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2012年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及参考解答


中学生数学 ? 2 0 1 2 年 8月上 ? 第4 4 7期 ( 高中)  

2 0 1   2年 北 京 市 中 学 生数 学 竞 赛  高 一 年 级初 赛 试 题及 参 考 解 答 
2 0 1 2年 4月 1 5日  
试  题 




 

竞   蹇

 
嗡 



选择题 ( 满分 3 6 分)  
r 2+   ,   』 ’ > 0,  

+   ÷ ) , Q 一 厂 ( ÷ ) , R = / ( o ) ; 则 P , Q , R 的 大 小 关 系  
为(   ) .  
( B) R> Q> 尸   ( D) Q> P> R  ( A) R> P> Q  ( C) P> R> Q 

帮 

1 . 函数 厂 (  ) 一  5 ,  

一 - - - 0 ,则  (   2 ) +f ( 0 )  

l   2   ,  
+_ 厂 ( 1 ) +, ( 3 ) 的值 为 (  
( A )8 ( B) l l

<o .  
( D)1 5  1  

) .  
( C)1   3  1

二、 填 空题 ( 满分 6 4分 )  

1 . 求l o g 2   s i n 号+ 1 。 g z t a n 詈+ l 。 g z   c 。 s 手的 值 .  
2 . 已知 l , (   ) 是四次多项式, 且满足厂 (   ) 一÷ ,   —  
l , 2 , 3 , 4 , 5 , 求 _ 厂 ( 6 ) 的值 .   3 . 若[   ] 表 示 不 超 过 z的 最 大 整 数 , 求 满 足 方 程 

2 . 一 个 锐 角 的正 弦 和 余 弦 恰 足 二 次 三 项 式 “ z 。 +  
6  +C 的 不 同 的根 , 则 a 、 b 、 c 之 间的关系是(  
( A) b  一 Ⅱ  一 4 ac   ( C) b 。一 d。 一 2 ac   ( B) b  一 “。 + 4 ac   ( D) b 。一  + 2 a c  

) .  

[ n l g 2 ] +[ - n l g 5 ] 一2 0 1 2的 自然 数 n的值 .  
4 . 如 图 2 , 半 径 为 1的  两个 等圆相 交 , 在 两 圆 的 公 
F 

3 . 定 义 域 为 R 的 函 数 f(  ) 满 足 /(  +2 )一  

3 f ( x ) , 当z ∈E o , 2 ] 时,  (  ) 一   一2 x, 则 厂 (  ) 在. 2 7 ∈   [ 4 , 一2 ] 上 的最小值为(  
( A) 一  1   ( B)
一  

) .  

共 部 分 作 一 内 接 正 方 形  AB C D, 如果 圆心 距 ( )   o 等  于 1 , 试 求 正 方 形 ABC D 的 
面积.  
+  5 . 求  2 O  2 2 01 2 l   0 —1 ×   1  +÷ ×   0  
3。     . 十  5  

1   ( c ) ÷  ( D ) 告  
上 的函数 _ 厂 , 对 于每一 个 n  

4 . 定 义 在正 整数 集 

图 2  

∈Z  和无 理 数  一 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 … … 满 足  f k   的末位数字 , (  的小数点后第   位数字 k V = o 时) ;  

_ , ’ ‘  一i   3 .  
( A) 1   M 
( C) 6   M  

(   的 小 数 点 后 第   位 数 字   一 。 时 ) .  
) .  
( B) 5   M 
( D)9   M 

若 函数 _ 厂 (  (   ) ) 的值 域 记为 M , 则(  

+  

! 1  
7 z - 7X  201 2+ 1 X  20 12 。  

5 . 如图 1 , 在 △ABC 中 ,   A一 3 0 。 ,   C一 9 0 。 , 以 C 为 

+ 

圆心 , C B 为 半 径 作 圆 交 AB  
边于 M , 交 AC 边 于 N , (   M 

+— — — —  



的 值 

2 0 1 1 。 一2 0 1 1 ×2 0 1 2 +÷ ×2 0 1 2  

与 B N 交 于 点 P. 若 AN一 1 ,   贝 0  S △ c P N  —  s △ B P M  等 于 
(   ).  

6 .在 单 位 正 方 形
图 1  

D  

C 

寸 

ABC D中, 分 别 以 A, B,   C, D 四点 为 圆心 , 以 1   为 半径 画弧 , 如 图 3 所  示. 交点 为 M, N, L, K,   .  
B 
图 3  

c A   _ 去 I   c B  
厂 (  

c c   ÷   c 。  

6 . 定义在 ( 一 1 , 1 ) 上 的 函 数 f(  )一 f( y ) 一 

∈ ( - 1 , 0 ) 时  z ) > o , 3   P 一 厂 ( ÷ )  

求 阴影 部分 的面积 .  
7 .已 知 二 次 函 数 

黪 

网址 :Z X S S . c b p t . c n k i . n e t  

● 

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中学生数学 ? 2 0 1 2年 8月 上 ? 第4 4 7 期( 高中)  

- 厂 (  ) 满足 / ’ (   1 0 ) 一9 , _ 厂 (   6 ) 一7 , - 厂( 2 ) 一 一 

9 , 求 , ’ ( 1 O 0 ) 的值 .  
8 . 上底 B C= = = 2 , 下 底 AD一 3 的 梯 形 AB —  
寸 

所以S A c e  ̄ 一 S A B P M — s △  — s △   ’   一 言?  
答: ( A) .   6 . 解 由  (  ) 一 (  ) 一f , ’ (   ),  

C D 的 对 角 线 相 交 于 点 0, 彼 此 外 切 于 点 0 的  两 个 圆 分 别 切 直 线 AD 于 点 A 和 D , 交 BC分  

寸  参

令  一 , 得  ( O ) 一0 ,  
令  一0 , 得一_ 厂 (  ) = =, ( 一  ) , 即 ,( z) 是 奇 函数 ,   义 由 已知 , 当  ∈ ( 一1 , 0 ) 时, /(  ) > O, 设 一1 < J< 
o , 可证 得 一 1 < 
T g V 

如图 4 ) , 求 AK   +DL  的值.   赛  别 于 点 K 和 L(
# 

垂 嘞  

l  

< 0, 而  ‘  



1一

Z V 

>o , 所以 、 , ( - r )  



/(  ) 一l 厂 (  

) > o, 于 是 /(  ) <厂 (  ) . 在( 一1 , o )  

A 

D 

上f (  ) 单凋递减 , 义 l , (  ) 是 奇 函数 , 可知在 2 2 ∈( o , 1 )  
图 4  

时, l 『 (  ) <O也 单 调 递 减 , 所 以在 ( 一1 , 1 )I :   (  ) 单 调 
递减.  

参 考 答 案 




选 择 题 
1 . 解 l 『 ( 一2 ) +, ( 。 ) + f( 1 ) +  ( 3 ) 一2   +5 +3  

义 /( z) =  

) +/ (  

) ,  

得 P= j(1 @ f(1 5) =f (3 ),  


+ 5 —1 3 ÷. 答: ( c ) .  
2 . 解  为 n≠ 0 , 由韦达定 理得 s i n   c 0 s  一  和 
b  
s   № 十  o  一 一   ’  

义 因 为  3  
/  

1> O
了 O  


所 以 R> Q> P. 答: ( B ) .  

二、 填 空 题 

1 . 解 l o g   s i n 号+ l o g z t a n 詈+ 1 o g z   c 。 s 手一  
嗯  2 ?

因 为( 鲁 )   ( s i r L 口 + c 。 s a ) 。 一 s i n 2   + C O S 2  ̄ +  
2 s i n   c o s  一 1 + 2s i n dc os d一 1 4- 2   ,  

去 ?  一   。 g 。 譬 一   。  ÷ 一 一 号 .  
设 g( z ) 一x f( z)   l , 贝 0   g( i ) 一 0, i 一1 , 2 ,   4 ) ( z一 

2 . 解

3 , 4 , 5 .   为 _ 厂 (  ) 是 四次 多 项 式 , 所以g (  ) 为 五 次 多 项 
所以b   一n  + 2 a c . 答: ( D) .  

式, 则 可设 g(  ) 一Ⅱ (   ’  1 ) ( z一 2 ) (  一3 ) (  
5),  

3 . 解  由  (  +2 ) 一3 f( x) , 可 得 
_ , (  +4 ) 一3 f ( x+ 2 )。 _9 J ’ (  ) ,  


所 以 

所 以 zE[ 一4 , 一2 ] 上的图像 , 是由z E   E o , 2 2 时 的 

, (  ) 一  

!   兰 二 

二 

二里  
,  

图 像 向 左 平 移4 个 单 位 , 冉 将 纵 坐 标 缩 短 为 原 来 的 丢,  
所以 _ , ( z ) 在3 2 ∈[ 一4 , 一2 ] 上 的最 小 值 为 z∈E o ,  

日是 四 次 多 项 式 , 所 以 

“ ( 一1 ) ( 一2 ) ( 一3 ) ( 一4 ) ( 5 ) - - 1  ̄。 , 得n 一可 1
所以  ( 6 ) 一百 2一  1
. 

,  

2 ] 上 最 小 值 的 告 , 即 告 厂 ( 1 ) 一 一 告 . 答 : ( A ) .  
4 . 解  易 知  ( n ) 的值域 为 { 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 ) , ,( _ 厂   (   ) ) 的值 域 M 一 { 1 , 4 , 5 , 9 } . 答: ( C) .   5 . 解 设 C B—z , 则 C N=z, AC 一1 +3 2 . 冈 为  C  

3 . 解  因 为 n l g 2和 n l g 5是 无 理 数 , 那 么 可 以表 示 

n i g 2 =  +Y, 其中 . y c z[ n 1 g 2 ] ,  一 { n l g 2 ) ≠o .  
而 n l g 5一 l g   1 o ̄ n - r t ] g2一 ”一 z —  — n— z  1  
4 -( 1一  ).  

一9 o 。 ,   A一3 o 。 , 所以 1 +  . 二 ̄ /  , 所以  一  

.  

穆  黪 

所 以 S /  ̄ C B N 一   1 × ( 譬 ) 2 = = 华 ,  
s… 一 1 ×  cz


因为 O < < 1 ,  

年 × ( 譬 ) 2 = 3 一 丁 - [ 2  ̄ v " 3 - ,  
● 

所以O <l —  < 1 , 因此 [ n l g 5 2 一  一z 一1 ,  
由此 得 到 

N/ l k : Z X S S . c b p t . c n k i . n e t  

3 2  ●   电 子 邮 箱 : z x s s @ c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  

中学生数学 ? 2 0 1 2年 8月 上 ? 第 4 4 7 期( 高中)  
2 0 1 2 一L n l g 2 J 十k n l g 5 ]一z十 (  —z一 1 ) 一 一1。  
所 以  一 2 0 1 3 .  

所 以 ,阴 影 部 分 M NL K 的 面 积 一 2×  

4 . 解


如 图 2所 示 的 字 母 , 由相 交 弦 定 理 得 AE 。  
,  

(  一  ) 一 ( 号 一   ) 一 号 +   一  
7 . 解 设 _ 厂 ( z ) 一a x   4 - b x 4 - f , 则 由 已 知 条 件 得 关 

彩  
哆 

。  E ?EF, 设 AE=2 , 则 01 E一 

于 n、 b 、 c的 方 程 组 :  

E F = O   F  E = 2 一  一 半.  
因 此 , ( 号)   一   ? 3 丁 + x , 即 2 x 2 + 2 z 一 3 一 o ,  
解 得  . 一   I l 1 ( 负根舍 )
. 

f 9 —1 0 0 a 一1 0 b +c   7 —3 6 a 一6 b +c  
l 一9 —4 。 +2 6 +c  

①  ② 
③ 

篱   饔 
_  

由① 减 ③ 得 3 —1 6 。 一2 6   由②减③得 4 —8 a 一2 b  

④  ⑤ 

峭。  

富 

所 以 , 正 方 形 A B C D 的 面 积 一 z 2 一 ( , / f 2 - l  ̄ /   一  
( 4 一  ) .  
5 . 解 
” 2  


由 ④ 减 ⑤ 得 

1  
8’  

设 加 项 的 通 项 为


f (n) 一  

2  

以   一 一 吉 代 人 ⑤ , 解 得 6 一 一 _ 薹 _ .   再 以 n 一 一 去 , 6 一 一 号 代 人 ③ 得 c  
所 以 厂( z) — 一 1   z 2一

2× l 0 06 n+ 2× 1 0 06 。  


(  一 1 0 06)  + 1 0 06  ’  

2 k 一1 , k一 1 , 2, 3, …, 1 0 0 6 . 贝 0  

号 z 一 号 ,  
÷ 一一1 5 0 3 . 5  

+ 厂 c   2 0 1 2 一  一 芒 
[ 1 O 0 6 +( n -l O O 6 )  ̄ 2 +[ 1 O O 6 -( n -l O 0 6 ) ] 2  
(  一 1 0 06)  + 1 0 06  

, ( 1 0 0 )  
8 . 解

8  ~   2  

过 点 O 作 两 圆 的 公 切 线 交 AD 于 P , 则P O  

AP= DP, 这 意 味 着 AAO D 是 直 角 三 角形 ,  

这 1 0 0 6 项按照 _ 厂 (   ) 与 _ 厂 ( 2 0 1 2 一  ) 配对 , 5 0 3对 ,   每对的和为 2 ,  

所以 , 所 求 的值 为 2 ×5 0 3 —1 0 0 6 .  
6 . 解 根据 对称 性 , 如图 5 所表示 的, 阴影 部 分 的面 
A  P  D 

积为 “ , 其余 部分是 4 个 z和 4个 Y , 于是 , 等 腰 曲边 形 

A B L 的 面 积 一   + 2   + z 一 2 X  ̄X 1   一  一 号 4 —   3 .  
D 

图6  

显 然 △ A 0 D ∽ △ c o B , 其 相 似 比  一 _ 詈 _ .  
因 为  ACK一  CAP=  AOP=  AKO,  
K A O 一  K A 0 ,  

所 以, △ ACK∽ △ AKO ,  

所 以,  

一 

, 因 此 

5  

A K   = A O ? A C = A O  ̄  

一 号? A ( ) 2 .  

寸 

同 理 , 等 腰 曲 边 形 A D N 的 面 积 一 号一  .  
因 此 ,曲 边 形 ANL 的 面 积 一 “ + y 一 2   X  

同 理可得, D L   一 号? O D   . 所以  
A K   4 - D L 。 一   ? A O 。 +÷ ? O D  
0 

一   ?

( 号 一  ) ~ 手 ×   一  一 V  ̄   - 一   7 r — 5   7 r 一   .  
而 枣 核 形A C 的 面 积一 2 y + u 一 2 × {× 1 。 一 1 。 一  
要 一1 ,  


A D 

J  

5  X  3  


一 1 5 .  

( 北 京 教 学 会 普 及 委 员会 提 供 )  

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