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江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题及答案


江苏省扬州市 2015 届高三上学期期末考试数学试题
2015 年 2 月

第I卷
一、填空题 (70 分) 1、集合 A={-1,0,2},B={x||x|<1},则 A 2、已知 i 是虚数单位,则 B=______

1- i 的实部为_____ (1 ? i ) 2 2 3、命题 P: “ ?? ,命题 P 的

否定:_____ x Rx, ? x2 ?? 3 0 ”
4、在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两人各抽取一张(不放回) ,两人 都中奖的概率为__ 5、如图是一个算法流程图,输出的结果为_____

6、已知样本 6,7,8,9,m 的平均数是 8,则标准差是____

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 7、实数 x,y 满足 ? x ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为___ ?y ?1 ?
8、已知 ? ? (0, ? ), cos ? ? ? 9、已知双曲线 C:

4 ? ,则 tan(? ? ) =____ 5 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 l: x ? 3 y =0 垂直,且 a 2 b2
? 2 x ? a, x ? 2 ? ,若 f(x)的值域为 R,是实数 a 的取值范围是____ 2 ? ?x ? a , x ? 2

C 的一个焦点到 l 的距离为 2,则 C 的标准方程为____ 10、设函数 f ( x) ? ?

11、已知 A( xA , yA )是单位圆(圆心为坐标极点 O,半径为 1)上任一点,将射线 OA 绕 点 O 逆时针旋转

? 到 OB 交单位圆于点 B( xB , yB ) ,已知 m>0,若 myA ? 2 yB 的最大值 3

为 3,则 m=____ 12、设实数 x,y 满足 x2+2xy-1=0,则 x2+y2 的最小值是____

13 、 设 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 an ? 4 ? ( ? ) ,则实数 p 的取值范围是_____ 1 ? p (Sn ? 4n ) ? 3

1 2

n ?1

,若对任意 n? N * ,都有

14、已知 A(0,1) ,曲线 C:y=logax 恒过点 B,若 P 是曲线 C 上的动点,且 AB AP学科网 的最小值为 2,则 a=_____ 二、解答题(90 分) 15、 (14 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 x ? [ , ] 时,求函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x) 的值域。

?

2

) 部分图象如图所示。

1 5 2 2

16、 (14 分)在三棱锥 P-ABC 中,D 为 AB 的中点。 (1) 与 BC 平行的平面 PDE 交 AC 于点 E, 判断点 E 在 AC 上的位置并说明理由如下: (2)若 PA=PB,且△PCD 为锐角三角形,又平面 PCD⊥平面 ABC,求证:AB⊥PC。

x2 y 2 17、 (15 分)如图,A,B,C 是椭圆 M: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 是椭 a b
圆的右顶点,BC 过椭圆 M 的中心,且满足 AC⊥BC,BC=2AC。 (1)求椭圆的离心率; (2)若 y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为 9,求椭圆方程。

18、 (15 分)如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30?方向的两条街道,某公园 P

tan ? ? 3 3 ) 位于商业中心北偏东 ? 角( 0<? < , ,且与商业中心 O 的距离为 21 公里 2
处,现要经过公园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A,B 两处。 (1)当 AB 沿正北方向时,试求商业中心到 A,B 两处的距离和; (2)若要使商业中心 O 到 A,B 两处的距离和最短,请确定 A,B 的最佳位置。

?

19、 (16 分)已知数列{ an }中, a1 ? 1, a2 ? a ,且 an?1 ? k (an ? an?2 ) 对任意正整数都成立, 数列{ an }的前 n 项和为 Sn。

1 ,且 S2015 ? 2015a ,求 a; 2 (2) 是否存在实数 k, 使数列{ an }是公比不为 1 的等比数列, 且任意相邻三项 am , am?1 , am? 2
(1)若 k ? 按某顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有 k 值,若不存在,请说明理由; (3)若 k ? ?

1 , 求Sn 。 2
x 2

20、 (16 分)已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? ax ? bx ? c 。 (1)若 f(x)的图象与 g(x)的图象所在两条曲线的一个公共点在 y 轴上,且在该点处两 条曲线的切线互相垂直,求 b 和 c 的值。 (2)若 a=c=1,b=0,试比较 f(x)与 g(x)的大小,并说明理由; (3)若 b=c=0,证明:对任意给定的正数 a,总存在正数 m,使得当 x ? (m, ??) 时, 恒有 f(x)>g(x)成立。

数 学 试 题(附加题)
(考试时间:30 分钟 总分:40 分)
21.A. (本小题满分 10 分,矩阵与变换)在平面直角坐标系 xoy 中,设曲线 C1 在矩阵 A=

     0? ?1 x2 ? ? ? y 2 ? 1,求曲线 C1 的方程。 对应的变换作用下得到曲线 C : 2 1? ? 0    4 ? 2?

B. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲) 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

)??

2 , 以极点为原点, 极轴为 x 轴的非负 2
,求曲线 C1 与曲线 C2 交点的

半轴建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 ? 直角坐标。

? x ? cos ?
2 ? y ? sin ?

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 22.((本小题满分 10 分)射击测试有两种方案,方案 1:先在甲靶射击一次,以后都在乙靶 射击;方案 2:始终在乙靶射击,某射手命中甲靶的概率为 的概率为

2 ,命中一次得 3 分;命中乙靶 3

3 ,命中一次得 2 分,若没有命中则得 0 分,用随机变量 ? 表示该射手一次测试 4

累计得分,如果 ? 的值不低于 3 分就认为通过测试,立即停止射击;否则继续射击,但一次 测试最多打靶 3 次,每次射击的结果相互独立。 (1)如果该射手选择方案 1,求其测试结束后所得部分 ? 的分布列和数学期望 E ? ; (2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由。

23.((本小题满分 10 分) 对于给定的大于 1 的正整数 n,设 x ? a0 ? a1n ? a2n ?
2

? ann n ,其中

ai ? { 0,1, 2,
(1)求 A2 (2)设 An ?

, n ? 1}, i ? 1, 2,
n n (n ? 1) 2

, n ? 1, n ,且 an ? 0 ,记满足条件的所有 x 的和为 A n 。

f ( n) ; ,求 f(n)

扬州市 2014—2015 学年度第一学期期末调研测试试题

高 三 数 学 参 考 答 案

第一部分
1.

?0?
2

1 2. ? 2
7. -2

2 3. ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0

4.

1 3
9.

5. 15

6.

8.

1 7

x2 y 2 ? ?1 4 12

10.

?1? ?2, ? ?? ? ??,
11. 14.

6 ?1
解 : 点

12.

5 ?1 2


13. [2,3]

14. e

A(0,1)

B(1, 0)





P( x,loga x)





AB ? AP ? ?1, ?1? ? ? x, log a x ? 1? ? x ? log a x ? 1 .
依题 f ( x ) ? x ? loga x ? 1 在 (0, ??) 上有最小值 2 且 f (1) ? 2 ,故 x ? 1 是 f ( x ) 的极值点, 即最小值点.

1 x ln a ? 1 ? ,若 0 ? a ? 1 , f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调增,在 (0, ??) 无最小 x ln a x ln a 值;故 a ? 1 , f '( x) ? 1 ?
设 f '( x) ? 0 ,则 x ? loga e ,当 x ? (0, log 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? (loga e, ??) 时, ae )

f '( x) ? 0 ,
从而当且仅当 x ? log a e 时, f ( x ) 取最小值,所以 log a e ? 1, a ? e . 15⑴由图,A ? 2, 3分 由 f ( ) ? 2sin( 又0 ?? ? ⑵

T 2 1 ? ? ? (? ) ? 1 , ?? , ) ? 2 s n i( 得T ? 4 , 则 f (x 2 4 3 3

?
2

) x?

?
6



??

2 3

? 2

?
2

? ? ? ) ? 2 ,得 sin( ? ? ) ? 1 ,所以 ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 2 3 3 2

?

?

?

,得 ? ?

?

6

,所以 f ( x ) ? 2sin(

?

2

x?

?

6

);

??7 分

y ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2sin(


?

x ? ) ? 2 cos( x ? ) ? 2 2 sin( x ? ) , 2 6 2 6 2 12

?

?

?

?

?

??10

因 为 x ?[ , ] , 故

1 5 2 2

?
6

?

?

? 7 x ? ? 2 1 2

?

, 则 ?

6

1 ? ? ?s i n x (? ? ), 1 即 2 2 1 2

? 2? f x ( ? )

2, 2
??14 分

所以函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x) 的值域为 [? 2, 2 2] .

P

A

E

C

16⑴解: E 为 AC 中点.理由如下: 平面 PDE 交 AC 于 E ,即平面 PDE

平面 ABC ? DE , ??4 分 ??7 分

而 BC // 平面 PDE , BC ? 平面 ABC ,所以 BC // DE , 在 ?ABC 中,因为 D 为 AB 的中点,所以 E 为 AC 中点; ⑵证:因为 PA ? PB , D 为 AB 的中点,所以 AB ? PD , 因为平面 PCD ? 平面 ABC ,平面 PCD 平面 ABC ? CD ,

在锐角 ?PCD 所在平面内作 PO ? CD 于 O ,则 PO ? 平面 ABC ,?10 分 因为 AB ? 平面 ABC ,所以 PO ? AB 又 PO

P

PD ? P , PO, PD ? 平面 PCD ,则 AB ? 平面 PCD ,
A ??14 分 D

又 PC ? 平面 PCD ,所以 AB ? PC . 17. 解⑴因为 BC 过椭圆 M 的中心,所以 BC ? 2OC ? 2OB ,

C O
B

又 AC ? BC, BC ? 2 AC , 所 以 ?O A C是 以 角 C 为 直 角 的 等 腰 直 角 三 角 形, ??3 分

a 2 a 2 ( ) ( ? ) a a a a 10 则 A(a, 0), C ( , ? ), B(? , ), AB ? a ,所以 22 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? 3b2 , 2 2 2 2 2 2 a b
所以 c ? 2b , e ?
2 2

6 ; 3
a a 4 4

??7 分

⑵ ?ABC 的外接圆圆心为 AB 中点 P ( , ) ,半径为 则

10 a, 4


?ABC 的 外 接 圆 为 a a 5 2 (x ? 2 ? y ? ) ? a 2 ( ) ??10 分 4 4 8 5a a 5a a ? (? ) ? 9 ,得 a ? 6 , 令x ? 0, y ? 或 y ? ? ,所以 4 4 4 4
(也可以由垂径定理得 (

10 2 a 2 9 a) ? ( ) ? 得 a ? 6 ) 4 4 2
??15 分

所以所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 36 12

y

18⑴以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立坐标系.设 P(m, n) ,

7 3 21 ∵ 0 ? ? ? , tan ? ? 3 3 ∴ cos ? ? , sin ? ? , 2 14 14
9 3 则 m ? OP ? sin ? ? , n ? OP ? cos ? ? , 2 2
??4 分
O

?

B

P A x

依题意,AB⊥OA,则 OA= 9 ,OB=2OA=9,商业中心到 A、B 两处的距离和为 13.5km.
2

⑵ 方法 1:当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB: y ? 3 ? k ( x ? 9 ) ,① 2 2 令 y ? 0 ,得 x A ? ? 3 ? 9 ;由题意,直线 OB 的方程为 y ? 3x ,② 2k 2 解①②联立的方程组,得 xB ?

9k ? 3 9k ? 3 ,∴ 2 2 , OB ? xB ? yB ? 2 xB ? k? 3 2(k ? 3)

∴ y ? OA ? OB ? ?

3 9 9k ? 3 , 由 xA ? 0 , xB ? 0 , 得 k ? 3 , 或 ? ? 2k 2 k ? 3

k ? 0.
y' ? ?8 3

??11 分

(k ? 3)

2

?

3 ? 3(3k ? 3)(5k ? 3) 3 ,令 y ' ? 0 ,得 k ? ? , ? 2 2 2 2k 3 2k (k ? 3)

3 当 k ? ? 3 时, y ' ? 0 , y 是减函数;当 ? ? k ? 0 时, y ' ? 0 , y 是增函数, 3 3
∴当 k ? ? 3 时, y 有极小值为 9km;当 k ?
3

3 时, y ' ? 0 , y 是减函数,结合⑴知

y ? 13.5 km.
综上所述,商业中心到 A、B 两处的距离和最短为 9km,此时 OA=6km,OB=3km, 方法 2: 如图, 过 P 作 PM//OA 交 OB 于 M, PN//OB 交 OA 于 N, 设∠BAO= ? , △OPN 中

PN ON OP ,得 PN=1,ON=4=PM, ? ? sin(90 ? ? ) sin(? ? 30 ) sin120?
北 M O

B

PN NA sin(120? ? ? ) △PNA 中∠NPA=120°- ? ∴ 得 NA ? ? sin ? sin ? sin(120? ? ? )
同理在△PMB 中,

P N A

BM PM 4sin ? ,得 MB ? , ? ? sin ? sin(120 ? ? ) sin(120 ? ? ?)

y ? OA ? OB ?
分 当且仅当 等号.

s i n ( 1 ?2? 0? ) 4 ?s i n ? ? 1 ? 4? 2 4 ? ? 5 , 9 ? sin ? s i n ( 1 2? 0? )

??13

3 sin(120? ? ? ) 4sin ? ? 即 sin(120 ? ? ) ? 2sin ? 即 tan ? ? 时取 ? ? 3 sin ? sin(120 ? ? )

9 4 ? 4, 0) , 2 ,得 A( 方法 3:若设点 B(m, 3m) ,则 AB: ? 2m ? 1 3 m? 9 3m ? 2 2 y? x?

3 2

∴ OA ? OB ? 2m ? 13 分 当且仅当 2m ? 1 ?

4 4 ? 4 ? 2m ? 1 ? 1 ? ?4?9, 2m ? 1 2m ? 1

??

4 3 即 m ? 时取等号. 2m ? 1 2

2 1 ? , 方法 4:设 A(n, 0) ,AB: y ? 0 ? x ? n ,得 xB ? n?4 2 9 3 ?n ?0 2 2

OA ? OB ? n ? 2 xB ? n ? 4 ? 4 ?
??13 分 当且仅当 n ? 4 ? 答 : A 置. 19 ⑴ k ? 列,

4 4 ? 1 ? (n ? 4) ? ?5? 9 n?4 n?4



4 即 n ? 6 时取等号. n?4
6km , B ??15 分 离 商 业 中 心 3km 为 最 佳 位

选 地 址 离 商 业 中 心

1 1 时 , an ?1 ? (an ? an ? 2 ) , an?2 ? an?1 ? an?1 ? an , 所 以 数 列 {an } 是 等 差 数 2 2
??1 分

此 时 首 项 a1 ? 1 , 公 差 d ? a2 ? a1 ? a ? 1 , 数 列 {an } 的 前 n 项 和 是

1 Sn ? n ? n(n ? 1)(a ? 1) , ??3 分 2
故 2015a ? 2015 ? 4分 (没有过程,直接写 a ? 1 不给分) ⑵ 设数 列 {an } 是 等比 数列 ,则 它的 公比 q ?

1 1 ? 2015 ? 2014(a ? 1) , 0 1 4 ( 即 a ? 1 ? ?2 2 2

1 a )?

, 得 a ? 1; ??

a2 ? a , 所 以 am ? am?1 , am?1 ? am , a1

am?2 ? a m?1 , ??6 分
①若 am?1 为等差中项,则 2am?1 ? am ? am?2 ,即 2a ? a
m m?1

? a m?1 ,解得: a ? 1 ,不

合题意;

② 若 am 为 等 差 中 项 , 则 2am ? am?1 ? am?2 , 即 2a

m?1

? a m ? a m?1 , 化 简 得 :

a2 ? a ? 2 ? 0 ,

am?1 am a 2 解得 a ? ?2 (舍 1) ;k ? ? m?1 m1? ? 2 ? ? ; am ? am?2 a ? a 1? a 5
③ 若 am?2 为 等 差 中 项 , 则 2am?2 ? am?1 ? am , 即 2a
m?1

? a m ? a m?1 , 化 简 得 :

2a 2 ? a ? 1? 0 ,
解得 a ? ?

1 am?1 am a 2 ;k ? ? m?1 m?1 ? ?? ; 2 2 am ? am?2 a ? a 1? a 5

??9 分

综上可得,满足要求的实数 k 有且仅有一个, k ? ? ⑶k ? ?

2 ; 5

??10 分

1 1 则 an ?1 ? ? (an ? an ? 2 ) , 2 2
??

an?2 ? an?1 ? ?(an?1 ? an ) , an?3 ? an?2 ? ?(an?2 ? an?1 ) ? an?1 ? an ,
12 分 当 n 是偶数时,

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?
?

? an?1 ? an ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?

? (an?1 ? an )

n n (a1 ? a2 ) ? (a ? 1) , 2 2

当 n 是奇数时,

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?
? a1 ?
式,

? an?1 ? an ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ?

? (an?1 ? an )

n ?1 n ?1 n ?1 ( a2 ? a3 ) ? a1 ? [?(a1 ? a2 )] ? 1 ? ( a ? 1) , n ? 1 也 适 合 上 2 2 2
??15 分

? 1 ? 2 (a ? 1), n是奇数 综上可得, Sn ? ? . n是偶数 ? n (a ? 1),
2
20. ⑴ 解 :

n ?1

??16 分

f (0) ? 1 , f '( x) ? e x , f '(0) ? 1 ,
??2 分

g (0) ? c , g '( x) ? 2ax ? b ,

g '(0) ? b ,
依题意: ?

? f (0) ? g (0) ? c ? 1, ,所以 ? ; ? f '(0) g '(0) ? ?1 ? b ? ?1

??4 分

⑵解: a ? c ? 1 , b ? 0 时, g ( x) ? x2 ? 1 , ① x ? 0 时, f (0) ? 1 , g (0) ? 1 ,即 f ( x) ? g ( x) ② x ? 0 时, f ( x) ? 1 , g ( x) ? 1 ,即 f ( x) ? g ( x)

??5 分

③ x ? 0 时,令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ? x ?1 ,则 h '( x) ? e ? 2x .
x 2 x

设 k ( x) ? h '( x)=e ? 2x ,则 k '( x)=e ? 2 ,
x x

当 x ? ln 2 时, k '( x) ? 0, k ( x) 单调递减;当 x ? ln 2 时, k '( x) ? 0, k ( x) 单调递增. 所以当 x ? ln 2 时, k ( x) 取得极小值, 且极小值为

k (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? ln 4 ? 0
即 k ( x) ? h '( x)=e ? 2 x ? 0 恒成立,故 h( x) 在 R 上单调递增,又 h(0) ? 0 ,
x

因此,当 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? g( x) . 综 上 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 0 时 ,

??9 分

f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? g( x) .


??10 分

证法一:①若 0 ? a ? 1 ,由⑵知,当 x ? 0 时, e ? x ? 1 .即 e ? x ? ax ,
x 2 x 2 2

? ?? ,恒有 e ? ax . 所以, 0 ? a ? 1 时,取 m ? 0 ,即有当 x ? ? m,
x 2

②若 a ? 1 , f ( x) ? g( x) 即 e ? ax ,等价于 x ? ln(ax ) 即 x ? 2 ln x ? ln a
x 2

2

令 t ( x) ? x ? 2ln x ? ln a ,则 t '( x ) ? 1 ?

2 x?2 ? .当 x ? 2 时, t '( x) ? 0, t ( x) 在 x x

(2, ??) 内单调递增.
取 x0 ? ae ,则 x0 ? e ? 2 ,所以 t ( x) 在 ( x0 , ??) 内单调递增.
2 2



t ( x0 ) ? e2a ? 2ln e2a ? ln a ? e2a ? 4 ? 3ln a ? 7a ? 4 ? 3ln a
? 4(a ? 1) ? 3(a ? ln a) ? 0
? ?? 时,恒有 即存在 m ? ae ,当 x ? ? m,
2

f ( x) ? g ( x) .

??15 分

? ?? ,恒有 综上,对任意给定的正数 a ,总存在正数 m ,使得当 x ? ? m,

f ( x) ? g ( x) .
证法二:设 h( x) ?

??16 分

e x ( x ? 2) ex h '( x ) ? ,则 , x3 x2

当 x ? (0, 2) 时,h '( x) ? 0 ,h( x) 单调减,当 x ? (2, ??) 时,h '( x) ? 0 ,h( x) 单调增, 故 h( x) 在 (0, ?? ) 上有最小值, h(2) ?

e2 , 4

??12 分

①若 a ?

e2 ,则 h( x) ? 2 在 (0, ?? ) 上恒成立, 4 e2 时,存在 m ? 0 ,使当 x ? (m, ??) 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ; 4

即当 a ?

②若 a ?

e2 ,存在 m ? 2 ,使当 x ? (m, ??) 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ; 4 e2 ,同证明一的②, 4
??15 分

③若 a ?

综 上 可 得 , 对 任 意 给 定 的 正 数 a , 总 存 在 m , 当 x ? (m, ??) 时 , 恒 有

f ( x)? g ( x .)

??16 分

第二部分(加试部分)
21. A.设 P ( x, y ) 是曲线 C1 上任意一点,点 P ( x, y ) 在矩阵 A 对应的变换下变为点 P?( x?, y?)

?1??0 ? ? x? ? x ? x? ? ? ?x? ? ? 则有 ? ? ? ,即 ? 1 1 ? ? y? ? y ? y?? ?0?? ? ? y ? ? ? 2? ? 2

??5 分

x2 ? y 2 ? 1 上, 又因为点 P?( x?, y?) 曲线 C2 : 4


( x?) 2 ( x) 2 y ? ( y?) 2 ? 1 ,从而 ? ( )2 ? 1 4 4 2
2 2

所以曲线 C1 的方程是 x ? y ? 4 . B.由 ? cos(? ?

??10 分

?
4

)??

2 ,得曲线 C1 的直角坐标系的方程为 2
??3 分

x ? y ?1 ? 0 ,
由?

? x ? cos ?
2 ? y ? sin ?

,得曲线 C2 的普通方程为 ??7 分
2

x2 ? y ? 1(?1 ? x ? 1) ,
由?

?x ? y ?1 ? 0 ?x ? y ? 1
2

,得 x ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 (舍去)或 x ? ?1 ,

所以曲线 C1 与曲线 C2 交点的直角坐标为 (?1, 0) . 分

??10

22.在甲靶射击命中记作 A ,不中记作 A ;在乙靶射击命中记作 B ,不中记作 B , 其中 P ( A) ?

2 2 1 3 3 1 , P( A) ? 1 ? ? , P( B) ? , P( B) ? 1 ? ? 3 3 3 4 4 4

??2 分

⑴ ? 的所有可能取值为 0, 2,3, 4 ,则

1 1 1 1 P(? ? 0) ? P( ABB) ? P( A) P( B) P( B) ? ? ? ? , 3 4 4 48

P(? ? 2) ? P( ABB ) ? P( ABB ) ? P ( A) P ( B ) P ( B ) ? P ( A) P ( B ) P ( B )

1 3 1 1 1 3 6 ? ? ? ? ? ? ? 3 4 4 3 4 4 48 ,
P(? ? 3) ? P( A) ? 2 3,

1 3 3 9 . P(? ? 4) ? P( ABB) ? P( A) P( B) P( B) ? ? ? ? 3 4 4 48

? 的分布列为:

?
P

0

2

3

4

1 48 1 6 2 9 E? ? 0 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ?3 48 48 3 48
??7 分

6 48

2 3


9 48

⑵射手选择方案 1 通过测试的概率为 P 1 ,选择方案 2 通过测试的概率为 P 2 ,

2 9 31 P ? ? ; 1 ? P (? ? 3) ? 3 48 48 1 3 3 3 1 3 3 3 27 P2 ? P(? ? 3) ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 4 4 4 4 32
?9 分 因为 P2 ? P 1 ,所以应选择方案 2 通过测试的概率更大. ??10 分 ,

23⑴当 n ? 2 时, x ? a0 ? 2a1 ? 4a2 , a0 ?{0,1} , a1 ?{0,1}, a2 ? 1, 故满足条件的 x 共有 4 个,
分别为: x ? 0 ? 0 ? 4 , x ? 0 ? 2 ? 4 , x ? 1 ? 0 ? 4 , x ? 1 ? 2 ? 4 , 它们的和是 22 . ⑵由题意得, a0 , a1 , a2 , ??4 分

, an?1 各有 n 种取法; an 有 n ? 1 种取法, , an?1 的不同取法共有 n ? n ?

由分步计数原理可得 a0 , a1 , a2 , 即满足条件的 x 共有 n 当 a0 分别取 0,1, 2,
n

n ? (n ? 1) ? nn (n ? 1) ,
??6 分

(n ? 1) 个,

, n ? 1时, a1, a2 ,

, an?1 各有 n 种取法, an 有 n ? 1 种取法,

故 An 中所有含 a0 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ?

? n ? 1)n n ?1 (n ? 1) ?

n n (n ? 1)2 ; 2 nn (n ? 1)2 ?n; 2

同理, An 中所有含 a1 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ?

? n ? 1)nn ?1 (n ? 1) ? n ?

An 中所有含 a2 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ? An 中所有含 an ?1 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ?
当 an 分别取 i ? 1, 2,

? n ? 1)n n ?1 (n ? 1) ? n 2 ?

n n (n ? 1)2 2 ? n ;?? 2

? n ? 1)n (n ? 1) ? n

n ?1

n ?1

nn (n ? 1)2 n?1 ? ?n ; 2

, n ?1 时, a0 , a1 , a2 ,

, an?1 各有 n 种取法,
n n ?1 (n ? 1) n ?n ; 2

故 An 中所有含 an 项的和为 (1 ? 2 ?

? n ? 1)n n ? n n ?

所以 An

?

nn (n ? 1) 2 (1 ? n ? n 2 ? 2

? nn ?1 ) ?

n n?1 (n ? 1) n ?n ; 2

?

nn (n ? 1)2 nn ? 1 nn ?1 (n ? 1) n n n (n ? 1) n ?1 n ? ? ?n ? (n ? n ? 1) 2 n ?1 2 2
n?1

故 f (n) ? n

? nn ? 1 .

??10 分


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