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对一道竞赛预赛试题的探究


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数学通讯 —— 2 0 1 4年 第 7 、 8期 ( 上 半 月)  

? 课 外园地 ?  

对 一 道 竞 赛 预 赛 试 题 的探 究 
林国夫  
( 浙 江 省 春 晖 中学 ,3 1 2 3 5 3 )  

本 文拟对 2 0 1 3 年 全

国高 中数学 联赛 湖 北省 预  赛高 二 年级 第 6题进 行探 究.  
试题 


在 AMF   F中 , 由于 l   F   F   I 一2 , 则 由正弦定 
理 得 

如图 1 , 设 F  
2   . . 2  

I   l  

l  MF  I 一 2?  
’  

,l  

I = 2  

为 椭 圆 c:   +  
‘ 士  。 

= 1的 



 

右焦点 , 过 椭 圆 C 外 一 点  P作 椭 圆 C 的切线, 切 点 

So  
图 l  

s i n ( 2 0+ a一  )   s i n 2 0   ’  

j  

从而 『  

,I +1   MF   I = 2。  

一 2?  

为M, 若  P F 』  = 9 0 。 , 求 
点 P的轨 迹 方程 .  
I .探 究 试 题 本 身 的 
解 法 


曼 ±  
s i n 2 0  
2 c os ( 0    ̄a )

— —

一  


二   堂: !  ! 殳 ±  
s i n2 0  

一  



又结 合 椭 圆的 定义得 l   MF  l +  =4 御 c 。 s (  + a )  

解法 1   由于点 P 由点 M 的运 动 引 起 , 因此 
若 设 点 M 的 坐标为 M ( 2 c o s O , v  ̄s i n 0 ) , 则 点 P可以  用 0 表示 , 从 而 可求 得点 P的轨 迹方 程. 事实 上 , 直 

I   MF   l 一4 , 故 
一 一

2 c o s 0 , 故2 +C O S O  ̄ 一t a n 0 ? s i n a . 又 由椭 圆 的极  

坐标方 程 l D — 

一一 得  p

线 

的斜率 为 忌   一  

,  : 7 3 ̄ P F M = 
(  一1 ) .  


  ’

上 十 eC OS 口  

三 .(   一 c )  

9 O 。 , 从 而直 线 P F的方 程 为  一 

『 M F   I 一   }一  3  ,   1+ —  c o s 口   -  。  … u
从而 f   Q F   I —I   P F【 s i n a= l   MF   I   t a n 0? s i v a  
: : =   _ 
Z十

c o   s 0 由于 椭 圆 C在 点 M 处 的 切 线 为 2 . x + 


 ̄ - s i n 0 y 4





1即 y   一J  ̄   c   o s 0
, 

S 1 nU  

+  Si n



联 立 方 程 

?t a n 0?s i n a = 3,  

C OS a  

{ f   一   q / - 3 (   一 1 )   s m臼  
一 一

故 『 Q F   l 一3 , 从 而点 P在 直线 . 2 7 =4 上, 从 而 
4 , ?   V   一 

得 1 导   Z z   一

点 P的轨迹 方 程为  一 4 .   显 然对 比上 述 两 种 解 法 , 我 们 觉 得 第 一 种 解 

i I  一 一面 √ 3 c o s 0   工 十一 . √ 3  
 ̄( 4 1
— — -

s i n 0  

法 更 贴近 我们 的 实 际 , 而第 二 种 解 法 巧 妙 地 借 助 
椭 圆的定 义 , 具 有 一定 的 创新 性 , 更 有 助 于 培 养学 
生 的综 合 能力 .   2 . 探 究试 题背 后 隐藏 的秘 密 
从上 述结果 我 们 发现 直线 . 2 7 — 4是 椭 圆 C的  准线 , 很特殊 ! 因 此 我 们 比较 感 兴 趣 的 是 , 对 一 般 
~  

2   c o s 0 )





故点 P 的轨迹 为直 线 z 一 4 .  

解法 2   考 虑 到 试 题 

涉及椭 圆的焦点 , 因 此 我  们 考虑 利 用 椭 圆 的定 义 求 

解 问题 .如 图 2 , 设 点 P在  轴上 的射影 为 Q. 考 虑对 
称性 , 设 点 M 在  轴 的 上  方,   MF a := d ,   P MF  
2  ,   MF1 F= 2 0+ a一 7 c .  

/ F   1  Q  

的椭 圆是 否具 有 更 一 般 的性 质 呢? 为 了考 虑更 一 
般 的情形 , 我 们思 考 下述 问题 :  


2  

. . 2  

图 2  

如图 3 , 已知 点 F ( c , o )是 椭 圆 c:   + 


0 

一 

—0 . 根 据 椭 圆 中的 光 学 性 质 得 ,   F   MF 一 兀一  

1 ( 口> b> O )的右焦 点 , 点 P是 椭 圆 C上 一点 , 椭 
2  

圆在 点 P处 的切 线 交 椭 圆 的 右 准线  一 

于 点 

?

课 外 园地 ?  

数 学通 讯 一一 2 O 1 4年 第 7 、 8期 ( 上半月)  

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Q. 若直线 Q F, P F 的斜 率 

  J l  

k o v, 是   均存 在 时 , 则是 。 F ,   k p v具 有 什么 关 系? 对 此 我  们 进行 如 下探 究.  
过 Q作 椭 圆 C 的另 一  切线 , 切 点为 P   . 设 Q的坐 
2  
. 

程 为   一 一  
Q  
: 一  


( 3  ̄ ' - m ) , 令 z 一 笔 , 解 得  
由此 点 Q 的坐 标 为 (   ,  

P 



 

) , 考 虑 到 点 P( z 。 ,   。 )在 椭 圆 c 上 ,  

标为( a, 一 t ) , 由文 [ 1 ]得 ,  
‘ 

图 3  

即 :一 6 。 ( 1 ~  - - - - 4 - - 、 , 则直线 P Q 的斜率 为 
b 0 (   一  )  
一 弘 

a  2  

切 点 弦P P   的 方 程 为   z +   =1 , 即 詈+   t   3 ,  


是 P Q = = :  

1 . 此直线 恰 过点 F. 从 而直线 P F 的斜 率 为 k 尸 F  


b 。 (  0一  )一 my  
— — — — —   — — — — — — — — — — — — — — — — — 一  

1  
= 一

一 一



a。Yo一 眦

oYo  

÷ = 一 等 , 而 直 线 Q F 的 斜 率 志   一   L一  
一  



6 。 (  。 一  )一  .6   ( 1 ~  )  
。  

c t  

=7 ’  


5 %0 ( -1



+  ̄ X o )


b 2 Xo
一  


故 走 Q F ? k v v 一 一  ≥一 一 1 , 即 F Q 上 F P ,  
证 毕. 显 然 文首试 题 是这 一 性 质 的 具体 体 现 . 借助  上 述类 似 的方法 我们 不 难 可得 到 下列 关 于 椭 圆 的 
更 一般 性 的性质 .   定理  如图 4 , 已知 
2  

,  

由 0 ( 1 一  
故直 线 P Q 为 椭 圆 C 的切 线 , 证毕 .   3 . 探 究 试题 与 高考试 题 的关联 性  纵 观 近 几 年 高 考试 题 , 我 们 发现 高 考 试 题 与  竞 赛试题 具 有 相 互 融 合 的趋 势 . 因此 我 们 想