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湖南省株洲市醴陵二中2014-2015学年高二(下)期末数学练习试卷(文科) Word版含解析


湖南省株洲市醴陵二中 2014-2015 学年高二(下)期末数学练习 试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知椭圆方程为 A. 6 ,则这个椭圆的焦距为( B. 2 ) B. 若 a>b>0,则 a >b D. 若
2 2 2

) D.<

br />
C.

2.下列命题为真命题的是( A. 若 a>b,则 ac>bc

C. 若|x﹣3|>1,则 2<x<4

,则 x >4

3. 若椭圆

=1 (a>b>0) 的离心率 e 为黄金分割比

, 则称该椭圆为“优美椭圆”,

该类椭圆具有性质 b =ac(c 为该椭圆的半焦距) .那么在双曲线 中具有类似性质的“优美双曲线”的离心率为( A. B. ) C.

2

=1(a>0,b>0)

D.

4.p:α=30°是 q: A. 必要不充分条件 C. 充要条件

成立的

( B. 充分不必要条件 D. 非充分非必要条件



5.过点(0,2)与抛物线 y =8x 只有一个公共点的直线有( A. 无数多条 B. 3 条 C. 2 条 6.下列求导运算正确的是( A. ′= )

2

) D. 1 条

B. (log2x)′= D. (x +4)′=2x+4
2

C. (cosx)′=sinx

7.如果方程

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是(



A. 3<m<4

B.

C.

D.

8.下图是导函数 y=f′(x)的图象,则原函数 y=f(x)的图象可能为(



A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 2 ? 9.若 p:?x0∈R,x0 +2x0+2≤0,则 p 为 . 10.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)函数关系式为 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 .

11.一个物体的运动方程为 s=1﹣t+t 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是 米/秒. 12.一条渐近线方程为 y=x,且过点(2,4)的双曲线标准方程为 .

2

13.椭圆
3

被直线 y=x﹣1 截得的弦长为
2



14.函数 f(x)=x ﹣x ﹣x 的单调减区间是



15.已知点 A 是双曲线

的右顶点,过点 A 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的两条 .

渐近线交于 B、C 两点,若△BOC 为锐角三角形,则离心率的取值范围为

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明及演算步骤) 3 16.已知函数 f(x)=x ﹣7x+1. (1)求在 x=﹣1 处的切线方程;

(2)求该切线与坐标轴所围成的三角形面积. 17.已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率为 . (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆左顶点作直线 l,若动点 M 到椭圆右焦点的距离比它到直线 l 的距离小 4,求点 M 的轨迹方程. 18.已知 p:|2﹣ |>3,q:x ﹣2x+1﹣m >0(m>0) .若 p 是 q 的必要非充分条件,求实 数 m 的取值范围. 19. 在边长为 60cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折起 (如图) , 做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?
2 2

20.已知椭圆与双曲线 2x ﹣2y =1 共焦点,且过( (1)求椭圆的标准方程. (2)求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方程. 21.已知函数 f(x)= x ﹣ x +cx+d 有极值. (Ⅰ)求 c 的取值范围;
3 2

2

2



(Ⅱ)若 f(x)在 x=2 处取得极值,且当 x<0 时,f(x)< d +2d 恒成立,求 d 的取值范 围.

2

2014-2015 学年湖南省株洲市醴陵二中高二(下)期末数 学练习试卷(文科) (5)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知椭圆方程为 A. 6 ,则这个椭圆的焦距为( B. 2 C. ) D.

考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题. 分析:根据椭圆的标准方程,可知焦点在 y 轴上,由此可确定 a =32,b =23,利用 c =a ﹣ 2 b ,可确定椭圆的焦距. 2 2 2 解答: 解:由题意,椭圆的焦点在 y 轴上,且 a =32,b =23,∴c =9 ∴c=3,∴2c=6 故选 A. 点评:本题以椭圆的标准方程为载体,考查椭圆的几何性质,属于基础题. 2.下列命题为真命题的是( A. 若 a>b,则 ac>bc C. 若|x﹣3|>1,则 2<x<4 ) B. 若 a>b>0,则 a >b D. 若
2 2 2 2 2 2 2

,则 x >4

考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题. 分析:对于 A,找出结论不成立的情形;对于 B,若 a>b>0,利用不等式的性质可得结论 成立;对于 C,直接解不等式可得 x>4 或 x<2,所以结论不成立;对于 D,直接平方可得 2 则 2<x <4,所以结论不成立. 解答: 解:对于 A,c≤0 时,结论不成立; 2 2 2 2 对于 B,若 a>b>0,利用不等式的性质可得:a >ab,ab>b ,∴a >b ,结论成立; 对于 C,x﹣3>1 或 x﹣3<﹣1,∴x>4 或 x<2,∴结论不成立; 对于 D,若 ,则 2<x <4,∴结论不成立. 故选 B. 点评:本题以命题为载体,综合考查不等式知识,解题时应正确运用不等式的性质.
2

3. 若椭圆

=1 (a>b>0) 的离心率 e 为黄金分割比

, 则称该椭圆为“优美椭圆”,

该类椭圆具有性质 b =ac(c 为该椭圆的半焦距) .那么在双曲线 中具有类似性质的“优美双曲线”的离心率为( A. B. ) C.

2

=1(a>0,b>0)

D.

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:首先根据信息的要求建立等量关系,通过离心率的转化求出结果. 2 解答: 解:根据题意具有优美双曲线的性质为:b =ac 2 2 则:c ﹣a =ac 2 2 整理得:c ﹣a ﹣ac=0 进一步得: 即:e ﹣e﹣1=0 解得:e= 由于双曲线的离心率 e>1 所以:e= 故选:B 点评:本题考查的知识要点:双曲线离心率的应用.属于基础题型.
2

4.p:α=30°是 q: A. 必要不充分条件 C. 充要条件

成立的

( B. 充分不必要条件 D. 非充分非必要条件



考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析:由已知命题 q: 与 q 之间的关系; 解答: 解:∵q: ∴α= ∴ +2kπ 或 α= ,根据正弦函数图象的性质可知, +2kπ(k∈Z) , ,根据正弦函数的周期性,可得 α 的值,然后再判断命题 p

推不出 α=30° ,

又有 α=30°?

∴p:α=30°是 q:

成立的充分不必要条件,

故选 B. 点评:此题主要考查正弦函数的图象性质及必要条件,充分条件的定义,是一道基础题. 5.过点(0,2)与抛物线 y =8x 只有一个公共点的直线有( A. 无数多条 B. 3 条 C. 2 条
2

) D. 1 条

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:计算题. 分析:当过点(0,2)的直线的斜率不存在时,直线的方程为 x=0;当过点(0,2)的直 线的斜率等于 0 时,直线的方程为 y=2;当过点(0,2)的直线斜率存在且不为零时,设为 k,把 y=kx+2,代入抛物线方程,由判别式等于 0,求得 k 的值,从而得到结论. 2 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点为(2,0) ,当过点(0,2)的直线的斜率不存在时,直 线的方程为 x=0,即直线为 y 轴时, 2 与抛物线 y =8x 只有一个公共点. 2 当过点(0,2)的直线的斜率等于 0 时,直线的方程为 y=2,与抛物线 y =8x 只有一个公共 点. 当过点 (0, 2) 的直线斜率存在且不为零时, 设为 k, 那么直线方程为: y﹣2=kx, 即: y=kx+2, 代入抛物线方程 可得 k x +(4k﹣8)x+4=0,由判别式等于 0 可得:64﹣64k=0,∴k=1,此时,直线的方 程为 y=kx+2. 综上,满足条件的直线共有 3 条, 故选 B. 点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系, 体现了分类讨论的数学思想, 求出直线的斜率, 是解题的关键. 6.下列求导运算正确的是( A. ′= ) B. (log2x)′= D. (x +4)′=2x+4
2 2 2

C. (cosx)′=sinx 考点:导数的运算. 专题:计算题. 分析: A、根据求导法则( )′=﹣ B、根据求导法则, (logax)′=

即可求出导数,作出判断;

求出导数,即可作出判断;

C、根据(cosx)′=﹣sinx,即可判断出本选项错误; D、根据求导法则, (a+b)′=a′+b′以及(C)′=0 即可求出导数,作出判断; 解答: 解:A、 ( )′=﹣ ,本选项错误;

B、 (log2x)′=

,本选项正确;

C、 (cosx)'=﹣sinx,本选项错误; 2 D、 (x +4)′=2x,本选项错误; 故选 B. 点评:此题考查了求导的运算.要求学生掌握求导法则,锻炼了学生的计算能力,是一道基 础题.

7.如果方程 A. 3<m<4

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( B. C. D.



考点:椭圆的定义. 专题:计算题. 分析:进而根据焦点在 y 轴推断出 4﹣m>0,m﹣3>0 并且 m﹣3>4﹣m,求得 m 的范围. 解答: 解:由题意可得:方程 所以 4﹣m>0,m﹣3>0 并且 m﹣3>4﹣m, 解得: . 表示焦点在 y 轴上的椭圆,

故选 D. 点评:本题主要考查了椭圆的标准方程,解题时注意看焦点在 x 轴还是在 y 轴. 8.下图是导函数 y=f′(x)的图象,则原函数 y=f(x)的图象可能为( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的单调性与导数的关系. 专题:阅读型. 分析:由导函数值的正负区间,可以得出原函数的递增、递减区间,由此得出只有 C 符合. 解答: 解:设导函数图象与 x 轴的两个交点坐标分别为(x1,0) , (x2,0)x1<0,x2>0

当 x∈(﹣∞,x1) , (x2,+∞) 时,f′(x)>0,所以 f(x)的递增区间为(﹣∞,x1) , (x2, +∞) 当 x∈(x1,x2 )时,f′(x)<0,所以 f(x)的递减区间为(x1,x2 ) . 只有 C 符合. 故选 C. 点评:本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 二、填空题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 2 ? 2 9.若 p:?x0∈R,x0 +2x0+2≤0,则 p 为 ?x∈R,x +2x+2>0 . 考点:命题的否定. 专题:常规题型. 分析:特称命题:“?x0∈R,x0 +2x0+2≤0”的否定是:把?改为?,把”≤“改为”>”即可求得答 案. 2 解答: 解:特称命题:“?x0∈R,x0 +2x0+2≤0”的否定是全称命题: 2 ?x∈R,x +2x+2>0. 2 故答案为:?x∈R,x +2x+2>0. 点评:写含量词的命题的否定时,只要将“任意”与“存在”互换,同时将结论否定即可,属基 础题. 10.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)函数关系式为 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件 .
2

考点:函数在某点取得极值的条件. 专题:导数的综合应用. 分析:求出函数的导函数, 由导函数等于 0 求出极值点, 结合实际意义得到使该生产厂家获 取最大年利润的年产量. 解答: 解:由
2

,得:y =﹣x +81,



2

由﹣x +81=0,得:x1=﹣9(舍) ,x2=9. 当 x∈(0,9)时,y >0,函数 当 x∈(9,+∞)时,y <0,函数 所以当 x=9 时,函数有极大值,也就是最大值,为
′ ′

为增函数, 为减函数, (万元) .

所以使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件. 故答案为 9 万件. 点评:本题考查了函数在某点取得极值的条件, 考查了运用导函数判断原函数的单调性, 此 题是基础题. 11.一个物体的运动方程为 s=1﹣t+t 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是 5 米/秒.
2

考点:导数的几何意义. 专题:计算题. 分析:求出运动方程的导数,据对位移求导即得到物体的瞬时速度,求出导函数在 t=3 时的 值,即为物体在 3 秒末的瞬时速度 2 解答: 解:∵物体的运动方程为 s=1﹣t+t s′=﹣1+2t s′|t=3=5 故答案为:5 点评:求物体的瞬时速度,只要对位移求导数即可. 12.一条渐近线方程为 y=x,且过点(2,4)的双曲线标准方程为 y ﹣x =12 .
2 2

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析: 因为已知双曲线的一条渐近线方程为 y=x, 利用共渐近线的双曲线方程的表示形式 可设双曲线方程为 x ﹣y =k, (k≠0) ,再把点(2,4)代入求 k 即可. 解答: 解:∵双曲线的一条渐近线方程为 y=x, 2 2 ∴可设双曲线方程为 x ﹣y =k, (k≠0) ∵点(2,4)在双曲线上,代入双曲线方程,得 4﹣16=k ∴k=﹣12 ∴双曲线标准方程为 y ﹣x =12 2 2 故答案为 y ﹣x =12 点评:本题主要考查共渐近线的双曲线方程的表示形式, 以及待定系数法求双曲线方程, 属 于双曲线性质的应用.
2 2 2 2

13.椭圆

被直线 y=x﹣1 截得的弦长为



考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:计算题. 分析:将直线 y=x﹣1 代入椭圆 解答: 解:将直线 y=x﹣1 代入椭圆 ∴ 代入直线 y=x﹣1,∴ ∴椭圆 故答案为: 被直线 y=x﹣1 截得的弦长为 ,可求两交点的坐标,从而可求弦长. ,整理得 3x ﹣4x=0
2

点评:本题以直线与椭圆为载体,考查直线与椭圆的位置关系,考查弦长公式,关键是联立 方程求交点坐标.
3 2

14.函数 f(x)=x ﹣x ﹣x 的单调减区间是



考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题. 分析:先求导函数,再令其小于 0,解不等式,即可得出函数的单调减区间. 2 解答: 解:由题意,f′(x)=3x ﹣2x﹣1=(x﹣1) (3x+1) 令 f′(x)<0,即(x﹣1) (3x+1)<0 ∴ ∴函数 f(x)=x ﹣x ﹣x 的单调减区间是 故答案为: 点评:本题以函数为载体,考查导数的运用,考查函数的单调性,解题的关键是求导函数, 并令其小于 0.
3 2

15.已知点 A 是双曲线

的右顶点,过点 A 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的两条 ) .

渐近线交于 B、C 两点,若△BOC 为锐角三角形,则离心率的取值范围为 (1,

考点:双曲线的简单性质;双曲线的定义. 专题:计算题. 分析:为解题简单,可以设 B 在 x 轴上方,根据题意,若△BOC 为锐角三角形,则∠BOA <45°,结合双曲线的渐近线方程进而可得 KOB= <1,而 e =
2 2

=

=1+

,将 <1

代入可得 1<e <2,进而开方可得答案. 解答: 解:设 B 在 x 轴上方,根据题意,若△BOC 为锐角三角形,则∠BOA<45°,则 KOB<1, KOB= ,则 <1,
2

则e =

=
2

=1+



易得 1<e <2, 则 1<e< , 故答案为(1, ) . 点评:本题考查双曲线的简单性质,解题的关键是有△BOC 为锐角三角形,得到 <1.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明及演算步骤) 16.已知函数 f(x)=x ﹣7x+1. (1)求在 x=﹣1 处的切线方程; (2)求该切线与坐标轴所围成的三角形面积. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题. 分析: (1) 根据曲线的解析式求出导函数, 把 x=﹣1 代入导函数中即可求出切线的斜率, 根据切点的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可; (2)由(1)得到切线 l 的方程;进而求出切线 l 与两坐标轴的交点坐标,即可求出切线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积. 解答: 解: (1)依题意得,f'(x)=2x ﹣7 ∴f'(﹣1)=2﹣7=﹣5 又∵f(﹣1)=7 ∴切点为(﹣1,7) ,切线斜率为﹣5 ∴切线方程为:y﹣7=﹣5(x+1) ,即 y=﹣5x+2 (2)在切线方程中,当 x=0 时,y=2; 当 y=0 时,x= , ∴切线与 x,y 轴的交点坐标分别为: ( ,0) , (0,2) . ∴该切线与坐标轴所围成的三角形面积为: . 点评:此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程, 是一道综合题. 学生在解决此 类问题一定要分清“在某点处的切线”, 还是“过某点的切线”; 同时解决“过某点的切线”问题, 一般是设出切点坐标解决.
2 3

17.已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率为 . (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆左顶点作直线 l,若动点 M 到椭圆右焦点的距离比它到直线 l 的距离小 4,求点 M 的轨迹方程. 考点:抛物线的标准方程;椭圆的应用. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用长轴长等于 12,离心率为 ,求出椭圆的几何量,从而可求椭圆的标准 方程; (2)法一:利用求轨迹方程的一般方法求解;法二:利用抛物线的定义求解. 解答: 解: (1)设椭圆的半长轴长为 a,半短轴长为 b,半焦距为 c. 由已知,2a=12,所以 a=6. (2 分) 又 ,即 a=3c,

所以 3c=6,即 c=2. (4 分) 于是 b =a ﹣c =36﹣4=32. 因为椭圆的焦点在 x 轴上, 所以椭圆的标准方程是 . (6 分)
2 2 2

(2)法一:因为 a=6,所以直线 l 的方程为 x=﹣6, 又 c=2,所以右焦点为 F2(2,0) 过点 M 作直线 l 的垂线,垂足为 H,由题设,|MF2|=|MH|﹣4. 设点 M(x,y) ,则
2 2 2 2

. (8 分)

两边平方,得(x﹣2) +y =(x+2) ,即 y =8x. (10 分) 2 故点 M 的轨迹方程是 y =8x. (12 分) 法二:因为 a=6,c=2,所以 a﹣c=4,从而椭圆左焦点 F1 到直线 l 的距离为 4. (8 分) 由题设,动点 M 到椭圆右焦点的距离与它到直线 x=﹣2 的距离相等, 所以点 M 的轨迹是以右焦点为 F2(2,0)为焦点,直线 x=﹣2 为准线的抛物线. (10 分) 显然抛物线的顶点在坐标原点,且 p=|F1F2|=4, 2 故点 M 的轨迹方程是 y =8x. (12 分) 点评:本题考查椭圆、抛物线的标准方程,考查椭圆的几何性质,考查抛物线的定义,考查 学生的计算能力,属于中档题.
2 2

18.已知 p:|2﹣ |>3,q:x ﹣2x+1﹣m >0(m>0) .若 p 是 q 的必要非充分条件,求实 数 m 的取值范围. 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑.

分析:求出 p, q 解集, 根据 p 是 q 的必要非充分条件, 得出求解即可



解答: 解:∵p:|2﹣ |>3, ∴即 x<﹣2,或 x>10, 2 2 ∵q:x ﹣2x+1﹣m >0(m>0) . ∴x<1﹣m 或 x>1+m,

∵p 是 q 的必要非充分条件,∴

∴m≥9, ∴实数 m 的取值范围[9,+∞) . 点评:本题考查了不等式的求解,充分必要条件的定义,难度不大,注意转化即可.

19. 在边长为 60cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折起 (如图) , 做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?

考点:函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题:计算题. 分析:先设箱底边长为 xcm,则箱高 应注意函数的定义域. 解答: 解:设箱底边长为 xcm,则箱高 cm,得箱子容积 cm,得箱子容积,再利用导数的方法解决,

(0<x<60) .

(0<x<60) 令 =0,

解得 x=0(舍去) ,x=40, 并求得 V(40)=16 000 由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000 是最 大值 3 答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm

点评:(1)解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系, 找出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义. (2)根 据问题的实际意义来判断函数最值时, 如果函数在此区间上只有一个极值点, 那么这个极值 就是所求最值,不必再与端点值比较. (3)相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简 单 20.已知椭圆与双曲线 2x ﹣2y =1 共焦点,且过( (1)求椭圆的标准方程. (2)求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方程.
2 2



考点:椭圆的标准方程;轨迹方程. 专题:计算题. 分析: (1)求出双曲线的焦点,由此设出椭圆方程,把点( ,0)代入椭圆方程,求 出待定系数即得所求的椭圆方程. (2)设斜率为 2 的弦所在直线的方程为 y=2x+b,弦的中点坐标为(x,y) ,把 y=2x+b 代 入椭圆的方程,利用一元二次方程根与系数的关系,求出轨迹方程为 y=﹣ x,求出直线 y=2x+b 和椭圆相切时的 b 值,即得轨迹方程中自变量 x 的范围. 解答: 解: (1)依题意得,将双曲线方程标准化为 =1,则 c=1.

∵椭圆与双曲线共焦点,∴设椭圆方程为

=1,∵椭圆过(

,0) ,



=2,∴椭圆方程为

=1.

(2)依题意,设斜率为 2 的弦所在直线的方程为 y=2x+b,弦的中点坐标为(x,y) ,则 y=2x+b 且 即 x=﹣
2

=1 得,9x +8xb+2b ﹣2=0,∴x1+x2=﹣ 两式消掉 b 得 y=﹣ x.
2

2

2



令△=0,64b ﹣36(2b ﹣2)=0,即 b=±3,所以斜率为 2 且与椭圆相切的直线方程为 y=2x±3 即当 x=± 时斜率为 2 的直线与椭圆相切. 所以平行弦得中点轨迹方程为:y=﹣ x(﹣ ) .

点评:本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程, 以及简单性质的应用; 求点的轨迹方程的 方法,求轨迹方程中自变量 x 的范围,是解题的易错点. 21.已知函数 f(x)= x ﹣ x +cx+d 有极值. (Ⅰ)求 c 的取值范围; (Ⅱ)若 f(x)在 x=2 处取得极值,且当 x<0 时,f(x)< d +2d 恒成立,求 d 的取值范 围. 考点:函数在某点取得极值的条件;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题.
2 3 2

分析: (I)由已知中函数解析式 f(x)= x ﹣ x +cx+d,我们易求出导函数 f′(x)的解 析式,然后根据函数 f(x)= x ﹣ x +cx+d 有极值,方程 f′(x)=x ﹣x+c=0 有两个实数 解,构造关于 c 的不等式,解不等式即可得到 c 的取值范围; (Ⅱ)若 f(x)在 x=2 处取得极值,则 f′(2)=0,求出满足条件的 c 值后,可以分析出函 数 f(x)= x ﹣ x +cx+d 的单调性,进而分析出当 x<0 时,函数的最大值,又由当 x<0 时,f(x)< d +2d 恒成立,可以构造出一个关于 d 的不等式,解不等式即可得到 d 的取 值范围. 解答: 解(Ⅰ)∵f(x)= x ﹣ x +cx+d, ∴f′(x)=x ﹣x+c,要使 f(x)有极值,则方程 f′(x)=x ﹣x+c=0 有两个实数解, 从而△=1﹣4c>0, ∴c< . (Ⅱ)∵f(x)在 x=2 处取得极值, ∴f′(2)=4﹣2+c=0, ∴c=﹣2. ∴f(x)= x ﹣ x ﹣2x+d, ∵f′(x)=x ﹣x﹣2=(x﹣2) (x+1) , ∴当 x∈(﹣∞,﹣1]时,f′(x)>0,函数单调递增,当 x∈(﹣1,2]时,f′(x)<0,函数 单调递减. ∴x<0 时,f(x)在 x=﹣1 处取得最大值 ∵x<0 时,f(x)< ∴ < 恒成立, ,
2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2

3

2

,即(d+7) (d﹣1)>0,

∴d<﹣7 或 d>1, 即 d 的取值范围是(﹣∞,﹣7)∪(1,+∞) . 点评:本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件, 导数在最大值, 最小值问题中的应 用,其中根据已知中函数的解析式,求出函数的导函数的解析式,是解答本题的关键.


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