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2016年普通高等学校招生全国统一考试理科(天津卷)解析版


2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(理工类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。 第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形 码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试

结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利!

第I卷

注意事项: · 1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么· 如果事件 A,B 相互独立, P(A∪B)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A) P(B). 柱体的体积公式 V 柱体=Sh 锥体的体积公式 V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积, h 表示柱体的高.h 表示锥体的高.

第Ⅰ卷注意事项:本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? {1, 2,3, 4}, B ? { y | y ? 3x ? 2,x ? A}, 则 A ? B =

(A) {1}

(B) {4}

(C) {1,3}

(D) {1,4}

? x ? y ? 2 ? 0, ? (2)设变量 x,y 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0, 则目标函数 z ? 2 x ? 5 y 的最小值为 ?3x ? 2 y ? 9 ? 0. ?

(A) ?4

(B)6

(C)10

(D)17

? (3)在△ABC 中,若 AB= 13 ,BC=3, ?C ? 120 ,则 AC=

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (5)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q<0”是“对任意的正 整数 n,a2n?1+a2n<0”的 (A)充要条件(B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件 (6)已知双曲线

x2 y2 ? =1 (b>0) ,以原点为圆心,双曲线的实半轴 4 b2

长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点,四边形的 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为

x2 y2 x2 y2 x2 3 y2 x2 4 y2 ? =1 (B) ? =1 (C) ? ? 1 (D) ? =1 (A) 4 12 4 4 4 3 4 4
(7)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点,连接 DE 并延 长到点 F,使得 DE=2EF,则 AF ?BC 的值为 (A) ?
? ?

5 1 1 11 (B) (C) (D) 8 8 4 8

(8)已知函数 f(x)= ?

? x 2 ? (4a ? 3) x ? 3a, x ? 0, ?loga ( x ? 1) ? 1, x ? 0
1 3

(a>0,且 a≠1)在 R 上单调递减,且关

于 x 的方程│f(x)│=2 ? x 恰好有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是 (A) (0,

2 2 3 ] (B)[ , ] 3 3 4

(C)[ ,

2 3 1 2 3 ] ? { }(D)[ , ) ? { } 3 4 3 3 4

第 II 卷
注意事项: 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共 12 小题,共计 110 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

(9)已知 a, b ? R ,i 是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则

a 的值为_______. b

2 8 (10) ( x ? ) 的展开式中 x 的系数为__________.(用数字作答)

1 x

7

(11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m) ,则 3 该四棱锥的体积为_______m .

(第 11 题图) (12)如图,AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段 CE 的长 为__________.

(13)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(- ? ,0)上单调递增.若实数 a 满足 f(2|a-1|) >f(- 2 ) ,则 a 的取值范围是______. (14)设抛物线 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

, (t 为参数,p>0)的焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l

的垂线, 垂足为 B.设 C ( 则 p 的值为_________.

7 p,0) , AF 与 BC 相交于点 E. 若|CF|=2|AF|, 且△ACE 的面积为 3 2 , 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) 已知函数 f(x)=4tanxsin(

?
2

? x )cos( x ?

?
3

)— 3 .

(Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论 f(x)在区间[ ?

? ? , ]上的单调性. 4 4

(16) (本小题满分 13 分) 某小组共 10 人, 利用假期参加义工活动, 已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,. 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. (I)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ,求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和数学 期望.

(17) (本小题满分 13 分) 如图,正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF⊥平面 ABCD,点 G 为 AB 的中点,AB=BE=2. (I)求证:EG∥平面 ADF; (II)求二面角 O-EF-C 的正弦值; (III)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH=

2 HF,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. 3

(18) (本小题满分 13 分) 已知{ an }是各项均为正数的等差数列,公差为 d。对任意的 n ? N , bn 是 an 和 a n ?1 的等
*

比中项。
2 2 (I)设 cn = bn ?1 ? bn ,n ? N ,求证:数列{ cn }是等差数列;
*

(II)设 a1 =d,T n =

? (?1) b
k ?1

2n

k

2 k ,n

? N * ,求证: ?

1 1 < . 2d 2 k ?1 Tk

n

(19) (本小题满分 14 分)

x2 y3 1 1 3e 设椭圆 2 + =1( a > 3 )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 ,其中 O 为 ? ? 3 a OF OA FA
原点,e 为椭圆的离心率。 (I)求椭圆的方程; (II)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(点 B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴交于点 H.若 BF⊥HF,且∠MOA ? ∠MAO,求直线 l 的斜率的取值范围。

(20) (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中 a,b∈R。 (I)求 f(x)的单调区间; (II)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0,求证:x1+2x0=3; (III)设 a>0,函数 g(x)=∣f(x)∣,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于 ... .

1 4

【说明】 : 【参考版答案】非官方版正式答案,仅供参考使用。 2016 年天津高考数学(理科)答案与解析

1.D

2, 3, 4? , B ? ?1, 4, 7, 10? ,∴ A ? B ? ?1, 4? ,选 D. 【解析】 A ? ?1,
2.B 【解析】

z=2x+5y=0 zmin=6

(3,0)

可行域如上图所示,则当取点 (3,0) 时, z ? 2 x ? 5 y 取得最小值为 6 3.A 【解析】设 AC ? x 由余弦定理得: cos120? ?

x2 ? 9 ? 13 1 ?? 2? x?3 2 2 2 x ? 4 ? ?3x ? x ? 3x ? 4 ? 0 x ? 1 或 ?4 (舍) ,∴ AC ? 1 ,选 A.

4.B 【解析】第一次: s ? 8 , n ? 2 第二次: s ? 2 , n ? 3 第三次: s ? 4 , n ? 4 ,满足 n ? 3 ,输出 s ? 4 . 5.C 【解析】设数列的首项为 a1 ,则 a2n?1 ? a2n ? a1q2n?2 ? a1q2n?1 =a1q2n?2 (1 ? q) ? 0 ,即 q ? ?1 , 故 q ? 0 是 q ? ?1 的必要不充分条件. 6.D 【解析】

y

A

B x

D

C

渐近线 OB : y ?

b x 2

b ? 1 b 2b ? 设 B ? x0 , x0 ? ,则 ? x0 ? x0 ? , 2 ? 2 2 8 ?

b2 ? b? ∴ x0 ? 1 ,∴ B ? 1 , ? ,∴ 12 ? ? 22 ,∴ b2 ? 12 2? 4 ? 2 2 x y ∴ ? ?1 4 12
7. 【解析】B
A

D

B

E F

C

??? ? ???? ??? ? BC ? AC ? AB ???? ???? ???? 1 ??? ? 3 ???? 1 ??? ? 3 ???? AF ? AD ? DF ? AB ? DE ? AB ? AC 2 2 2 4 ??? ? ???? ???? ??? ? ? 1 ??? ? 3 ???? ? ∴ BC ? AF ? AC ? AB ? AB ? AC ? 4 ?2 ? 1 1 1 3 3 1 1 3 1 3 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1? 1? ? ? ? ? ? ,选 B. 2 2 2 4 4 2 4 4 2 8 8

?

?

8.C 【解析】

由 y ? log a ( x ? 1) ? 1 在 [0, ??) 上递减,则 0 ? a ? 1 又由 f ( x) 在 R 上单调递减,则:
?02 ? (4a - 3) ? 0 ? 3a ? f (0) ? 1 1 3 ? ? ≤a≤ ? 3 ? 4a 3 4 ?0 ? ? 2 由图像可知,在 [0,+?) 上, f ( x) ? 2 ? x 有且仅有一个解,

故在 (??,0) 上, f ( x) ? 2 ? x 同样有且仅有一个解,
2 时,联立 x2 ? (4a ? 3) x ? 3a ? 2 ? x , 3 3 2 则 ? ? (4a ? 2) ? 4(3a ? 2) ? 0 ,解得: a ? 或 1(舍) , 4 当 1 ≤ 3a ≤ 2 时,由图像可知,符合条件. ?1 2 ? ? 3 ? 综上:∴ a ? ? , ? ? ? ? ?3 3? ?4? 选 C.

当 3a ? 2 即 a ?

9.

a ?2 b

【解析】 ?1 ? i ??1 ? bi ? ? a , 1 ? b ? i ? bi ? a ,∴ 1 ? b ? a
?b ? 1 a , ?2 ? ?a ? 2 b

10. ? 56
5 1? 5 7 【解析】 C8 ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ?56 x ,∴系数为-56 ? x? 3

11. 2 【解析】 V ? 2× 1× 3×
1 ?2 3

3 1 2

12.

2 3 3

【解析】连接 OD,可得, △BOD ? △BDE ,? BD2 ? BO ? BE ? 3 ? BD ? DE = 3
?△AEC ? △DEB ,
2 3 1 EC AE CE = ? ,即 ,? EC = 3 DE BE 3 2
C

A

E

B

D

13.

1 3 ?a? 2 2

0? 单调递增; ? 0 , ? ? ? 单调递减 【解析】由 f ? x ? 是偶函数可知, ? ?? ,
a ?1 ? f ? 2 ,f ? 2 ? f 又f 2

?

? ?

?

?

?

? 2?

可得, 2 14. P ? 6

a ?1

? 2 即 a ?1 ?

1 1 3 ? ?a? 2 2 2

3 ?p ? 【解析】x、y 满足函数 y 2 ? 2 px ;? F ? ,0 ? ?CF ? 3 p , AB ? AF = p 2 2 ? ?

可得: A p , 2 p

?

?

易知 ? AEB ?? FEC ,
2 2 p ?3 2 2 ? p2 ? 6 ?

AE AB 1 1 1 1 ? ? ,故 S△ ACE ? S△ ACF ? ? 3 p ? 2 p ? 3 3 2 FE FC 2

? p ? 0 ,∴ p ? 6

15.
π? ?π ? ? 【解析】 f ? x ? ? 4 tan x sin ? ? x ? cos ? x ? ? ? 3 3? ?2 ? ?

?1 ? 3 ? 4sin x ? cos x ? sin x ? ?2 ?? 3 2 ? ?
? sin 2x ? 3 ?1 ? cos 2x ? ? 3
? sin 2 x ? 3 cos 2 x π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?

? π ? 2π (Ⅰ)定义域 ? x x ? ? kπ ,k ? Z ? , T ? ?π 2 2 ? ?

π π π 5π π π (Ⅱ) ? ≤ x ≤ , ? ≤ 2 x ? ≤ ,设 t ? 2 x ? , 3 4 4 6 3 6 π? ? 5π ? π π? ∵ y ? sin t 在 t ? ? ? ,? ? 时单调递减,在 t ? ? ? , ? 时单调递增 6 2 ? ? ? 2 6?

-

5π 6

-

π 2

5π π π π π π π π π π ? 2 x ? ? ? 解得 ? ≤ x ≤ ? ,由 ? ? 2 x ? ? 解得 ? ? x ≤ 6 3 2 4 12 2 3 6 12 4 π? ? π π? ? π ∴函数 f ? x ? 在 ? ? , ? 上单调增,在 ? ? ,? ? 上单调减 12 4 4 12 ? ? ? ?

由?

16. 【解析】 (Ⅰ)设事件 A :选 2 人参加义工活动,次数之和为 4
P ? A? ?
1 2 C1 1 3 C4 ? C3 ? 2 C10 3

(Ⅱ)随机变量 X 可能取值 0,1,2

P ? X ? 0? ? P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ?

2 2 2 C3 ? C3 ? C4 4 ? 2 C10 15 1 1 1 C1 7 3 C3 ? C 3 C 4 ? 2 C10 15 1 C1 4 3 C4 ? 2 C10 15

X
P
E?X ? ? 7 8 ? ?1 15 15

0
4 15

1
7 15

2
4 15

17. 【解析】 (Ⅰ)证明:找到 AD 中点 I ,连结 FI , ∵矩形 OBEF ,∴ EF OB ∵ G 、 I 是中点,∴ GI 是 △ ABD 的中位线 1 ∴ GI ∥BD 且 GI ? BD 2 ∵ O 是正方形 ABCD 中心 1 ∴ OB ? BD 2 ∴ EF ∥ GI 且 EF = GI ∴四边形 EFIG 是平行四边形 ∴ EG∥FI ∵ FI ? 面 ADF ∴ EG∥面 ADF (Ⅱ) O ? EF ? C 正弦值 解:如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz
E z F


H

B O x C

G I D y

A

2, 0, 0 , E 0 ,? 2 ,2 , F ? 0 , 0, 2? ?? 设面 CEF 的法向量 n1 ? ? x ,y , z? ?? ??? ? ? n1 ? EF ? ? x ,y ,z ? ? 0 , 2 , 0 ? 2y ? 0 ? ? ?? ??? ? 0 ,2 ? ? 2 x ? 2 z ? 0 ? n1 ? CF ? ? x ,y ,z ? ? ? 2 , ? B 0 ,? 2 , 0 ,C

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?x ? 2 ? 得: ? y ? 0 ?z ? 1 ? ?? 1 ∴ n1 ? 2 ,0 ,

?

?

∵ OC ? 面 OEF , ?? ? ∴面 OEF 的法向量 n2 ? ?1, 0, 0? ?? ? ?? ? 2 n1 ? n2 ?? ? ?? ? 6 cos ? n1 ,n2 ? ? ?? ? ? ?? ? ? 3 3 ?1 n1 n2
?? ?? ? ? 6? 3 sin ? n1 , n2 ?? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? 2 (Ⅲ)∵ AH ? HF 3 ???? ? 2 ??? ? 2 ?2 2 4? 2, 0 ,2 ? ? , 0, ? ∴ AH ? AF ? ? 5 5 5? ? 5 ? z? 设 H ? x ,y ,
2

?

?

???? ? ?2 2 4? , 0 , ∴ AH ? x ? 2 ,y ,z ? ? ? ? 5 5? ? ? ? ?3 2 ?x ? 5 ? ? 得: ? y ? 0 ? 4 ?z ? 5 ? ?

?

?

???? ? 3 2 4? BH ? ? ? ? 5 , 2 ,5 ? ? ? ?
6 4 ???? ?? ? ? BH ? n1 ???? ?? ? 7 5 5 cos ? BH , n2 ? ? ???? ?? ? ? 21 2 2 BH n1 3? 5

18. 【解析】⑴ Cn ? bn?12 ? bn 2 ? an?1an? 2 ? an an?1 ? 2d ? an?1 ∴ ?Cn ? 为等差数列
2n k ?1

Cn?1 ? Cn ? 2d (an?2 ? an?1 ) ? 2d 2 为定值.
n(n ? 1) ? 4d 2 ? nC1 ? 2d 2 n(n ? 1) (*) 2

⑵ Tn ? ? (?1)k bk 2 ? C1 ? C3 ? ? ? ? ? C2 n ?1 ? nC1 ? 将 C1 ? 4d 2 代入(*)式得 Tn ? 2d 2 n(n ? 1) ∴?
1 1 ? 2 2d k ?1 Tk
n

2 ? b12 ? a2 a3 ? a1a2 ? 2d ? a2 ? 2d (a1 ? d ) ? 4d 2 由已知 C1 ? b2

? k (k ? 1)
k ?1

n

1

?

1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ) ? 2 ,得证 2 2d 2d 2 2 3 k k ?1

19. 【解析】

l H O F M A

k

B(xB , yB)

(Ⅰ)

1 1 3e ? ? OF OA FA

a2 ? 3 1 1 a ? ∴ ? 2 a a ? 3 a ? a2 ? 3 解之得 a ? 2 x2 y 2 ∴椭圆方程为: ? ?1 4 3 (Ⅱ)由已知,设 l 斜率为 k (k ? 0) ,方程为 y ? k ( x ? 2) 3?

设 B( xB ,yB ) M ( x0 ,k ( x0 ? 2)) , x0 ≥1(?MOA ≤ ?MAO) , H (O ,yH )
? x2 y 2 ?1 ? ? ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 , ? ? 0 成立 3 ?4 ? y ? k ( x ? 2) ?

16k 2 ? 12 8k 2 ? 6 ?12k , ∴ , yB ? k ( xB ? 2) ? x ? B 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 3 ? 4k 1 lHM : y ? k ( x0 ? 2) ? ? ( x ? x0 ) k 1? ? 令 x ? 0 ,得 yH ? ? k ? ? x0 ? 2k k? ? ???? ??? ? ∵ HF ? FB ,∴ FH ? FB ? (?1,yH ) ? ( xB ? 1,yB ) ? 0
由韦达定理 2 ? xB ? 即 1 ? xB ? yH yB ? 1 ? ∴ x0 ? ∴k≥
8k 2 ? 6 12k ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ?? 1? ? ?? k ? k ? x0 ? 2k ? ? 0 ? ?? ?

9 ? 20k 2 ≥ 1 ,∴ 8k 2 ≥ 3 12(k 2 ? 1)

6 6 或k ≤? . 4 4

20. 【解析】 (1) f ? x ? ? ? x ? 1? ? ax ? b
3

f '? x ? ? 3? x ?1? ? a
2

① a ≤ 0 ,单调递增;

? ? a? a a? ② a ? 0 , f ? x? 在 ? ? ??, 1 ? 3 ? ? 单调递增,在 ? ?1 ? 3 , 1 ? 3 ? ? 单调递减,在 ? ? ? ? ? ? a ? ?1 ? 3 , ? ? ? ? 单调递增 ? ?
(2)由 f ' ? x0 ? ? 0 得 3? x0 ?1? ? a
2

∴ f ? x0 ? ? ? x0 ?1? ? 3? x0 ?1? x0 ? b ? ? x0 ?1? ? ?2x0 ?1? ? b
3 2 2

f ?3 ? 2x0 ? ? ? 2 ? 2x0 ? ? 3? x0 ?1? ?3 ? 2x0 ? ? b
3 2

? ? x0 ?1? ?8 ? 8x0 ? 9 ? 6x0 ? ? b
2

? f ? 3 ? 2 x0 ? ? f ? x0 ? =f ? x1 ?
? x1 ? 2 x0 ? 3

= ? x0 ?1? ? ?2x0 ?1? ? b
2

( 3 )欲证 g ( x) 在区间 [0 ,2] 上的最大值不小于
x1 , x2 ,

1 ,只需证在区间 [0 ,2] 上存在 4

1 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ 即可 2 a ≥ 3 f x ①当 时, ? ? 在 ?0 ,2? 上单调递减 f (2) ? 1 ? 2a ? b f(0) ?? ? 1b 1 f (0) ? f (2) ? 2a ? 2 ≥ 4 ? 递减,成立 2 当 0 ? a ? 3 时,

? ? a a? ? a? a? ?? f? ?1 ? 3 ? ??? ?? 3 ? ? ? a? ?1 ? 3 ? ??b 3 ? ? ? ? ? ? ? ? a? a a a? 2 f? 1 ? ? ? a 1 ? ? ? ? ? ? 3 3 ? ??b ? ? 3a 3 3 ? ? ? ? f (2) ? 1 ? 2 a ? b f ( 0 ) ? ? ? 1b ∵ ∴ f (2) ? f (0) ? 2 ? 2a

3

a a 2 a ?a?a ?b ? a ?a?b 3 3 3 3

a ?a?b 3

1 3 若 0 ? a ≤ 时, f ? 0? ? f ? 2? ? 2 ? 2a ≥ ,成立 2 4 ? ? a? a? 4 a 1 3 1? ?f? 1? ? ,成立 当 a ? 时, f ? ? ?? a ? ? ? 3? 3? 4 ? ? ? 3 3 2

(试卷为手动录入,难免存在细微差错,如您发现试卷中的问题,敬请谅解!转 载请注明出处! )


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