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一类对称方程的一般解法探究-2012-1发表


一类对称方程的一般解法探究
特级教师 王新敞 (新疆奎屯市第一高级中学 邮编:833200 电话:18009921317) 发表在《中学数学杂志》 (ISSN 1002-2775)2012 1 摘要: 通过一类特殊的对称方程的两个根的和的问题, 探究出两类不同结构的两个方程的根的关系的 求法. 关键字:对称 方程 解法 正文: 我们有时会遇到这样的问题: 题型 A: “已知 x1、 2 分别为方程 2 ? 2 x ? 5 、2 lo g 2 ( x ? 1) ? 2 x ? 5 的实数根, x1+x2 的值” x 求 .
x

一般会这样变形: 2 ? 5 ? 2 x 、 2 lo g 2 ( x ? 1) ? 5 ? 2 x ,会错误的得到结论 x1 ? x 2 ?
x

10 3

.

究其原因,是受到曾经作过形似的问题: 题型 B: “已知 x1、x2 分别为方程 2 ? x ? 5 、 lo g 2 x ? x ? 5 的实数根,求 x1+x2 的值”的解法
x

的影响所致。 本文将给出由题型 A 转化为题型 B 的一般思维模式. 首先讨论题型 B: “已知 x1、x2 分别为方程 2 ? x ? 5 、 lo g 2 x ? x ? 5 的实数根,求 x1+x2 的值”
x

的解法. ∵ 2 ? x ? 5 、 lo g 2 x ? x ? 5
x

∴ 2 ? 5 ? x 、 lo g 2 x ? 5 ? x
x

令 f ( x ) ? 2 , g ( x ) ? 5 ? x ,则 f
x x

?1

( x ) ? lo g 2 x

这时 x1 恰好就是函数 f ( x ) ? 2 和 g ( x ) ? 5 ? x 的图像交点 A 的横坐标、 x 2 恰好就是函数
f
?1

( x ) ? l o g2 x 和 g ( x ) ? 5 ? x 的图像交点 B 的横坐标.如图(1) :

y f(x) = 2x
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 o -1 -2
显示 字母 显示 基本图 隐藏 坐标系

y=x
A C B 1 2 4 5

f--1(x)=log2x
6 7 8

3

x

g(x) = 5
图(1)

x
显示 抽签 显示 9 显示 17

-3

由于函数 f ( x ) ? 2 和 f
x

?1

( x ) ? lo g 2 x 的图像关于直线 y ? x 对称, g ( x ) ? 5 ? x 的图像自身关

于直线 y ? x 对称, 所以交点 A 和交点 B 必关于直线 y ? x 对称, 从而直线 y ? x 和 g ( x ) ? 5 ? x 的 交点 C ( , ) 为点 A 和点 B 的中点,因此 x1 ? x 2 ? 2 ?
2 2
x

5 5

5 2

?5.

2 其次探究题型 A: 已知 x1、 2 分别为方程 2 ? 2 x ? 5 、 lo g 2 ( x ? 1) ? 2 x ? 5 的实数根, x1+x2 “ x 求

的值”的解法. 如果仿照上面的方法, ∵ 2 ? 2 x ? 5 、 2 lo g 2 ( x ? 1) ? 2 x ? 5
x

∴ 2 ? 5 ? 2 x 、 2 lo g 2 ( x ? 1) ? 5 ? 2 x
x

令 f ( x ) ? 2 , g ( x ) ? 5 ? 2 x ,则 f
x x

?1

( x ) ? 2 log 2 ( x ? 1) ,取 h ( x ) ? 2 lo g 2 ( x ? 1)

这时 x1 恰好就是函数 f ( x ) ? 2 和 g ( x ) ? 5 ? 2 x 的图像交点 D 的横坐标、 x 2 恰好就是函数
h ( x ) ? 2 lo g 2 ( x ? 1) 和 g ( x ) ? 5 ? 2 x 的图像交点 E 的横坐标.如图(2) :

y f(x) = 2x
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2
显示 字母 显示 基本图 隐藏 坐标系

y=x
D F E

h(x)=2log2(x-1) x

o

1 2

3

4 5

6

7

8

g(x) = 5
图(2)
x

2?x
显示 抽签 显示 9 显示 17

-3

由于函数 f ( x ) ? 2 和 h ( x ) ? 2 lo g 2 ( x ? 1) 的图像不关于直线 y ? x 对称,g ( x ) ? 5 ? 2 x 的图像 自身也不关于直线 y ? x 对称,所以交点 D 和交点 E 不在关于直线 y ? x 对称,从而直线 y ? x 和
5 5 5 10 g ( x ) ? 5 ? 2 x 的交点 F ( , ) 不再是点 A 和点 B 的中点,因此 x1 ? x 2 ? 2 ? ? . 3 3 3 3

那么,如何才能正确的解决此种类型的题呢?答案很简单:转换化归!就是将题型 A 转化为题 型 B. 题型 B 的特点是: x1 , x 2 分别是两个方程 f ( x ) ? g ( x ) 和 f 当
?1

( x ) ? g ( x ) 的解, 且直线 y ? g ( x )

自身关于直线 y ? x 对称时,那么 x1 ? x 2 的值就是直线 y ? g ( x ) 与直线 y ? x 交点横坐标的 2 倍。 根据以上特点,现在进行转化如下: ∵ 2 ? 2 x ? 5 、 2 lo g 2 ( x ? 1) ? 2 x ? 5
x

∴ 2 ? 5 ? 2 x 、 2 lo g 2 ( x ? 1) ? 5 ? 2 x
x

∴2

x ?1

?

5 2

? x 、 lo g 2 ( x ? 1) ?
t

5 2

?x 3 2 ? t 的解分别为 t1 ? x1 ? 1, t 2 ? x 2 ? 1,

令 t ? x ? 1 ,则 方程 2 ?
t 令 f (t ) ? 2 , g ( x ) ?

3 2

? t 、 lo g 2 t ?
?1

3 2

? t ,则 f

( t ) ? lo g 2 t ,完全符合题型 B 的特点.

因此, t1 ? t 2 ? 故 x1 ? x 2 ?
7 2

3 2

,即 ( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ?

3 2




?1

如果将题型 B 的特点扩展为:当 x1 , x 2 分别是两个方程 f ( x ) ? g ( x ) 和 f

( x ) ? g ( x ) 的解,且

曲线 y ? g ( x ) 自身关于直线 y ? x 对称时,那么 x1 , x 2 将满足什么关系?也就是说将 y ? g ( x ) 的图 像是直线型改为一般曲线型的问题如何解决. 题型 C: 已知 x1 , x 2 分别是方程 x ? 10 ? 2010 、方程 x lg x ? 2 0 1 0 的根,则 x1 ? x 2 =(
x



A.2008

B.2009

C.2010

D.2011

仿照题型 B 的思路: ∵ x ? 10 ? 2010 、 x lg x ? 2 0 1 0
x

∴1 0 ?
x

2010 x

、 lg x ?

2010 x 2010 x

x 令 f ( x) ? 10 , g ( x ) ?

,则 f

?1

( x ) ? lg x
2010 x

x 这时 x1 恰好就是函数 f ( x ) ? 1 0 和 g ( x ) ?

的图像交点 G 的横坐标、 x 2 恰好就是函数

f

?1

( x ) ? lg x 和 g ( x ) ?

2010 x

的图像交点 H 的横坐标.如图(3) :

y
G

y=x 2010 x
H

f(x) = 10x

h(x)=

o
显示 字母 显示 基本图 隐藏 坐标系

g(x)=lgx
图(3)
显示 抽签 显示 9

x
显示 17

由于函数 f ( x ) ? 1 0 和 f
x

?1

( x ) ? lg x 的图像关于直线 y ? x 对称, g ( x ) ?

2010 x

的图像自身也

关于直线 y ? x 对称,所以交点 G ( x1 , y1 ) 和交点 H ( x 2 , y 2 ) 关于直线 y ? x 对称,从而 y1 ? x 2 (或
x1 ? y 2 ) ,即
2010 x1 ? x 2 (或 x1 ? 2010 x2

) ,因此 x1 ? x 2 ? 2 0 1 0 .故选 C.


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