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专题八第2讲 专题八极坐标、参数方程、几何证明选讲(理)(教师)


专题八第 2 讲

极坐标、参数方程、几何证明选讲(理)

1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平 面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则 x=ρcos θ,y=ρsin θ;也可化为关系式 ρ2=x2+y2,tan θ= 2

参数方程 参数方程与普通方程的互化需要注意什么? 圆 的参数方程为

y (x≠0). x

椭圆

的参数方程为

3.几何证明选讲 1.直角三角形的射影定理 2.圆周角定理 3.圆的切线的性质及判定定理 4.相交弦定理 5.圆内接四边形的性质与判定定理 6.割线定理 热点一 极坐标、参数方程 1.在直角坐标系 xOy 中,已知点 C(-3,- 3),若以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,则点 C 的极坐标 (ρ,θ)(ρ>0,-π<θ<0)可写为________. 5π 解析 依题意知,ρ=2 3,θ=- . 6 5π? 答案 ? ?2 3,- 6 ?
?x=sinα, ? 2.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程是? (α 为参数),若以 O 为极点,x 轴的正半 ? ?y=cosα+1

轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程可写为________. 解析 依题意知,曲线 C:x2+(y-1)2=1, 即 x2+y2-2y=0, 所以(ρcosθ)2+(ρsinθ)2-2ρsinθ=0. 化简得 ρ=2sinθ. 答案 ρ=2sinθ 专题八第 2 讲(理) 第 1 页 共 11 页

π? ? π? 3. 在极坐标系中, 已知两点 A, B 的极坐标分别为? 则△AOB(其中 O 为极点)的面积为________. ?3,3?, ?4,6?, π π? 1 1 π 解析 由题意得 S△AOB= ×3×4×sin? ?3-6?=2×3×4×sin6=3. 2 答案 3
?x=tcosα, ?x=4+2cosφ, ? ? 4.直线? (t 为参数)与圆? (φ 为参数)相切,则此直线的倾斜角 α=________. ?y=tsinα ?y=2sinφ ? ?

2 1 π 5π 解析 直线 y=xtanα,圆:(x-4)2+y2=4,如图,sinα= = ,∴α= 或 . 4 2 6 6

答案

π 5π 或 6 6

热点二 几何证明选讲 5.如图所示,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD,若 BC=3,DE=2,DF=1,则 AB 的长为________.

AF AE AD 解析 ∵DE∥BC,EF∥CD,又 BC=3,DE=2,DF=1,∴ = = =2.∴AF=2,AD=3,BD FD EC DB 3 9 = ,则 AB 的长为 . 2 2 专题八第 2 讲(理) 第 2 页 共 11 页

答案

9 2

6.如图所示,直角三角形 ABC 中,∠B=90° ,AB=4,以 BC 为直径的圆交边 AC 于点 D,AD=2,则∠

C 的大小为________.

解析 连接 BD,∵BC 为直径,∴∠BDC=90° .∴∠ABD=∠BCD,在直角△ABD 中,∵AD=2,AB =4, ∴∠ABD=30° ,故∠C=∠ABD=30° . 答案 30° 7. 如图所示, 在△ABC 中, ∠C=90° , ∠A=60° , AB=20, 过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD, BD⊥CD, BD 与外接圆交于点 E,则 DE 的长为________.

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解析 由已知 BC=ABsin60° =10 3,由弦切角定理∠BCD=∠A=60° ,所以 BD=BCsin60° =15,CD =BCcos60° =5 3,由切割线定理 CD2=DE· BD,所以 DE=5. 答案 5 8.如图所示,AB 是⊙O 的直径,过圆上一点 E 作切线 ED⊥AF,交 AF 的延长线于点 D,交 AB 的延长线 于点 C.若 CB=2,CE=4,则 AD 的长为________.

解析 设⊙O 的半径为 r, 由 CE2=CA· CB, 解得 r=3.连接 OE, ∵Rt△COE∽Rt△CAD, ∴ CO OE 24 = ,解得 AD= . CA AD 5 专题八第 2 讲(理) 第 4 页 共 11 页

答案

24 5

1 BF 9.在△ABC 中,D 是边 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且满足 BE= BD,延长 AE 交 BC 于点 F,则 3 FC 的值为________.

BG BE 1 BF BG BG 1 解析 如图,过 B 作 BG∥AC 交 AF 的延长线于点 G,则 = = ,∴ = = = . AD ED 2 FC AC 2AD 4

答案

1 4

10.如图,⊙O 的直径 AB=6 cm,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C,连接 AC, 若∠CPA=30° ,则 PC=________cm.

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解析 连接 OC,因为 PC 为⊙O 的切线, 所以 OC⊥PC. 又因为∠CPA=30° , 1 OC= AB=3 cm, 2 所以在 Rt△POC 中, OC 3 PC= = =3 3(cm). tan∠CPA 3 3 答案 3 3

【配套课后作业】 A 级——基础巩固组 11.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲 线的直角坐标方程为________. 解析 将 ρ=2sinθ+4cosθ 两边同乘以 ρ 得 ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ, ∴曲线的直角坐标方程为 x2+y2=2y+4x, 即 x2+y2-4x-2y=0. 答案 x2+y2-4x-2y=0
2 ? ?x=8t , ? 12.已知抛物线 C 的参数方程为 (t 为参数).若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点,且与圆(x ?y=8t ?

-4)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=________. 解析 消去参数 t 得抛物线 C 的标准方程为 y2=8x,其焦点为(2,0), |4-2| 所以过点(2,0)且斜率为 1 的直线方程为 x-y-2=0,由题意得 r= = 2. 2 答案 2

专题八第 2 讲(理) 第 6 页 共 11 页

?x= 2cost, 13.已知曲线 C:? (t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为 l.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ?y= 2sint
极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为________. 解析 曲线 C 的普通方程为 x2+y2=2,由圆的几何性质知,切线 l 与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直,故 l 的斜率为-1,从而 l 的方程为 y-1=-(x-1),即 x+y=2,化成极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=2,化简 π? 得 ρsin? ?θ+4?= 2. π? 答案 ρsin? ?θ+4?= 2 14.(2014· 广东卷)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2θ=cosθ 和 ρsinθ=1.以极点为平面直角 坐标系的原点, 极轴为 x 的正半轴, 建立平面直角坐标系, 则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为________. 解析 由 ρsin2θ=cosθ 可得 ρ2sin2θ=ρcosθ,因此 y2=x, 即曲线 C1 的直角坐标方程为 y2=x; 由 ρsinθ=1 可得曲线 C2 的直角坐标方程为 y=1.
2 ? ? ?y =x, ?x=1, 解方程组? 可得? ?y=1, ? ? ?y=1.

所以两曲线交点的直角坐标为(1,1). 答案 (1,1) x= t, ? ? 15.(2014· 湖北卷)已知曲线 C1 的参数方程是? (t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极 3t y= ? 3 ? 轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. x= t, ? ? 解析 由曲线 C1 的参数方程? 3t ? ?y= 3 , 得 y= 3 x(x≥0),① 3

由曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2, 可得方程 x2+y2=4,②

?x= 3, 由①②联立解得? ?y=1,
故 C1 与 C2 交点的直角坐标为( 3,1). 答案 ( 3,1) 16.如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA; 专题八第 2 讲(理) 第 7 页 共 11 页

②AF· AG=AD· AE; ③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号是________.

解析

∵CF=CE,BF=BD, ∴BC=CE+BD. ∴AB+BC+CA=(AB+BD)+(AC+CE)=AD+AE, 故结论①正确; 连接 DF,则∠FDA=∠DGA. 又∵∠A=∠A, ∴△ADF∽△AGD. ∴ AD AF = . AG AD

而 AD=AE,故结论②正确; 容易判断结论③不正确. 答案 ①②

17.如图,△ABC 的外角平分线 AD 交外接圆于 D,若 DB= 3,则 DC=________.

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解析 因为四边形 ABCD 是圆的内接四边形, 所以∠BCD+∠BAD=π. 又因为∠BAD+∠DAE=π, 所以∠BCD=∠DAE. 因为∠DAC 与∠DBC 为圆上同一段圆弧所对的角, 所以∠DAC=∠DBC. 又因为 AD 为∠CAD 的角平分线, 所以∠DAC=∠DAE. ∠DAE=∠DAC ? ? 综上?∠DAE=∠BCD ? ?∠DAC=∠DBC

?∠DCB=∠DBC.

所以△DBC 为等腰三角形, 则 DC=BD= 3,故填 答案 3 3.

18.如图,已知 PA 是⊙O 的切线,A 是切点,直线 PO 交⊙O 于 B,C 两点,D 是 OC 的中点,连接 AD 并延长交⊙O 于点 E,若 PA=2 3,∠APB=30° ,则 AE=________.

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解析 因为 PA 是⊙O 的切线,所以 OA⊥PA. 在 Rt△PAO 中,∠APB=30° , 则∠AOP=60° ,AO=APtan30° =2, 连接 AB, 则△AOB 是等边三角形,过点 A 作 AM⊥BO,重足为 M, 则 AM= 3. 在 Rt△AMD 中,AD= 3+4= 7, 3 7 又 ED· AD=BD· DC,故 ED= , 7 3 7 10 7 则 AE= 7+ = . 7 7 答案 10 7 7

B 级——能力提高组 π? 19.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(ρ>0,0≤θ<2π),曲线 C 在点? ?2,4?处的切线为 l,以极点为坐标原 点,以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则 l 的直角坐标方程是________. π? 2 2 解析 由 ρ=2?x2+y2=4,点? ?2,4??( 2, 2),因为点( 2, 2)在圆 x +y =4 上,故圆在点( 2, 2)处的切线方程为 2x+ 2y=4?x+y-2 2=0. 答案 x+y-2 2=0 20.以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线
? ?x=1+2cosα, π 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R), 它与曲线? (α 为参数)相交于两点 A 和 B, 则|AB|=________. 4 ?y=2+2sinα ? ?x=1+2cosα, ? π 解析 极坐标方程 θ= (ρ∈R)对应的平面直角坐标系中方程为 y=x,? (α 为参数)?(x 4 ?y=2+2sinα ?

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|1-2| 2 -1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),r=2.圆心到直线 y=x 的距离 d= = ,|AB|=2 r2-d2=2 2 2 14. 答案 21. 14

1 4- = 2

如图,PC 是圆 O 的切线, 切点为点 C, 直线 PA 与圆 O 交于 A, B 两点, ∠APC 的角平分线交弦 CA, PE CB 于 D,E 两点,已知 PC=3,PB=2,则 的值为________. PD

PC2 32 9 解析 由切割线定理可得 PC2=PA· PB?PA= = = , PB 2 2 由于 PC 切圆 O 于点 C, 由弦切角定理可知∠PCB=∠PAD, 由于 PD 是∠APC 的角平分线, 则∠CPE=∠APD, 所以△PCE∽△PAD, PE PC 3 2 2 由相似三角形得 = = =3× = . PD PA 9 9 3 2 答案 2 3

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