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2014届福州高考数学一轮复习教学案平面向量的数量积与平面向量应用举例(含解析)


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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[知识能否忆起] 一、两个向量的夹角 1.定义 已知两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做 向量 a 与 b 的夹角. 2.范围 向量夹角 θ 的范围是 0° ≤θ≤180° 与 b 同向时

,夹角 θ=0° 与 b 反向时,夹角 θ ,a ;a =180° . 3.向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 90° ,则 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 二、平面向量数量积 1.已知两个非零向量 a 与 b,则数量|a||b|· θ 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a· cos b,即 a· b =|a||b|cos θ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. 规定 0· a=0. 当 a⊥b 时,θ=90° ,这时 a· b=0. 2.a· 的几何意义: b 数量积 a· 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. b 三、向量数量积的性质 1.如果 e 是单位向量,则 a· e=e· a. 2.a⊥b?a· b=0. 3.a· a=|a|2,|a|= a· a. a· b 4.cos θ= .(θ 为 a 与 b 的夹角) |a||b| 5.|a· b|≤|a||b|. 四、数量积的运算律 1.交换律:a· b=b· a. 2.分配律:(a+b)· c=a· c+b· c. 3.对 λ∈R,λ(a· b)=(λa)· b=a· (λb). 五、数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则:

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1.a· 1b1+a2b2. b=a 2.a⊥b?a1b1+a2b2=0. 3.|a|= a2+a2. 1 2 a1b1+a2b2 a· b 4.cos θ= = 2 .(θ 为 a 与 b 的夹角) 2 |a||b| a1+a2 b2+b2 1 2

[小题能否全取] 1.已知向量 a,b 和实数 λ,下列选项中错误的是( A.|a|= a· a C.λ(a· b)=λa· b B.|a· b|=|a|· |b| D.|a· b|≤|a|· |b| )

解析:选 B |a· b|=|a|· |b||cos θ|,只有 a 与 b 共线时,才有|a· b|=|a||b|,可知 B 是错误的. 2.已知|a|=4,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120° ,则 b 在 a 方向上的投影为( A.2 C.-2 解析:选 D 3 B. 2 3 D.- 2 3 |b|cos θ=3cos 120° =- . 2 ) )

3.(2012· 重庆高考)设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|=( A. 5 B. 10

C.2 5 D.10 解析:选 B ∵a⊥b,∴a· b=0,即 x-2=0,∴x=2. ∴a=(2,1),∴a2=5,b2=5,|a+b|= ?a+b?2= a2+2a· 2= 5+5= 10. b+b 4.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ,|a|=2,|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b =________. 解析:a· b=2× 3× 答案:3 5.已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角 θ=________. 解析:∵a· (b-a)=a· 2=2,∴a· b-a b=2+a2=3. a· b 3 1 π ∴cos θ= = = .∴向量 a 与 b 的夹角为 . |a|· 1×6 2 |b| 3 π 答案: 3 3 =3. 2

1.对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示两向量的有向线段所形成的角,

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若起点不同,应通过移动,使其起点相同,再观察夹角. (2)两向量夹角的范围为[0,π],特别当两向量共线且同向时,其夹角为 0,共线且 反向时,其夹角为 π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意两向量夹角的范围. 2.向量运算与数量运算的区别 (1)若 a,b∈R,且 a· b=0,则有 a=0 或 b=0,但 a· b=0 却不能得出 a=0 或 b= 0. (2)若 a,b,c∈R,且 a≠0,则由 ab=ac 可得 b=c,但由 a· b=a· 及 a≠0 却不能 c 推出 b=c. (3)若 a,b,c∈R,则 a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量 a,b,c,而(a· c b)· 与 a· c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的. (b· (4)若 a,b∈R,则|a· b|=|a|· |b|,但对于向量 a,b,却有|a· b|≤|a||b|,等号当且仅当 a∥b 时成立.

平面向量数量积的运算

典题导入 [例 1] (1)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)· c=30,则 x=( A.6 C.4 B.5 D.3 )

AC = (2) (2012· 浙江高考)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ·
________. [自主解答] (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=30. 即 18+3x=30,解得 x=4. (2) 如图所示, AB = AM + MB ,AC = AM +MC― ∵ →=

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???? ???? ? AM - MB , ? ??? ??? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ???? ? ???? AC =( AM + MB )· AM - MB )= AM 2- MB 2= ∴ AB · ( ???? ? ???? | AM |2-| MB |2=9-25=-16.
[答案] (1)C (2) -16 由题悟法

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平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量 a,b 的模及夹角 θ,利用公式 a· b=|a||b|· θ 求解; cos (2)已知向量 a,b 的坐标,利用数量积的坐标形式求解. 以题试法 1. (1)(2012· 天津高考)在△ABC 中, ∠A=90° AB=1, , AC=2.设点 P, 满足 AP =λ AB , Q

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??? ? ??? ? ??? ??? ? ? CP AQ =(1-λ) AC ,λ∈R.若 BQ · =-2,则 λ=(
1 A. 3 4 C. 3 2 B. 3 D.2

)

解析: B 由题意可知 BQ = AQ - AB =(1-λ) AC - AB ,CP = AP - AC = 选 λ AB - AC ,且 AB · AC =0,故 BQ · =-(1-λ) AC 2-λ AB 2=-2.又| AB |=1, CP

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??? ? 2 | AC |=2,代入上式解得 λ= . 3
π (2)(2011· 江西高考)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1 3 +4e2,则 b1·2=________. b 解析:b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,
2 则 b1·2=(e1-2e2)· 1+4e2)=3e1-2e1·2-8e2. b (3e e 2

π 又因为 e1,e2 为单位向量,夹角为 , 3 1 所以 b1·2=3-2× -8=3-1-8=-6. b 2 答案:-6

两平面向量的夹角与垂直

典题导入 [例 2] (1)(2012· 福州质检)已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 120° ,a+b+c=0,则 a 与 c 的夹角为( A.150° C.60° ) B.90° D.30°

(2)(2011· 新课标全国卷)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________. [自主解答] (1)∵a· b=1×2×cos 120° =-1,c=-a-b,∴a· c=a· (-a-b)=-a· a-

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a· b=-1+1=0,∴a⊥c. ∴a 与 c 的夹角为 90° . (2)∵a 与 b 是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1. 又 ka-b 与 a+b 垂直,∴(a+b)· (ka-b)=0, 即 ka2+ka· b-a· 2=0. b-b ∴k-1+ka· b-a· b=0. 即 k-1+kcos θ-cos θ=0(θ 为 a 与 b 的夹角). ∴(k-1)(1+cos θ)=0.又 a 与 b 不共线, ∴cos θ≠-1.∴k=1. [答案] (1)B (2)1

若本例(1)条件变为非零向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,试求 a 与 b 的夹角. 解:设|a|=m(m>0),a,b 的夹角为 θ,由题设知(a+b)2=c2,即 2m2+2m2cos θ=m2, 1 得 cos θ=- .又 0° ≤θ≤180° ,所以 θ=120° ,即 a,b 的夹角为 120° . 2

由题悟法 1.求两非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律; (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明两向量的夹角 为直角,数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角. 2.当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角,需求得 a· 及|a|,|b|或得出它们的关系. b 以题试法 2.(1)设向量 a=(x-1,1),b=(-x+1,3),则 a⊥(a-b)的一个充分不必要条件是( A.x=0 或 2 B.x=2 C.x=1 D.x=± 2 (2)已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=a+λb(λ∈R),向量 d 如图所示,则( ) )

A.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 垂直 B.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 夹角为 60° C.存在 λ<0,使得向量 c 与向量 d 夹角为 30°

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D.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 共线 解析:(1)选 B a=(x-1,1),a-b=(x-1,1)-(-x+1,3)=(2x-2,-2),故 a⊥(a-b)

?2(x-1)2-2=0?x=0 或 2,故 x=2 是 a⊥(a-b)的一个充分不必要条件. 3 (2)选 D 由图可知 d=4a+3b=4?a+4b?,故 D 正确;对于 A,由图知若向量 c 与向量 ? ? d 垂直,则有 λ<0;对于 B,若 λ>0,则由图观察得向量 c 与向量 d 夹角小于 60° ;对于 C, 若 λ<0,则向量 c 与向量 d 夹角大于 30° .

平面向量的模

典题导入 [例 3] 设向量 a,b 满足|a|=1,|a-b|= 3,a· (a-b)=0,则|2a+b|=( A.2 C.4 B.2 3 D.4 3 )

[自主解答] 由 a· (a-b)=0,可得 a· 2=1, b=a 由|a-b|= 3,可得(a-b)2=3,即 a2-2a· 2=3,解得 b2=4. b+b 故(2a+b)2=4a2+4a· 2=12,故|2a+b|=2 3. b+b [答案] B 由题悟法 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法: (1)|a|2=a2=a· a; (2)|a± 2=(a± 2=a2± b+b2; b| b) 2a· (3)若 a=(x,y)则|a|= x2+y2. 以题试法 1 3.(2012· 聊城质检)已知向量 a=(sin x,1),b=?cos x,-2?. ? ? (1)当 a⊥b 时,求|a+b|的值; (2)求函数 f(x)=a· (b-a)的最小正周期. 解:(1)由已知得 a· b=0, |a+b|= ?a+b?2= a2+2a· 2= a2+b2 b+b = 1 3 sin2x+1+cos2x+ = . 4 2

1 (2)∵f(x)=a· 2=sin xcos x- -sin2x-1 b-a 2

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1-cos 2x 3 π 1 2 = sin 2x- - = sin?2x+4?-2, ? ? 2 2 2 2 ∴函数 f(x)的最小正周期为 π.

平面向量数量积的综合应用

典题导入 [例 4] (2012· 太原模拟)已知 f(x)=a· b,其中 a=(2cos x,- 3sin 2x),b=(cos x,1)(x∈ R). (1)求 f(x)的周期和单调递减区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,f(A)=-1,a= 7, AB · AC =3, 求边长 b 和 c 的值(b>c). [自 主 解 答 ] π 2cos?2x+3?, ? ? ∴f(x)的最小正周期 T=π, ∵y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减, π π π ∴令 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,得 kπ- ≤x≤kπ+ . 3 6 3 π π ∴f(x)的单调递减区间?kπ-6,kπ+3?,k∈Z. ? ? π (2)∵f(A)=1+2cos?2A+3?=-1, ? ? π ∴cos?2A+3?=-1. ? ? π π 7π π 又 <2A+ < ,∴2A+ =π. 3 3 3 3 π ∴A= . 3 ∵ AB · AC =3,即 bc=6,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,7=(b +c)2-18,b+c=5, 又 b>c,∴b=3,c=2. 由题悟法 向量与其它知识结合,题目新颖而精巧,既符合考查知识的“交汇处”的命题要求,又 加强了对双基覆盖面的考查,特别是通过向量坐标表示的运算,利用解决平行、垂直、夹角 和距离等问题的同时,把问题转化为新的函数、三角或几何问题. 以题试法 (1)由 题 意知 , f(x)= 2cos2x - 3 sin 2x = 1 + cos 2x - 3 sin 2x = 1 +

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4.(1)(2012· 朔州调研)质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于 平衡状态,已知 F1,F2 成 60° 角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( A.2 7 C.2 B.2 5 D.6 )

(2)若 M 为△ABC 所在平面内一点,且满足( MB - MC )·MB + MC -2 MA )=0, ( 则△ABC 为( ) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

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A.直角三角形 C.等边三角形

解析: (1)选 A 由已知条件 F1+F2+F3=0, F3=-F1-F2, 2=F2+F2+2|F1||F2|cos 则 F3 1 2 60° =28. 因此,|F3|=2 7. (2)选 B 由( MB - MC )·MB + MC -2 MA )=0,可知 CB · AB + AC )=0,设 ( (

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AD =0.所以 CB ⊥ AD .又 D 为 BC 的中 BC 的中点为 D,则 AB + AC =2 AD ,故 CB ·
点,故△ABC 为等腰三角形

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1.(2012· 豫东、豫北十校阶段性测试)若向量 a=(x+1,2)和向量 b=(1,-1)平行,则|a +b|=( A. 10 C. 2 ) B. D. 10 2 2 2

解析:选 C 依题意得,-(x+1)-2×1=0,得 x=-3,故 a+b=(-2,2)+(1,-1) =(-1,1),所以|a+b|= ?-1?2+12= 2. 2.(2012· 山西省考前适应性训练)已知向量 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投 影为( ) B. D. 13 5 65 5

A. 13 C. 65

a· 2×?-4?+3×7 b 65 解析:选 D 依题意得,向量 a 在 b 方向上的投影为 = 2 2 = 5 . |b| ?-4? +7

AC 3.已知 A,B,C 为平面上不共线的三点,若向量 AB =(1,1),n=(1,-1),且 n·

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=2,则 n· 等于( BC A.-2 C.0

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) B.2 D.2 或-2

??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? 解析:选 B n· =n·BA + AC )=n· +n· ( (-1,-1)+2=0+2 BA AC =(1,-1)· BC
=2. 4.(2012· 湖南高考)在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB · =1,则 BC=( BC A. 3 C.2 2 B. 7 D. 23

? ??? ??? ?

)

? ??? ??? ? 解析:选 A ∵ AB · =1,且 AB=2, BC ? ??? ? ??? ??? ? 1 ∴1=| AB || BC |cos(π-B),∴| BC |cos B=- . 2
在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B, 1 即 9=4+BC2-2×2×?-2?. ? ? ∴BC= 3. 5.已知非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|= A.30° C.120° B.60° D.150° 2 3 |a|,则 a+b 与 a-b 的夹角 θ 为( 3 )

解析:选 B 将|a+b|=|a-b|两边同时平方得 a· b=0; 将|a-b|= 2 3 1 |a|两边同时平方得 b2= a2, 3 3

?a+b?· ?a-b? a2-b2 1 所以 cos θ= = = . 4 2 2 |a+b|· |a-b| a 3

AD =( 6.如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC = 3 BD ,| AD |=1,则 AC ·
A.2 3 C. 3 2 B.3 3 D. 3

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)

解析:选 D 建系如图. 设 B(xB,0),D(0,1),C(xC,yC), BC =(xC-xB,yC),

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??? ? BD =(-xB,1), ??? ? ??? ? ∵ BC = 3 BD ,∴xC-xB=- 3xB?xC=(1- 3)·B,yC= x

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AD = 3. 3, AC =((1- 3)xB, 3), AD =(0,1), AC ·
7. (2013· “江南十校”联考)若|a|=2, |b|=4, 且(a+b)⊥a, a 与 b 的夹角是________. 则 解析:设向量 a,b 的夹角为 θ.由(a+b)⊥a 得(a+b)· a=0,即|a|2+a· b=0,∵|a|=2, 1 2π 2π ∴a· b=-4,∴|a|· cos θ=-4,又|b|=4,∴cos θ=- ,即 θ= .∴向量 a,b 的夹角为 . |b|· 2 3 3 2π 答案: 3 8.(2012· 新课标全国卷)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= ________. 解析:∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1,∴a· b=|a|· cos 45° |b|· = ∴|2a-b|2=4-4× 答案:3 2 9.(2012· 大连模拟)已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a+b) ⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量 MN 的模为________. 解析:∵a∥b,∴x=4.∴b=(4,-2), ∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y). ∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)· (b-c)=0, 即 6-3(-2-y)=0,解得 y=-4. ∴向量 MN =(-8,8),∴| MN |=8 2. 答案:8 2 10.已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c. 解:(1)∵a· b=2n-2,|a|= 5,|b|= n2+4, ∴cos 45° = 2 = , 5· n +4 2
2

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2 |b|, 2

2 |b|+|b|2=10.∴|b|=3 2. 2

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2n-2

∴3n2-16n-12=0(n>1). 2 ∴n=6 或 n=- (舍).∴b=(-2,6). 3 (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 又∵c 与 b 同向,故可设 c=λb(λ>0). ∵(c-a)· a=0, |a|2 5 1 ∴λb· a-|a| =0.∴λ= = = . b· 10 2 a
2

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1 ∴c= b=(-1,3). 2 11.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120° . (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)? 1 解:由已知得,a· b=4×8×?-2?=-16. ? ? (1)①∵|a+b|2=a2+2a· 2 b+b =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b|2=16a2-16a· b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=768, ∴|4a-2b|=16 3. (2)∵(a+2b)⊥(ka-b), ∴(a+2b)· (ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a· b-2b2=0, 即 16k-16(2k-1)-2×64=0. ∴k=-7. 即 k=-7 时,a+2b 与 ka-b 垂直. 1 3 12.设在平面上有两个向量 a=(cos α,sin α)(0° ≤α<360° ),b=?- , ?. ? 2 2? (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小. 1 3 解:(1)证明:因为(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-?4+4?=0, ? ? 所以 a+b 与 a-b 垂直. (2)由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a|2+2 3a· b+|b|2=|a|2-2 3a· b+3|b|2, 所以 2(|a|2-|b|2)+4 3a· b=0. 而|a|=|b|,所以 a· b=0, 1 3 则?-2?×cos α+ ×sin α=0,即 cos(α+60° )=0, ? ? 2 所以 α+60° 180° =k· +90° , 即 α=k· +30° 180° ,k∈Z. 又 0° ≤α<360° ,则 α=30° α=210° 或 .

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1.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b

)

解析:选 B 因为|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=(a-b)2,即 a· b=0,故 a⊥b. 2.(2012· 山东实验中学四诊)△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 AB + AC = 2 AO ,且| OA |=| AC |,则向量 BA 在向量 BC 方向上的射影为( 3 A. 2 C.3 B. 3 2 3 2

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)

D.-

解析:选 A 由已知条件可以知道,△ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处,

??? ? ??? ? π π π 因此△ABC 是直角三角形,且∠A= .又| OA |=| CA |,所以∠C= ,∠B= ,AB= 3,AC 2 3 6

? ??? ??? ? ??? ? π 3 =1,故 BA 在 BC 上的射影| BA |cos = . 6 2
3.已知 AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,-3). (1)若 BC ∥ DA ,求 x 与 y 之间的关系式; (2)在(1)条件下,若 AC ⊥ BD ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积. 解:(1)∵ AD = AB + BC + CD =(x+4,y-2), ∴ DA =- AD =(-x-4,2-y). 又∵ BC ∥ DA 且 BC =(x,y), ∴x(2-y)-y(-x-4)=0, 即 x+2y=0.① (2)由于 AC = AB + BC =(x+6,y+1),

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??? ?

? ? ??? ??? ??? ? BD = BC + CD =(x-2,y-3), ??? ? ??? ? 又 AC ⊥ BD , ??? ??? ? ? BD 所以 AC · =0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.② 联立①②化简,得 y2-2y-3=0. 解得 y=3 或 y=-1. 故当 y=3 时,x=-6, 此时 AC =(0,4), BD =(-8,0),

??? ?

??? ?

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? ? 1 ??? ??? 所以 SABCD= | AC |·BD |=16; | 2
当 y=-1 时,x=2, 此时 AC =(8,0), BD =(0,-4),

??? ?

??? ?

? ? 1 ??? ??? ∴SABCD= | AC |·BD |=16. | 2

1.△ABC 中,AB 边的高为 CD,若 CB =a, CA =b,a· b=0, |a|=1,|b|=2,则 AD =( 1 1 A. a- b 3 3 3 3 C. a- b 5 5

??? ?

??? ?

??? ?

) 2 2 B. a- b 3 3 4 4 D. a- b 5 5

解析:选 D 如图,∵a· b=0,∴a⊥b,∴∠ACB=90° , ∴AB= AC2+BC2= 5. 又 CD⊥AB, 4 5 ∴AC2=AD· AB,∴AD= . 5

??? 4 ??? 4 ? ? 4 4 ∴ AD = AB = (a-b)= a- b. 5 5 5 5
2.(2012· 郑州质检)若向量 a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直, 9x+3y 的最小值为( 则 A.12 C.3 2 解析:选 D


)

B.2 3 D.6 依题意得 4(x-1)+2y=0,即 2x+y=2,9x+3y=32x+3y≥2 32x×3y=

2 32x y=2 32=6,当且仅当 2x=y=1 时取等号,因此 9x+3y 的最小值是 6. 3.(2012· 山西省四校联考)在△OAB(O 为原点)中, OA =(2cos α,2sin α), OB =(5cos

??? ?
)

??? ?

OB β,5sin β),若 OA · =-5,则△OAB 的面积 S=(
A. 3 C.5 3 B. 3 2

??? ??? ? ?

5 3 D. 2

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? -5 OB 解析:选 D 设∠AOB=θ,由| OA |=2,| OB |=5, OA · =-5,得 cos θ= = 2×5

? ? 1 3 1 ??? ??? 1 3 5 3 - ,sin θ= ,所以 S= | OA |·OB |sin θ= ×2×5× = | . 2 2 2 2 2 2
4. (2012· 上海高考)在矩形 ABCD 中,边 AB,AD 的长分别为 2,1,若 M,N 分别是边

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???? ???? ? | BM | | CN | ? ? AN 的取值范围是________. BC,CD 上的点,且满足 ??? = ??? ,则 AM · | BC | | CD |

???? ?

??? ?

??? ? ???? ? | BM | | CN | ? ? 解析:如图所示,设 ??? = ??? =λ(0≤λ≤1),则 BM =λ BC , | BC | | CD |
??? ? ??? ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? CN =λ CD , DN = CN - CD =(λ-1) CD , ???? ???? ? ??? ???? ??? ? ? ? ???? AN =( AB + BM )· AD + DN ) 所以 AM · ( ??? ??? ? ??? ? ??? ? ? =( AB +λ BC )· AD +(λ-1) CD ] [ ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? AD =(λ-1) AB · +λ BC · CD
=4(1-λ)+λ=4-3λ,

???? ?

??? ?

AN 取得最大值 4;当 λ=1 时, AM · 取得最小值 1. AN 故当 λ=0 时, AM ·
因此 AM · AN― →∈[1,4]. 答案:[1,4]

???? ???? ?

???? ???? ?

???? ?

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