4 16 ? 3 由? 2 得(2k2+1)x2- kx- =0 3 9 ? x ? y2 ? 1 ?2 ?
设 P(x1, y1),Q(x2, y2) 则 x1+x2= 分) 假设在 y 轴上存在定点 N(0,m)满足题设,则

4k 3(2k 2 ? 1)

x1·x2= ?

16 ……………………………………(8 9(2k 2 ? 1)

??? ? NP ? ( x1, y1 ? m)

???? NQ ? ( x2 , y2 ? m)

??? ???? ? NP · NQ = x1x2+(y1-m)(y2-m)= x1x2+ y1y2-m(y1+y2) +m2
1 1 1 1 )( kx2- )-m(kx1- + kx2- ) +m2 3 3 3 3 1 2 1 =(k2+1) x1x2-k( +m)(x1+x2)+m2+ m+ 3 3 9
= x1x2+(kx1- =?

1 2 1 16 4k -k( +m) +m2+ m+ 2 2 3 3 9 3(2k ? 1) 9(2k ? 1)

= 分)
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18(m2 ? 1)k 2 ? (9m2 ? 6m ? 15) …………………………………(12 9(2k 2 ? 1)

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??? ?

由假设得对于任意的 k∈R, NP · NQ =0 恒成立

????

?m 2 ? 1 ? 0 ? 即? 2 解得 m=1 ?9m ? 6m ? 15 ? 0 ?
因此,在 y 轴上存在定点 N,使得以 PQ 为直径的圆恒过这个点,点 N 的坐标为(0,1) …………………………………………………………………………………………(14 分) 22. 解:(1)依题意对 ? x∈(0,+∞)均有 ex≥kx≥lnx 成立 即对任意 ? x∈(0,+∞)均有 (1 分)

ln x ex ≥k≥ 成立………………………………… x x

ln x ex ) max )min≥k≥ ( x x e x e x ( x ? 1) ex 因为( )= 故y? 在(0,1)上减, (1,+∞)增 x x2 x ex ∴( )min=e x ln x 1 ? ln x ln x )? 又( 故y? 在(0,e)上减, (e,+∞)增 2 x x x ln x 1 1 ) max ? ∴( 即 k 的取值范围是[ ,e] x e e
∴( (2)由题知:h(x)即为 y-e 1 = e 1 (x-x1)即 y=e 1 ·x+ e 1 -x1 e 也为 y=lnx2=
x x x x x1

1 1 ( x ? x2 ) 即 y= x +lnx2-1 x2 x2

? x1 1 ?e ? x ∴? ………………………………………………(6 分) 2 ?e x1 ? x e x1 ? ln x ? 1 ? 1 2
又 x1=0 ∴e 1 >1
x



1 >1 ? x1>1 x2

即 x1>1>x2………………………………………………………………(8 分) (3)令 F(x)=ax2-x+xe 又 x≥x1>1
?x

+1(x≥x1) +e
?x

∴F′(x)= -1-xe 即 F(x)=ax2-x+xe
x1

?x

=-1+e
?x

?x

(1-x)( x≥x1)
?x

F′(x)= -1-xe
?x

+e
? x1

=-1+e

?x

(1-x)<0

+1(x≥x1)单减 +1≤0

所以只要 F(x)≤F(x1)= ax2-x1+1xe
x1

即 a+ x1-x1e + e ≤0………………………………………………(12 分)

? x1 1 ?e ? x 由? 2 ?e x1 ? x e x1 ? ln x ? 1 ? 1 2
∴?

? x1 ? ? ln x2
x1 x1 ?e ? x1e ? ln x2 ? 1

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即 x1 ? x1ex1 ? ex1 ? ?1
x x

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故只要 a ? x1 ? x1e 1 ? e 1 ? a ?1 ≤0 得: a≤1 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,1] ……………………………(14 分)

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