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福建省厦门双十中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题


2015-2016 学年(上)高二数学(理科)期中考试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1.不在不等式 3x ? 2 y ? 6 所表示的平面区域内的点是( ) A. (0,0) B. (1,1) C. (0

,2) D. ( 2,0) ) D. a ? b
2 2

2. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中,不 正确的是( . A.

1 1 ? a?b a

B.

1 1 ? a b

C. a ? b

3.某工厂去年产值为 a,计划从今年起的今后 5 年内每年比上年产值增加 10%,则从今年起到 第 5 年,这个厂的 总产值为( )

A. 1.14 a 1)a

B. 1.15 a

C.11×(1.15-1)a

D . 10(1.15 -

4 4.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( 9 4+k 5 A.-21 B.21 19 C.- 或 21 25 )

x2

y2

) 19 D. 或 21 25

5.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是( A.a>bsinA B.a=bsinA

C.a ? bsinA
a1an

D.a≥bsinA )

6. 等差数列 {an }的首项为 a1 ,公差为 d,若数列 A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0 )

{2 }为递减数列,则(

7.下列各函数中,最小值为 2 的是 (

1 A . y ? x? x
D. y ? x ?

1 ? B . y ? sin x ? , x ? (0, ) sin x 2

C . y?

x2 ? 3 x2 ? 2

1 ? 1 ( x ? 2) 4( x ? 2)

8.若 m<n, p<q 且(p-m)(p-n)<0, (q-m)(q-n)<0, 则 m, n, p, q 从小到大排列顺序是( A.p<m<n<q B.m<p<q<n C.p<q<m<n D.m<n<p<q

)

9. 已知 ? n 是正项等比数列 {an } 的前 n 项积, 且满足 a7 ? 1, a8 ? 1 , 则下列结论正确的是 ( A. ?7



? ?8

B. ?15 ? ?16

C. ?13 ? 1

D. ?14 ? 1

10.已知 F1 , F2 是椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,P 是椭圆 ? 上任意一点, a 2 b2 过 F2 作 ?F1 PF2 的外角平分线 PQ 的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的轨迹为( )

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.四条线段

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11.不等式 x ? 2 x ? 3 的解集为
2

12.在等差数列 ?an ? 中,若 a3 和 a9 是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,则 a6 的值是
2

(答案要求用集合形式表达)

.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 13.已知实数 x , y 满足 ?2 x ? y ? 2 ? 0, 则 x ? 3 y 的最小值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0. ?
14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若( 3b-c)cosA=acosC,则 cosA= ______. 15.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与椭圆 则椭圆的离心率为 1 9 16.已知正数 x,y 满足 x+y+ + =10,则 x+y 的最大值为________. x y 三、解答题:本大题共 6 小题,每小题分数见旁注,共 76 分.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 17. (本小题满分 12 分) 1 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cos C= . 4 (Ⅰ)求△ABC 的周长; (Ⅱ) 求 cos A 的值.

x2 y 2 且 P(?1,1) 恰好为 AB 中点, ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A,B 两点, a 2 b2

18. (本小题满分 12 分)

1 3 已知 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,满足 Sn ? n2 ? n ,正项等比数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 2 2 满足 b3 ? 8, T2 ? 6 .
(Ⅰ) 求数列{an}和{bn}的通项公式;
Gn .

(Ⅱ) 记 cn ? an ? bn , n ? N * ,求数列{cn}的前 n 项和

19. (本小题满分 12 分) 已知实数 a ? 0 ,设函数 f ( x) ?| x ? (Ⅰ)证明:f(x)≥2;

1 | ?| x ?a|. a (Ⅱ)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)
? x ? ny ? 0 ? 已知 n ? N ,设不等式组 ? y ? 2 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内整点的个数为 a n (横、纵 ?y ? 0 ? 坐标均为整数的点称为整点).
*

( Ⅰ ) 通 过 研 究 a1 , a 2, a 3的 值 的 规 律 , 求 a n 的 通 项 公 式 ;
1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? . 2 a1 a2 a3 an 12

(Ⅱ)求证:

21. (本小题满分 14 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港 口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀 速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.

22. (本小题满分 14 分) 2 x2 y 2 已知 F1 , F2 是椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, 椭圆 ? 的离心率 e ? ,P( x0 , y0 ) 是 ? 2 a b 上异于左右顶点的任意一点,且 ?PF1 F2 的面积的最大值为 1. (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)直线 l 是椭圆在点 P 处的切线,过 F2 作 PF2 的垂线,交直线 l 相交于 Q, 求证:点 Q 落在一条定直线 m 上,并求直线 m 的方程.

2015-2016 学年(上)高二数学(理科)期中考参考答案
一.选择题:DACCD DDBCB

}为递减数列,令 22 6.若数列 {2
a1an

a1an

a1an?1

? 2a1 ( an ? an?1 ) ? 2a1d ? 1 得
)

7.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( A. y ? x ? C. y ? 等号取得到 8. 不妨令 m=1,n=2 且(p-1)(p-2)<0,得

1 不是正数, x
2

B. y ? sin x ?

1 ? , x ? (0, ) 等号取不到 sin x 2

x2 ? 3 x ?2

等号取不到

D. y ? x ?

1 1 1 ? 1 =(x-2)+ ?1? 2 ? 1 ? 2, 且 4( x ? 2) 4( x ? 2) 2

(q-1)(q-2)<0,得 ? n ? a1a2 ...an , 9.等比数列的前 n 项积类比于等差数列的前 n 项和 ,所以 ?n 2 ? (a1 ? an )n , 又 ? n ? an an ?1...a1 所以 ? n ? (a1 ? an ) 2 ,
?13 ? (a1 ? a13 ) 2 ?
13 n



>1, 而 ? 7

? ?8 ? a8

1 不正确.

10.连接 F2 Q 并延长交 F1 P 于 M 点,?

1 Q 为 M MF2 中点,连接,OM,则 OM= | MF1 | = + 2 所以 M 表示以 O 为圆心 a 为半径的圆. 3 2 二.填空题: (?3,1) 2 -4 8 3 2 b2 1 1 b2 15.解 1:利用 kOP ? k AB ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? a2 ? 2b2 ? a2 ? 2(a2 ? c2 ) ? a2 ? 2c2 ? e ? a ?1 2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解 2 : 联 立 得 : b ( 2 y? 3 )? a y 2? a2 b? , 又 ( 4 b? a2 ) y ? 1 2 b2? y 9 ? b a ?b 0
y1 ? y2 ? 1 ,所以…

,所以 ?F2 PM 是等腰三角形 1 = ? 2a ? a , 2

1 9 1 9 1 9 2 16.8 [解析] ∵ + =10-(x+y),∴(x+y) + =10(x+y)-(x+y) .又(x+y) + =10

x y

x y

x y



9x

y

+ ≥10+6=16,∴10(x+y)-(x+y) ≥16,即(x+y) -10(x+y)+16≤0,∴2≤x+

y x

2

2

y≤8,∴x+y 的最大值为 8.
1 2 2 2 17.解:(Ⅰ)∵c =a +b -2abcos C=1+4 -4× =4.-----------2 分 4 ∴c=2.∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5.-----------4 分 1 2 (Ⅱ) ∵cos C= ,∴sin C= 1-cos C= 4 15 4 asin C 15 ∴sin A= = = .-------------------------------8 分 c 2 8 ∵a<c,∴A<C.故 A 为锐角,------------------------------10 分 ∴c os A= 1-sin A= 18.解:(1) n ? 1, a1 ? S1 ? 2
n ? 2, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1
2

1 2 15 1-? ? = .---6 分 4 4

1-?

15 2 7 ? = .----------------12 分 8 8

所以 an ? n ? 1 --------------------------3 分
?b1q 2 ? 8 2 ? 设等比数列{bn}的公比为 q,首项为 b1 ,依题意可知 ? b1 (1 ? q 2 ) ? q ? 2 或 q ? ? (舍) 3 ?6 ? ? 1? q

----5 分 所以 bn ? b2 ? 2n?2 ? 2n --------------------6 分

+4×23+…+n×2n-1 +(n+1)×2n, 2 Gn ? 2×22 +3×23 +…+ (n -1)×2n - 1 +n×2n + (n + 1)2n + 1 , ----8 分 所以-Tn=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1,
(2) 则 Gn ? 2×2+3×2

2

即 - Tn = 2×2 +

22 (1 ? 2n?1 ) 1? 2

- (n + 1)×2n



1,

--------------------10 分 -Tn=2×2+ 2n ?1 ? 4 -(n+1)×2n+1 -Tn= 2 n ?1 -(n+1)×2n+1 -Tn=-n×2n+1 + 1 Tn = n·2n , * N .----------------------------------------12 分
19.(Ⅰ)解:(1)证明: f ( x) ?| x ? (Ⅱ)∵f(3)<5, | 3 ?

n



1 1 1 1 | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a) |?| ? a |? ? a ? 2 --------5 分 a a a a

1 | ? | 3 ? a |? 5 a 1 1 1 ? a ? 0 ∴ 3 ? ? | 3 ? a |? 5 ?| 3 ? a |? 2 ? ?| a ? 3|? 2 ? --------------------------7 分 a a a 1 ? a?3? 2? ? ?a 2 ? 5a ? 1 ? 0 ? a ?a ? 0 ? ?? -----------------------9 分 ?? 2 ?a ? a ? 1 ? 0 ?a ? 3 ? 1 ? 2 ? ? a ? 1? 5 5 ? 21 ?a? 得: -----------------------------------12 分 2 2

20. a1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6
a2 ? 1 ? 3 ? 5 ? 9 a3 ? 1 ? 4 ? 7 ? 12

-------3 分 ① y ? 2 时的整点个数为 1,

y=2 与 x-ny=0 的交点为 2n,所以 y=0 的整点个数

为 2n+1 ② y ? 1 时的整点个数为 n+1, y=1 x-ny=0 的交点为 n,所以 y=0 的整点个数为 n+1 ③ y ? 0 时的整点个数为 2n+1 所 以 an ? 1 -------------------------------------------------------------------------6 分 ? (n 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 ? -------------8 (Ⅱ) 要证 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? ,即证: 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 2 3 4 (n ? 1) 4 a1 a2 a3 an 12 分 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? ? ... ? ------------------------------1 22 32 42 (n ? 1) 2 22 2 ? 3 3 ? 4 n( n ? 1) 0分

1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? ? ? -------------12 分 4 2 3 3 4 n n ?1 4 n ?1 4 21.解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为 ?
正北方向. 如图所示,设小艇与轮船在 C 处相遇.------------------2 分 在 Rt△OAC 中,OC=20cos 30°=10 3,AC=20sin 30°=10.---------2 分

10 1 10 3 又 AC=30t,OC=vt.此时,轮船航行时间 t= = ,v= =30 3, 30 3 1 3 即小艇以 30 3海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.-----6 分 (2)如图所示,设小艇与轮船在 B 处相遇. 由题意,可得(vt) =20 +(30t) -2·20·30t·cos(90°-30°),---8 分 400 600 1 1 1 3 2 化简,得 v = 2 - +900= 400( ? )2 ? 675 ,由于 0<t≤ ,即 ≥2,----12 t t 2 t t 4 分 1 所以当 =2 时,v 取得最小值 10 13,即小艇航行速度的最小值为 10 13海里/时.---14
2 2 2

t

分 22.(Ⅰ)依题意可知当 P 在短轴端点时, ?PF1 F2 的面积最大
?1 ? 2c ? b ? 1 ? ?a 2 ? 2 x2 ?2 ? 所以椭圆 ? : ? y 2 ? 1----------------4 分 ? ? ? 2 2 ?b ? 1 ?c ? 2 ? ? 2 ?a (Ⅱ)根据椭圆的对称性可知,点 Q 所在的定直线与 x 轴垂直 令 P 为短轴端点, 则 PQ : y ? 1 , 直线 QF2 : y ? x ? 1 , 此时 Q(2,0), 猜想直线 m:x ? 2 ---6 分 x2 设直线 l: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 与椭圆 ? : ? y 2 ? 1联立得: x2 ? 2[kx ? ( y0 ? kx0 )]2 ? 2 2 2 ( 1? 2 k2 x )2 ? 4 k 0y (? k x ) ? x 2 ( y ? ) ? 2 0 0 0 0k x ?
2 ? ?1 6 k 2 (y x 2) ? 4 ( 1 ? k 2 0 ?k0 2 )0 (y2 ? ( k 0 x

?)

?2 )

0
x0 2 ?0 2

? ? ?4(2( y0 ? kx0 )2 ? 2 ? 4k 2 ) ? 0 ,
2 , ( x02 ? 2 ) k2 ? 2 x y ?1 ? 0 0 y 0 ? k? 0

( y0 ? kx0 )2 ? 1 ? 2k 2 ? 0
?2 y0 2 k 2 ? 2 x0 y0 ? k ?

y0 2 k 2 ? x0 y0 ? k ?

x0 2 ?0, 4

( y0 k ?

x0 2 ) ?0 2

所以 k ? ? 直线 QF2 :

x0 x ,所以直线 l: y ? ? 0 ( x ? x0 ) ? y0 ----------------------------------------10 分 2 y0 2 y0

x ?1 y ?? 0 x ?1 y0

x0 ( x ? x0 ) ? y0 2 y0 x ?1 消去 y 得: , ?? 0 x ?1 y0 x ? 0 (2 ? x0 ) ? y0 2 y0 x ?1 要证:x=2,只需证: QF2 : 成立-------12 分 ?? 0 2 ?1 y0 x x ?1 即证: ? 0 (2 ? x0 ) ? y0 ? ? 0 2 y0 y0 ?
即证: ? x0 (2 ? x0 ) ? 2 y02 ? ?2( x0 ? 1)

即证: x02 ? 2 y02 ? 2 显然成立 所以原命题得证.---------------------------------------------------------------14 分 1. 已知椭圆

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0)A、B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 P(x0,0)。 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 证明:- <x0< (提示:点差法可以得到中点坐标与 AB 斜率关系) a a

2.已知椭圆

x 2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F, 过 F 的直线交椭圆于 A,B 两点, 线段 AB 的中点为 G, 4 3

AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于点 D,E 两点. 1 (1)若 G 的横坐标为 ? ,求直线 AB 的斜率; 4 (2)记 ?GFD 的面积为 S1 , ?OED 的面积为 S2 ,试问,是否存在直线 AB,使得 S1 ? S2 ,说明 理由?

2015-2016 厦门双十中学高二(上)期中考试数学答卷
说明:大题的答案必须写在虚线内,否则无效;必须用黑色签字笔书写 一、选择题: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 总成绩 10

二、填空题: 11、 17、

12、

13、

14、

15、

16、

班级

姓名

座号

18、

19、

20、

21、

22、


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