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北京市海淀区2015高三一模试题


海淀区高三年级第二学期期中练习


作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

学(文)

2015.4

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A ? {x | x ? 2} , B ? {1, 2, 2} ,则 A
2

B?(



(A) { 2} (C) {? 2,1, 2, 2} (2)抛物线 x =4 y 的焦点到准线的距离为( (A)
2

(B) {2} (D) {?2,1, 2, 2} ) (C) 2 (D) 4 ) (D) ?e

1 2

(B) 1

(3)已知函数 f ( x ) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? e x ,则 f (?1) ? ( (A)

1 e

(B) ?

1 e

(C) e

(4)某单位计划在下月 1 日至 7 日举办人才交流会,某人随机选择其中的连续两天参加交流会, 那么他在 1 日至 3 日期间连续两天参加交流会的概率为( (A) ) (D)
开始

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

1 6

( 5 )执行如图所示的程序框图,输出的 i 值为 ( )

i = 1, S = 0

(A) 2 (B) 3
S ?1

S = S + lg i i=i+1 否 是 输出 i

(C) 4 (D) 5

结束

(6) “ sin ? ? 0 ”是“角 ? 是第一象限的角”的(



(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

第1页

? x ? y ? 0, ? (7)若 x, y 满足 ? x ? 1, 则下列不等式恒成立的是( ? x ? y ? 0, ?



(A) y ? 1 (C) x ? 2 y ? 0 (8)某三棱锥的正视图如图所示,则在下列图① ②③④中,所有可能成为这个三棱锥的俯视图 的是( )

(B) x ? 2 (D) 2 x ? y ? 1 ? 0

正视图

① (A)①②③

② (B)①②④

③ (C)②③④

④ (D)①②③④

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知单位向量 a 与向量 b = (1, ?1) 的夹角为 (10)若复数 z ?

π ,则 a ? b ? ________. 4

a?i ,且 z ? R ,则实数 a =______. i
.

(11)已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a3 ? ?6 , S1 ? S5 ,则公差 d ? ________; Sn 的最小值为 (12)对于 e A : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,以点 ( , ) 为中点的弦所在的直线方程是_____. (13)设 f ( x) ? ?

1 1 2 2

? x, x ? a ,
2 ? x , x ? a.

对任意实数 b ,关于 x 的方程 f ( x) ? b ? 0 总有实数根,则 a 的取值范围是

.

(14)设全集 U ={1, 2,3, 4,5,6} ,用 U 的子集可表示由 0,1 组成的 6 位字符串,如: {2, 4} 表示的是第 2 个字符为 1,第 4 个字符为 1,其余均为 0 的 6 位字符串 010100,并规定空集表示的字符串为 000000. ①若 M ? {2,3, 6} ,则 ? U M 表示的 6 位字符串为 ②若 A ? {1,3} , 集合 A ; .

B 表示的字符串为 101001,则满足条件的集合 B 的个数是

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an?1 ? 2an (n ? N*) ,且 a2 是 S2 与 1 的等差中项.
第2页

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn ,且对 ?n ? N * , Tn ? ? 恒成立,求实数 ? 的最小值. an

(16) (本小题满分 13 分) 某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取 100 个,整理得到数据分组及 频率分布 表 和频率分布直方图: .... . 分组(日销售量) [ 0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] 频率(甲种酸奶) 0.10 0.20 0.30 0.25 0.15

(Ⅰ)写出频率分布直方图中的 a 的值,并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图;

2 2 2 2 (Ⅱ)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小;(只需写出结

论) (Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月(按 30 天计算)的销售 总量. (17) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, sin A ? sin B sin C .
2

(Ⅰ )若 ?A ?

π ,求 ? B 的大小; 3

(Ⅱ )若 bc ? 1 ,求 ?ABC 的面积的最大值. (18) (本小题满分 14 分) 如图 1, 在梯形 ABCD 中,AD

BC ,AD ? DC ,BC ? 2 AD , 四边形 ABEF 是矩形. 将矩形 ABEF 沿 AB

ABCD , M 为 AF1 的中点,如图 2. 折起到四边形 ABE1F 1 的位置,使平面 ABE1 F 1 ? 平面
(Ⅰ)求证: BE1 ? DC ;
C B F1 E1

(Ⅱ)求证: DM //平面 BCE1 ; (Ⅲ) 判断直线 CD 与 ME1 的位置关系,

D

A

E C D A

M B

并说明理由.

图1

F

图2

第3页

(19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 M :

3 x2 y 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(0, ?1) ,且离心率 e ? 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)若椭圆 M 上存在点 B, C 关于直线 y ? kx ? 1 对称,求 k 的所有取值构成的集合 S ,并证明对于 ?k ? S , BC 的中点恒在一条定直线上. (20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 (a ? 0) . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若存在两条直线 y ? ax ? b1 , y ? ax ? b2 (b1 ? b2 ) 都是曲线 y ? f ( x) 的切线,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 x f ( x ) ? 0 ? (0,1) ,求实数 a 的取值范围.

?

?

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学(文)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (5)C (2)C (6)B (3)D (7)D (4)B (8)D

2015.4

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9) 1 (12) y ? x (10)0 (13) [0,1] (11)12;-54 (14)100110;4

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 an?1 ? 2an (n ? N*) , 所以 S2 ? a1 ? a2 ? a1 ? 2a1 ? 3a1 . ??????1 分
第4页

因为 a2 是 S2 与 1 的等差中项, 所以 2a2 ? S2 ? 1 , 所以 a1 ? 1 . 所以 {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. 所以 an ? 1? 2n?1 ? 2n?1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: ??????6 分 即 2 ? 2a1 ? 3a1 ? 1 . ??????3 分

1 1 ? ( )n?1 . an 2

所以

1 ?1, a1

1 1 1 ? ? (n ? N*) . an ?1 2 an
??????9 分

所以 {

1 1 } 是以 1 为首项, 为公比的等比数列. 2 an

1 1? n 1 2 ? 2(1 ? 1 ) . 所以 数列 { } 的前 n 项和 Tn ? 1 an 2n 1? 2 1 因为 n ? 0 , 2 1 所以 Tn ? 2(1 ? n ) ? 2 . 2 2 ) 时, Tn ? b . 若 b ? 2 ,当 n ? log 2 ( 2?b
所以 若对 ?n ? N * , Tn ? ? 恒成立,则 ? ? 2 . 所以 实数 ? 的最小值为 2.

??????11 分

??????13 分

(16) (共 13 分) 解:(Ⅰ) a ? 0.015 ; ??????2 分

??????6 分

第5页

2 2 (Ⅱ) s1 . ? s2

??????9 分

(Ⅲ)乙种酸奶平均日销售量为:

x ? 5 ? 0.20 ? 15 ? 0.10 ? 25 ? 0.30 ? 35 ? 0.15 ? 45 ? 0.25 ? 26.5 (箱). ??????11 分
乙种酸奶未来一个月的销售总量为: 26.5 ? 30 ? 795 (箱). ??????13 分

(17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)方法一:因为 sin A ? sin B sin C, 且
2

a b c ? ? , sin A sin B sin C
??????2 分

所以 a ? bc .
2

又因为 a ? b ? c ? 2bc cos A,
2 2 2

?A ?

π , 3

??????4 分

所以 a ? b ? c ? 2bc ?
2 2 2

1 ? b 2 ? c 2 ? bc . 2

所以 (b ? c) ? 0 .
2

所以 b ? c . 因为 ?A ?

??????6 分

π , 3

所以 ?ABC 为等边三角形. 所以 ?B ? 方法二:

π . 3

??????7 分

因为 A ? B ? C ? π , 所以 sin C ? sin( A ? B) . ??????1 分

因为 sin B sin C ? sin A , ?A ?
2

π , 3

所以 sin B sin(

π π ? B) ? sin 2 . 3 3
??????3 分

所以 sin B(

3 1 3 cos B ? sin B) ? . 2 2 4

所以

3 1 1 ? cos 2 B 3 sin 2 B ? ? ? . 4 2 2 4 3 1 sin 2 B ? cos 2 B ? 1 . 2 2

所以

第6页

所以 sin(2 B ? ) ? 1 . 因为 B ? (0, π) , 所以 2 B ?

π 6

??????5 分

π π 11 ? (? , π) . 6 6 6 π π π ? ,即 ?B ? . 6 2 3 a b c ? ? , sin A sin B sin C
??????7 分

所以 2 B ?

(Ⅱ)因为 sin A ? sin B sin C, bc ? 1 ,且
2

所以 a ? bc ? 1.
2

所以 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? 1 ? 2bc 2
2bc ? 1 1 ? (当且仅当 b ? c ? 1 时,等号成立). 2 2

??????9 分

?

??????11 分

因为 A ? (0, π) , 所以 A ? (0, ] .

π 3

所以 sin A ? (0,

3 ]. 2

所以 S?ABC ?

1 1 3 . bc sin A ? sin A ? 2 2 4 3 . 4
??????13 分

所以 当 ?ABC 是边长为 1 的等边三角形时,其面积取得最大值

(18) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)因为 四边形 ABE1 F 1 为矩形, 所以 BE1 ? AB . 因为 平面 ABCD ? 平面 ABE1 F 1 ,且平面 ABCD 平面 ABE1 F1 ? AB ,

BE1 ? 平面 ABE1 F1 ,
所以 BE1 ? 平面 ABCD . ??????3 分
第7页

因为 DC ? 平面 ABCD , 所以 BE1 ? DC . (Ⅱ)证明:因为 四边形 ABE1 F 1 为矩形, 所以 AM / / BE1 . 因为 AD / / BC , AD ??????5 分

AM ? A , BC

BE1 ? B ,
??????7 分

所以 平面 ADM / / 平面 BCE1 . 因为 DM ? 平面 ADM , 所以 DM / / 平面 BCE1 . (Ⅲ)直线 CD 与 ME1 相交,理由如下: 取 BC 的中点 P , CE1 的中点 Q ,连接 AP , PQ , QM . 所以 PQ / / BE1 ,且 PQ ?

??????9 分 ??????10 分

1 BE1 . 2

M 为 AF1 的中点, 在矩形 ABE1F 1 中,
所以 AM / / BE1 ,且 AM ?

1 BE1 . 2

所以 PQ / / AM ,且 PQ ? AM . 所以 四边形 APQM 为平行四边形. 所以 MQ / / AP , MQ ? AP . 因为 四边形 ABCD 为梯形, P 为 BC 的中点, BC ? 2 AD , 所以 AD / / PC , AD ? PC . 所以 四边形 ADCP 为平行四边形. 所以 CD / / AP ,且 CD ? AP . 所以 CD / / MQ 且 CD ? MQ . 所以 CDMQ 是平行四边形. 所以 DM / / CQ ,即 DM / / CE1 . 因为 DM ? CE1 , 所以 四边形 DME1C 是以 DM , CE1 为底边的梯形. ??????12 分

第8页

所以 直线 CD 与 ME1 相交.

??????14 分

(19) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 椭圆 M 过点 A(0, ?1) , 所以 b ? 1 . 因为 e ? ??????1 分

c 3 2 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2

所以 a ? 2 . 所以 椭圆 M 的方程为 (Ⅱ)方法一: 依题意得 k ? 0 . 因为 椭圆 M 上存在点 B, C 关于直线 y ? kx ? 1 对称, 所以 直线 BC 与直线 y ? kx ? 1 垂直,且线段 BC 的中点在直线 y ? kx ? 1 上. 设直线 BC 的方程为 y ? ?

x2 ? y 2 ? 1. 4

??????3 分

1 x ? t , B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) . k
??????5 分

1 ? ? y ? ? x ? t, k 由? 得 (k 2 ? 4) x2 ? 8ktx ? 4k 2t 2 ? 4k 2 ? 0 . ? x2 ? 4 y 2 ? 4 ?
由 ? ? 64k 2t 2 ? 4(k 2 ? 4)(4k 2t 2 ? 4k 2 ) ? 16k 2 (4 ? k 2t 2 ? k 2 ) ? 0 , 得 k 2t 2 ? k 2 ? 4 ? 0 .(*) 因为 x1 ? x2 ?

8kt , k2 ? 4

??????7 分

所以 BC 的中点坐标为 (

4kt k 2t , ). k2 ? 4 k2 ? 4

又线段 BC 的中点在直线 y ? kx ? 1 上,

所以

k 2t 4kt ?k 2 ?1 . 2 k ?4 k ?4

所以

3k 2t ?1. k2 ? 4

??????9 分

代入(*) ,得 k ? ?

2 2. 或k ? 2 2

第9页

所以 S ? {k | k ? ?

2 2 ,或k ? }. 2 2

??????11 分

因为

k 2t 1 ? , 2 k ?4 3
1 1 ,即线段 BC 的中点总在直线 y ? 上. 3 3
??????13 分

所以 对于 ?k ? S ,线段 BC 中点的纵坐标恒为

方法二: 因为 点 A(0, ?1) 在直线 y ? kx ? 1 上,且 B, C 关于直线 y ? kx ? 1 对称, 所以 AB ? AC ,且 k ? 0 . 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ( y1 ? y2 ) , BC 的中点为 ( x0 , y0 )( x0 ? 0) .
2 2 2 2 则 x1 ? ( y1 ? 1) ? x2 ? ( y2 ? 1) .

??????6 分

又 B, C 在椭圆 M 上,
2 2 2 2 所以 x1 ? 4 ? 4 y1 , x2 ? 4 ? 4 y2 . 2 2 2 2 所以 4 ? 4 y1 ? ( y1 ? 1) ? 4 ? 4 y2 ? ( y2 ? 1) .

化简,得 3( y1 ? y2 ) ? 2( y1 ? y2 ) .
2 2

所以 y0 ?

y1 ? y2 1 ? . 2 3

??????9 分

又因为 BC 的中点在直线 y ? kx ? 1 上, 所以 y0 ? kx0 ?1 . 所以 x0 ?

4 . 3k

? x2 ? y 2 ? 1, ? ?4 4 2 . 由? 可得 x ? ? 3 ?y ? 1 ? 3 ?
所以 0 ?

2 4 4 2 4 2 4 2 . ,或 ? ,或 k ? ? ? ? 0 ,即 k ? ? 2 3k 3 3 3k 2

所以 S ? {k | k ? ?

2 2 ,或k ? }. 2 2

??????12 分

所以 对于 ?k ? S ,线段 BC 中点的纵坐标恒为

1 1 ,即线段 BC 的中点总在直线 y ? 上. 3 3
??????13 分

(20) (共 14 分)
第 10 页

解: (Ⅰ) f '( x ) ?

a 1 ax ? 1 ? ? 2 ( x ? 0) . x x2 x

??????1 分 ??????2 分

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,则函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ??) . 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

1 . a

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下:

x
f '( x)
f ( x)
1 a

1 (0, ) a

1 a
0
极小值

1 ( , ??) a

?


?


所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ) ,单调递增区间是 ( , ??) . ??????4 分 (Ⅱ)因为 存在两条直线 y ? ax ? b1 , y ? ax ? b2 (b1 ? b2 ) 都是曲线 y ? f ( x) 的切线, 所以 f '( x) ? a 至少有两个不等的正实根. 令 ??????5 分

1 a

ax ? 1 ? a 得 ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,记其两个实根分别为 x1 , x2 . x2
??????7 分

?? ? a 2 ? 4a ? 0, ? 则 ? 解得 a ? 4 . 1 x x ? ? 0. ? 1 2 a ?

当 a ? 4 时 , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( x1 , f ( x 处 x ( 的) 切 ) 线 分 别 为 y ? ax ? f ( x1 ) ? ax1 , 1 ) ) , 2 ( f , 2x

y ? ax ? f ( x2 ) ? ax2 .
令 F ( x) ? f ( x) ? ax( x ? 0) . 由 F '( x) ? f '( x) ? a ? 0 得 x ? x1 , x ? x2(不妨设 x1 ? x2 ) ,且当 x1 ? x ? x2 时, F '( x) ? 0 ,即 F ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上是单调函数. 所以 F ( x1 ) ? F ( x2 ) . 所以 y ? ax ? f ( x1 ) ? ax1 , y ? ax ? f ( x2 ) ? ax2 是曲线 y ? f ( x) 的两条不同的切线. 所以 实数 a 的取值范围为 (4, ??) . (Ⅲ)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 是 (0, ??) 内的减函数. 因为 f (e
1 a
? 1 a

??????9 分

) ? a ln(e ) ?

?

1 a

1 e
? 1 a

? ?1 ?

1 e
? 1 a

? e ?1 ? 0 ,

1 a

而e

?

? (0,1) ,不符合题意.
1 a

??????11 分

当 a ? 0 时,由(Ⅰ)知: f ( x ) 的最小值是 f ( ) ? ? a ln a ? a ? a ? ?1 ? ln a ? .
第 11 页

(ⅰ)若 f ( ) ? 0 ,即 0 ? a ? e 时, {x | f ( x) ? 0} ? ? ? (0,1) , 所以, 0 ? a ? e 符合题意. (ⅱ)若 f ( ) ? 0 ,即 a ? e 时, {x | f ( x) ? 0} ? { } ? (0,1) . 所以, a ? e 符合题意. (ⅲ)若 f ( ) ? 0 ,即 a ? e 时,有 0 ?

1 a 1 a

1 e

1 a

1 ? 1. a

因为 f (1) ? 1 ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( , ??) 内是增函数, 所以 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . 又因为 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 所以

1 a

?x

f ( x) ? 0? ? (0,1) .

所以 a ? e 符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围为 {a | a ? 0} . ?????? 14 分

第 12 页


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