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排列组合二项式定理


专题十一 排列组合、二项式定理
1.【2015 高考陕西,理 4】二项式 ( x ? 1) n ( n ? N ? ) 的展开式中 x 2 的系数为 15,则 n ? ( A.4 【答案】C
2 r r 【解析】二项式 ? x ? 1? 的展开式的通项是 ?r ?1 ? C n x ,令 r ? 2 得 x 2 的系数是 C2 n ,因为 x

/>)

B.5

C.6

D.7

n

2 的系数为 15 ,所以 C 2 n ? 15 ,即 n ? n ? 30 ? 0 ,解得: n ? 6 或 n ? ?5 ,因为 n ? ? ? ,所

以 n ? 6 ,故选 C. 【考点定位】二项式定理. 【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理,属于容易题.解题时一定要抓住重要条件 “ n ? ?? ” , 否则很容易出现错误. 解本题需要掌握的知识点是二项式定理, 即二项式 ? a ? b ?
k n?k k 的展开式的通项是 ?k ?1 ? Cn a b .

n

2.【2015 高考新课标 1,理 10】 ( x ? x ? y ) 的展开式中, x y 的系数为(
2 5 5 2

)

(A)10 【答案】C

(B)20

(C)30

(D)60

【解析】在 ( x ? x ? y ) 的 5 个因式中,2 个取因式中 x 2 剩余的 3 个因式中 1 个取 x ,其余因
2 5
2 1 2 式取 y,故 x y 的系数为 C5 C3C2 =30,故选 C.

5

2

【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数,试题形式新颖,是中档题, 求多项展开式式某一项的系数问题,先分析该项的构成,结合所给多项式,分析如何得到该 项,再利用排列组知识求解. 3.【2015 高考四川,理 6】用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的偶数共有( (A)144 个 【答案】B 【解析】
3 3 据题意,万位上只能排 4、5.若万位上排 4,则有 2 ? A4 个;若万位上排 5,则有 3 ? A4 个.所
3 3 以共有 2 ? A4 ?3 ? A4 ? 5 ? 24 ? 120 个.选 B.

) (B)120 个 (C)96 个 (D)72 个

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【考点定位】排列组合. 【名师点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏.在 本题中,万位与个位是两个特殊位置,应根据这两个位置的限制条件来进行分类. 4.【2015 高考湖北,理 3】已知 (1 ? x) n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇 数项的二项式 系数和为( A. 212 【答案】D
3 7 【解析】因为 (1 ? x) n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,所以 Cn ,解得 ? Cn

) B. 211 C. 210 D. 29

n ? 10 ,
所以二项式 (1 ? x)10 中奇数项的二项式系数和为 【考点定位】二项式系数,二项式系数和. 【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数,各二项式系数和:
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2 n ,奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等 0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? ?C n ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ?C n ? ? ? ? ? 2 n ?1 .

1 10 ? 2 ? 29 . 2

5、 【2015 高考广东,理 12】某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业 留言,那么全班共写了 【答案】 1560 . 条毕业留言. (用数字作答)

【考点定位】排列问题. 【名师点睛】本题主要考查排列问题,属于中档题,解答此题关键在于认清 40 人两两彼此给 对方仅写一条毕业留言是个排列问题.

1 ? ? 3 8 6.【2015 高考重庆,理 12】 ? x ? ? 的展开式中 x 的系数是________(用数字作答). 2 x ? ?
【答案】

5

5 2

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【解析】二项展开式通项为 Tk ?1 ? C5 ( x )
k

3 5? k

(

7k 15 ? 1 7k ) k ? ( ) k C5k x 2 ,令 15 ? ? 8 ,解得 2 2 2 x

1

1 5 k ? 2 ,因此 x8 的系数为 ( ) 2 C52 ? . 2 2
【考点定位】二项式定理 【名师点晴】 (a ? b) n 的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念,前者只是指
k ,它仅是与二项式的幂的指数 n 及项数有关的组合数,而与 a,b 的值无关;而后者是指 Cn

该项除字母外的部分,即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关,而且也与 a,b 的系数有 关.在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别. 7.【2015 高考广东,理 9】在 ( x ? 1) 4 的展开式中, x 的系数为 【答案】 6 . 【解析】由题可知 Tr ?1 ? C4
2

.

r

? ?
x

4? r

? ?1?

r

r ? C4 ? ?1? x r

4? r 2

,令

4?r ? 1 解得 r ? 2 ,所以展 2

2 开式中 x 的系数为 C4 ? ?1? ? 6 ,故应填入 6 .

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力,属于容易题,解答此题关键在于熟
r n?r r 记二项展开式的通项即展开式的第 r ? 1 项为: Tr ?1 ? Cn a b n ? N *且n ? 2, r ? N .

?

?

8.【2015 高考四川,理 11】在 (2 x ? 1) 的展开式中,含 x 2 的项的系数是
5

(用数字作

答). 【答案】 ?40 . 【解析】

(2 x ? 1)5 ? ?(1 ? 2 x)5 ,所以 x 2 的系数为 ?C52 ? (?2) 2 ? ?40 .
【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】涉及二项式定理的题,一般利用其通项公式求解. 9.【2015 高考天津,理 12】在 ? x ? 【答案】

? ?

1 ? 2 ? 的展开式中, x 的系数为 4x ?

6

.

15 16

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1 ? 1 ? ? 1 ? r 6?2 r ? r 6? r ? 【解析】? x ? 由 6 ? 2r ? 2 得 ? 展开式的通项为 Tr ?1 ? C6 x ? ? ? ? ? ? ? C6 x , 4x ? ? ? 4x ? ? 4 ?
15 ? 1 ? 2 2 15 2 x ? x ,所以该项系数为 . r ? 2 ,所以 T3 ? ? ? ? C6 16 16 ? 4?
【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项. 【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的 通项,求出当 r ? 2 时的系数,即可求得结果,体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的 问题. 10.【2015 高考安徽,理 11】 ( x 3 ? ) 7 的展开式中 x 5 的系数是 【答案】 35
r 【 解 析 】 由 题 意 , 二 项 式 ( x 3 ? ) 7 展 开 的 通 项 Tr ?1 ? C7 ( x 3 )7 ? r ( ) r ? C7r x 21? 4 r , 令

6

r

r

2

1 x

.(用数字填写答案)

1 x

1 x

21 ? 4r ? 5 ,得 r ? 4 ,则 x5 的系数是 C74 ? 35 .
【考点定位】1.二项式定理的展开式应用. 【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解,其中通项是核心,运算是保证;比较复杂 的问题要回到最本质的计数原理去解决,而不是一味利用公式.另外,概念不清,涉及幂 的运算出现错误,或者不能从最本质的计数原理出发解决问题,盲目套用公式都是考试 中常犯的错误. 11.【2015 高考福建,理 11】 ? x ? 2 ? 的展开式中, x 2 的系数等于
5

. (用数字

作答) 【答案】 80
2 3 2 【解析】 ? x ? 2 ? 的展开式中 x 2 项为 C5 2 x ? 80 ,所以 x 2 的系数等于 80 .

5

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题,往往是根据二项展开式的通项和所求项的 联系解题,属于基础题,注意运算的准确度. 12.【2015 高考北京,理 9】在 ? 2 ? x ? 的展开式中, x3 的系数为
5

. (用数字作答)

【答案】40

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【考点定位】本题考点为二项式定理,利用通项公式,求指定项的系数. 【名师点睛】本题考查二项式定理,利用通项公式求出指定项的系数,本题属于基础题,要求 正确使用通项公式Tr ?1 ? C nr a n ? r b r ,准确计算指定项的系数. 13.【2015 高考新课标 2,理 15】 (a ? x)(1 ? x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32, 则 a ? __________. 【答案】 3 【解析】由已知得 (1 ? x) ? 1 ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ,故 (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数
4 2 3 4 4

次幂项分别为 4ax , 4ax 3 , x , 6 x 3 , x 5 ,其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32 ,解得 a ? 3 . 【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题考查二项式定理,准确写出二项展开式,能正确求出奇数次幂项以及相应 的系数和,从而列方程求参数值,属于中档题.
3 a ? ? 2 【2015 高考湖南,理 6】已知 ? x ? ? 的展开式中含 x 的项的系数为 30,则 a ? ( x? ?

5



A. 3 【答案】D. 【解析】

B. ? 3

C.6

D-6

试题分析: Tr ?1 ? C (?1) a x
r 5 r r

5 ?r 2

,令 r ? 1 ,可得 ? 5a ? 30 ? a ? ?6 ,故选 D.

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,属于容易题,只要掌握 (a ? b) 的二项展开
n

式的通项第
r n?r r r ? 1 项为 Tr ?1 ? Cn a b ,即可建立关于 a 的方程,从而求解.

1 ? ? 【2015 高考上海,理 11】在 ? 1 ? x ? 2015 ? 的展开式中, x 2 项的系数为 x ? ?
数值表示) .

10

(结果用

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【答案】 45 【解析】因为 ? 1 ? x ?

? ?

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? (1 ? x) ? 2015 ? ? (1 ? x)10 ? C10 (1 ? x)9 2015 ? ? ,所以 2015 ? x ? x ? x ?

10

10

10 8 2 8 x 2 项只能在 (1 ? x) 展开式中,即为 C10 x ,系数为 C10 ? 45.

【考点定位】二项展开式 【名师点睛】 (1)求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行化简通项公式后,令 字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数 r+1, 代回通项公式即可. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决. 【2015 高考上海,理 8】在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求 男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为 【答案】 120
5 5 【解析】由题意得,去掉选 5 名女教师情况即可: C9 ? C6 ? 126 ? 6 ? 120.

(结果用数值表示) .

【考点定位】排列组合 【名师点睛】涉及排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题 与顺序有关,组合问题与顺序无关.“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取 出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.通常 用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.

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