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清晰空间几何体的表面积与体积


一、柱体、锥体、台体的表面积

复习回顾
? (1)矩形面积公式:

S ? ab __________ 。

1 S ? ah 2 ? (2)三角形面积公式:_________ 。

? 2 S ? ?r 。 ? (3)圆面积面积公式:_________ C ? 2? r 。 ? (4

)圆周长公式: _________ ? (5)扇形面积公式: ? (6)梯形面积公式:
1 s ? lr 2 __________ 。
1 S ? ( a ? b) h 2 __________

3 2 S? a 4 正三角形面积公式:_______ 。

几何体的分类

多面体

旋转体

柱体

锥体

台体



在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你知道 正方体和长方体的表面积怎样得到的

几何体表面积 空间问题

展开图

平面图形面积 平面问题

把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求? 侧 表面积 底

S

? S ? 2S
h
b

h

c
a

b

h

a

c

S直棱拄侧 =(a ? b ? c) ? h ? ch

正棱锥的侧面展开图是什么?

1 S正 棱 锥 侧 = ch' 2
侧面展开
h'

正棱锥的侧面积如何计 算?表面积如何计算?

h'

正棱台的侧面展开图是什么?

h'

侧面展开
h'

1 正棱台的侧面积如何计算? S正 棱 台 侧 = (c ? c' )h' 2 表面积如何计算?

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和

表面积=侧面积+底面积

小结:1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键; 2、对应的面积公式
1 S三 棱 锥 = ch' 2
C’=0

1 S正 棱 台 = (c+c' )h' 2
C’=C

S直棱柱 =ch' ? ch

例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形 的四面体S-ABC,求它的表面积 .
S

A

B

C

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 .
解:先求 ?SBC的面积,过点S作 SD ? BC S 交BC于点D. 因为 BC ? a 2 3 ?a? 2 2 2 SD ? SB ? BD ? a ? ? ? ? a 2 ?2? 所以:S?SBC D C
1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

A B

因此,四面体S-ABC 的表面积.

3 2 S ? 4 ? a ? 3a 2 4

思考
? 求多面体的表面积可以通过求 各个平面多边形的面积和得到, 那么旋转体的表面积该如何求 呢?

r
l
2?r
2

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )

2?r

l

r O

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )
2

r ' O’

2?r '
2?r

l

S ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )
2 2

1 S ? ?r ? ? ?r ? ?2?r ? ? 2?r ?l 2
2 2

r O

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

r O?
l
O

r ' O’

r ’= r
上底扩大

l

r ’= 0
上底缩小

l

r O

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

2 2 ? S ? ? (r ? r ? r?l ? rl ) S ? ?r (r ? l )

典型例题

S圆台表面积

2 2 ? ? ? (r ? r ? r?l ? rl )

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

15 cm
15 cm

? 999(cm2 )
2 cm 答:花盆的表面积约是999 .

小结: 柱体、锥体、台体的表面积
圆柱 S ? 2?r (r ? l ) r ? r? 圆柱、圆锥、 圆台
??S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) 圆台

r? ? 0
圆锥 S ? ?r (r ? l )

棱柱、棱锥、 棱台

展开图

各面面积之和

所用的数学思想: 空间问题转化成平面问题

二、柱体、锥体、台体的体积

柱体体积
h a a b a a h

长方体体积:V ? abh
2

? 3 2 正方体体积: V ? a ? a ?a ? ? 圆柱的体积: V ??r h

V ? Sh
底 面 积 高

柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为:

V ? Sh
柱体(棱柱、圆柱)的体积公式:

V ? Sh
(其中S为底面面积,h为柱体的高)

问题:锥体(棱锥、圆锥)的体积
3.1.锥体(棱锥、圆锥)的体积

(底面积S,高h)
V三棱锥 1 ? sh 3

注意:三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换,四 面体的每一个面都可以作为底面,可以用来求点到 面的距离

锥体体积
h

椎体(圆锥、棱锥)的体积公式:

1 V ? Sh 3
(其中S为底面面积,h为高)

由此可知, 棱柱与圆柱的体积公式类似,都是 底面面积乘高; 棱锥与圆锥的体积公式类似,都是 1 底面面积乘高的 .
3

四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h,则

1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/

s/ s

h
s

V ? V大锥 ? V小锥

x
S?

h
S

x?

S ?h S ? S?

1 1 = Sh ? ? S ? S ? ? x 3 3 2 1? x 1 ? S ? S ?h ??Sh S ?? ? ? ?S ? ?? S S ? S? 3 ? x? 3h ? x S? 1 1 ? ? S ?h ?? Sh ? S ? S S 3 x? 3h 1 S ?h ? h S ? SS ? ? S ? ?x ? S ? S? 3

1 1 = S ? x ? h ? ? S ?x 3 3

?

?

?

?

台体体积

台体(棱台、圆台)的体积公式

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? S

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S? ? 0

S为底面面积, h为锥体高

S ?, S 分别为上、下

底面面积,h 为台体 高

1 V ? Sh 3 S为底面面积, h为柱体高

1.已知圆锥的表面积a m2 , 且它的侧面展开图 是一个半圆,求这个圆锥的底面直径。

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm, 盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15cm.那么花盆的表面积约是多 少平方厘米?

20cm

15 cm
15 cm

典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm3 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即: 3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) ?10 4 2 ? 2956 (mm3 )
? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000? (7.8 ? 2.956) ? 252 (个)
答:这堆螺帽大约有252个.

探究

球的体积:

一个半径和高都等于R的圆柱,挖去一个 以上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥 后,所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。

R
O

R
R R O

1 1 2 2 3 2 V球 = πR ? R - πR ? R = πR 2 3 3

4 3 V球 = πR 3

R
O

R
R R O

半径为R的球的体积

4 3 V ? ?R 3

知识点三、球的表面积和体积


第一步:分割

球面被分割成n个网格, 表面积分别为:

?S1,?S 2,?S3 ...?S n
O 则球的表面积:

S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ... ? ?Sn

?Si
O

?Vi

?Vi 设“小锥体”的体积为: 则球的体积为: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ... ? ?Vn

第二步:求近似和

?Si
?hi
O O

?Vi

1 ?Vi ? ?S i ?hi 3
由第一步得: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ... ? ?Vn

1 1 1 1 V ? ?S1?h1 ? ?S 2 ?h2 ? ?S3?h3 ? ... ? ?S n ?hn 3 3 3 3

第三步:转化为球的表面积

?hi

?Si

如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。

R
O

?hi 的值就趋向于球的半径R ?Vi 1 ? ?Vi ? ?S i R 3 1 1 1 1 ?Si V ? ?Si R ? ?S2 R ? ?S3 R ? ... ? ?Sn R 3 3 3 3 1 1 ? R( ?S i ? ?S 2 ? ?S3 ? ... ? ?S n ) ? RS 3 3 ?Vi 4 3 ② 球的体积: V ? ?R 3 由①② 得:



S ? 4πR

2

半径为R的球的表面积公式

S ? 4? R

2

设球的半径为R,则球的体积公 4∕3πR3 . 式为V球=
R1 解析:S 球=4πR ,故 = R2
2

S1 = 4=2. S2

例1.(2009年高考上海卷)若球O1、O2表 面积之比=4,则它们的半径之比=______.
答案:2

例2:
(2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的—倍。

2倍。 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—

4

(3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是——— 1 : 2 2。
3 (4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是——— 1: 4。

例3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可 知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。

D A O D1 A1 B1 B

C A

D B O D1 A1 B1

C

略解:
Rt?B1 D1 D中 : B1 D ? 2 R,B1 D ? 2a 3 a 2

C1

C1

(2 R ) 2 ? a 2 ? ( 2a ) 2 , 得:R ? ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

? a2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=——。
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=—— 2 2 ? a。

关键: 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系

例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体 积,表面积. 解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,

O A
O?

R ? O ?O ? , ?ABC是 正 三 角 形 , 2

C

O?A ?

B

2 3 2 3 ? AB ? ?r 3 2 3

题型一

旋转体的表面积及其体积

【例2】 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋
转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
思维启迪 先分析阴影部分旋转后形成几何体的

形状,再求表面积.



如图所示,

过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得
∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC= 3R ,BC=R,CO ? 3 R, 1 2 2 ∴S球=4π R ,

3 3 S圆锥AO1侧 ? π? R ? 3R ? π R 2 , 2 2 3 3 S圆锥BO1侧 ? π? R? R ? π R2 , 2 2 ? S几何体表 ? S球 ? S圆锥AO1侧 ? S圆锥BO1侧 3 3 11 ? 3 2 2 ? 4π R ? π R ? πR ? π R2 , 2 2 2
2

11 ? 3 ? 旋转所得到的几何体的 表面积为 π R2. 2

4 1 1 又V球 ? π R 3 ,V圆锥AO1 ? ? AO1 ? π CO 2 ? π R 2 ? AO1 1 3 3 4 1 1 2 V圆锥BO1 ? BO1 ? π CO 1 ? π R 2 ? BO1 3 4 ?V几何体 ? V球 ? (V圆锥AO1 ? V圆锥BO1 ) 4 3 1 3 5 3 ? πR ? πR ? πR . 3 2 6

探究提高 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所

形成的图形的形状,再将图形进行合理的分割,

然后利用有关公式进行计算.

知能迁移2

已知球的半径为R,在球内作一个内

接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它
的侧面积最大?侧面积的最大值是多少? 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h,底面半径为r, h 侧面积为S,则 ( ) 2 ? r 2 ? R 2 , 2
即h ? 2 R 2 ? r 2 . ? S ? 2 π rh ? 4 π r R 2 ? r 2 1 2 2 1 4 ? 4 π r ( R ? r ) ? 4 π ? (r ? R ) ? R . 2 4 1 2 2 2 ?当且仅当 r ? R ,即r ? R, h ? 2R时,圆柱侧面积 2 2 1 4 最大, 最大值是 4 π R ? 2 π R2. 4
2 2 2 2

知能迁移2

已知球的半径为R,在球内作一个内

接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它
的侧面积最大?侧面积的最大值是多少? 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h,底面半径为r, h 侧面积为S,则 ( ) 2 ? r 2 ? R 2 , 2
即h ? 2 R 2 ? r 2 . ? S ? 2 π rh ? 4 π r R 2 ? r 2 1 2 2 1 4 ? 4 π r ( R ? r ) ? 4 π ? (r ? R ) ? R . 2 4 1 2 2 2 ?当且仅当 r ? R ,即r ? R, h ? 2R时,圆柱侧面积 2 2 1 4 最大, 最大值是 4 π R ? 2 π R2. 4
2 2 2 2

题型二

多面体的表面积及其体积

【例3】 一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长 为 15,求这个三棱锥的体积.
思维启迪

本题为求棱锥的体积问题.已知底面

边长和侧棱长,可先求出三棱锥的底面面积
和高,再根据体积公式求出其体积. 解 如图所示, 正三棱锥S—ABC. 设H为正△ABC的中心,

连接SH,
则SH的长即为该正三棱锥的高.

连接AH并延长交BC于E, 则E为BC的中点,且AH⊥BC.
? AE ? ∵△ABC是边长为6的正三角形,
? AH ?

3 ? 6 ? 3 3, 2

2 AE ? 2 3. 3 1 1 在?ABC 中, S ?ABC ? BC ? AE ? ? 6 ? 3 3 ? 9 3. 2 2 在 Rt ?SHA中, SA ? 15,AH ? 2 3,

? SH ? SA2 ? AH 2 ? 15 ? 12 ? 3, 1 1 ?V正三棱锥 ? S ?ABC ? SH ? ? 9 3 ? 3 ? 9. 3 3

探究提高 求锥体的体积,要选择适当的底面和 高,然后应用公式 V ? 1 Sh 进行计算即可.常用方 3 法:割补法和等积变换法.

(1)割补法:求一个几何体的体积可以将这个几

何体分割成几个柱体、锥体,分别求出锥体和柱
体的体积,从而得出几何体的体积. (2)等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为 三棱锥的底面.①求体积时,可选择容易计算的方 式来计算;②利用“等积性”可求“点到面的

距离”.

题型三

组合体的表面积及其体积

【例4】 (12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中,
AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点, 将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,

使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积.
思维启迪 易知折叠成的几何体是棱长为1的正

四面体,要求外接球的体积只要求出外接球的 半径即可. 解 由已知条件知,平面图形中 2分

AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.
∴折叠后得到一个正四面体.

方法一

作AF⊥平面DEC,垂足为F,

F即为△DEC的中心. 取EC的中点G,连接DG、AG, 过球心O作OH⊥平面AEC.

则垂足H为△AEC的中心.
∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.
3 3 2 6 ? AG ? , AF ? 1 ? ( ) ? , 2 3 3

4分
6分

在△AFG和△AHO中,根据三角形相似可知,
3 3 ? 3 AG ? AH AH ? .? OA ? ? 2 3 ? 6 3 AF 3 4 4 6 6 ? 外接球体积为 π? OA3 ? ? π? 3 ? 3 3 4 6 . 4 6 π. 8

10分

12分

方法二

如图所示,把正四面体放在正
3分

方体中.显然,正四面体的外接球就 是正方体的外接球. ∵正四面体的棱长为1, ∴正方体的棱长为 2 , 2
2 ? 外接球直径 2 R ? 3 ? , 2 6 ?R ? , 4 4 6 6 ? 体积为 π? ( )3 ? π. 3 4 8 ? 该三棱锥外接球的体积 为 6 π. 8

6分

9分

12分


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