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等比数列的前 n 项和--概念解析


2.5.1 等比数列的前 n 项和

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1.在等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 等于( A )
A.4 B. 3 2 C. 16 9 D.2

1 2.在等比数列{an}中,a1=8,q=2,则 a4 与 a8 的等比中

是( B )

A.± 4

B.4

1 C.± 4

1 D.4
2
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3.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则 数列{an}前 7 项的和为( C ) A.63 B.64 D.128

C.127

4.在等比数列{an}中,已知 a2a9=8,a4a5a6a7=( D )
A.8 C.32 B.16 D.64

5.在正实数组成的等比数列中,若 a4a5a6=3,则 log3a1+ 4 log3a2+log3a8+log3a9=______. 3
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重点

等比数列的前 n 项和

a1?1-qn?? ? ?q≠1?,当 q=1 (1)等比数列前 n 项和公式为 Sn= ? ? 1-q 时 Sn=na1. a1-anq? ? ?q≠1?. (2)等比数列另一个前 n 项和公式为 Sn= ? 1-q ?
(3)在解决等比数列问题时,已知 a1、an、q、n、Sn 中任意
三个,可求其余两个,称为“知三求二”.

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难点

错位相减法求数列的前 n 项和

如果数列{an}是等差数列,公差为 d;数列{bn}是等比数列, 公比为 q,则求数列{anbn}的前 n 项和就可以运用错位相减法, 方法如下: 设 Sn=a1b1+a2b2+?+anbn, 当 q=1 时,{bn}是常数列, nb1?a1+an? ; Sn=b1(a1+a2+?+an)= 2

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当 q≠1 时, qSn= qa1b1+qa2b2+?+qanbn

=a1b2+a2b3+?+anbn+1,
∴(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+?+bn(an-an-1) b1·q?1-qn-1? -anbn+1=a1b1+d· -anbn+1, 1-q b1dq?1-qn-1? a1b1+ -anbn+1 1-q ∴Sn= . 1-q

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等比数列的前 n 项和公式及应用 例 1:已知在等比数列{an}中,公比 q<1.

5 (1)若 a1+a3=10,a4+a6=4,求 S5;
(2)若 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式. 思维突破:求等比数列前 n 项和或已知前 n 项和求数列的 通项的思路都是根据已知条件建立方程组求出 a1 与 q.
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解:(1)由已知得,

?a1+a1q =10 ?a1?1+q ?=10 ? ? ? 3 5 ,即? 3 5 . 5 2 ?a1q +a1q =4 ?a1q ?1+q ?=4 ? ?
2 2

∵a1≠0,1+q2≠0, 1 ∴两式相除得 q =8.
3

1 ∴q=2,a1=8, ∴S5=
? ?1?5? 8?1-?2? ? ? ? ? ?

1 1-2

31 =2.
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① ?a1q =2 ? a1?1-q2? (2)由已知得?a1?1-q4? , ② ? 1-q =5× 1-q ?
2

由②得 1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0, ∵q<1, ∴q=-1或q=-2.

当q=-1时,代入①得a1=2,
通项公式为 an=2×(-1)n-1;
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1 当 q=-2 时,代入①得 a1=2,通项公式为 1 - an=2×(-2)n 1.
运用等比数列的前 n 项和公式要注意公比

q=1和q≠1 两种情形,在解有关的方程组时,通常用约分或两式
相除的方法进行消元.

7 63 1-1.在等比数列{an}中,S3=2,S6= 2 ,求 an.
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7 63 解:若 q=1,则 S6=2S3,这与已知 S3=2,S6= 2 是矛盾 a1?1-q3? 7 的,所以 q≠1.从而 S3= = 2, 1-q a1?1-q6? 63 S6= =2. 1-q 将上面两个等式的两边分别相除,得 1+q3=9, 1 所以 q=2,由此可得 a1=2, 1 - - 因此 an=2×2n 1=2n 2.
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等比数列的综合应用

例 2:在等比数列{an}中,a1a3=36,a2+a4=60,Sn>400,
求 n 的范围.

解:∵a1a3=a2q2=36,∴a1q=± 6 1 又∵a2+a4=a1q(1+q2)=60,且 1+q2>0, ∴a1q>0,得 a1q=6,1+q2=10.
?a1=2 ? 解得? ?q=3 ? ?a1=-2 ? 或? ?q=-3 ?

.

当 a1=2,q=3 时,
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a1?1-qn? 2?3n-1? Sn= = >400?3n>401,∴n≥6, 2 1-q 当 a1=-2,q=-3 时, ?-2?[?-3?n-1] Sn= >400?(-3)n>801, -4
∵n∈N*且必须为偶数,∴n≥8.

2-1.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求 数列的公比 q.
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解:(1)当q=1 时,∵S3+S6=9a1≠18a1=2S9, ∴q=1 不成立. (2)当q≠1 时,∵S3+S6=2S9, a1?1-q3? a1?1-q6? 2a1?1-q9? ∴ + = 1-q 1-q 1-q ?q3+q6=2q9. ∴1+q3=2q6.

∴2(q3)2-q3-1=0,即(2q3+1)(q3-1)=0,

3 1 1 ∵q≠1,∴2q +1=0?q =-2,∴q= -2.
3 3
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用分析法求与等比数列有关的数列的前 n 项和 例3:求数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,?,1+2+
22+?+2n-1的前n项和. 思维突破:观察数列,发现每一项是一个等比数列的和, 为此先求出数列的通项,再将每一项拆成两部分分别求和.

解:设数列为{an},则 an=1+2+22+?+2
n-1

1-2n = =2n-1, 1-2

∴Sn=a1+a2+?+an =(2-1)+(22-1)+?+(2n-1) =(2+22+?+2n)-n =2n 1-n-2.


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数列求和,首先考虑能否直接应用等差、 等比数列的求和公式;若不能,可从第n 项入手,得到 an 的表 达式,进一步考虑是否能转化(通过拆项等)成等差、等比数列再 用公式求和.

1 1 1 1 1 3-1.求数列 12,24,38,416,?,n2n的前 n 项和.
1 1 1 1 解:12+24+38+?+n2n
?1 1 1 1? =(1+2+3+?+n)+?2+4+8+?+2n? ? ? ?1?n n?n+1? = 2 +1-?2? . ? ?
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例 4:已知等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求 a3 和 q.

错因剖析:没有讨论公比 q 是否为 1,就直接使用等比数列
a1?1-qn? ,从而出现漏解. 的前n 项和公式Sn= 1-q

正解:由题意得,
若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,a3=2. a1?1-q3? 2?1-q3? =6, 若q≠1,则S3= = 1-q 1-q 解得q=1(舍去)或q=-2.此时a3=8. 综上所述,a3=2,q=1 或a3=8,q=-2.
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4-1. (2010 年天津)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是
?1? {an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 ? ? 的前 5 项和为( an? ?

C )

15 A. 8 或 5 31 C.16

31 B.16或 5 15 D. 8

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