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2015-2016学年高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学 案 新人教 A 版选修 2-3

基 础 梳 理 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项的系数相等; r r-1 (2)在相邻的两行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即 Cn+1=Cn r +Cn.

2.二项式系数的性质

3.赋值法的应用. 2 3 n 设 f(x)=a0+a1x+a2x +a3x +?+anx .

1

(1)a0+a1+a2+a3+?+an=f(1). n (2)a0-a1+a2-a3+?+(-1) an=f(-1). (3)a0+a2+a4+a6+?= (4)a1+a3+a5+a7+?=

f(1)+f(-1)
2 2

. .

f(1)-f(-1)

(5)a0=f(0). 8 2 8 ?想一想:设(2-x) =a0+a1x+a2x +?+a8x ,则 a0+a1+a2+?+a8 的值为 1.

自 测 自 评 1.1+(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 的展开式的各项系数之和为(C) 100 A.199 B.2 -1 101 100 C.2 -1 D.2 n 5 2.在(1+x) (n∈N+)的二项展开式中,若只有 x 的系数最大,则 n=(C) A.8 B.9 C.10 D.11 n 5 解析:由题意(1+x) 展开式中,x 的系数就是第 6 项的二项式系数,因为只有它是二 项式系数中最大的,所以 n=10. 故选 C. 10 2 3 .(2013·北海市第二次质检 ) 设 (x + 2)(2x + 3) = a0 + a1(x + 2) + a2(x + 2) +?+ a11(x+2)11,则 a0+a1+a2+?+a11 的值为(B) A.0 B.1 C.6 D.15 解析:令 x=-1,则 1=a0+a1+a2+?+a11,故选 B.
2 100

对二项式定理理解不透致误 * 1 2 3 2 n n-1 【典例】 设 n∈N ,则 Cn+Cn6+Cn6 +?+Cn6 =________. 1 1 2 2 3 3 n n 解析:原式= (Cn6+Cn6 +Cn6 +?+Cn6 ) 6 1 0 1 2 2 3 3 n n = (Cn+Cn6+Cn6 +Cn6 +?+Cn6 -1) 6 1 n = [(1+6) -1] 6 1 n = (7 -1). 6 【易错剖析】由于对二项式定理理解不透,误认为 Cn+Cn6+Cn6 +?+Cn6 n -1=7 -1,导致结果错误.
1 2 3 2

n n-1

=(1+6)

n

基 础 巩 固 1.(1+x) 的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是(C) A.n,n+1
2n+1

2

B.n-1,n C.n+1,n+2 D.n+2,n+3 2 n 2 n * 2. 已知(1+x)+(1+x) +?+(1+x) =a0+a1x+a2x +?+anx (n∈N ), 若 a0+a1+? +an=30,则 n 等于(C) A.5 B.3 C.4 D.7 2 n 解析:令 x=1 得 a0+a1+?+an=2+2 +?+2 =30 得 n=4. 10 3.关于(a-b) 的说法,错误的是(C) A.展开式中的二项式系数之和是 1 024 B.展开式的第 6 项的二项式系数最大 C.展开式的第 5 项或第 7 项的二项式系数最大 D.展开式中第 6 项的系数最小 0 1 2 10 10 解析:由二项式系数的性质知,C10+C10+C 10+?+C10= 2 =1 024.∴A 正确. 5 又二项式系数最大的项为 C10,是展开式的第 6 项.∴B 正确. r 10-r r r r 10-r r 5 又由通项 Tr+1 =C10a (-b) =(-1) C10a b 知,第 6 项的系数-C10最小.∴D 正确. 4.下图是一个类似杨辉三角的递推式,则第 n 行的首尾两个数均为________. 1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 ? ? ? ? ? ? 解析:由 1,3,5,7,9,?,可知它们成等差数列,所以 an=2n-1. 答案:2n-1 能 力 提 升 5.若(1+a)+(1+a) +(1+a) +? +(1+a) =b0+b1a+b2a +? +bna ,且 b0+b1 +b2+? +bn=30,则自然数 n 的值为(C) A.6 B.5 C.4 D.3 2(2 -1) n+1 2 n 解析:令 a=1,得 b0 +b1+b2+?+bn=2+2 +?+2 = =2 -2,又 b0+ 2-1
n
2 3

n

2

n

b1+b2+?+bn=30,∴2n+1-2=30,解得 n=4. 2m 6.(2013 高考新课标卷Ⅰ)设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a, 2m+1 (x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=(B)
A.5 C.7 B.6 D.8

13×(2m)! 7×(2m+1)! m +1 m m+1 解析: 由题知 a=C2m, b=Cm 所以 13C2m=7C2m+1, 即= = , 2m+1, m!m! (m+1)!m! 解得 m=6,故选 B.

? 7.(2013·潮州二模)若?2 x- ?
的常数项为________.

1 ?n

x?

? 的展开式中所有二项式系数之和为 64,则展开式

3

? 解析:∵?2 x- ?

1 ?n

n ? 的展开式的二项式的二项系数之和为 64,∴2 =6 4, x?

∴n=6,由二项式定理的通项公式可知,
6-r Tr+1=Cr ·? n·(2 x)

? 1 ?r 6-r r r 3-r ? =2 (-1) ·C6·x . ? x?
3 3 3

当 r=3 时,展开式的常数项 2 (-1) ·C6=-160.

n ? 2 1? 8.若?x + 3? 展开式的各项系数之和为 32,则 n=________,其展开式中的常数项为

?

x?

________(用数字作答). n 解析:依题意得 2 =32,∴n=5, ∵Tr+1=C5(x )
r
2 5-r

r ?1? r 10-5x ·? 3? =C5x .

?x ?

令 10-5r=0,得 r=2,∴常数项为 T3=C5=10. 答案:5 10 n 9.已知(1+3x) 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求展开式中二项式 系数最大的项. n n-1 n-2 解析:由题意知,Cn+Cn +Cn =121, 0 1 2 即 Cn+Cn+Cn=121, 所以 1+n+
2

2

n(n-1)
2

=121,

即 n +n-240=0, 解得:n=15 或-16(舍去). n 所以在(1+3x) 展开式中二项式系数最大的项是第 8、9 两项, 7 7 且 T8=C15(3x) 7 7 7 =C153 x , 8 8 8 8 T9=C8 15(3x) =C153 x . 2 * 10.(1)求证:1 +2+2 +?+25n-1能被 31 整除(n∈N ); (2)求 S=C27+C27+?+C27除以 9 的余数. (1)证明:1+2+2 +?+2
n n
2 5n-1 1 2 27

2 -1 5n = =2 - 1 2-1

5n

=32 -1=(31+1) -1 0 n 1 n-1 n-1 n =Cn×31 +Cn31 +?+Cn ×31+Cn-1 0 n-1 1 n-2 n-1 =31(Cn×31 +Cn×31 +?+Cn ), 显然上式括号内为整数,故原式能被 31 整除. 1 2 27 27 9 (2)解析:S=C27+C27+?+C27=2 -1=8 -1 9 =(9-1) -1 0 9 1 8 8 9 =C9×9 -C9×9 +?+C9×9-C9-1 0 8 1 7 8 =9(C9×9 - C9×9 +?+C9)-2 0 8 1 7 8 =9(C9×9 -C9×9 +?+C9-1)+7, 显然上式括号内的数是正整数.故 S 除以 9 的余数是 7.

4


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