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吉林省实验中学2015届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


一.选择 题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 2i (1)复数 的共轭复数为 1+i (A) 1+i (B) 1 ? i (C) ?1+i (D) ?1 ? i

(2)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为 (A)对任意 x∈R,都有 x2<0 (C)存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 (

B)不存在 x∈R,使得 x2<0

(D)存在 x0∈R,使得 x2 0<0 1 (3)已 知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? ,则 f (?1) ? x (A) ?2 (B)0 (C)1 (D)2

(4)设等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? 8 , S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? (A)

57 8

(B)

55 8

(C)

1 8

(D) ?

1 8

? 2) , b ? (1 , cos ? ) ,且 a ? b ,则 sin 2? ? cos2 ? 的值为 (5)已知向量 a ? (sin ?,

(A)1

(B)2

(C)

1 2

(D)3 y 1
3

1 , 0≤y≤ 1? ,向区域内随机投 (6)如图,设区域 D ? ?( x,y) | 0≤x≤

y= x

一点,且投入到区域内任一点都是等可能的,则点落到阴影区域

M ? ?( x,y) | 0≤x≤ 1 , 0≤y≤x3? 内的概率是
1 2 2 1 O (B) (C) (D) 4 5 7 3 (7)设 ?,?,? 为平面, m ,n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 (A) ? ? ?,? ? =n,m ? n (B) ? ? =m,? ? ?,? ? ? (C) ? ? ?,? ? ?,m ? ? (D) n ? ?,n ? ?,m ? ?
(A) 1 x

(8)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PQ 中点的 横坐标为 3,|PQ|=10,则抛物线方程是 (A)y2=4x (B) y2=2x (C) y2=8x (D)y2=6x
a b (9)已知两个实数 a,b(a ? b) ,满足 ae ? be .

命题 p : ln a ? a ? ln b ? b ;命题 q : (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,则下列命题正确的是
第 -1- 页 共 8 页

(A)p 真 q 假

(B)p 假 q 真

(C)p 真 q 真

(D)p 假 q 假

(10)已知 E, F 分别是矩形 ABCD 的边 BC 与 AD 的中点,且 BC ? 2 AB ? 2 ,现沿 EF 将平 面 ABEF 折起,使平面 ABEF ⊥平面 EFDC ,则三棱锥 A ? FEC 外接球的体积为 (A)

3 ? 3

(B)

3 ? 2

(C) 3?

(D) 2 3?

(11)若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( , ) 是减函数,则 a 的取值范围是 6 2 (A) ? 2, 4 ? (B) ? ??, 2? (C) ? ??, 4? (D) ? 4, ?? ? (12)设双曲线

? ?

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0,b ? 0? 的右焦点为 F,过点 F 作 x 轴的垂线 l 交两条渐近线 a 2 b2 于 A、B 两点,l 与双曲线的一个交点为 P,设 O 为坐标原点,若 OP ? mOA ? nOB 2 ? m,n ? R ? ,且 mn ? ,则该双曲线的离心率为 9 8 3 2 3 5 3 2 (A) (B) (C) (D) 9 2 5 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个,则这 两个球的编号之积为偶数的概率是_______(结果用最简分数表示) . (14)在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为 的取值范围是 .
S1 S S , 2 ,?, n a1 an a2

(结果用数字表示) .

(15)已知函数 f (x)=|x-3|+1,g (x)=ax.若方程 f (x)=g (x)有两个不相等的实根,则实数 a

( 16)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S17 ? 0 , S18 ? 0 ,则 ( n ? N , n ? 18)中最大的项是
?



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? a ? b ,其中 a ? (2cos x, ? 3sin 2x) , b ? (cos x,1) , x ? R . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递减区间;
a? 7, (Ⅱ) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,f ( A) ? ?1 , 且向量 m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C ) 共线,求边长 b 和 c 的值.

(18) (本小题满分 12 分)
第 -2- 页 共 8 页

如 图 , 四 棱 锥 P — A B C D 中 , 底 面 A B C D 是 矩 形 , PA ⊥ 底 面 A B C D , PA = A B = 1 , AD= 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (Ⅰ)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF; (Ⅱ)当 BE 为何值时,PA 与平面 PDE 所成角的大小是 45°? P

F

A E D C (19) (本小题满分 12 分) 现有 6 名学生,按下列要求回答问题(列出算式,并计算出结果) : (Ⅰ)6 人站成一排,甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数; (Ⅱ)6 人站成一排,甲、乙相邻,且丙与乙不相邻的不同站法种数; (Ⅲ)把这 6 名学生全部分到 4 个不同的班级,每个班级至少 1 人的不同分 配方法种数; (Ⅳ)6 人站成一排,求在甲、乙相邻条件下,丙、丁不相邻的概率 . ..

B

(20) (本小题满分 12 分) 如图所示,抛物线 C 1 : x 2 = 4 y 在点 A , B 处的切线垂直相交于点 P ,直线 AB 与椭 圆 x2 y 2 C2: ? ? 1 相交于 C,D 两点. 4 2 (Ⅰ)求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的左焦点 F1 的距离; (Ⅱ)设点 P 到直线 AB 的距离为 d,是否存在直线 AB,使得|AB|,d,|CD|成等比数列?若存 在,求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由. y D A C
O

B x

P

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? ax2 (a≥0) , l 是曲线 y ? g ( x) 的一条切线,证明: 曲线 y ? g ( x) 上的任意一点都不可能在直线 l 的上方; 2 4 8 2n ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) [1 ? n ?1 ] ? e (其中 e 为自然 (Ⅲ)求证: (1 ? 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1) 对数的底数,n∈N*) .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写
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清题号。 (22) (本小题满分 10 分 )选修 4-1:几何证明选讲 已知△ABC 中, AB ? AC ,D 为△ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A、C 重合) ,延长 BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F. A (Ⅰ)求证: ?CDF ? ?EDF ; (Ⅱ)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB . E D

B (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

C

F

? x ? t cos ? 在 平 面 直 角 坐标 系 x Oy 中 , 直 线 l 的 参 数方 程 为 ? (t为参数,0≤α<π) . ? y ? 1 ? t sin ?

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程为: ρcos2θ= 4sinθ. (Ⅰ)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线l与曲线C交于不同的两点A、B,若|AB|=8,求α的值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ,a ? R . (Ⅰ)当 a ? 4 时,求不等式 f ( x )≥5 的解集; (Ⅱ)若 f ( x)≥4 对任意 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围.

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?? ?? ? ? 7? ? ? (Ⅱ)∵ f ? A ? ? 1 ? 2 cos ? 2 A ? ? ? ?1 ,∴ cos ? 2 A ? ? ? ?1 ,又 ? 2 A ? ? , 3? 3? 3 3 3 ? ?
? ? ,即 A ? , 3 3 2 ∵ a ? 7 ,由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? ?b ? c ? ? 3bc ? 7 .

∴ 2A ?

?

?

因为向量 m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C ) 共线,所以 2sin B ? 3sin C , 由正弦定理得 2b ? 3c ,∴ b ? 3, c ? 2 . (18)解:
1 1 (Ⅰ)建立如图所示空间直角坐标系,则 P(0,0,1), B(0,1,0), F (0, , ), D( 3,0,0) . 2 2
1 1 设 BE ? x ,则 E ( x,1,0) ,所以 PE ? AF ? ( x,1, ?1) ? (0, , ) ? 0 ,即无论点 E 在边 BC 的何 2 2 处,都有 AF ? PE .

?m ? PD ? 0 1 x ? ,1) (Ⅱ)设 BE ? x ,平面 PDE 的法向量为 m ? ( p, q,1) ,由 ? 得 m ? ( ,1 ? 3 3 ? ?m ? PE ? 0

而 AP ? (0,0,1) ,依题意得 PA 与平面 PDE 所成的角为 45°,所以 sin 45? ? 即
1 1 x 2 ? (1 ? ) 3 3 ? 1 2

2 m ? AP ? , 2 m AP

,解得 BE ? x ? 3 ? 2 或 BE ? x ? 3 ? 2 (舍) z P

(19)解: 1 (Ⅰ) A6 6 ? 360 2
第 -5- 页 共 8 页

F

A D C E

B y

2 1 (Ⅱ) A4 4 ? A2 ? C4 ? 192

(Ⅲ)

2 2 1 1 1 1 C6 ? C4 ? C1 C3 4 2 ? C1 6 ? C3 ? C 2 ? C1 ? A ? ? A4 4 4 ? 1560 2 3 A2 ? A A 2 2 3 3 2 A2 3 4 ? A3 ? A 2 ? 2 5 A 2 ? A5 5

(Ⅳ) P ?

于是点 P(2k,-1)到直线 AB:kx-y+1=0 的距离 d= 2k2+2 =2 1+k2. 1+k2

y=kx+1, ? ?2 2 由?x y 得(1+2k2)x2+4kx-2=0, + = 1 , ? ?4 2 ?4k?2-4?1+2k2?· ?-2? (4 k ) = 1+k2 2 2 1+2k 1 ? 2k 同理,|AB|=4(1+k2) . 若|AB|,d,|CD|成等比数列,则 d2=|AB|· |CD|, 8?1+4k2? 即(2 1+k2)2=4(1+k2)· 1+k2 , 1+2k2 化简整理,得 28k4+36k2+7=0,此方程无实根, 所以不存在直线 AB,使得|AB|,d,|CD|成等比数列. 从而|CD|= 1+k2 (21)解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 ( ?1, ?? ) , f ?( x) ?
1 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 . ?1 ? ? x ?1 x ?1

8?1+4k2? , 1+2k2

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当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (?1,0) 上是增函数, 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, 故 f ( x) 在 x ? 0 处取得最大值 f ( x) ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 g ( x) ? ln( x ? 1) ? ax2 ? x(a≥0) , 设 M ( x0 , g ( x0 )) 是曲线 g ( x) 上的一点, 则 y ? g ( x) 在点 M 处的切线方程为 y ? g ( x0 ) ? g ?( x0 )( x ? x0 ) , 1 ? 2ax0 ? 1)( x ? x0 ) ? f ( x0 ) , 即y?( x0 ? 1 令 h( x) ? g ( x) ? [( 则 h?( x) ?
1 ? 2ax0 ? 1)( x ? x0 ) ? f ( x0 )] x0 ? 1

1 1 ? 2ax ? 1 ? ( ? 2ax0 ? 1) , x ?1 x0 ? 1

∵ h?( x0 ) ? 0 , h?( x) 在 ( ?1, ?? ) 上是减函数, ∴ h( x) 在 x ? x0 处取得最大值 h( x0 ) ? 0 ,即 h( x)≤0 恒成立, 故曲线 y ? g ( x) 上的任意一点不可能在直线 l 的上方. (Ⅲ)由(Ⅰ)知 ln( x ? 1)≤x 在 ( ?1, ?? ) 上恒成立,当且仅当 x ? 0 时,等号成立, 故当 x ? ?1 且 x ? 0 时,有 ln( x ? 1) ? x , 又因为
ln{(1 ? ? ln(1 ? ? 2n 1 1 ? 2( n ?1 ? n ) ,所以 n ?1 n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1 2 4 8 )(1 ? )(1 ? ) 2?3 3? 5 5?9 [1 ? (2
n ?1

2n ]} ? 1)(2n ? 1) ? ln[1 ? (2
n ?1

2 4 8 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? )? 2?3 3? 5 5?9 ? 2 (2n ?1 ? 1)(2 n ? 1)
n

2n ] ? 1)(2n ? 1)

2 4 8 ? ? ? 2 ? 3 3? 5 5? 9

1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5 5 9

?(

1 1 ? )] 2n?1 ? 1 2n ? 1

1 1 2 ? 2( ? n ) ? 1 ? n ?1 2 2 ?1 2 ?1 2 4 8 )(1 ? )(1 ? )? 所以 (1 ? 2?3 3? 5 5?9

? [1 ?

(2

n ?1

2n ]? e. ? 1)(2 n ? 1)

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| AB |?| t1 ? t2 |? (

4sin ? 2 ?4 ) ? 4? ? 8, 2 cos ? cos 2 ?

∴ cos ? ? ?

? 3? 2 ,则 ? ? 或 . 4 4 2

(24)解: (Ⅰ)当 a ? 4 时,不等式 f ( x )≥5 为 | x ? 1| ? | x ? 4 | ≥5 ,
?x ? 1 ?1≤x≤4 ? x ? 4 所以 ? 或? 或? ,解得 x≤0 或 x≥5 , ? ?2 x ? 5≥5 ?3≥5 ?2 x ? 5≥5

故不等式 f ( x )≥5 的解集为{x|x≤0,或 x≥5}. (Ⅱ)因为 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ≥ | ( x ? 1) ? ( x ? a) |?| a ? 1| (当 x ? 1 时等号成立) , 所以 f ( x)min ?| a ? 1| ,由题意得 | a ? 1| ≥4 ,解得 a≤ ? 3 或 a≥5 .

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