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湖北省部分重点高中2013届高三联考(数学文)


湖北省部分重点高中 2013 届高三联考(数学文)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.不等式 x 2 ? | x | ?2 ? 0 的解集是 A. {x | ?2 ? x ? 2} C. {x | ?1 ? x ? 1} B. {x | x ? ?2或x ? 2} D. {x | x ? ?1或x ? 1} ( )

2. 若函数 f (x) 的定义域是[0,4],则函数 g ( x ) ? A [ 0,2] B (0,2)

f (2 x) 的定义域是 x
D [0,2)
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m





C (0,2]

3. 现从某校 5 名学生中选出 4 人分别参加高中“数学”“物理”“化学”竞赛,要求每科至 少有 1 人参加, 且每人只参加 1 科竞赛, 则不同的参赛方案的种数是 ( ) A.120
3 2

B.360

C.720 的极值点是( ). C. x ? 0

D.180

4.函数

f ( x) ? x 4 ? 4 x 3 ? 3 x 2 ? 2

A. x ? 0 或 x ? 1

B. x ? 1

D. x ? 0 或 x ? ?1

5.设函数 f (x) 满足 称,则 g (11) =

f ( x ? 1) ?

2x ?1 ?1 x ? 2 ,函数 g (x) 与函数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对
( )

3 A. 2
6. (

21 B. 8


13 C. 8

14 D. 9

P ? {x mx 2 ? (m ? 3) x ? 1 ? 0}
)

Q ? {x x ? 0}

,若 P ? Q ? ? ,则实数 m 的取值范围是

A. (0,1]

B. (0,1)

C. (??,1)

D. (??,1]

w.w.w.k.s. 5.u.c. o.m

2 7.已知 f ( x) ? x ? (lg m ? 2) x ? lg n , f (?1) ? ?2 , f ( x) ? 2 x 对一切 x ? R 都成立, m+n 且 则

的值是 A.110 B.120



) C.130 D.140

8. 设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图 1 所示,则导函数 y=f ?(x)可能为 ( )

-1-

y

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

图1

A

B

C

D

9. f (x) 是定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2x ? 1 ,则

f (log1 6) 的值等于
2

( B.-6 C. ?

)

A. ?

1 2

5 6

D. -4

10.如果不等式

x2 ? logm x ? 0 在(0, 1 )内恒成立,那么实数 m 的取值范围是 ( ) 2 1 1 1 1 且m ? 1 ? m ?1 A. m ? B. C. 0 ? m ? D. 0 ? m ? 16 16 4 16
1

二、填空题: ( 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

1 ? 11. ( ) 2 ? 4

( 4ab?1 )3 (0.1) (a ? b )
3
2

?2

1 ?3 2

=

.

12. 函数 y ? ln(? x ? 4 x ? 3) 的单调递减区间为

.

13.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是

2 2 14.若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是 {x | ?1 ? x ? 3} ,且 ax ? bx ? c ? 1 的解集是空集, 则 a 的取值范围是____ ____. 15.对于以下四个命题:

①若函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数,则 loga 2 ? 0 ; ②设函数 f ( x) ? 2 x ? ③函数 f ( x) ? lg( x ? ④函数 y ?

1 ? 1( x ? 0) ,则函数 f ( x ) 有最小值 1; 2x

x 2 ? 1) 是定义在 R 上的奇函数。

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

x2 ? 1 的值域为 ?x ? 1 ? x ? 1? x2 ? 1

其中正确命题的序号是____________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分)已知集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 ,集合 B ? x x ? 2x ? 8 ? 0 ,集
2 2

?

?

?

?



C ? ?x x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0, a ? 0?



-2-

(Ⅰ)求

A ? (CR B) ;

(Ⅱ)若 C ? ( A ? B) ,试确定实数 a 的取值范围.

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17. (本题满分 12 分)已知数列 {an }满足a1 ? 1, an ? an ?1 ? 3n ? 2(n ? 2) (I)求 a2 , a3 ;
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(II)求数列 {an } 的通项公式。

18.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面ABCD , AD ? CD ,且 DB 平分 ?ADC ,E 为 PC 的中点, AD ? CD ? 1 , DB ? 2 2

(Ⅰ)证明 PA// 平面BDE (Ⅱ)证明 AC ? 平面PBD

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(Ⅲ)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值

-3-

19. (本题满分 12 分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价 是 20 元,月平均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分 析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为 x
2

? 0 ? x ? 1? ,那么月平均销售量减少的

百分率为 x .记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y (元). (1)写出

y 与 x 的函数关系式;

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(2)改进工艺后,确定该纪念品的销售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

20.(本小题满分 13 分)已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? x2 . (1)求 x ? 0 时, f ( x) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 2a ? a 有三个不同的解,求 a 的取值范围。
2
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b (3)是否存在正数 a 、 (a ? b) ,当 x ?[a, b] 时, f ( x) ? g ( x) ,且 g ( x) 的值域为 [ , ] .若存在,
b a

1 1

求出 a 、 b 的值;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分14分)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? a2 x(a ? 0) 的两个极值点. (Ⅰ)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)若 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)若 x1 ? x ? x2 ,且 x2 ? a ,函数 g ( x) ? f ?( x) ? a( x ? x1 ) ,求证: | g ( x) |?
1 12

a(3a ? 2)2 .

-4-

湖北省部分重点高中十月联考
文科数学试题答案
一、选择题: ACDCC DADAB
w.w.w.k. s.5.u. c.o.m

二、填空题:

4 11. 25
三、解答题:

.12. [2,3)

?
.13. 33 14.

1 ?a?0 4

15.①③④

16.解: (Ⅰ)依题意得: (Ⅱ)∴

A ? ?x ? 2 ? x ? 3?, B ? ?x x ? ?4



x ? 2?

, A ? (CR B) ? (?2, 2]

???4 分 ?6 分

A ? B ? ?x 2 ? x ? 3?

①若 a ? 0 ,则

C ? ?x x2 ? 0? ? ?

不满足 C ? ( A ? B)

∴a?0

②若 a ? 0 ,则

C ? ?x a ? x ? 3 a?

,由

C ? ( A ? B)



?a ? 2 ?1 ? a ? 2 ? ?3a ? 3 ?3a ? 2 ? a ?? ? ?a ? 3

?????8 分

③若 a ? 0 ,则

C ? ?x 3a ? x ? a?

,由

C ? ( A ? B)



???????10 分 ???????12 分

综上,实数 a 的取值范围为 [1, 2] 17.解: (I)由已知: {an}满足a1 ? 1, an ? an ?1 ? 3n ? 2(n ? 2)

? a2 ? a1 ? 4 ? 5 ????3 分

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

a3 ? a2 ? 7 ? 12????6 分
(II)由已知: an ? an ?1 ? 3n ? 2(n ? 2) 得:

an ? an ?1 ? 3n ? 2, 由递推关系得: an ?1 ? an ?2 ? 3n ? 5,?, a3 ? a2 ? 7, a2 ? a1 ? 4 ,????8 分
叠加得: an ? a1 ? 4 ? 7 ? ? ? 3n ? 2 ?

(n ? 1)(4 ? 3n ? 2) 3n 2 ? n ? 2 ? ????10 分 2 2

? an ?

3n 2 ? n . ????12 分 2

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18.(1) 证明:设 AC ? BD ? H ,连结 EH,在 ?ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分 ?ADC ,

-5-

所 以 H 为 AC 的 中 点 , 又 有 题 设 , E 为 PC 的 中 点 , 故 EH // PA , 又

HE ? 平面BDE, PA ? 平面BDE ,所以 PA// 平面BDE

???????4 分

(2)证明:因为 PD ? 平面ABCD , AC ? 平面ABCD ,所以 PD ? AC 由 ( 1 ) 知 ,

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BD ? AC

,

PD ? BD ? D,



AC ? 平面PBD

???????8 分

(3)解:由 AC ? 平面PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内 的射影,所以 ?CBH 为直线与平面 PBD 所成的角。 由 AD ? CD , AD ? CD ? 1, DB ? 2 2 , 可得DH ? CH ?

2 3 2 , BH ? 2 2

1 CH 1 ? ,所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 3 。 在 Rt?BHC 中, tan ?CBH ? BH 3
???????12 分 19.解(1)改进工艺后,每件产品的销售价为

20 ?1 ? x ?

2 ,月平均销售量为 a 1 ? x 件,则

?

?

2 ? 1 月 平 均 利 润 y ? a 1 ? x ? 2 0 1 ??x ?? ( 元 ), ∴ y 与 x 的 函 数 关 系 式 为 ? ? ? 5

?

?

y ? 5a ?1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x 3 ?

? 0 ? x ? 1?
2 (2)由 y ? ? 5a 4 ? 2 x ? 12 x ? 0 得 x1 ?

???????6 分

?

?

1 2 , x ? ? (舍) 2 3

当0 ? x ? 在x ?

1 1 2 3 时 y ? ? 0 ; ? x ? 1 时 y ? ? 0 ,∴函数 y ? 5a ?1 ? 4 x ? x ? 4 x ? 2 2

? 0 ? x ? 1?

1 ? 1? 取得最大值.故改进工艺后,产品的销售价为 20 ?1 ? ? ? 30 元时,旅游部门销售该 2 ? 2?
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纪念品的月平均利润最大. ??????12 分 20. 解 : (1) 任 取 x ? 0 , 则 ? x ? 0 , ∴ f (? x) ? ?2 x ? (? x)2 . ∵ f ( x) 是 奇 函 数 , ∴

f ( x) ? ? f (? x) ? 2 x ? x 2 . 故 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? x2 .
(2) ∵方程 f ( x) ? 2a ? a 有三个不同的解
2

??3 分 ??5 分 ??7 分

∴ ? 1 ? 2a ? a ? 1
2

∴ ?1 ? a ?

1 2

(3)由(Ⅰ)知 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? x2 ? ?( x ? 1)2 ? 1 ? 1 ,若存在正数 a 、 b(a ? b) 满足题
-6-

意,则
1 b

? ? 1 ,即 b ? a ? 1 .又函数 f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? x2 在 (1, ??) 上是减函数,
a

1

1 ? 2 ? g ( a ) ? 2a ? a ? a ?(a ? 1)(a 2 ? a ? 1) ? 0 ? ? ∴ ? , 得 ? . 注 意 到 b ? a ?1 , 解 得 2 1 2 ?(b ? 1)(b ? b ? 1) ? 0 ? g (b) ? 2b ? b ? ? ? b ?

a ?1,b ?

1? 5 2

.

??13 分

21.

解 : ( Ⅰ ) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? a2 (a ? 0) . ∵ x1 ? ?1, x2 ? 2 是 f ( x) 的 两 个 极 值 点 , ∴

f ?(?1) ? 3a ? 2b

?a 2 ? 0 ,

f ?(2) ? 12a ? 4b ? a 2 ? 0 , 解 得 a ? 6 , b ? ?9 , ∴

??4 分 ( Ⅱ ) 由 题 知 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 , ∴ x1 , x2 是 方 程 3ax 2 ? 2bx ? a 2 ? 0 的 两 根 , ∴

f ( x) ? 6 x3 ? 9 x2 ? 36 x .

? ? 4b2 ? 12a3 ? 0 对一切 a ? 0, b ? R 恒成立.又 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? ? 0 ,
3 3

2

a

∴ | x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? (?

2b 3a

) 2 ? 4(? ) ?
3

a

4b 9a

2 2

?

4a 3

? 2 2 ,得 b2 ? 3a 2 (6 ? a) ,

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

∴ 3a2 (6 ? a) ? 0 , 0 ? a ? 6 .令 h(a) ? 3a 2 (6 ? a) , 则 h?(a) ? 36a ? 9a 2 , 当 0 ? a ? 4 时 , h?(a) ? 0 , h(a) 在 (0, 4) 上 单 调 递 增 , 当 4 ? a ? 6 时, h?(a) ? 0 , h(a) 在 (4,6) 上单调递减,∴当 a ? 4 时, h(a) 在 (0,6] 上的最大值为 h(4) ? 96 . 故 b 的最大值为 4 6 . ?? 9 分 ( Ⅲ ) ∵ x1 , x2 是 方 程 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? a 2 ? 0 的 两 根 , ∴ f ?( x) ? 3a( x ? x1 )( x ? x2 ) 又

x1 x2 ? ? , x2 ? a ,∴ x1 ? ? .∴ | g ( x) |?| 3a( x ? )( x ? a) ? a( x ? ) |?| a( x ? )[3( x ? a) ? 1]| .
3 3 3 3 3

a

1

1

1

1

∵ x1 ? x ? x2 ,即 ? ? x ? a ,∴ | g ( x) |? a( x ? )(?3x ? 3a ? 1) ? ?3a( x ? )( x ?
3 3 3

1

1

1

3a ? 1 3

)

? ?3a( x ? ) 2 ?
2

a

3a 4

3

? a2 ?

a 3

?

3a 4

3

? a2 ?

a 3

?

1 12

a (3a ? 2) 2 . ?? 14 分

-7-


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