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河南省许昌、平顶山、新乡三市2015届高考数学一模试卷(文科)


河南省许昌、平顶山、新乡三市 2015 届高考数学一模试卷(文 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 2 1.已知集合 A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|x﹣1≥0},则 A∩B 等于( ) A.{x|﹣1<x<2} B.{x|x≤﹣1 或 1≤x<2} C.{x|1<x<2} D.{x|1

≤x<2} 2.已知 A.﹣1 B.1 ,其中 i 为虚数单位,则 a+b=( C .2 ) D.3

3.f(x)=

,则 f(f(﹣1) )等于(

)

A.﹣2

B.2

C.﹣4

D.4 )

4.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为(

A.4

B.8

C.12 )

D.24

5.如图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是(

A.

B.

C.

D.1

6.若 x∈(e ,1) ,a=lnx,b= A.c>b>a B.b>c>a

﹣1

,c=e ,则 a,b,c 的大小关系为( C.a>b>c D.b>a>c

lnx

)

7.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为(

)

A.11

B.10

C .9

D.8.5

8.已知正项数列{an}的前 n 项的乘积等于 Tn= {bn}的前 n 项和 Sn 中最大值是( A.S6 B.S5 9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( ) ) C.S4

(n∈N ) ,bn=log2an,则数列

*

D.S3 )的图象如图所示,为了得到 g(x)

A.向右平移 C.向左平移

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向左平移

个长度单位 个长度单位

10.已知 P 是双曲线

上的点,F1、F2 是其焦点,双曲线的离 的面积为 9,则 a+b 的值为( B.6 C .7 D.8 )

心率是 A.5

11.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(﹣2)=0,当 x>0 时,有 >0 恒成立,则不等式 xf(x)>0 的解集是( ) A. (﹣2,0)∪(2,+∞) B. (﹣2,0)∪(0,2) C. (﹣∞,﹣2)∪ (0,2) D. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)

12.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计 成绩,得到如下所示的列联表: 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计 105 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人,成绩优秀的概率为 ,则下列说法正确的是( A.列联表中 c 的值为 30,b 的值为 35 B.列联表中 c 的值为 15,b 的值为 50 C.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系” D.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 2 2 13.若在区间[﹣5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x﹣1) +(y+2) =2 有 公共点的概率为__________. 14.已知命题 p:?x∈[1,2],x ﹣a≥0;命题 q:?x∈R,x +2ax+2﹣a=0,若命题“p 且 q”是 真命题,则实数 a 的取值范围为__________.
2 2

15.在直角三角形 ABC 中,AB=4,AC=2,M 是斜边 BC 的中点,则向量 上的投影是__________. 16.若函数 f(x)=(sinx+cosx) ﹣2cos x﹣m 在[0, 是__________.
2 2

在向量

方向

]上有零点,则实数 m 的取值范围

三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在斜三角形 ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b, c, 且 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ,求角 C 的取值范围. =﹣ .

18.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿 者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25) ,第 2 组[25,30) ,第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者?

(2)在(1)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求 第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

19. 如图 (1) , 在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, D、 E 分别是 AB、 AC 上的点, 且 AD=AE, F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ ABF 沿 AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥 A﹣BCF,其中 BC= .

(Ⅰ)证明:CF⊥平面 ABF; (Ⅱ)当 AD= 时,求三棱锥 F﹣DEG 的体积 VF﹣DEG.

20.如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1, F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 作直线交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求△ PB2Q 的面积.

21.设函数 f(x)=alnx﹣bx (x>0) . (Ⅰ)若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=﹣ 相切,求实数 a、b 的值; (Ⅱ)当 b=0 时,若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈[0, ],x∈(1,e ]都成立(e 为自然 对数的底数) ,求实数 m 的取值范围.
2

2

四、选做题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 分,做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM?MB=DF?DA.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程

已知:直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为

(θ

为参数) . (1)若在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围.

河南省许昌、平顶山、新乡三市 2015 届高考数学一模试 卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|x﹣1≥0},则 A∩B 等于( ) A.{x|﹣1<x<2} B.{x|x≤﹣1 或 1≤x<2} C.{x|1<x<2} D.{x|1≤x< 2} 考点:交集及其运算. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先分别求出集合 A 和集合 B,然后再求出集合 A∩B. 2 解答: 解:∵集合 A={x|x ﹣x﹣2<0}={x|﹣1<x<2}, B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}, ∴A∩B={x|﹣1<x<2}∩{x|x≥1}={x|1≤x<2} 故选 D. 点评:本题是基础题,考查集合的基本运算,不等式的解法,考查计算能力.
2

2.已知 A.﹣1 B.1

,其中 i 为虚数单位,则 a+b=( C .2 D.3

)

考点:复数代数形式的混合运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:先化简复数,再利用复数相等,解出 a、b,可得结果. 解答: 解: 由 另解:由 得 a+2i=bi﹣1, 所以由复数相等的意义知 a=﹣1, b=2, 所以 a+b=1 得﹣ai+2=b+i(a,b∈R) ,则﹣a=1,b=2,a+b=1.

故选 B. 点评:本题考查复数相等的意义、复数的基本运算,是基础题.

3.f(x)=

,则 f(f(﹣1) )等于(

)

A.﹣2

B.2

C.﹣4

D.4

考点:对数的运算性质;函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据分段函数的定义域,先求 f(﹣1)的值,进而根据 f(﹣1)的值,再求 f(f(﹣ 1) ) . 解答: 解:由分段函数知,f(﹣1)= 所以 f(f(﹣1) )=f(2)=3+log22=3+1=4. 故选 D. ,

点评:本题考查分段函数求值以及对数的基本运算.分段函数要注意各段函数定义域的不 同.在代入求值过程中要注意取值范围. 4.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )

A.4

B.8

C.12

D.24

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析: 该几何体是三棱锥, 一个侧面垂直于底面, 要求三棱锥的体积, 求出三棱锥的高即可. 解答: 解:由三视图的侧视图和俯视图可知:三棱锥的一个侧面垂直于底面, 底面是一个直角三角形,斜边为 6,斜边上的高为 2,底面三角形面积为:S= 三棱锥的高是 h= 它的体积 v= = × ×6× =2 , =4 , ,

故选 A. 点评:本题考查由三视图求面积、体积,考查空间想象能力,是基础题. 5.如图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是( )

A.

B.

C.

D.1

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序框图,写出当 i<3 成立时,i,m,n 的值,即可求出 i<3 不成立时输出 n 的值. 解答: 解:执行程序框图,有 i=1,m=0,n=0

i<3 成立,i=2,m=1,n= i<3 成立,i=3,m=2,n= i<3 不成立,输出 n 的值为 . 故选:C. 点评:本题主要考察程序框图和算法,属于基础题. 6.若 x∈(e ,1) ,a=lnx,b= A.c>b>a B.b>c>a
﹣1

,c=e ,则 a,b,c 的大小关系为( C.a>b>c D.b>a>c

lnx

)

考点:有理数指数幂的化简求值;对数值大小的比较. 专题:计算题. 分析:依题意,由对数函数与指数函数的性质可求得 a<0,b>1, <c<1,从而可得答案. 解答: 解:∵x∈(e ,1) ,a=lnx ∴a∈(﹣1,0) ,即 a<0; 又 y= ∴b=
lnx
﹣1

为减函数, >
﹣1

=

=1,即 b>1;

又 c=e =x∈(e ,1) , ∴b>c>a. 故选 B. 点评:本题考查有理数指数幂的化简求值,考查对数值大小的比较,掌握对数函数与指数函 数的性质是关键,属于中档题.

7.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为(

)

A.11

B.10

C .9

D.8.5

考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:不等式的解法及应用. 分析:首先做出可行域,将目标函数转化为 l: 在 y 轴上截距最大即可. ,求 z 的最大值,只需求直线

解答: 解:做出可行域如图所示: 将目标函数转化为 ,

欲求 z 的最大值, 只需求直线 l: 作出直线 l0: 在 y 轴上的截距的最大值即可. ,将直线 l0 平行移动,得到一系列的平行直线当直线经过点 A 时在 y

轴上的截距最大,此时 z 最大. 由 可求得 A(3,1) ,

将 A 点坐标代入 z=2x+3y+1 解得 z 的最大值为 2×3+3×1+1=10 故选 B

点评:本题考查线性规划问题,考查数形集合思想解题,属基本题型的考查.

8.已知正项数列{an}的前 n 项的乘积等于 Tn= {bn}的前 n 项和 Sn 中最大值是( A.S6 B.S5 ) C.S4

(n∈N ) ,bn=log2an,则数列

*

D.S3

考点:数列的求和. 专题:计算题. 分析:由已知,探求{an}的性质,再去研究数列{bn}的性质,继而解决 Sn 中最大值. 解答: 解: 由已知当 n=1 时, a1=T1= n=1 时也适合上式, 数列{an}的通项公式为 an= 4 为公差的等差数列. =﹣2n +12n=﹣2[(n﹣3) 故选 D
2 2﹣9

, 当 n≥2 时, an=

=



∴bn=log2an=14﹣4n, 数列{bn}是以 10 为首项, 以﹣

],当 n=3 时取得最大值.

点评: 本题主要考查了等差数列的判定, 前 n 项公式, 考查了学生对基础知识的综合运用. 体 现了函数思想的应用.

9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

A.向右平移 C.向左平移

个长度单位 B.向右平移 个长度单位 D.向左平移

个长度单位 个长度单位

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题;数形结合. 分析:由已知中函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,我们易分析出函数的周期、最值,进而 求出函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式,设出平移量 a 后,根据平移法则,我们可以构造 一个关于平移量 a 的方程,解方程即可得到结论. 解答: 解:由已知中函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 过( ,0)点, ( )点, )=π,即 ω=2 )点代入得: )的图象,

易得:A=1,T=4( 即 f(x)=sin(2x+φ) ,将( +φ= ∴φ= ∴f(x)=sin(2x+ ) , +2kπ,k∈Z 又由

设将函数 f(x)的图象向左平移 a 个单位得到函数 g(x)=sin2x 的图象, 则 2(x+a)+ 解得 a=﹣ 故将函数 f(x)的图象向右平移 故选 A 个长度单位得到函数 g(x)=sin2x 的图象, =2x

点评:本题考查的知识点是由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象确定其中解析式,函数 f(x) =Asin(ωx+φ)的图象变换,其中根据已知中函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,求出函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式,是解答本题的关键.

10.已知 P 是双曲线

上的点,F1、F2 是其焦点,双曲线的离 的面积为 9,则 a+b 的值为( B.6 C .7 D.8 )

心率是 A.5

考点:双曲线的简单性质;双曲线的定义. 专题:计算题. 分析:由双曲线的离心率 求得 = ,根据△ PF1F2 的面积等于 9 得到|PF1|?|PF2|=18,在

△ PF1F2 中,由勾股定理和双曲线的定义,可得 b=3,从而求得 a+b 的值. 解答: 解:双曲线的离心率是 = ∴ = ,∴ = .∵ ,

,∴△PF1F2 的面积 S= |PF1|?|PF2|=9,∴|PF1|?|PF2|=18.
2 2 2 2

在△ PF1F2 中,由勾股定理可得 4c =|PF1| +|PF2| =(|PF1|﹣|PF2|) +2|PF1|?|PF2| 2 2 2 2 =4a +36,∴a +b =a +9,∴b=3,∴a=4, ∴a+b=7, 故选 C. 点评:本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,利用双 曲线的定义是解题的难点.

11.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(﹣2)=0,当 x>0 时,有 >0 恒成立,则不等式 xf(x)>0 的解集是( ) A. (﹣2,0)∪(2,+∞) B. (﹣2,0)∪(0,2) C. (﹣∞, ﹣2) ∪ (0, 2) D. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:首先构造函数 g(x)= 值情形,进行求解. 解答: 解:∵ >0(x>0) , ,然后得到该函数的单调区间,最后结合该函数的取

设函数 g(x)=



∴g′(x)=

>0,

∴g(x)的单调递增区间为(0,+∞) , ∵g(﹣x)= = =g(x) ,

∴g(x)为偶函数, ∴g(x)的单调递减区间为(﹣∞,0) , ∵f(﹣2)=0, ∴g(﹣2)=0.g(2)=0, ∴当 x<﹣2 时,g(x)>0, 当﹣2<x<0 时,g(x)<0, 当 0<x<2 时,g(x)<0, 当 x>2 时,g(x)>0, ∵不等式 xf(x)>0 的解集等价于 g(x)>0, ∴当 x<﹣2 或 x>2 时,g(x)>0, 不等式 xf(x)>0 的解集{x|x<﹣2 或 x>2}. 故选:D. 点评:题重点考查了函数的基本性质,函数的单调性与导数之间的关系等知识点,属于中档 题. 12.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计 成绩,得到如下所示的列联表: 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计 105 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人,成绩优秀的概率为 ,则下列说法正确的是( A.列联表中 c 的值为 30,b 的值为 35 B.列联表中 c 的值为 15,b 的值为 50 C.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系” D.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” 考点:独立性检验. 专题:概率与统计. 分析:根据成绩优秀的概率求出成绩优秀的学生数,从而求得 c 和 b 的值;再根据公式计算 2 相关指数 K 的值,比较与临界值的大小,判断“成绩与班级有关系”的可靠性程度. 解答: 解:∵成绩优秀的概率为 ,∴成绩优秀的学生数是 105× =30, 成绩非优秀的学生数是 75,∴c=20,b=45,选项 A、B 错误. )

又根据列联表中的数据,得到 K =

2

≈6.109>3.841,因此有

95%的把握认为“成绩与班级有关系”, 故选:C. 2 点评:本题考查了独立性检验思想方法,熟练掌握列联表个数据之间的关系及相关指数 K 的计算公式是解题的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 2 2 13.若在区间[﹣5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x﹣1) +(y+2) =2 有 公共点的概率为 .

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析: 利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点, 可求出满足条件的 a, 最后根据几何概型的概率公式可求出所求. 解答: 解:∵直线 x+y+a=0 与圆(x﹣1) +(y+2) =2 有公共点, ∴ ≤ ,解得﹣1≤a≤3,
2 2 2 2

∴在区间[﹣5,5]内任取一个实数 a,使直线 x+y+a=0 与圆(x﹣1) +(y+2) =2 有公共点 的概率为 =

故答案为: . 点评:本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类 型,同时考查了计算能力,属于基础题. 14.已知命题 p:?x∈[1,2],x ﹣a≥0;命题 q:?x∈R,x +2ax+2﹣a=0,若命题“p 且 q”是 真命题,则实数 a 的取值范围为 a≤﹣2 或 a=1. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:计算题. 分析:根据命题“p 且 q”是真命题,得到两个命题都是真命题,当两个命题都是真命题时, 第一个命题是一个恒成立问题,分离参数,根据 x 的范围,做出 a 的范围,第二个命题是一 元二次方程有解问题,利用判别式得到结果. 解答: 解:∵“p 且 q”是真命题, ∴命题 p、q 均为真命题, 2 由于?x∈[1,2],x ﹣a≥0, ∴a≤1; 2 又因为?x∈R,x +2ax+2﹣a=0, 2 ∴△=4a +4a﹣8≥0, 即(a﹣1) (a+2)≥0, ∴a≤﹣2 或 a≥1, 综上可知,a≤﹣2 或 a=1.
2 2

故答案为:a≤﹣2 或 a=1 点评:本题考查命题真假的判断与应用,是一个综合题,这种题目一般是以解答题目出现, 是一个不错的题目,但解起来容易出错.

15.在直角三角形 ABC 中,AB=4,AC=2,M 是斜边 BC 的中点,则向量 上的投影是﹣ .

在向量

方向

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量 在向量 方向上的投影= 即可得出.

解答: 解:如图所示, B(4,0) ,C(0,2) ,M(2,1) . ∴ =(2,1) , 在向量 =(﹣4,2) . 方向上的投影= = =﹣ .

∴向量

故答案为:



点评:本题考查了向量投影的计算公式,属于基础题.
2 2

16.若函数 f(x)=(sinx+cosx) ﹣2cos x﹣m 在[0, 是[﹣1, ].

]上有零点,则实数 m 的取值范围

考点:三角函数中的恒等变换应用. 专题:三角函数的求值.

分析: 由条件利用三角函数的恒等变换可得 ( f x) = (2x﹣ ) 的图象和直线 y=m 在[0,

sin (2x﹣

) , 由题意可得函数 y= sin(2x﹣

sin

]上有交点,求得函数 y=

) 在[0,

]上的值域,即为所求的 m 的范围. 解答: 解:函数 f(x)=(sinx+cosx) ﹣2cos x﹣m=sin2x﹣cos2x﹣m= ﹣m 在[0, 故函数 y= 函数 y= ]上有零点, sin(2x﹣ sin(2x﹣ ) 的图象和直线 y=m 在[0, ) 在[0, ]上的值域为[﹣1, ]上有交点, ],故 m∈[﹣1, ],
2 2

sin(2x﹣



故答案为:[﹣1, ]. 点评:本题主要考查三角函数的恒等变换、正弦函数的定义域和值域,体现了转化的数学思 想,属于基础题. 三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在斜三角形 ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b, c, 且 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ,求角 C 的取值范围. =﹣ .

考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形. 分析: (I)由已知可得 2cosB= ,求得 sin2A=1,可得 A 的值.

(II)由 B+C= 得到 C 的范围.

,且

=

=

+

tanC>

,求得 tanC>1,从而

解答: 解: (I)由已知

=﹣

,可得 2cosB=



而△ ABC 为斜三角形,∴cosB≠0,∴sin2A=1. ∵A∈(0,π) ,∴2A= ,A= .

(II)∵B+C=

,且

= ∴ <C< .

=

=

+

tanC>

,即 tanC>1,

点评:本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,两角和差的正弦公式、诱导公式,属于基 础题. 18.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿 者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25) ,第 2 组[25,30) ,第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求 第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

考点:频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析: (1)先分别求出这 3 组的人数,再利用分层抽样的方法即可得出答案; (2)利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出. 解答: 解: (1) 第 3, 4, 5 组中的人数分别为 0.06×5×100=30, 0.04×5×100=20, 0.02×5×100=10. 从第 3, 4, 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者, 应从第 3, 4, 5 组各抽取人数为 , =1; ,

(2)设“第 4 组至少有一名志愿者被抽中”为事件 A,则 P(A)=

= .

点评:熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及 相互独立事件的概率计算公式是解题的关键.

19. 如图 (1) , 在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, D、 E 分别是 AB、 AC 上的点, 且 AD=AE, F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ ABF 沿 AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥 A﹣BCF,其中 BC= .

(Ⅰ)证明:CF⊥平面 ABF; (Ⅱ)当 AD= 时,求三棱锥 F﹣DEG 的体积 VF﹣DEG.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)可以通过证明 AF⊥CF 和 CF⊥BF,从而证明 CF⊥平面 ABF; (Ⅱ)在图(2)中,AF⊥GE,AF⊥DG,又 DG∩GE=G,可得 AF⊥平面 GDE,然后借助 于体积公式进行求解. 解答: (Ⅰ)证明:如图(1) ,在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点, ∴AF⊥FC,∴BF=FC= BC=1. 在图(2)中,∵BC= ,∴BC =BF +FC ,∴∠BFC=90°,∴FC⊥BF. 又 BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF.…. (Ⅱ)∵AD= ,∴BD= ,AD:DB=2:1, 在图(2)中,AF⊥GE,AF⊥DG,又 DG∩GE=G,∴AF⊥平面 GDE. 在等边三角形 ABC 中,AF= ∴FG= AF= AB= ,
2 2 2

,DG= BF= ×1= =GE, .….

∴S△ DGE= DG?EG= ,∴VFDEG= S△ DGE?FG=

点评: 本题重点考查了空间几何体的体积公式、 线面垂直的判定与性质等知识, 属于中档题. 20.如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1, F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 作直线交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求△ PB2Q 的面积.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题:综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)设椭圆的方程为 ,F2(c,0) ,利用△ AB1B2 是的直角 ,利用 c =a ﹣b ,可求
2 2 2

三角形,|AB1|=AB2|,可得∠B1AB2 为直角,从而 又 S= |B1B2||OA|=



=4,故可求椭圆标准方程;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1(﹣2,0) ,B2(2,0) ,由题意,直线 PQ 的倾斜角不为 0,故可设直 2 2 线 PQ 的方程为 x=my﹣2,代入椭圆方程,消元可得(m +5)y ﹣4my﹣16﹣0,利用韦达 定理及 PB2⊥QB2,利用 可求 m 的值,进而可求△ PB2Q 的面积.

解答: 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为

,F2(c,0)

∵△ AB1B2 是的直角三角形,|AB1|=AB2|,∴∠B1AB2 为直角,从而|OA|=|OB2|,即 ∵c =a ﹣b ,∴a =5b ,c =4b ,∴ 在△ AB1B2 中,OA⊥B1B2,∴S= ∵S=4,∴b =4,∴a =5b =20 ∴椭圆标准方程为 ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

|B1B2||OA|=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1(﹣2,0) ,B2(2,0) ,由题意,直线 PQ 的倾斜角不为 0,故可设直 线 PQ 的方程为 x=my﹣2 代入椭圆方程,消元可得(m +5)y ﹣4my﹣16=0① 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , ∴ ,
2 2







=

∵PB2⊥QB2,∴



,∴m=±2
2

当 m=±2 时,①可化为 9y ±8y﹣16﹣0, ∴|y1﹣y2|= = = .

∴△PB2Q 的面积 S= |B1B2||y1﹣y2|= ×4×

点评:本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查 向量知识的运用,考查三角形的面积计算,综合性强. 21.设函数 f(x)=alnx﹣bx (x>0) . (Ⅰ)若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=﹣ 相切,求实数 a、b 的值; (Ⅱ)当 b=0 时,若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈[0, ],x∈(1,e ]都成立(e 为自然 对数的底数) ,求实数 m 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)求出 f(x)的导数 f′(x) ,由条件可得 f(1)=﹣ 且 f′(1)=0,列出方程, 解出 a,b 即可; (Ⅱ)当 b=0 时,f(x)=alnx,已知条件转化为即 m≤alnx﹣x 对所有的 都成立, 令 h(a)=alnx﹣x,则 h(a)为一次函数,则 m≤h(a)min.由单调性求得最小值,即可得 到 m 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ,又函数 f(x)在 x=1 处与直线 相切,
2 2



,解得



(Ⅱ)当 b=0 时,f(x)=alnx, 若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 即 m≤alnx﹣x 对所有的 令 h(a)=alnx﹣x,则 h(a)为一次函数, ∴m≤h(a)min. ∵x∈(1,e ],∴lnx>0,∴
2

都成立, 都成立,

上单调递增,

∴h(a)min=h(0)=﹣x,∴m≤﹣x 对所有的 x∈(1,e ]都成立. 2 2 ∵1<x<e ,∴﹣e ≤﹣x<﹣1, ∴ .
2

2

则实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣e ]. 点评:本题考查导数的运用:求切线方程,考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问 题,注意运用单调性,是一道中档题. 四、选做题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 分,做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM?MB=DF?DA.

考点:与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明;圆的切线的性质定理的证明. 专题:证明题. 分析: (1)证明 DC 是⊙O 的切线,就是要证明 CD⊥OC,根据 CD⊥AF,我们只要证明 OC∥AD; (2) 首先, 我们可以利用射影定理得到 CM =AM?MB, 再利用切割线定理得到 DC =DF?DA, 根据证明的结论,只要证明 DC=CM. 解答: 证明: (1)连接 OC,∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA, ∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC ∴∠FAC=∠OCA, ∴OC∥AD.… ∵CD⊥AF, ∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线.… (2)连接 BC,在 Rt△ ACB 中,CM⊥AB,∴CM =AM?MB. 2 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC =DF?DA. ∵∠MAC=∠DAC,∠D=∠AMC,AC=AC ∴△AMC≌△ADC,∴DC=CM, ∴AM?MB=DF?DA…
2 2 2

点评:几何证明选讲重点考查相似形,圆的比例线段问题,一般来说都比较简单,只要掌握 常规的证法就可以了. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程

已知:直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为

(θ

为参数) . (1)若在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差. 考点:点的极坐标和直角坐标的互化;点到直线的距离公式;参数方程化成普通方程. 专题:直线与圆. 分析: (1)把点 P 的极坐标化为直角坐标,把直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,根据点 P 的坐标不满足直线 l 的方程,可得点 P 不在直线 l 上. (2)把曲线 C 的方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离 d 的值,根据点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 d﹣r,最大值为 d+r,从而求得点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值 的差. 解答: 解: (1)把点 P 的极坐标为(4, )化为直角坐标为(2,2 ) ,

把直线 l 的参数方程

(t 为参数) ,化为直角坐标方程为 y=

x+1,

由于点 P 的坐标不满足直线 l 的方程,故点 P 不在直线 l 上. (2)∵点 Q 是曲线 C 上的一个动点,曲线 C 的参数方程为
2 2

(θ 为参数) .

把曲线 C 的方程化为直角坐标方程为 (x﹣2) +y =1,表示以 C(2,0)为圆心、半径等 于 1 的圆. 圆心到直线的距离 d= = + , ﹣ ,最大值为 d+r= + ,

故点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 d﹣r=

∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差为 2.

点评:本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标,把参数方程化为直角坐标方程,直线和圆 的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围. 考点:绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题:综合题;压轴题;转化思想. 分析: (1)不等式 f(x)≤3 就是|x﹣a|≤3,求出它的解集,与{x|﹣1≤x≤5}相同,求实数 a 的 值; (2)在(1)的条件下,f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,根据 f(x)+f(x+5) 的最小值≥m,可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由 f(x)≤3 得|x﹣a|≤3, 解得 a﹣3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5}, 所以 解得 a=2.

(2)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5) ,

于是

所以当 x<﹣3 时,g(x)>5; 当﹣3≤x≤2 时,g(x)=5; 当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(﹣∞,5]. 点评:本题考查函数恒成立问题,绝对值不等式的解法,考查转化思想,是中档题,


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