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直线的参数方程及应用


直线的参数方程及应用 基础知识点击: 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点 P0( x0 , y0 ),倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程是

? ? x ? x0 ? t c o s ? ? ? y ? y0 ? t s i n

(t 为参数)t 的几何意义:t 表示有向线段 P0 P 的数量,P( x , y )

P0P=t ∣P0P∣=t 为直线上任意一点. (2)若 P1、P2 是直线上两点,所对应的参数分别为 t1、t2, 则 P1P2=t2-t1 ∣P1P2∣=∣t 2-t 1∣ (3) 若 P1、P2、P3 是直线上的点,所对应的参数分别为 t1、t2、t3 t ?t 则 P1P2 中点 P3 的参数为 t3= 1 2 ,∣P0P3∣= t1 ? t 2 2 2 (4)若 P0 为 P1P2 的中点,则 t1+t2=0,t1·t2<0 2、 直线参数方程的一般式 b 过点 P0( x0 , y0 ),斜率为 k ? 的直线的参数方程是 a
? x ? x 0 ? at ? ? y ? y 0 ? bt

问题 2:直线 l 上的点与对应的参数 t 是一一对应关系. 问题 3:P1、P2 为直线 l 上两点所对应的参数分别为 t1、t2 , 则 P1P2=?,∣P1P2∣=? P1P2=P1P0+P0P2=-t1+t2=t2-t1, ∣P1P2∣=∣ t2-t1∣ 问题 4: 一般地,若 P1、P2、P3 是直线 l 上的点, y 所对应的参数分别为 t1、t2、t3, h P3 为 P1、P2 的中点 则 t3= t1 ? t 2 2
P1

l
P0 h

P2

x

(t 为参数)

点击直线参数方程: 一、直线的参数方程 问题 1: (直线由点和方向确定) 求经过点 P0( x0 , y0 ),倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程.

l
P( x , y )

基础知识点拨: 0 1、参数方程与普通方程的互化 h 例 1:化直线 l1 的普通方程 x ? 3 y ? 1 =0 为参数方程,并说明参数的几何意 义,说明∣t∣的几何意义. 点拨:求直线的参数方程先确定定点,再求倾斜角,注意参数的几何意义. ? x ? ?3 ? t 例 2:化直线 l 2 的参数方程 ? (t 为参数)为普通方程,并求倾斜角, ?y ? 1? 3 t 说明∣t∣的几何意义. 点拨:注意在例 1、例 2 中,参数 t 的几何意义是不同的,直线 l1 的参数方程 你会区分直线参数方程的标准形式? 1 ? ? x ? 1 ? t (t 为参数)和方 例 3:已知直线 l 过点 M0(1,3) ,倾斜角为 ,判断方程 ? ? 2
3
? ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ?

? ? x ? x0 ? t c o s 是所求的直线 l 的参数方程 ? ? ? y ? y0 ? t s i n

y h

0 h ∵P0P=t,t 为参数,t 的几何意义是:有向直线 l 上从已知点 P0( x0 , y0 )到点

P0 h?

Q

x

P( x , y )的有向线段的数量,且|P0P|=|t| ① ② ③ 当 t>0 时,点 P 在点 P0 的上方; 当 t=0 时,点 P 与点 P0 重合; 当 t<0 时,点 P 在点 P0 的下方;

? x ? 1? t 程? (t 为参数)是否为直线 l 的参数方程?如果是直线 l 的参数方程,指出 y ? 3 ? 3 t ? 方程中的参数 t 是否具有标准形式中参数 t 的几何意义. 点拨:直线的参数方程不唯一,对于给定的参数方程能辨别其标准形式,会利用参数 t 的几何意义解决有关问题.

? x ? x0 ? t 特别地,若直线 l 的倾斜角 ? =0 时,直线 l 的参数方程为 ? y ? y ? y0 h ④ 当 t>0 时,点 P 在点 P0 的右侧; P0 P( x , y ) l ⑤ 当 t=0 时,点 P 与点 P0 重合; h x ⑥ 当 t<0 时,点 P 在点 P0 的左侧; 0
h y h

? x ? 1? t 问题 5:直线的参数方程 ? 能否化为标准形式? ?y ? 3 ? 3 t
1

l
P0

是可以的,只需作参数 t 的代换.(构造勾股数,实现标准化)

A

∣ t 1- t 2∣

B

a 2 ? b 2 ∣t 1-t 2∣

C

t1 ? t 2 a2 ? b2

D ∣t 1∣+∣t 2∣

2、直线非标准参数方程的标准化 一般地,对于倾斜角为 ? 、过点 M0( x0 , y0 )直线 l 参数方程的一般式为,. 3? 例 4:写出经过点 M0(-2,3) ,倾斜角为 的直线 l 的标准参数方程,并且
4

? x ? 1? t 6、 已知直线 l : ? (t 为参数)与直线 m: x ? y ? 2 3 ? 0 交于 P 点,求点 ? y ? ?5 ? 3 t M(1,-5)到点 P 的距离.

二、直线参数方程的应用 例 6:已知直线 l 过点 P(2,0) ,斜率为 4 ,直线 l
3

y

求出直线 l 上与点 M0 相距为 2 的点的坐标. 点拨:若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求 M 点的坐标较麻烦, 而使用直线的参数方程,充分利用参数 t 的几何意义求 M 点的坐标较 容易. 例 5:直线 ?
? x ? 3 ? t sin 20 ? ? y ? 4 ? t cos 20
?

(t 为参数)的倾斜角

.

基础知识测试 1: 1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是 3 的直线 l 的标准参数方程.
2

和抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A、B 两点, M 设线段 AB 的中点为 M,求: x (1)P、M 两点间的距离|PM|; 0 P (2,0) (2)M 点的坐标; A (3)线段 AB 的长|AB| 点拨:利用直线 l 的标准参数方程中参数 t 的几何意义,在解决诸如直线 l 上两点间的 距离、直线 l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时,比用直线 l 的普通方程来解 决显得比较灵活和简捷.

B

? x ? 1 ? t sin 25 2、 直线 l 的方程: ? (t 为参数) ,那么直线 l 的倾斜角( ? y ? 2 ? t cos 25 ? A 65° B 25° C 155° D 115°
?

)

1 ? x ?1? t ? 5 (t 为参数)的斜率和倾斜角分别是( 3、 直线 ? ? 2 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?

)

A) -2 和 arctg(-2) C) -2 和 ? -arctg2

B) - 1 和 arctg(- 1 )
2 2 1 D) - 和 ? -arctg 1 2 2

? x ? x 0 ? t cos ? 4、 已知直线 ? (t 为参数)上的点 A、B 所对应的参数分别为 t1,t2, ? y ? y 0 ? t sin ? 点 P 分线段 BA 所成的比为 ? ( ? ≠-1) ,则 P 所对应的参数是 .

5、直线 l 的方程:

? x ? x 0 ? at ? ? y ? y 0 ? bt

(t 为参数)A、B 是直线 l 上的两个点,分别对应参

数值 t1、t2,那么|AB|等于(

)

2

例 7:已知直线 l 经过点 P(1,-3 3 ),倾斜角为 ? ,
3

(1)求直线 l 与直线 l ? : y ? x ? 2 3 的交点 Q 与 P 点的距离| PQ|; (2)求直线 l 和圆 x 2 ? y 2 =16 的两个交点 A,B 与 P 点的距离之积. 点拨:利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、距离的乘 积(或商)的问题,比使用直线的普通方程,与另一曲线方程联立先求得交点坐标再 利用两点间的距离公式简便.
( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 ,AB 是通过左焦点 F1 的弦,F2 为右焦点, 4 3 求| F2A|·| F2B|的最大值. 点拨:求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积,利用直线的参数方程解 题,此题中两定点 F1(0,0),F2(2,0),显然 F1 坐标简单,因此选择过 F1 的直线的参数方程,利用椭圆的定义将| F2A|·| F2B| 转化为| F1A|·|F1B|.

例 9:已知椭圆

例 8:设抛物线过两点 A(-1,6)和 B(-1,-2),对称轴与 x 轴平行,开口向右, 直线 y=2 x +7 被抛物线截得的线段长是 4 10 ,求抛物线方程. 点拨: (1) (对称性) 由两点 A(-1,6)和 B(-1,-2)的对称性及抛物线的对称性质, 设出抛物线的方程(含 P 一个未知量,由弦长 AB 的值求得 P). (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛 物线方程联立后,求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.

3

一般地,把 l 的参数方程代入圆锥曲线 C:F( x, y )=0 后,可得一个关于 t 的一元二次 方程, f (t ) =0, 1、(1)当Δ <0 时, l 与 C 相离;(2) 当Δ =0 时, l 与 C 相切;(3) 当Δ >0 时, l 与 C 相交有两个交点; 2、 当Δ >0 时,方程 f (t ) =0 的两个根分别记为 t1、t2,把 t1、t2 分别代入 l 的参数方程 即可求的 l 与 C 的两个交点 A 和 B 的坐标. 3、 定点 P0( x0 , y0 )是弦 AB 中点 ? t1+t2=0 4、 l 被 C 截得的弦 AB 的长|AB|=|t1-t2|;P0A·P0B= t1·t2;弦 AB 中点 M 点对应 t ?t t ?t 的参数为 1 2 ;| P0M |= 1 2 2 2 基础知识测试 2: ? x ? 1? t 7、 直线 ? (t 为参数)与椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 8 交于 A、B 两点,则|AB|等于( ) y ? ? 2 ? t ? A 2 2 B

? 2t ? ?x ? 6 7 10、过点 P(6, 7 )的直线 ? (t 为参数)与抛物线 y2=2 x 相交于 A、B 两点, y ? ? t 2 ? 2 ? 则点 P 到 A,B 距离之积为 .

4 3 3

C

2

D

6 3
)

? x ? x 0 ? t cos ? 8、直线 ? ? y ? y 0 ? t sin ?

(t 为参数)与二次曲线 A、B 两点,则|AB|等于( |t1|+|t2| C |t1-t2| D

A

|t1+t2|

B

t1 ? t 2 2

1 ? ? x ? 2? 2t 9、 直线 ? (t 为参数)与圆 x 2 y 2 1 有两个交点 A、B,若 P 点的坐 1 ? y ? ?1 ? t 2 ? 标为(2,-1),则|PA|·|PB|=

4



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