tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016届高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明同步练习 文


2016 届高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明同步练习 文
第一节 不等关系与不等式

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用.

1.实数大小顺序与运算性质之间的关系

a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b.

r />2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c? a>c; (3)可加性:a>b? a+c>b+c,a>b,c>d? a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0? ac>bc,

a>b>0,c>d>0? ac>bd;
(5)可乘方:a>b>0? a >b (n∈N,n≥1); (6)可开方:a>b>0?
b n

n

n a> b(n∈N,n≥2).

不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 1 1 ①a>b,ab>0? < ;

a b

1 1 ②a<0<b? > ;

a b

③a>b>0,0<c<d? > ; 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? > > .

a b c d

b x a

(2)有关分数的性质

1

若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质

b b+m b b-m < ; > (b-m>0); a a+m a a-m
②假分数的性质

a a+m a a-m > ; < (b-m>0). b b+m b b-m

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( (2)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( (3)同向不等式具有可加和可乘性.( ) ) ) )

(4)两个数的比值大于 1,则分子不一定大于分母.( 答案: (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.下列命题正确的是( A.若 ac>bc,则 a>b 1 1 C.若 > ,则 a<b )

B.若 a >b ,则 a>b D.若 a< b,则 a<b

2

2

a b

答案: D 3.已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: ?
?a>0 ? ? ?b>0

)

??

?a+b>0 ? ? ?ab>0

.又当 ab>0 时,a 与 b 同号,由 a+b>0 知 a>0,且

b>0.
答案: C 4. ________ 3+1(填“>”或“<”). 2-1 1 2-1 = 2+1< 3+1. 1

解析:

答案: < 5.下列不等式中恒成立的是________. ①m-3>m-5;②5-m>3-m;③5m>3m;④5+m>5-m.
2

解析: m-3-m+5=2>0,故①恒成立; 5-m-3+m=2>0,故②恒成立; 5m-3m=2m,无法判断其符号,故③不恒成立; 5+m-5+m=2m,无法判断其符号,故④不恒成立. 答案: ①②

比较两个数(式)的大小 自主练透型 1.若 a1<a2,b1<b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________. 解析: 作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)·(b1-b2),∵a1<a2,b1<b2,∴ (a1-a2)·(b1-b2)>0,即 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 答案: a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 ln 2 ln 3 2.若 a= ,b = ,则 a________b(填“>”或“<”). 2 3 解析: 易知 a,b 都是正数, = 答案: < 3 3.若实数 m≠1,比较 m+2 与 的大小. 1-m 3 -m -m-1 m +m+1 解析: m+2- = = , 1-m 1-m m-1 3 ∴当 m>1 时,m+2> ; 1-m 3 当 m<1 时,m+2< . 1-m 比较两个数大小的常用方法 (1)作差法:其基本步骤为:作差、变形、判断符号、得出结论,用作差法比较大小的关 键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法. (2)作商法:即判断商与 1 的关系,得出结论,要特别注意当商与 1 的大小确定后必须对 商式分子分母的正负做出判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤. (3)特值验证法:对于一些题目,有的给出取值范围,可采用特值验证法比较大小. 不等式的性质 分层深化型 (1)(2014·四川卷)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( A. > )
2 2

b 2ln 3 =log89>1,所以 b>a. a 3ln 2

a b d c

B. <

a b d c

3

C. >

a b c d

D. <

a b c d
)

(2)(2014·陕西咸阳摸底)若 a,b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式成立的是( A.a >b
2 2

B. <1

b a

C.lg(a-b)>0

?1?a ?1?b D.? ? <? ? ?3? ?3?
c d d c

1 1 1 1 解析: (1)∵c<d<0,∴0> > ,∴- >- >0, 又 a>b>0,∴- >- ,故选 B. (2)当 a=-1,b=-2 时,a <b , >1,lg(a-b)=0,可排除 A,B,C,故选 D. 答案: (1)B (2)D
2 2

a d

b c

b a

1.(2014·广东东莞一模)设 a,b∈R,若 a+|b|<0,则下列不等式中正确的是( A.a-b>0 C.a -b <0
2 2

)

B.a +b >0 D.a+b<0

3

3

解析: 当 b≥0 时,a+b<0;当 b<0 时,a-b<0, ∴a<b<0,∴a+b<0,故选 D. 答案: D

2.若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;② + <0;③a-c>b-d; ④a·(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( A.1 C.3 ) B. 2 D. 4

a b d c

解析: ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,故①错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), ∴ac+bd<0,∴ + = ∵c<d,∴-c>-d. ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),
4

a b ac+bd <0,故②正确. d c cd

a-c>b-d,故③正确.
∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c), 故④正确,故选 C. 答案: C

3. (2014·浙江卷)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c, 且 0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3, 则( ) A.c≤3 C.6<c≤9 B.3<c≤6 D.c>9

3

2

解析: 由 0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得 0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3, 由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得 3a-b-7=0①, 由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得 4a-b-13=0②, 由①②,解得 a=6,b=11,∴0<c-6≤3,即 6<c≤9,故选 C. 答案: C 1.判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推 理判断需要利用不等式的性质. 2. 在判断一个关于不等式的命题真假时, 先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑, 找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比 如对数函数,指数函数的性质等. 用不等式(组)表示不等关系 互动讲练型 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在 每台 A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为 1 小时、2 小时,加工一件乙产品所需工时 分别为 2 小时、1 小时,A,B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400 和 500.写出满足上述 所有不等关系的不等式. 解析: 设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y,

x+2y≤400, ? ?2x+y≤500, 则由题意可知? x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N.

某化工厂制定明年某产品的生产计划, 受下面条件的制约: 生产此产品的工人不超过 200 人;每个工人的年工作时间约为 2 100 h;预计此产品明年的销售量至少为 80 000 袋;生产
5

每袋产品需用 4 h; 生产每袋产品需用原料 20 kg; 年底库存原料 600 t, 明年可补充 1 200 t. 试 根据这些数据预测明年的产量. 4x≤200×2 100, ? ? 解析: 设明年的产量为 x 袋,则?x≥80 000, ? ?0.02x≤600+1 200, 解得 80 000≤x≤90 000. 预计明年的产量在 80 000 袋到 90 000 袋之间. 用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时,除了把文字语言“翻译” 成符号语言,把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外,还应考虑变 量的实际意义,即变量的取值范围.

A 级 基础训练 1.已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N 解析: M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0. ∴M>N. 答案: B β ? π? ? π? 2.设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,那么 2α - 的取值范围是( 2? 2? 3 ? ? ) B.M>N D.不确定 )

? 5π ? A.?0, ? 6 ? ?
C.(0,π )

? π 5π ? B.?- , ? 6 ? ? 6 ? π ? D.?- ,π ? ? 6 ?

β π 解析: 由题设得 0<2α <π ,0≤ ≤ , 3 6 π β ∴- ≤- ≤0, 6 3

6

π β ∴- <2α - <π . 6 3 答案: D 3.(2014·山西太原模拟)已知 a,b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( A.a <b C. 1
2 2

)

B.a b<ab 1
2

2

2

ab

2



ab
2 2

D. <

b a a b
2 2

解析: 由 a<b<0 得 a >b ,知 A 不成立;由 a<b,若 ab<0,则 a b>ab ,知 B 不成立;

b a 1 b a 1 1 a-b 若 a=1,b=2,则 =2, = ,此时 > ,所以 D 不成立;对于 C,∵ 2- 2 = 2 2 <0,∴ a b 2 a b ab a b a b
1

ab2 a2b

<

1

.故选 C.

答案: C 4.(2014·山东泰安一模)如果 a>b,则下列各式正确的是( A.alg x>blg x C.a >b
2 2

)

B.ax >bx
x

2

2

D.a·2 >b·2

x

解析: A 项,当 lg x=0,即 x=1 时不满足;B 项,当 x =0 时不满足;C 项,当 a= 1,b=-2 时不满足;D 项,因为 2 >0,所以 a·2 >b·2 .综上可知选 D. 答案: D
?2<m+n<4, ? 5.设甲:m,n 满足? ? ?0<mn<3. ?0<m<1, ? 乙:m,n 满足? ? ?2<n<3,
x x x

2

那么甲是乙的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
?0<m<1, ? 解析: 由? ? ?2<n<3 ? ?2<m+n<4, 但? ?0<mn<3 ?

? 2<m+n<4,0<mn<3;

? ?0<m<1, ?/ ? ?2<n<3. ?

3 ? ?m= , 反例,如? 2 ? ?n=1, 答案: B

故甲是乙的必要不充分条件.

6.若 1<α <3,-4<β <2,则 α -|β |的取值范围是________. 解析: ∵-4<β <2,∴0≤|β |<4.∴-4<-|β |≤0.
7

∴-3<α -|β |<3. 答案: (-3,3)

a b 1 1 7.已知 a+b>0,则 2+ 2与 + 的大小关系是________. b a a b
解析:

a b ?1 1? a-b b-a + -? + ?= 2 + 2 b2 a2 ?a b? b a

2 ? 1 1 ? ?a+b??a-b? . =(a-b)? 2- 2?= 2 2

?b

a?

ab

∵a+b>0,(a-b) ≥0, ∴ ?a+b??a-b?
2

2

ab b a

2 2

≥0.

a b 1 1 ∴ 2+ 2≥ + . a b
答案:

a b 1 1 + ≥ + b2 a2 a b

8.已知-1≤x+y≤4,且 2≤x-y≤3,则 z=2x-3y 的取值范围是________(用区间表 示). 1 5 解析: ∵z=- (x+y)+ (x-y), 2 2 1 5 ∴3≤- (x+y)+ (x-y)≤8, 2 2 ∴z∈[3,8]. 答案: [3,8] 9.若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: 2> 2. ?a-c? ?b-d? 证明: ∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴(a-c) >(b-d) >0. 1 1 ∴0< 2< 2. ?a-c? ?b-d? 又∵e<0,∴ 2> 2. ?a-c? ?b-d? 10.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天 的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司要生产 A 类产品至少 50 件,B 类产品至少 140 件,所需租赁费最多不超过 2 500 元,写出满足上述所有不等关系的不等式. 解析: 设甲种设备需要生产 x 天,乙种设备需要生产 y 天,则甲、乙两种设备每天生
8
2 2

e

e

e

e

产 A,B 两类产品的情况如表所示:

A 类产品(件)
甲设备 乙设备 5 6

B 类产品(件)
10 20

租赁费(元) 200 300

5x+6y≥50, ? ?10x+20y≥140, 则 x,y 满足? 200x+300y≤2 500, ? ?x∈N,y∈N,

5x+6y≥50, ? ?x+2y≥14, 即? 2x+3y≤25, ? ?x∈N,y∈N.

B 级 能力提升 1.(2014·北京平谷 4 月)已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题: ①若 ab>0,bc-ad>0,则 - >0; ②若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; ③若 bc-ad>0, - >0,则 ab>0. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 解析: ∵ab>0,bc-ad>0, ∴ - = ) B. 1 D. 3

c d a b

c d a b

c d a b

c d bc-ad >0,∴①正确; a b ab c d a b bc-ad >0, ab

∵ab>0,又 - >0,即

∴bc-ad>0,∴②正确; ∵bc-ad>0,又 - >0,即

c d a b

bc-ad >0, ab

∴ab>0,∴③正确.故选 D. 答案: D 2.已知存在实数 a 满足 ab >a>ab,则实数 b 的取值范围是________. 解析: ∵ab >a>ab,∴a≠0, 当 a>0 时,b >1>b,
? ?b >1, 即? ?b<1, ?
2 2 2 2

解得 b<-1;
2

当 a<0 时,b <1<b,

9

?b <1, ? 即? ?b>1 ?

2

无解.

综上可得 b<-1. 答案: (-∞,-1) 3.已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b, 的取值范围. 解析: ∵15<b<36,∴-36<-b<-15. 又 12<a<60, ∴12-36<a-b<60-15, ∴-24<a-b<45, 即 a-b 的取值范围是(-24,45). ∵ ∴ 1 1 1 < < , 36 b 15 12 a 60 < < , 36 b 15

a b

1 a ∴ < <4, 3 b

a ?1 ? 即 的取值范围是? ,4?. b ?3 ?
4.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其 余人可享受 7.5 折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠.”这两个车队 的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 解析: 设该单位职工有 n 人(n∈N ),全票价为 x 元,坐甲车需花 y1 元,坐乙车需花
*

y2 元,
3 1 3 4 则 y1=x+ x·(n-1)= x+ xn,y2= nx. 4 4 4 5 1 3 4 所以 y1-y2= x+ xn- nx 4 4 5 1 1 = x- nx 4 20 1 ? n? = x?1- ?. 4 ? 5? 当 n=5 时,y1=y2; 当 n>5 时,y1<y2; 当 n<5 时,y1>y2. 因此当单位去的人数为 5 人时,两车队收费相同;多于 5 人时,甲车队更优惠;少于 5

10

人时,乙车队更优惠. 第二节 一元二次不等式及其解法

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.

三个“二次”间的关系 判别式 Δ =b -4ac 二次函数
2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

y=ax2+bx+c
(a>0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有 实数根
? ? ? ? ?

ax +bx+c=0
(a>0)的根

2

x1,x2(x1<x2)

x1=x2=-
? ? ? b ?x?x≠- 2 a ? ? ?

b

2a

ax2+bx+c>0
(a>0)的解集

{x|x<x1 或 x>x2}

R

ax2+bx+c<0
(a>0)的解集

{x|x1<x<x2}

?

?

1.分式不等式与一元二次不等式的关系 (1) (2)

x-a >0 等价于(x-a)(x-b)>0. x-b x-a <0 等价于(x-a)(x-b)<0. x-b
? ??x-a??x-b?≥0, x-a ≥0 等价于? x-b ?x-b≠0. ? ??x-a??x-b?≤0, ? x-a ≤0 等价于? x-b ?x-b≠0. ?

(3)

(4)

2.两个常用的结论
11

?a>0, ? 2 (1)不等式 ax +bx+c>0(a≠0)对任意实数 x 恒成立?? ?Δ <0. ? ? ?a<0, 2 (2)不等式 ax +bx+c<0(a≠0)对任意实数 x 恒成立?? ?Δ <0. ?

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式 ax +bx+c<0 的解集为(x1,x2),则必有 a>0.(
2 2

)
2

(2)若不等式 ax +bx+c>0 的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程 ax +bx+c=0 的两个根是 x1 和 x2.(
2

)
2

(3) 若方程 ax + bx + c = 0(a≠0)没有实数根,则不等式 ax + bx + c > 0 的解集为 R.( ) (4)不等式 ax +bx+c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ =b -4ac≤0.(
2 2 2 2

)

(5)若二次函数 y=ax +bx+c 的图象开口向下,则不等式 ax +bx+c<0 的解集一定不 是空集.( )

答案: (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.不等式 x(2-x)>0 的解集是( A.(-∞,0) C.(-∞,0)∪(2,+∞) 答案: B 3.x -ax+b>0 的解集为{x|x<2 或 x>3},则 a+b 的值是( A.1 C.11 答案: C 4.a<0 时,不等式 x -2ax-3a <0 的解集是________. 解析: ∵x -2ax-3a =0, ∴x1=3a,x2=-a. 又 a<0,∴不等式的解集为{x|3a<x<-a}. 答案: {x|3a<x<-a} 5.不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 解析: ∵不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集, ∴Δ =a -4×4>0,即 a >16. ∴a>4 或 a<-4. 答案: (-∞,-4)∪(4,+∞)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

) B.(0,2) D.(2,+∞)

)

B.-1 D.12

12

一元二次不等式的解法 互动讲练型 解下列不等式: (1)x +3x+4<0; (2)-3x -2x+8≤0; (3)12x -ax>a (a∈R). 解析: (1)由 Δ =9-16=-7<0,故不等式的解集为?. 4 2 (2)原不等式等价于 3x +2x-8≥0?(x+2)(3x-4)≥0?x≤-2 或 x≥ , 3
? 4? 故不等式的解集为?x| x≤-2或x≥ ? . 3? ?
2 2 2 2

(3)原不等式可化为 12x -ax-a >0?(4x+a)(3x-a)>0, 令(4x+a)(3x-a)=0 得 x1=- ,x2= . 4 3 ①a>0 时,- < ,此时不等式等价于 x<- 或 x> . 4 3 4 3 ②a=0 时,不等式等价于 x >0?x≠0. ③a<0 时,- > ,此时不等式等价于 x< 或 x>- . 4 3 3 4 综上所述,当 a>0 时,不等式的解集为?x| x<- 或x> ?; 4 3? ? 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x≠0}; 当 a<0 时,不等式的解集为?x| x< 或x>- ? . 3 4? ?
? ?
2

2

2

a

a

a a

a

a

a a

a

a

a

a?

a

a?

解下列不等式: (1)8x-1≤16x ; (2)ax -(2a+1)x+2<0(a>0). 解析: (1)原不等式转化为 16x -8x+1≥0, 即(4x-1) ≥0,∴x∈R, 故原不等式的解集为 R. (2)原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.
2 2 2 2

? 1? 因 a>0,原不等式可以化为 a(x-2)?x- ?<0, ?
a?

13

? 1? 根据不等式的性质知这个不等式等价于(x-2)·?x- ?<0, ?
a?
1 ? 1? 方程(x-2)?x- ?=0 的两个根是 2, .

?

a?

a

? 1? 1 1 当 0<a< 时,2< ,不等式的解集是?x| 2<x< ?, a? 2 a ?

1 当 a= 时,不等式的解集是?, 2
? ? ?1 1 1 当 a> 时, <2,不等式的解集是?x? 2 a ? ?a ?

<x<2? .
? ? ? ? ?; ? ?

? ?

? ? ? 1 1 综上所述,当 0<a< 时,不等式的解集为?x?2<x< a 2 ? ? ?

1 当 a= 时,不等式的解集为?; 2
? 1 ? 1 ? 当 a> 时,不等式的解集为?x? 2 ? ? ?a

<x<2? .
? ?

? ?

1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax +bx+c>0(a>0),ax +bx +c<0(a>0); (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能 因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 一元二次不等式恒成立问题 分层深化型 设函数 f(x)=mx -mx-1(m≠0). (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 解析: (1)要使 mx -mx-1<0 恒成立,
? ?m<0, 由 m≠0,得? 2 ? ?Δ =m +4m<0
2 2 2 2

? -4<m<0.

所以-4<m<0. (2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,即

m?x- ?2+ m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. 2

? ?

1?

?

3 4

14

有以下两种方法:

? 1?2 3 法一:令 g(x)=m?x- ? + m-6,x∈[1,3]. ? 2? 4
当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)=m-6<0,所以 m<6,所以 m<0.
? ? ? 6 综上所述,m 的取值范围是?m?0<m< 或m<0 7 ? ? ? ? ? ? . ? ?

? 1?2 3 2 法二:因为 x -x+1=?x- ? + >0, ? 2? 4
又因为 m(x -x+1)-6<0,所以 m< 因为函数 y= 6 = 6
2

6

x2-x+1

.

x2-x+1 ? 1?2 3 ?x- ? +

6 6 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可. 7 7

?

2?

4

因为 m≠0,
? ? ? 6 所以,m 的取值范围是?m?m<0或0<m< 7 ? ? ? ? ? ? . ? ?

? 1? 2 1.(2014·河南郑州调研)若不等式 x +ax+1≥0 对一切 x∈?0, ?都成立,求 a 的最小 ? 2?
值. 1 ? 1? ? 1? 解析: 法一: 由于 x>0, 则由已知可得 a≥-x- 在 x∈?0, ?上恒成立, 而当 x∈?0, ? 2 x ? ? ? 2? 1? 5 5 5 ? 时,?-x- ?max=- ,∴a≥- ,故 a 的最小值为- . x? 2 2 2 ? 法二:设 f(x)=x +ax+1,则其对称轴为 x=- . 2
2

a

a 1 5 ? 1? ?1? (1)若- ≥ , 即 a≤-1 时, f(x)在?0, ?上单调递减, 此时应有 f? ?≥0, 从而- ≤a≤ 2 2 2 ? 2? ?2?
-1.

a ? 1? (2)若- <0,即 a>0 时,f(x)在?0, ?上单调递增,此时应有 f(0)=1>0 恒成立,故 2 ? 2? a>0.
15

a 1 a ? a? a a (3)若 0≤- < ,即-1<a≤0 时,则应有 f?- ?= - +1=1- ≥0 恒成立,故- 2 2 4 ? 2? 4 2
1<a≤0. 5 5 综上可知 a≥- ,故 a 的最小值为- . 2 2 2.求使不等式 x +(a-6)x+9- 3a>0,|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围. 解析: 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x-3)a+x -6x+9>0. 令 f(a)=(x-3)a+x -6x+9. 因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立,所以 (1)若 x=3,则 f(a)=0,不符合题意,应舍去.
? ?f?-1?>0, (2)若 x≠3,则由一次函数的单调性,可得? ?f?1?>0, ? ? ?x -7x+12>0, 即? 2 ?x -5x+6>0, ?
2 2 2 2

2

2

2

解得

x<2 或 x>4.
故 x 的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).

3. (2014·广东湛江检测)设奇函数 f(x)在[-1,1]上是单调函数, 且 f(-1)=-1.若函 数 f(x)≤t -2at+1 对所有的 x∈[-1,1]都成立,则当 a∈[-1,1]时,求 t 的取值范围. 解析: ∵f(x)为奇函数,f(-1)=-1, ∴f(1)=-f(-1)=1. 又∵f(x)在[-1,1]上是单调函数, ∴-1≤f(x)≤1, ∴当 a∈[-1,1]时,t -2at+1≥1 恒成立, 即 t -2at≥0 恒成立. 令 g(a)=t -2at,a∈[-1,1],
? ?t -2t≥0, ∴? 2 ?t +2t≥0, ?
2 2 2 2 2

解得 t≥2 或 t=0 或 t≤-2.

t 的取值范围为 t≥2 或 t=0 或 t≤-2.
恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁 当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题, 恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全

16

部在 x 轴上方;恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方. 一元二次不等式的应用 互动讲练型 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产 产品 x(百台),其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成 本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入 R(x)满足
? ?-0.4x +4.2x-0.8 R(x)=? ?10.2 ?x>5?, ?
2

?0≤x≤5?,

假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?此时每台产品的售价为多少? 解析: 依题意得 G(x)=x+2,设利润函数为 f(x),则 f(x)=R(x)-G(x),
? ?0≤x≤5?, ?-0.4x +3.2x-2.8 所以 f(x)=? ?8.2-x ?x>5?, ?
2

(1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0,因为

f(x)>0??

?0≤x≤5, ? ? ?-0.4x +3.2x-2.8>0
2

?x>5, ? 或? ? ?8.2-x>0

? ?0≤x≤5, ?? 2 ?x -8x+7<0 ?

? ?0≤x≤5, 或 5<x<8.2? ? ?1<x<7 ?

或 5<x<8.2

? 1<x≤5 或 5<x<8.2? 1<x<8.2. 所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4) +3.6, 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2, 所以当工厂生产 400 台产品时,盈利最大, 又 x=4 时,
2

R?4?
4

=2.4(万元/百台)

=240(元/台). 故此时每台产品的售价为 240 元.

某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家 ISP 公司可供选择.公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 在用户每次上网的第 1 小时内收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每 小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算).假设该同学一次上网 时间总和小于 17 小时,那么该同学如何选择 ISP 公司较省钱? 解析: 假设一次上网 x 小时,则公司 A 收取的费用为 1.5x 元,
17

公司 B 收取的费用为

x?35-x?
20

元.

若能够保证选择 A 比选择 B 费用少,则

x?35-x?
20
2

>1.5x(0<x<17),

整理得 x -5x<0,解得 0<x<5, 所以当一次上网时间在 5 小时以内时,选择公司 A 的费用少;超过 5 小时,选择公司 B 的费用少;上网 5 小时,公司 A、B 的费用一样. 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系. (2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数 学模型. (3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.

A 级 基础训练 1-x 1.(2014·广东惠州模拟)不等式 ≥0 的解集为( 2+x A.[-2,1] C.(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析: B.(-2,1] D.(-∞,-2]∪(1,+∞) ?-2<x≤1. )

??1-x??2+x?≥0, ? 1-x ≥0?? 2+x ? ?2+x≠0

答案: B 2.已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A,不等式 x +x-6<0 的解集为 B,不等式 x +
2 2 2

ax+b<0 的解集为 A∩B,那么 a+b 等于(
A.-3 C.-1

) B. 1 D. 3

解析: 由题意得 A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},A∩B={x|-1<x<2},由 根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,∴a+b=-3. 答案: A 1 2 3.下列选项中,使不等式 x< <x 成立的 x 的取值范围是(

x

)

A.(-∞,-1) C.(0,1)

B.(-1,0) D.(1,+∞)
18

解 析 :

由 x <

1

x

< x

2

1 x< , ? ? x 可 得 ? 1 ? ?x<x ,
2

x -1 ? ? x <0, 即 ? 1-x ? ? x <0,
3

2

解 得

?x<-1或0<x<1, ? ? ?x<0或x>1, ?

综合知 x<-1.

答案: A 4.如果关于 x 的不等式 5x -a≤0 的所有正整数解是 1,2,3,4,那么实数 a 的取值范围 是( ) A.[80,125) C.(-∞,80) 解析: 由 5x -a≤0, 得- ∴4≤ 答案: A 5 . (2014· 辽 宁 五 校 协 作 体 联 考 ) 已 知 一 元 二 次 不 等 式 f(x)≤0 的 解 集 为
? ? ? 1 ?x?x≤ 或x≥3 2 ? ? ? ? ? ?,则 f(ex)>0 的解集为( ? ?
2 2

B.(80,125) D.(125,+∞)

a
5

≤x≤

a
5

, 而 5x -a≤0 的所有正整数解是 1,2,3,4,

2

a

<5,∴80≤a<125. 5

) B.{x|ln 2<x<ln 3} D.{x|-ln 2<x<ln 3}

A.{x|x<-ln 2 或 x>ln 3} C.{x|x<ln 3}

解析: 由题意可知一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下,故 f(x)>0 的
? 1 ? ? 解集为?x? <x<3 ? ?2 ? ? ? ?, ? ?

1 x x 又∵f(e )>0,∴ <e <3,解得-ln 2<x<ln 3. 2 答案: D 6.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________. 解析: 不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即 x(x-2)<0 的解集,解得 0<x<2. 答案: {x|0<x<2} 1? ? 7.(2014·重庆万州考前模拟)若关于 x 的不等式 ax>b 的解集为?-∞, ?,则关于 x 5? ? 4 2 的不等式 ax +bx- a>0 的解集为____________. 5 1? b 1 4 ? 2 解析: 由已知 ax>b 的解集为?-∞, ?,可知 a<0,且 = ,将不等式 ax +bx- a 5? a 5 5 ?
19

b 4 1 4 4 2 2 2 >0 两边同除以 a,得 x + x- <0,所以 x + x- <0,即 5x +x-4<0,解得-1<x< , a 5 5 5 5
4? ? 故原不等式的解集为?-1, ?. 5 ? ? 4? ? 答案: ?-1, ? 5? ? 8.若关于 x 的不等式 ax -x+2a<0 的解集为?,则实数 a 的取值范围是________. 解析: 依题意可知,问题等价于 ax -x+2a≥0 恒成立, 当 a=0 时,-x≥0 不恒成立,故 a=0 舍去; 当 a≠0 时,要使 ax -x+2a≥0 恒成立, 即 f(x)=ax -x+2a 的图象不在 x 轴的下方, ∴?
? ?a>0, ?Δ ≤0, ?
2 2 2 2

即?

? ?a>0, ?1-8a ≤0, ?
2

解得 a≥

2 ? 2 ? ,即 a 的取值范围是? ,+∞?. 4 ?4 ?

答案: ?

? 2 ? ,+∞? ?4 ?

1 1 2 2 9.已知二次函数 y=x +px+q,当 y<0 时,有- <x< ,解不等式 qx +px+1>0. 2 3 1 1 1 1 2 解析: 因为当 y<0 时,有- <x< ,所以 x1=- 与 x2= 是方程 x +px+q=0 的两 2 3 2 3 个实数根. 1 1 ? ?3-2=-p, 由根与系数的关系得? 1? 1 ?-2?=q, ?3×? ? ? ? 1 ? ?p=6, 解得? 1 ?q=-6, ?

1 2 1 2 2 所以不等式 qx +px+1>0?- x + x+1>0?x -x-6<0,解得-2<x<3, 6 6 即不等式 qx +px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}. 10.已知函数 f(x)= ax +2ax+1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)的最小值为 2 2 2 ,解关于 x 的不等式 x -x-a -a<0. 2
2 2 2

解析: (1)∵函数 f(x)= ax +2ax+1的定义域为 R, ∴ax +2ax+1≥0 恒成立, 当 a=0 时,1≥0 恒成立,
2

20

当 a≠0 时,则有? ∴0<a≤1.

?a>0, ? ?Δ =?2a? -4a≤0, ?
2

综上可知,a 的取值范围是[0,1]. (2)∵f(x)= ax +2ax+1 = a?x+1? +1-a, ∵a>0, ∴当 x=-1 时,f(x)min= 1-a, 由题意得, 1-a= 1 ∴a= , 2 3 2 2 2 ∴不等式 x -x-a -a<0 可化为 x -x- <0, 4 1 3 解得- <x< , 2 2 2 , 2
2 2

? 1 3? 所以不等式的解集为?- , ?. ? 2 2?
B 级 能力提升 2x-1 n 1.对一切正整数 n,不等式 > 恒成立,则实数 x 的取值范围是( x n+1 A.(-∞,0) C.(1,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪[1,+∞) )

2x-1 ? n ? n 1 2x-1 解析: 由条件知只需 >? 而 = <1.∵ ≥1, 解得 x∈(-∞, ? max, x n+ 1 1 x ?n+1? 1+

n

0)∪[1,+∞). 答案: D 2.若不等式 x -(a+1)x+a≤0 的解集是[-4,3]的子集,则 a 的取值范围是________. 解析: 原不等式即(x-a)(x-1)≤0, 当 a<1 时, 不等式的解集为[a,1], 此时只要 a≥ -4 即可,即-4≤a<1;当 a=1 时,不等式的解为 x=1,此时符合要求;当 a>1 时,不等 式的解集为[1,a],此时只要 a≤3 即可,即 1<a≤3. 综上可得-4≤a≤3. 答案: [-4,3] 3.一个服装厂生产风衣,月销售量 x(件)与售价 p(元/件)之间的关系为 p=160-2x, 生产 x 件的成本 R=500+30x(元).
21
2

(1)该厂月产量多大时,月利润不少于 1 300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少? 解析: (1)由题意知,月利润 y=px-R, 即 y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x +130x-500. 由月利润不少于 1 300 元,得-2x +130x-500≥1 300. 即 x -65x+900≤0,解得 20≤x≤45. 故该厂月产量在 20~45 件时,月利润不少于 1 300 元.
2 2 2

? 65?2 3 225, 2 (2)由(1)得,y=-2x +130x-500=-2?x- ? + 2? 2 ?
由题意知,x 为正整数. 故当 x=32 或 33 时,y 最大为 1 612. 所以当月产量为 32 或 33 件时,可获最大利润,最大利润为 1 612 元. 4.设二次函数 f(x)=ax +bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小.
2

a

解析: (1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)·(x-n), 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即 a(x+1)(x-2)>0. 那么当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< ,∴x-m<0,1-an+ax>0.

a

∴f(x)-m<0,即 f(x)<m. 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

22

不等式

表示区域 直线 Ax+By+C=0 某一侧的所有 点组成的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线

Ax+By+C>0 Ax+By+C≥0
不等式组

各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x, y), 叫做二元一次不等式(组) 的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. 3.线性规划的有关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量 x,y 组成的不等式(组) 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x,y 的函数解析式,如 z=x+2y 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1.确定二元一次不等式表示的平面区域的方法 确定二元一次不等式表示的平面区域,常采用“直线定界,测试点定域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直线 画成实线. (2)特殊点定域,由于对在直线 Ax+By+C=0 同侧的点,实数 Ax+By+C 的值的符号都 相同,故为确定 Ax+By+C 的值的符号,可采用特殊点法,如取原点、(0,1)、(1,0)等点. 2.求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值的方法 将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式: y=- x+ , 通过求直线的截距 的最值间接求 出 z 的最值. (1)当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值; (2)当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值.

a b

z b

z b

z b z b

z b

z b

23

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax+By+C=0 的上方.( (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( ) ) ) )

(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(

(5)目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截 距.( )

答案: (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2.下面给出的四个点中,位于? A.(0,2) C.(0,-2)
? ?x+y-1<0, ?x-y+1>0 ?

表示的平面区域内的点是(

)

B.(-2,0) D.(2,0)
? ?x+y-1<0, ?x-y+1>0, ?

解析: 将四个点的坐标分别代入不等式组? 答案: C

满足条件的是(0,-2).

x+y≤4, ? ? 3.(2014·湖北卷)若变量 x,y 满足约束条件?x-y≤2, ? ?x≥0,y≥0,
( ) A.2 C.7 B. 4 D. 8

则 2x+y 的最大值是

解析: 画出 x,y 的约束条件限定的可行域为如图阴影区域,令 u=2x+y,则 y=-2x +u,先画出直线 y=-2x,再平移直线 y=-2x,当经过点 A(3,1)时,代入 u,可得最大值 为 7,故选 C.

答案: C

x≥1, ? ? 4. 已知实数 x, y 满足?y≤2, ? ?x-y≤0,

则此不等式组表示的平面区域的面积是________.

24

解析: 作出可行域为如图所示的三角形,

1 1 ∴S△= ×1×1= . 2 2 答案: 1 2

x≥0 ? ? 5.若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3 ? ?2x+y≤3 x≥0 ? ? 解析: 作出约束条件?x+2y≥3 ? ?2x+y≤3

,则 z=x-y 的最大值是________.

表示的平面区域,如图阴影部分所示,当直线 z

=x-y 过点 A(1,1)时,目标函数 z=x-y 取得最大值 0.

答案: 0

二元一次不等式(组)表示的平面区域 自主练透型

x≥1, ? ? 1.若关于 x,y 的不等式组?x+y≤2, ? ?y≥ax
围是( )

所表示的区域为三角形,则实数 a 的取值范

A.(-∞,1) C.(-1,1)

B.(0,1) D.(1,+∞)

解析: y=ax 为过原点的直线,当 a≥0 时,若能构成三角形,则需 0≤a<1;当 a<0 时,若能构成三角形,则需-1<a<0,综上 a∈(-1,1).

25

答案: C

x+y-2≥0, ? ? 2.(2014·安徽卷)不等式组?x+2y-4≤0, ? ?x+3y-2≥0

表示的平面区域的面积为________.

1 解析: 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,可知 S△ABC= ×2×(2+2) 2 =4.

答案: 4 1.作平面区域时要“直线定界,测试点定域”,当不等式无等号时直线 画成虚线,有等号时直线画成实线,若直线不过原点,测试点常选取原点. 2.求平面区域的面积,要先确定区域,若是规则图形可直接求,若不规则可通过分割求 解. 求线性目标函数的最值 分层深化型 2x+y-2≥0, ? ? (1)(2014·辽宁卷)已知 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0, ? ?3x-y-3≤0, 3x+4y 的最大值为________.

则目标函数 z=

y≤x, ? ? (2)(2014·湖南卷)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ? ?y≥k,
-6,则 k=________. 解析: (1)画出 x,y 满足约束条件的可行域如图阴影部分.

且 z=2x+y 的最小值为

26

? ?3x-y-3=0, 由? ?x-2y+4=0 ?

得?

? ?x=2, ?y=3, ?

∴点 A 的坐标为(2,3).作直线 l0:3x+4y=0,可知当平移 l0 到 l(l 过点 A)时,目标函 数有最大值,此时 zmax=3×2+4×3=18. (2)由题意知

当 z=2x+y 过(k,k)时 z=2x+y 有最小值,将(k,k)代入 z=2x+y,∴3k=-6,∴k =-2. 答案: (1)18 (2)-2

x+y-7≤0, ? ? 1.(2014·全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0, ? ?3x-y-5≥0,
为( ) A.10 C.3 B. 8 D. 2

则 z=2x-y 的最大值

解析: 作出可行域如图中阴影部分所示,

由 z=2x-y 得 y=2x-z,作出直线 y=2x,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经 过点 A(5,2)时,对应的 z 值最大.故 zmax=2×5-2=8. 答案: B

27

x+y-2≥0, ? ? 2.(2014·北京卷)若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0,
的值为( A.2 1 C. 2 ) B.-2 1 D.- 2

且 z=y-x 的最小值为-4,则 k

解析: 作出可行域,如图中阴影部分所示,当 k>0 时,z=y-x 无最小值,所以 k<0, 1 当 k=-2 时可行域内为点(0,2),不合题意.∴k=- ,故选 D. 2

答案: D

x+2y-4≤0, ? ? 3. (2014·浙江卷)若实数 x, y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1,

则 x+y 的取值范围是________.

解析: 画出约束条件所确定的可行域(如图中阴影部分所示).

令 z=x+y,则 y=-x+z,画出直线 l:y=-x,平移直线 l,当 l 经过可行域中的点

A(1,0)时,z 取最小值,且 zmin=1+0=1;当 l 经过可行域中的点 B(2,1)时,z 取最大值,
且 zmax=2+1=3,故 x+y 的取值范围是[1,3]. 答案: [1,3] 3x-5y+6≥0, ? ? 4.若 x,y 满足条件?2x+3y-15≤0, ? ?y≥0, 值,则实数 a 的取值范围是________.
28

当且仅当 x=y=3 时,z=ax-y 取得最小

解析: 画出可行域,如图中阴影部分所示,直线 3x-5y+6=0 与 2x+3y-15=0 交于 点 M(3,3),由目标函数 z=ax-y,得 y=ax-z,其纵截距为-z,当 z 最小时,-z 最大.依 2 3 题意,有- <a< . 3 5

? 2 3? 答案: ?- , ? ? 3 5?

5.(2014·课标全国卷Ⅰ)不等式组?

? ?x+y≥1, ?x-2y≤4 ?

的解集记为 D,有下面四个命题:

p1:? (x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:? (x,y)∈D,x+2y≥2, p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3,p4:? (x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( A.p2,p3 C.p1,p4 ) B.p1,p2 D.p1,p3

1 解析: 画出可行域如图阴影部分所示.作直线 l0:y=- x,平移 l0,当直线经过 A(2, 2 -1)时,x+2y 取最小值,此时(x+2y)min=0.故 p1:? (x,y)∈D,x+2y≥-2 为真,p2: ? (x,y)∈D,x+2y≥2 为真.故选 B.

答案: B

x+2y-4≤0, ? ? 6.(2014·浙江卷)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1
实数 a 的取值范围是________.

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则

解析: 画可行域如图所示,设目标函数 z=ax+y,即 y=-ax+z,要使 1≤z≤4 恒成

29

?1≤2a+1≤4, ? 立,则 a>0,数形结合知,满足? ?1≤a≤4 ?

3 即可,解得 1≤a≤ .所以 a 的取值范围 2

3 是 1≤a≤ . 2

? 3? 答案: ?1, ? 2 ? ?
线性目标函数最值问题的解题策略 (1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取 得,所以对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标 函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值. (2)由目标函数的最值求参数. 求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种: 一是把参 数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构 造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确 定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数. 求非线性目标函数的最值 互动讲练型 (1)(2014· 福 建 卷 ) 已 知 圆 C : (x - a) + (y - b) = 1 , 平 面 区 域 Ω :
2 2

x+y-7≤0, ? ? ?x-y+3≥0, ? ?y≥0.
A.5 B.37

若圆心 C∈Ω ,且圆 C 与 x 轴相切,则 a +b 的最大值为(

2

2

)

B.29 D.49

y≥0, ? ? (2)实数 x,y 满足不等式组?x-y≥0, ? ?2x-y-2≥0,

求 z=

y-1 的取值范围. x+1

解析: (1)平面区域 Ω ,如图中阴影部分所示,

30

∵圆 C 与 x 轴相切,∴b=1, 把 y=1 分别代入 x-y+3=0 和 x+y-7=0, 得 x=-2 和 x=6,∴-2≤a≤6, ∴(a )max=36,∴(a +b )max=36+1=37,故选 C.
2 2 2

(2)作出不等式组表示的可行域,如图中的阴影部分.z=

y-1 y-1 = ,所以 z 的 x+1 x-?-1?

几何意义是动点(x,y)与定点 A(-1,1)所连直线的斜率.结合图可知,z 的最小值为直线 l1 的斜率,z 的最大值无限接近于直线 l2 的斜率值.l1 的斜率 k1=kAB,l2 与直线 x-y=0 平行. 由?
?y=0, ? ? ?2x-y-2=0,

1 得点 B 的坐标为(1,0),k1=- . 2

? 1 ? ∴z∈?- ,1?. ? 2 ?
答案: (1)C

x-4y+3≤0, ? ? 变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1.
(1)设 z= ,求 z 的最小值; (2)设 z=x +y ,求 z 的取值范围.
2 2

y x

x-4y+3≤0, ? ? 解析: 由约束条件?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1,

作出(x,y)的可行域如图所示.

31

由?

?x=1, ? ?3x+5y-25=0, ?

? 22? 解得 A?1, ?. 5? ?
由?
?x=1, ? ? ?x-4y+3=0, ?x-4y+3=0, ? ?3x+5y-25=0, ?

解得 C(1,1).

由?

解得 B(5,2).

(1)∵z= =

y y-0 , x x-0

∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知 zmin=kOB= . 5 (2)z=x +y 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方. 结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,
2 2

dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29.
∴2≤z≤29. 常见代数式的几何意义有 (1) x +y 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; (2) ?x-a? +?y-b? 表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离; (3) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; (4)
2 2 2 2

y x

y-b 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x-a
实际生活中的线性规划问题 互动讲练型 (2014·北京丰台第一学期期末练习)小明准备用积攒的 300 元零用钱买一些科普

书和文具,作为礼品送给山区的学生.已知科普书每本 6 元,文具每套 10 元,并且买的文具 的数量不少于科普书的数量.那么最多可以买的科普书与文具的总数是________. 解析: 设买科普书 x 本与文具 y 套,总数为 z=x+y,由题意可得

32

?x≤y, ?x≥0, ?y≥0, ?x∈N, ?y∈N,

6x+10y≤300,

作出可行域如图中阴影部分,将 z=x+y 转化为 y=-x+z,

?75 75? 作出直线 y=-x 并平移,使之经过可行域,易知经过点 A? , ?时,纵截距最大,但因 x, ?4 4?
y 均属于正整数,故取得最大值时的最优解应为(18,19),此时 z 最大为 37.

答案: 37

某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产 每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品 可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨, 那么该企业可获得的最大利润是( A.12 万元 C.25 万元 ) B.20 万元 D.27 万元

解析: 设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,该企业获得的利润为 z 万元,则由题目 可获得如下信息:

A 原料
甲产品 x 吨 乙产品 y 吨 3x

B 原料
2x 3y

y

x≥0, ? ?y≥0, 所以? 3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18,

目标函数为 z=5x+3y,作出可行域后如图所示:

33

?3x+y=13, ? 由? ?2x+3y=18, ?

得 A(3,4),

当直线 z=5x+3y 过点 A(3,4)时,z 取到最大值,故 zmax=15+12=27,故选 D. 答案: D 线性规划应用题的求解应注意 (1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号. (2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数 x,y 的取值范围,特别注意分析 x,

y 是否是整数、非负数等.
(3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式.

A 级 基础训练 1. 已知点(-3, -1)和点(4, -6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧, 则 a 的取值范围为( A.(-24,7) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) B.(-7,24) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) )

解析: 根据题意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0.即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a <24. 答案: B

2.直线

x≥0, ? ?y≥0, 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20,

表示的平面区域的公共点有

(

) A.0 个 C.2 个 B. 1 个 D.无数个

解析: 直线 2x+y-10=0 与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示, 故直线与 此区域的公共点有 1 个.

答案: B

34

y≤x, ? ? 3.(2014·广东卷)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1,
最小值分别为 m 和 n,则 m-n=( A.5 C.7 解析: ) B. 6 D. 8

且 z=2x+y 的最大值和

作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线 y=-2x+z 经过点 A 时,z 的值最大,由?
? ?y=-1 ?x+y=1 ?

??

? ?x=2 ?y=-1 ?

,则 m=zmax=2×2-1=3.当直线 y=-2x+z

经过点 B 时,z 的值最小,由? -n=6. 答案: B

?y=-1 ? ? ?y=x

??

?x=-1 ? ? ?y=-1

,由 n=zmin=2×(-1)-1=-3,故 m

?0≤x≤ 2, 4.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM·OA的最大值为(
A.4 2 C.4 B. 3 2 D. 3 → → )

给定,若 M(x,

→ → 解析: z=OM·OA= 2x+y, 目标函数的可行域如图所示, z 取最大值的最优解为( 2, 2),所以 zmax= 2× 2+2=4.

答案: C

35

x+y-2≤0, ? ? 5.(2014·安徽卷)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0.
最优解不唯一,则实数 a 的值为( 1 A. 或-1 2 C.2 或 1 ) 1 B. 2 或 2 D.2 或-1

若 z=y-ax 取得最大值的

解析: 画出 x,y 约束条件限定的可行域,如图阴影区域所示,由 z=y-ax 得 y=ax +z.

当直线 y=ax 与直线 2x-y+2=0 或直线 x+y-2=0 平行时,符合题意,则 a=2 或- 1. 答案: D

x-2≤0, ? ? 6.不等式组?y+2≥0, ? ?x-y+1≥0

表示的区域为 D,z=x+y 是定义在 D 上的目标函数,则

区域 D 的面积为______;z 的最大值为________. 25 解析: 图象的三个顶点分别为(-3,-2)、(2,-2)、(2,3),所以面积为 .因为目 2 标函数的最值在顶点处取得,把它们分别代入 z=x+y,得 x=2,y=3 时,有 zmax=5. 答案: 25 5 2

y≥x ? ? 7.(2014·辽宁省五校联考)已知 z=2x+y,x,y 满足?x+y≤2 ? ?x≥m
最小值的 4 倍,则 m 的值是________.

,且 z 的最大值是

36

y≥x ? ? 解析: 根据题中所给的约束条件?x+y≤2 ? ?x≥m

所得的可行域如图.根据 y=-2x+z

可知 z 的几何含义为直线在 y 轴上的截距,显然 y=-2x+z 在点(1,1)和(m,m)处直线的截 1 距分别取得最大值 3 和最小值 3m,故 3=4·3m,解得 m= . 4 答案: 1 4

8.(2014·广东十二校第二次联考)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

?0≤x≤ ?y≤2, ?x≤ 2y

2, → 给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A( 2,0),则 z=|AM|的最大值为

________. 解析: 根据线性规划的知识,画出可行域如图所示. 因为 z 的最大值即为可行域内的点到点 A 的距离的最大值,该点应为可行域中的点

B(2,0),所以 zmax= ? 2-0?2+?0-2?2= 6.

答案:

6

x+2y≤4, ? ? 9.已知关于 x,y 的二元一次不等式组?x-y≤1, ? ?x+2≥0.
和最小值.

求函数 z=x+2y+2 的最大值

x+2y≤4, ? ? 解析: 作出二元一次不等式组?x-y≤1, ? ?x+2≥0

表示的平面区域,如图所示.

37

1 1 1 1 由 z=x+2y+2,得 y=- x+ z-1,得到斜率为- ,在 y 轴上的截距为 z-1,随 z 2 2 2 2 变化的一组平行线, 1 由图可知,当直线经过可行域上的 A 点时,截距 z-1 最小,即 z 最小, 2 解方程组?
?x-y=1, ? ?x+2=0, ?

得 A(-2,-3),

∴zmin=-2+2×(-3)+2=-6. 1 当直线与直线 x+2y=4 重合时,截距 z-1 最大, 2 即 z 最大,∴zmax=4+2=6. ∴z=x+2y+2 的最大值是 6,最小值是-6. 10.(2014·陕西卷)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,

y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上.
→ → → → (1)若PA+PB+PC=0,求|OP|; → → → (2)设OP=mAB+nAC(m,n∈R),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值. → → → 解析: (1)法一:∵PA+PB+PC=0, →

PA+PB+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),
? ?6-3x=0, ∴? ? ?6-3y=0,

→ →

解得 x=2,y=2,

→ → 即OP=(2,2),故|OP|=2 2. → → → 法二:∵PA+PB+PC=0, → → → → → → 则(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0, → 1 → → → ∴OP= (OA+OB+OC)=(2,2), 3 → ∴|OP|=2 2. → → → (2)∵OP=mAB+nAC, ∴(x,y)=(m+2n,2m+n),
38

∴?

?x=m+2n, ? ?y=2m+n, ?

两式相减,得 m-n=y-x, 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大 值为 1. B 级 能力提升 1.(2014·全国卷Ⅰ)设 x,y 满足约束条件? 则 a=( A.-5 C.-5 或 3 ) B. 3 D.5 或-3
?x+y≥a, ? ?x-y≤-1, ?

且 z=x+ay 的最小值为 7,

解析: 当 a=-5 时,作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).

由?

?x-y=-1, ? ? ?x+y=-5

得交点 A(-3,-2),

则目标函数 z=x-5y 过 A 点时取得最大值.

zmax=-3-5×(-2)=7,不满足题意,排除 A,C 选项.
当 a=3 时,作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).

39

由?

?x-y=-1, ? ?x+y=3 ?

得交点 B(1,2),则目标函数 z=x+3y 过 B 点时取得最小值.zmin=1

+3×2=7,满足题意. 答案: B

x≥0 ? ?y≥0 2.已知 x,y 满足不等式? x+2y≤t ? ?2x+y≤4
是[20,22],则 t 的取值范围是________.

,且目标函数 z=9x+6y 最大值的变化范围

解析:
? ?x+2y=t ? ?2x+y=4 ?

由 约 束条 件 确定 的 可 行 域 如 图, 当 目标 函 数 过 点 A 时 取 得 最大 值 , 由 ,解得 A?

?8-t,2t-4?,所以 20≤9×8-t+6×2t-4≤22,解得 4≤t≤6. 3 ? 3 3 ? 3 ?

答案: [4,6]

x+y≥1, ? ? 3.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2,
1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值. 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围.

1 解析: (1)作出可行域如图,可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线 x-y+ 2 1 =0,过 A(3,4)取最小值-2,过 C(1,0)取最大值 1. 2 ∴z 的最大值为 1,最小值为-2. (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<- <2,解得-4<a 2
40

a

<2. 故所求 a 的取值范围为(-4,2). 4.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉 9 克、咖啡 4 克、糖 3 克,乙种饮料每杯 含奶粉 4 克、咖啡 5 克、糖 10 克.已知每天原料的使用限额为奶粉 3 600 克、咖啡 2 000 克、糖 3 000 克,甲种饮料每杯能获利润 0.7 元,乙种饮料每杯能获利润 1.2 元,每天应配 制两种饮料各多少杯能获利最大? 解析: 设每天配制甲种饮料 x 杯、乙种饮料 y 杯可以获得最大利润,利润总额为 z 元. 由条件知:z=0.7x+1.2y,变量 x、y 满足 9x+4y≤3 600, ? ?4x+5y≤2 000, ?3x+10y≤3 000, ? ?x≥0,y≥0,且x、y均为整数. 作出不等式组所表示的可行域如图所示.

作直线 l:0.7x+1.2y=0, 把直线 l 向右上方平移至经过 A 点的位置时,

z=0.7x+1.2y 取最大值.
? ?3x+10y-3 000=0, 由方程组? ?4x+5y-2 000=0, ?

得 A 点坐标(200,240). 即应每天配制甲种饮料 200 杯,乙种饮料 240 杯方可获利最大.

41

第四节 基本不等式

1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

1.基本不等式: ab≤

a+b
2

.

(1)基本不等式成立的条件是 a>0,b>0. (2)等号成立的条件是:当且仅当 a=b 时取等号. (3)其中

a+b
2

称为正数 a,b 的算术平均数, ab称为正数 a,b 的几何平均数.

2.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则: (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p(简记:积定和最 小); (2)如果和 x+y 是定值 p, 那么当且仅当 x=y 时, xy 有最大值是 (简记: 和定积最大). 4

p2

1.活用几个重要的不等式

b a a2+b2≥2ab(a,b∈R); + ≥2(a,b 同号). a b ab≤?

?a+b?2(a,b∈R);?a+b?2≤a +b (a,b∈R). ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?

2

2

2.巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数 y=x+ 的最小值是 2.(

x

) )

(2)ab≤?

?a+b?2 成立的条件是 ab>0.( ? ? 2 ?

42

(3)x>0 且 y>0 是 + ≥2 的充要条件.( 1 3 (4)若 a>0,则 a + 2的最小值是 2 a.( )

x y y x a

)

答案: (1)× (2)× (3)× (4)× 2.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( 1 A. 3 3 C. 4 1 B. 2 2 D. 3 )

1 1 9 3 1 解析: 由 x(3-3x)= ×3x(3-3x)≤ × = ,当且仅当 3x=3-3x,即 x= 时等号 3 3 4 4 2 成立. 答案: B 3.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a +b >2ab 1 1 2 C. + >
2 2

)

B.a+b≥2 ab D. + ≥2
2 2

a b

ab
2

b a a b

解析: ∵a +b -2ab=(a-b) ≥0,∴A 错误. 对于 B、C,当 a<0,b<0 时,明显错误. 对于 D,∵ab>0,∴ + ≥2 答案: D 4.已知 a,b∈(0,+∞),若 ab=1,则 a+b 的最小值为________;若 a+b=1,则 ab 的最大值为________. 解析: 由基本不等式得 a+b≥2 ab=2,当且仅当 a=b=1 时取到等号;ab≤? 1 1 = ,当且仅当 a=b= 时取到等号. 4 2 答案: 2 1 4 4 的最小值为________. x-1

b a a b

b a · =2. a b

?a+b?2 ? ? 2 ?

5.若 x>1,则 x+ 解析: ∵x+

4 4 =x-1+ +1≥4+1=5. x-1 x-1 4

当且仅当 x-1=

x-1

,即 x=3 时等号成立.

43

答案: 5

利用基本不等式证明不等式 自主练透型 1.已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 证明: 由 a, b, c, d 都是正数, 得

ab+cd
2

≥ ab·cd(当且仅当 ab=cd 时, 等号成立),

ac+bd
2

?ab+cd??ac+bd? ≥ ac·bd(当且仅当 ac=bd 时,等号成立),所以 ≥abcd,即 4

(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd(当且仅当 a=b=c=d 时,等号成立). 2.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证: + + ≥9.

a b c

证明: ∵a>0,b>0,c>0, 且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + +

a b c

a

b

c

=3+ + + + + +

b c a c a b a a b b c c

?b a? ?c a? ?c b? =3+? + ?+? + ?+? + ? ?a b? ?a c? ?b c?
≥3+2+2+2=9, 1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本 不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项, 并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等. 利用基本不等式求最值 分层深化型 (1)若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 C.3 1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( B. 1+ 3 D. 4 )

x-2

(2)设 0<x<2,则函数 y= x?4-2x?的最大值为________. (3)(2014·重庆卷)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( )

44

A.6+2 3 B.6+4 3 解析:

B.7+2 3 D.7+4 3 1 1 = (x - 2) + +2≥2 x-2 x-2

(1) 因为 x > 2 ,所以 x - 2 > 0 ,则 f(x) = x + 1 +2=4, x-2 1 ,即 x=3 时取等号. x-2

?x-2?·

当且仅当 x-2=

即当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3. (2)∵0<x<2, ∴2-x>0, ∴y= x?4-2x?= 2· x?2-x?≤ 2· 当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号, ∴当 x=1 时,函数 y= x?4-2x?的最大值为 2. (3)log4(3a+4b)=log2 ab,即 log2 3a+4b=log2 ab, 3 4 ∴3a+4b=ab,∴ + =1,

x+2-x
2

= 2,

b a

3 4 3a 4b ∴a+b=(a+b)( + )=7+ + ≥7+2 12=7+4 3.

b a

b

a

答案: (1)C (2) 2

(3)D

1.

4 +a 的取值范围为________. a-2

解析: 显然 a≠2,当 a>2 时,a-2>0. ∴ 4 4 +a= +(a-2)+2 a-2 a-2 4 ·?a-2?+2=6, a-2 4 =a-2,即 a=4 时取等号. a-2

≥2

当且仅当

当 a<2 时,a-2<0, ∴ -2. 当且仅当 a=0 时取等号.
45

4 4 ? 4 +?2-a??+2≤-2 +a= +(a-2)+2=-? ? a-2 a-2 ?2-a ?

4 ·?2-a?+2= 2-a

∴取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). 答案: (-∞,-2]∪[6,+∞) 2 1 a 2b 2.(2014·北京房山期末统考)设 a>0,b>0.若 3是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最

a b

小值为( A.8 C.1

) B. 4 1 D. 4
a 2b a+2b

解析: 由题意可知 3=3 3 =3

,即 a+2b=1.

2 1 ?2 1? a 4b 因为 a>0,b>0,所以 + =? + ?(a+2b)= + +4≥2

a b ?a b?

b

a

a 4b · +4=8,当且仅当 b a

a 4b 1 = ,即 a=2b= 时取“=”. b a 2
答案: A

3.函数 y= A.2 3+2 C.2 3

x2+2 (x>1)的最小值是( x-1

) B.2 3-2 D. 2

解析: ∵x>1,∴x-1>0. ∴y= =

x2+2 x2-2x+2x+2 x2-2x+1+2?x-1?+3 = = x-1 x-1 x-1
2

?x-1? +2?x-1?+3 3 =x-1+ +2 x-1 x-1 ?x-1? 3 +2=2 3+2. x-1 3 ,即 x=1+ 3时,取等号.

≥2

当且仅当 x-1= 答案: A

x-1

4.函数 f(x)=1+logax(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-2=0 1 1 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________.

m n

解析:

利用基本不等式求解.函数 f(x) = 1 + logax(a > 0 , a≠1)的图象恒过定点

1 1 ?1 1??m n? m n A(1,1),代入直线 mx+ny-2=0 得 m+n=2.所以 + =? + ?? + ?=1+ + ≥1+ m n ?m n??2 2? 2n 2m 2

m n 1 1 · =2,当且仅当 m=n=1 时取等号,故 + 的最小值是 2. 2n 2m m n
46

答案: 2

3 3 5. (2014·广东广州二模)设 x, y 均为正实数, 且 + =1, 则 xy 的最小值为( 2+x 2+y A.4 C.9 解析: 由 B. 4 3 D.16 3 3 + =1 得 xy=8+x+y. 2+x 2+y

)

∵x, y 均为正实数, ∴xy=8+x+y≥8+2 xy(当且仅当 x=y 时等号成立), 即 xy-2 xy -8≥0,解得 xy≥4,即 xy≥16,故 xy 的最小值为 16. 答案: D 6.(2014·江西南昌检测)若对满足条件 x+y+8=xy 的正实数 x,y 都有(x+y) -a(x +y)+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. ?x+y? 解析: ∵x>0,y>0,∴x+y+8=xy≤ ,当且仅当 x=y 时取等号, 4 解得 x+y≥8, 所以问题转化为当 x+y≥8 时(x+y) -a(x+y)+1≥0 恒成立, 即 a≤(x +y)+ 1
2 2 2

x+y

1 1 .令 x+y=t,则 f(t)=t+ 在[8,+∞)上单调递增,故 f(t)min=f(8)=8+ = t 8

65 65 ,∴a≤ . 8 8 65? ? 答案: ?-∞, ? 8

?

?

利用基本不等式求最值的常见类型 (1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. (2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构造“1” 的代换等. (3)若一次应用基本不等式不能达到要求, 需多次应用基本不等式, 但要注意等号成立的 条件必须要一致. [提醒] 若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解. 利用基本不等式解决实际问题 互动讲练型 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 万件,需另投入的成本为

C(x)(单位:万元),当年产量不足 80 万件时,C(x)= x2+10x;当年产量不小于 80 万件时, C(x)=51x+
10 000 -1 450.通过市场分析,若每万件售价为 50 万元,则该厂当年生产的该

1 3

x

47

产品能全部销售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数关系式; (2)年产量为多少万件时,该厂在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? 解析: (1)当 0≤x<80 时,

? 2 ? L(x)=50x-? x +10x?-250=- x2+40x-250;
1

?3 ? ?

?

1 3

当 x≥80 时,

L(x)=50x-?51x+
2

10 000 10 000 -1 450? , ?-250=1 200-x-

x

?

x

1 ? ?-3x +40x-250,0≤x<80, 所以 L(x)=? 10 000 ? ?1 200-x- x ,x≥80. 1 2 (2)当 0≤x<80 时,L(x)=- (x-60) +950, 3 此时 L(x)max=L(60)=950; 10 000 当 x≥80 时,L(x)=1 200-x- ≤1 200-2

x



10 000 =1 200-200=1 000,

x

10 000 当且仅当 x= ,即 x=100 时,等号成立,此时 L(x)max=L(100)=1 000.

x

综上所述,当 x=100 时,L(x)取得最大值 1 000,即年产量为 100 万件时,该厂在这一 产品的生产中所获利润最大,最大利润是 1 000 万元.

某化工企业 2013 年底投入 100 万元, 购入一套污水处理设备. 该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以 后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.设该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用为

y(单位:万元).
(1)用 x 表示 y; (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时, 企业需重新更换新的污水处理设备. 则该企 业几年后需要重新更换新的污水处理设备. 解析: (1)由题意得,y= 100+0.5x+?2+4+6+?+2x? ,

x

100 * 即 y=x+ +1.5(x∈N ).

x

(2)由基本不等式得:

48

y=x+

100 +1.5≥2

x



100 +1.5=21.5,

x

100 当且仅当 x= ,

x

即 x=10 时取等号. 故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备. 在利用基本不等式解决实际应用问题时,一定要注意问题中所涉及变量 的取值范围, 即函数的定义域, 分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值, 若存在, 则可利用基本不等式求解, 若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内, 则应利用导数研究函数的单调性,根据单调性求最值.

A 级 基础训练

?a+b?2≤a +b , 1.(2014·青岛二模)设 a,b∈R,已知命题 p:a +b ≤2ab;命题 q:? ? 2 ? 2 ?
2 2

2

2

则 p 是 q 成立的(

) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.必要不充分条件 C.充分必要条件

解析: 当 p 成立的时候,q 一定成立,但当 q 成立的时候,p 不一定成立,所以 p 是 q 的充分不必要条件. 答案: B 5 3 2.已知 + =1(x>0,y>0),则 xy 的最小值是(

x y

)

A.15 C.60 解析: ∵x>0,y>0, 5 3 ∴ + =1≥2

B. 6 D. 1

x y

15 ,

xy

∴xy≥60,当且仅当 3x=5y 时等号成立. 答案: C 3.若正数 x,y 满足 4x +9y +3xy=30,则 xy 的最大值是( 4 A. 3 C.2
2 2 2 2

)

5 B. 3 5 D. 4

解析: 由 x>0,y>0 知 4x +9y +3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y 时等
49

号成立),∴12xy+3xy≤30,即 xy≤2,故选 C. 答案: C

?1 a? 4. 已知不等式(x+y)? + ?≥9 对任意正实数 x, y 恒成立, 则正实数 a 的最小值是( ?x y?
A.2 C.6 B. 4 D. 8

)

y ax ?1 a? 解析: (x+y)? + ?=1+a+ + ≥1+a+2 a,∴当 1+a+2 a≥9 时不等式恒成

?x y?

x

y

立,故 a+1≥3,a≥4. 答案: B → → → 5.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0)(a>0,b>0,O 为坐标原点),若 A,

B,C 三点共线,则 + 的最小值是( a b
A.4 C.8

2 1

) 9 B. 2 D. 9

→ → → 解析: ∵AB=OB-OA=(a-1,1), →

AC=OC-OA=(-b-1,2),
若 A,B,C 三点共线, → → 则有AB∥AC, ∴(a-1)×2-1×(-b-1)=0, ∴2a+b=1, 又 a>0,b>0, 2 1 ?2 1? ∴ + =? + ?·(2a+b)

→ →

a b ?a b? a b

2b 2a =5+ + ≥5+2 2b 2a ? ? = , 当且仅当? a b ?2a+b=1, ? 故选 D. 答案: D

2b 2a × =9,

a

b

1 即 a=b= 时等号成立. 3

6.当 x>0 时,则 f(x)=

2x 的最大值为________. x2+1

50

解析: ∵x>0,∴f(x)=

2x 2 2 = ≤ =1, x +1 1 2 x+
2

x

1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号.

x

答案: 1 7.(2014·福建卷)要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器 的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 ________(单位:元). 解析: 设该容器的总造价为 y 元,长方体的底面矩形的长为 x m,因为无盖长方体的 4 2×4 3 容积为 4 m , 高为 1 m, 所以长方体的底面矩形的宽为 m, 依题意, 得 y=20×4+10(2x+ )
3

x

x

4 =80+20(x+ )≥80+20×2

x

x· =160(当且仅当 x= ,即 x=2 时取等号).所以该容器 x x

4

4

的最低总造价为 160 元. 答案: 160 8.(2014·江苏四市教学调查(一))已知正数 x,y 满足 x+2y=2,则 ________. 解析: 由已知得 则

x+8y 的最小值为 xy

x+2y
2

=1,

x 16y? 1 x+8y 1 8 ?1 8??x+2y? 1? 4 = + =? + ?? ?= ?10+y+ x ?≥2(10+2 16)=9,当且仅当 x=3,y xy y x ?y x?? 2 ? 2? ?

1 = 时取等号. 3 答案: 9 9.已知 a>0,b>0,c>0,求证: + + 证明: ∵a>0,b>0,c>0, ∴

bc ca ab ≥a+b+c. a b c

bc ca + ≥2 a b

bc ca · =2c, a b bc ab · =2b, a c ca ab · =2a. b c

bc ab + ≥2 a c ca ab + ≥2 b c

以上三式相加得:

?bc ca ab? 2? + + ?≥2(a+b+c), ?a
b c?
51



bc ca ab + + ≥a+b+c. a b c

10.(1)求函数 y=x(a-2x)(x>0,a 为大于 2x 的常数)的最大值; 2 5 (2)已知 x>0,y>0,lg x+lg y=1,求 z= + 的最小值.

x y

解析: (1)∵x>0,a>2x, 1 ∴y=x(a-2x)= ×2x(a-2x) 2 1 ?2x+?a-2x??2 a ≤ ×? ? =8, 2 2 ? ? 当且仅当 x= 时取等号,故函数的最大值为 . 4 8 (2)由已知条件 lg x+lg y=1,可得 xy=10. 2 5 2y+5x 2 10xy 则 + = ≥ =2. x y 10 10
2

a

a2

?2 5? ∴? + ?min=2. ?x y?
当且仅当 2y=5x,即 x=2,y=5 时等号成立.故 z 最小值为 2. B 级 能力提升 1.设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当 取得最小值时,x+2y-z 的最 大值为( A.0 C.2 解析: ) 9 B. 8 9 D. 4
2 2

z xy

z x2-3xy+4y2 x 4y = = + -3≥2 xy xy y x
2

x 4y · -3=1, y x
2 2 2 2

当且仅当 x=2y 时等号成立,因此 z=4y -6y +4y =2y ,所以 x+2y-z=4y-2y =- 2(y-1) +2≤2. 答案: C 2.当 x -2x<8 时,函数 y=
2 2 2 2

x2-x-5 的最小值是________. x+2

解析: 由 x -2x<8 得 x -2x-8<0, 即(x-4)(x+2)<0,得-2<x<4,∴x+2>0, 而 y=

x2-x-5 ?x+2?2-5?x+2?+1 = x+2 x+2

52

=(x+2)+

1 -5≥2-5=-3. x+2

等号当且仅当 x=-1 时取得. 答案: -3 3.已知 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1). (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的最小值. 解析: 由 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1)

x>0, ? ? 得?y>0, ? ?3xy=x+y+1.
(1)∵x>0,y>0, ∴3xy=x+y+1≥2 xy+1, ∴3xy-2 xy-1≥0, 即 3( xy) -2 xy-1≥0, ∴(3 xy+1)( xy-1)≥0, ∴ xy≥1,∴xy≥1, 当且仅当 x=y=1 时,等号成立. ∴xy 的最小值为 1. (2)∵x>0,y>0, ∴x+y+1=3xy≤3·?
2 2

?x+y?2, ? ? 2 ?

∴3(x+y) -4(x+y)-4≥0, ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0, ∴x+y≥2, 当且仅当 x=y=1 时取等号, ∴x+y 的最小值为 2. 4.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1 800 元, 面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元,购买面粉每次需支付运费 900 元. (1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? (2)某提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210 吨时,其价格可享受 9 折优惠, 问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由. 解析: (1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉,其购买量为 6x 吨,由题意可知,面粉的 保管等其他费用为 3[6x+6(x-1)+6(x-2)+?+6×1]=9x(x+1),
53

设平均每天所支付的总费用为 y1 元, [9x?x+1?+900] 900 则 y1= +1 800×6= +9x+10 809≥

x

x

2

900 ·9x+10 809=10 989,

x

900 当且仅当 9x= ,即 x=10 时取等号.

x

即该厂应每隔 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)因为不少于 210 吨,每天用面粉 6 吨,所以至少每隔 35 天购买一次面粉. 设该厂利用此优惠条件后,每隔 x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为 y2 元, 1 900 则 y2= [9x(x+1)+900]+6×1 800×0.90= +9x+9 729(x≥35).

x

x

100 令 f(x)=x+ (x≥35),x2>x1≥35,

x

100? ? 100? ? 则 f(x1)-f(x2)=?x1+ ?-?x2+ ?

?

x1 ? ?

x2 ?



?x2-x1??100-x1x2? .∵x2>x1≥35,

x1x2

∴x2-x1>0,x1x2>0,100-x1x2<0, 故 f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), 100 即 f(x)=x+ ,当 x≥35 时为增函数.

x

则当 x=35 时,f(x)有最小值,此时 y2<10 989. 因此该厂应接受此优惠条件. 第五节 合情推理与演绎推理

1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会合情推理在数学发现 中的作用. 2.了解演绎推理的含义,掌握演绎推理的“三段论”,并能运用“三段论”进行一些简 单推理. 3.了解合情推理和演绎推理的联系和差异.

1.推理
54

(1)定义:是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.
?合情推理, ? (2)分类:推理? ?演绎推理. ?

2.合情推理 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征, 推 定义 出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理, 或者由个别事实概括出一般结论 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征, 推出另一类对象 也具有这些特征的推理 由特殊到特殊的推理

3.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎 推理. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理. ①大前提:已知的一般原理; ? ?②小前提:所研究的特殊情况; (3)模式:三段论? ③结论:根据一般原理,对特殊情况 ? ? 做出的判断.

1.归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤: 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 (2)类比推理的一般步骤: 观察、比较 → 联想、类推 → 猜想新结论 2.合情推理的理解 (1)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,在进行归纳时,要先根据已知的部 分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论. (2)类比推理是由特殊到特殊的推理, 是两类类似对象之间的推理, 其中一个对象具有某 个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时,要充分考虑已知对象性质的推理 过程,然后类比推导类比对象的性质.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
55

(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.(

) ) )

(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(

(4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数,某数 m 是 3 的倍数,则 m 一定是 9 的倍数”,这是三 段论推理,但其结论是错误的.( )

答案: (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28 C.33 )

B.32 D.27

解析: 由 5-2=3,11-5=6,20-11=9,则 x-20=12,因此 x=32. 答案: B 3.下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°,归纳出所有三角形的内 角和都是 180°; ③张军某次考试成绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得凸 n 边形内角和是(n-2)·180°. A.①② C.①②④ B.①③ D.②④ )

解析: ①是类比推理,②是归纳推理,④是归纳推理,所以①②④为合情推理. 答案: C 4.∵a=(1,0),b=(0,-1),∴a·b=(1,0)·(0,-1)=1×0+0×(-1)=0.∴a⊥

b.
大前提:________________; 小前提:________________; 结论:__________________. 答案: 若两个向量数量积为零,则这两个向量垂直 a·b=0 a⊥b 5.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在 空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________. 1 S1h1 V1 3 ?S1? h1 1 1 1 解析: = =? ?· = × = . V2 1 ?S2? h2 4 2 8 S2h2 3 答案: 1∶8
56

归纳推理 互动讲练型 (1)(2014·陕西卷)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是________. (2)(2014·陕西卷)已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N 1+x


x

,则 f2 014(x)的表达式为________. 解析: (1)∵5+6-9=2; 6+6-10=2; 6+8-12=2, 归纳:F+V-E=2.

x
(2)f1(x)=

x x
1+2x

, f2(x)= = , f3(x)= = , ?, 归纳法得 f2 014(x) 1+x x 1+2x x 1+3x 1+ 1+ 1+x 1+2x

x

1+x

x



. 1+2 014x 答案: (1)F+V-E=2 (2)f2 014(x)=

x

x
1+2 014x

1.(2013·陕西卷)观察下列等式 1 =1, 1 -2 =-3, 1 -2 +3 =6, 1 -2 +3 -4 =-10, ? 照此规律,第 n 个等式可为________. 解析:
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

观察等式可知,第 n 个式子为 1 - 2 + 3 - 4 +?+ ( - 1)

2

2

2

2

n+1 2

n = ( - 1)n +

n?n+1?
2

.

57

答案: 1 -2 +3 -4 +?+(-1)

2

2

2

2

n+1 2

n?n+1? n =(-1)n+1
2

2.下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律,写出第 n 个图形 中小正方形的个数是________.

解析: 最上面是 1 个,以下每层比上一层多一个,第 n 层有 n 个,第 n 个图形共有 1 1 +2+?+n= n(n+1). 2 答案: 1 n(n+1) 2 归纳推理的分类: 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类: (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及 项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳. 类比推理 互动讲练型 如图所示,若从点 O 所作的两条射线 OM,ON 上分别有点 M1,M2 与点 N1,N2,则三 角形面积之比

S△OM1N1 OM1 ON1 = · .若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 OP,OQ 和 OR S△OM2N2 OM2 ON2

上分别有点 P1,P2,点 Q1,Q2 和点 R1,R2,则类似的结论为________________.

解析:

试题的要求是把二维的面积关系,推广到三维的体积关系:

VO-P1Q1R1 = VO-P2Q2R2

OP1 OQ1 OR1 · · (证明略). OP2 OQ2 OR2
答案:

VO-P1Q1R1 OP1 OQ1 OR1 = · · VO-P2Q2R2 OP2 OQ2 OR2

已知命题:若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b(m≠n,m,n∈N ),则 am+n=
* *

*

bn-am ; n-m

现已知等比数列{bn}(b≠0,n∈N ),bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N ),若类比上述结论,则可 得到 bm+n=________.

58

解析: 等差数列中的 bn 和 am 可以类比等比数列中的 b 和 a ,等差数列中的 bn-am 可以类比等比数列中的 m,等差数列中的

n

m

bn a

n-m bn bn-am 可以类比等比数列中的 ,故 bm+n= n-m am

n-m bn . am
答案:

n-m bn am
类比推理一般分为三类:

(1)类比定义: 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时, 可以借助原定义来求 解; (2)类比性质: 从一个特殊式子的性质、 一个特殊图形的性质入手, 提出类比推理型问题, 求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键; (3)类比方法: 有一些处理问题的方法具有类比性, 我们可以把这种方法类比应用到其他 问题的求解中,注意知识的迁移. 演绎推理 互动讲练型 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= 式证明: (1)数列? ?是等比数列;
?n? ?Sn?

n+2 ·Sn(n∈N+),用三段论的形 n

(2)Sn+1=4an. 证明: (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=

n+2 Sn, n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. ∴

Sn+1 Sn =2· ,(小前提) n+1 n
?Sn? ?n?

故? ?是以 2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知

Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 =4· ·Sn-1 n-1 n-1

∴Sn+1=4(n+1)·

=4an(n≥2).(大前提) 又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)
59

∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

已知函数 f(x)=-

a
x

a+ a

(a>0 且 a≠1).

1? ?1 证明:函数 y=f(x)的图象关于点? ,- ?对称. 2? ?2 1? ?1 证明: 函数 f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点? ,- ?对称的点 2? ?2 的坐标为(1-x,-1-y). 由已知得 y=-

a
x

a+ a a



则-1-y=-1+

ax+ a

=-

ax

ax+ a



a a f(1-x)=- 1-x =- a a + a + a ax a·ax ax =- =- x , a+ a·ax a+ a
∴-1-y=f(1-x), 1? ?1 即函数 y=f(x)的图象关于点? ,- ?对称. 2? ?2 演绎推理的论证规则 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应 当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略,本题中,等比数列的 定义在解题中是大前提,由于它是显然的,因此省略不写. (2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.

A 级 基础训练

?1?x x 1.“因为指数函数 y=a 是增函数(大前提),而 y=? ? 是指数函数(小前提),所以函 ?3? ?1?x 数 y=? ? 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于( ?3?
A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错
60

)

C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 解析: 当 a>1 时,y=a 为增函数;当 0<a<1 时,y=a 为减函数.故大前提错误. 答案: A 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“ = ”类比得到“
x x

ac a bc b

a·c a = ”. b·c b
)

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 C.3 解析: ①②正确,③④⑤⑥错误. 答案: B 3.下列推理是归纳推理的是( ) B. 2 D. 4

A.由于 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 都成立,推断 f(x)=xcos x 为 奇函数 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜出数列{an}的前 n 项和的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab D.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 解析: A 是演绎推理,C、D 为类比推理,只有 B,从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和
2 2 2 2

x2 y2 a b

Sn 是从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳推理.
答案: B 4.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =( A.28 C.123
10 2 2 3 3 4 4 5 5 10

) B.76 D.199

解析: 从给出的式子特点观察推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右 端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,得 a +b =123. 答案: C 5.(2014·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),
61
10 10

(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个“整数对”是( A.(7,5) C.(2,10) B.(5,7) D.(10,1)

)

解析: 依题意, 把“整数对”的和相同的分成一组, 不难得知第 n 组中每个“整数对” 的和均为 n+1, 且第 n 组共有 n 个“整数对”, 这样的前 n 组一共有

n?n+1?
2

个“整数对”,

10×?10+1? 11×?11+1? 注意到 <60< , 因此第 60 个“整数对”处于第 11 组(每个“整 2 2 数对”的和为 12 的组)的第 5 个位置, 结合题意可知每个“整数对”的和为 12 的组中的各对 数依次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),?,因此第 60 个“整数对”是(5,7), 选 B. 答案: B 6.数列 2, 5,2 2, 11,?的一个通项公式是________. 解析: 因为 a1= 3-1,a2= 3×2-1,a3= 3×3-1,a4= 3×4-1, 由此猜想 an= 3n-1. 答案: an= 3n-1 7.如图所示的“三角形”数列,前 4 个图形对应的数分别为 1,3,6,10,则第 7 个图形 对应的数是________.

解析: 由前 4 个数 1,3,6,10 可知数列{an}满足 an=an-1+n, 由归纳推理可知 ∴a5=a4+5=10+5=15,

a6=a5+6=15+6=21, a7=a6+7=21+7=28.
答案: 28 8.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,?,xn,都有

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f? ?.若 y=sin x 在区间(0,π )上是凸函数, n n ? ?
那么在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________. 解析: 由题意知,凸函数满足

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f? ?, n n ? ?
sin A+sin B+sin C≤3sin

A+B+C
3
62

π 3 3 =3sin = . 3 2 答案: 3 3 2

9.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三角 1 形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积 S= ×底×高;(3)三角形的中位线平行于第三边 2 1 且等于第三边的 ;?? 2 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解析: 由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)四面体的体积 V= ×底面积×高; 3 1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 . 4 10.观察下表: 1, 2,3, 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, ? 问:(1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2 014 是第几行的第几个数? 解析: (1)∵第 n+1 行的第 1 个数是 2 , ∴第 n 行的最后一个数是 2 -1. (2)2
n-1 n n

+(2

n-1

+1)+(2
11

n-1

?2 n +2)+?+(2 -1)=

n-1

+2 -1?·2 2

n

n-1

=3·2

2n-3

-2

n-2

.

(3)∵2 =1 024,2 =2 048,1 024<2 014<2 048, ∴2 014 在第 11 行,该行第 1 个数是 2 =1 024, 由 2 014-1 024+1=991,知 2 014 是第 11 行的第 991 个数. B 级 能力提升 1.[ n]表示不超过 n的最大整数. 若 S1=[ 1]+[ 2]+[ 3]=3,
10

10

S2=[ 4]+[ 5]+[ 6]+[ 7]+[ 8]=10,
63

S3=[ 9]+[ 10]+[ 11]+[ 12]+[ 13]+[ 14]+[ 15]=21,
? 则 Sn=( A.n(n+2) C.(n+1) -1
2 2

) B.n(n+3) D.n(2n+1)
2

解析: 观察得到:Sn 是从 n 开始到 ?n+1? (不含)之前共 2n+1 个 n 的和,所以

Sn 为 n(2n+1),即[ n2]+[ n2+1]+[ n2+2]+?+[ ?n+1?2-1]=n(2n+1).
答案: D 2.我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系 xOy 中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A(-3,4),且其法向量为 n=(1,-2)的直 线方程为 1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0, 化简得 x-2y+11=0.类比上述方法, 在空间直角 坐标系 O-xyz 中, 经过点 A(1,2,3), 且其法向量为 n=(-1, -2,1)的平面方程为________. → 解析: 设 P(x,y,z)为空间内任意一点,则类比上述结论可得AP·n=(x-1,y-2,

z-3)·(-1,-2,1)=0,整理得 x+2y-z-2=0.
答案: x+2y-z-2=0 3.在锐角三角形 ABC 中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 证明: ∵△ABC 为锐角三角形, π π ∴A+B> ,∴A> -B, 2 2

? π? ∵y=sin x 在?0, ?上是增函数, 2? ? ?π ? ∴sin A>sin? -B?=cos B, ?2 ?
同理可得 sin B>cos C,sin C>cos A, ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 4.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°; ②sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°; ③sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解析: 法一:(1)选择②式,计算如下:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

64

1 2 2 sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°=1- sin 30° 2 1 3 =1- = . 4 4 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) =sin α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) -sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α ) =sin α +
2 2 2 2 2

3 3 1 3 1 3 2 2 2 cos α + sin α cos α + sin α - sin α cos α - sin α = 4 2 4 2 2 4

3 2 3 2 sin α + cos α = . 4 4 法二:(1)同法一. 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) = 1-cos 2α 1+cos?60°-2α ? + -sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α ) 2 2
2 2

1 1 1 1 3 = - cos 2α + + (cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )- sin α cos α - 2 2 2 2 2 1 2 sin α 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α + + cos 2α + sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α - + cos 2α = . 4 4 4 4 第六节 直接证明和间接证明

1. 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法; 了解分析法和综合法的思考过程 和特点. 2.了解反证法的思考过程和特点.

65

1.直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法. (1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 综合法又称为:由因导果法(顺推证法). (2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这 种证明方法叫做分析法. 分析法又称为:执果索因法(逆推证法). 2.间接证明——反证法 反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.

1.综合法证题的一般规律: 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一 般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结 论. 2.分析法证题的一般规律: 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的 充分条件. 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达, 下一步是上一步的充分条件. 3.反证法证题的一般规律: 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排 中律的一般形式是:或者是 A,或者是非 A.即在同一讨论过程中,A 和非 A 有且仅有一个是 正确的,不能有第三种情况出现.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( ) )

(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( (3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.( (4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( ) )

(5)在解决问题时, 常常用分析法寻找解题的思路与方法, 再用综合法展现解决问题的过
66

程.(

) )

(6)证明不等式 2+ 7< 3+ 6最合适的方法是分析法.( 答案: (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√

2.下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④ 分析法是逆推法;⑤反证法是间接证法.其中正确的有( A.2 个 C.4 个 B. 3 个 D. 5 个 )

解析: 由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确. 答案: D 3.(2014·山东卷)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一 个实根”时,要做的假设是(
3 3

)

A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 解析: 因为“方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”等价于“方程 x +ax+b=0 的实 根的个数大于或等于 1”,因此,要做的假设是“方程 x +ax+b=0 没有实根”. 答案: A 4.(2014·山西太原模拟)用反证法证明“若 x -1=0,则 x=-1 或 x=1”时,应假设 ________. 解析: “x=-1 或 x=1”的否定是“x≠-1 且 x≠1”. 答案: x≠-1 且 x≠1 5.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满足 ________. 解析: 由余弦定理 cos A=
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

b2+c2-a2 <0, 2bc
2

所以 b +c -a <0,即 a >b +c . 答案: a >b +c
2 2 2

2

综合法 自主练透型 1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. 求证:a,b,c 成等差数列.
67

证明: 由已知得 sin Asin B+sin Bsin C=2sin B, 因为 sin B≠0,所以 sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理,有 a+c=2b,即 a,b,c 成等差数列. 3n -n * 2.(2014·江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N . 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1,an,am 成等比数列. 3n -n 解析: (1)由 Sn= ,得 a1=S1=1, 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2,当 n=1 时也适合, 所以数列{an}的通项公式为 an=3n-2. (2)证明: 要使得 a1,an, am 成等比数列,只需要 an=a1·am,即(3n-2) =1·(3m-2), 即 m=3n -4n+2,而此时 m∈N ,且 m>n, 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1,an,am 成等比数列. 综合法是一种由因导果的证明方法,即由已知条件出发,推导出所要证 明的等式或不等式成立.因此,综合法又叫做顺推证法或由因导果法.其逻辑依据是三段论 式的演绎推理方法,这就要保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确性. 分析法 互动讲练型 |a|+|b| 已知非零向量 a,b,且 a⊥b,求证: ≤ 2. |a+b| |a|+|b| 证明: a⊥b?a·b=0,要证 ≤ 2, |a+b| 只需证|a|+|b|≤ 2|a+b|, 只需证|a| +2|a||b|+|b| ≤2(a +2a·b+b ) 只需证|a| +2|a||b|+|b| ≤2a +2b , 只需证|a| +|b| -2|a||b|≥0, 即证(|a|-|b|) ≥0, 上式显然成立,故原不等式得证.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 2 * 2 2 2 * 2

2

已知 m>0,a,b∈R,求证:? 证明: ∵m>0,∴1+m>0. 所以要证原不等式成立,

?a+mb?2≤a +mb . ? 1+m ? 1+m ?

2

2

只需证明(a+mb) ≤(1+m)(a +mb ), 即证 m(a -2ab+b )≥0,
68
2 2

2

2

2

即证(a-b) ≥0, 而(a-b) ≥0 显然成立, 故原不等式得证. 分析法的特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步 靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等,运用分析法必须考虑 条件的必要性是否成立.通常采用“欲证——只需证——已知”的格式,在表达中要注意叙 述形式的规范. 反证法 分层深化型 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 bn= (n∈N ),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
2

2

Sn n

*

?a1= 2+1, 解析: (1)由已知得? ?3a1+3d=9+3 2,
故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2). (2)证明: 由(1)得 bn= =n+ 2.

∴d=2,

Sn n

假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq=bpbr, 即(q+ 2) =(p+ 2)(r+ 2). ∴(q -pr)+ 2(2q-p-r)=0.
? ?q -pr=0, * ∵p,q,r∈N ,∴? ? ?2q-p-r=0.
2 2 2

2

∴?

?p+r?2=pr,(p-r)2=0.∴p=r. ? ? 2 ?

与 p≠r 矛盾. ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.

1.设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 解析: (1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+?+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q +?+a1q
2

n-1

,①

69

qSn=a1q+a1q2+?+a1qn,②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1q ,
n

na1,q=1, ? ? a1?1-qn? ∴Sn= ,∴Sn=?a1?1-qn? 1-q ,q≠1. ? ? 1-q
(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N , (ak+1+1) =(ak+1)(ak+2+1),
2 *

a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
2k k k-1 k+1 k-1 k+1 a2 ·a1q +a1q +a1q , 1q +2a1q =a1q

∵a1≠0,∴2q =q
2

k

k-1

+q

k+1

.

∵q≠0,∴q -2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.

1 2 2 2.已知 x∈R,a=x + ,b=2-x,c=x -x+1,试证明 a,b,c 至少有一个不小于 2 1. 证明: 假设 a,b,c 均小于 1, 即 a<1,b<1,c<1, 则有 a+b+c<3, 1 2 而 a+b+c=2x -2x+ +3 2

? 1?2 =2?x- ? +3≥3, ? 2?
两者矛盾,所以假设不成立, 故 a,b,c 至少有一个不小于 1.

5 2 3.已知 f(x)=ax +bx+c,若 a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大值为 2,最小值为- . 2 求证:a≠0 且? ?<2. 证明: 假设 a=0 或? ?≥2. a (1)当 a=0 时,由 a+c=0,得 f(x)=bx,显然 b≠0. 由题意,得 f(x)=bx 在[-1,1]上是单调函数,所以 f(x)的最大值为|b|,最小值为-
70

?b? ?a?

?b? ? ?

|b|. 5 1 由已知条件,得|b|+(-|b|)=2- =- ,这与 |b|+(-|b|)=0 相矛盾,所以 a≠0. 2 2 (2)当? ?≥2 时, 由二次函数的对称轴为直线 x=- , 知 f(x)在[-1,1]上是单调函数, 2a ?a? 故其最值在区间的端点处取得.

?b?

b

f?1?=a+b+c=2, ? ? 所以? 5 f?-1?=a-b+c=- ? 2 ?
5 ? ?f?1?=a+b+c=- , 2 或? ? ?f?-1?=a-b+c=2. 又 a+c=0,则此时 b 无解, 所以? ?<2. a 由(1)(2),得 a≠0 且? ?<2. a 反证法证明问题的一般步骤 (1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论) (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、 已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾) (3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的 反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)

?b? ? ?

?b? ? ?

A 级 基础训练 1.用分析法证明:欲使①A>B,只需②C<D,这里①是②的( A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析: 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立,即②? ①,所以①是②的必要 条件. 答案: B 3 3 2.用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b”假设内容应是( 3 3 A. a = b
71

)

3 3 B. a < b 3 3 3 3 C. a = b 且 a < b 3 3 3 3 D. a = b 或 a < b 3 3 3 3 解析: 假设结论不成立,即 a> b的否定为 a≤ b. 答案: D 3. 分析法又称执果索因法, 若用分析法证明“设 a>b>c, 且 a+b+c=0, 求证: b -ac < 3a”索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0
2 2 2

) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0
2

解析: 由题意知 b -ac< 3a?b -ac<3a ?b +a(a+b)<3a ?b +a +ab<3a ?b +ab<2a ?2a -ab-b >0
2 2 2 2 2 2 2 2 2

?a -ab+a -b >0?a(a-b)+(a+b)(a-b)>0 ?a(a-b)-c(a-b)>0?(a-b)(a-c)>0,故选 C. 答案: C 1 1 1 4.设 x、y、z>0,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a、b、c 三数(

2

2

2

y

z

x

)

A.至少有一个不大于 2 C.至少有一个不小于 2 解析: 假设 a、b、c 都小于 2, 则 a+b+c<6.

B.都小于 2 D.都大于 2

1 1 1 而事实上 a+b+c=x+ +y+ +z+ ≥2+2+2=6 与假设矛盾,

x

y

z

∴a、b、c 中至少有一个不小于 2. 答案: C 5. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时, f(x)单调递减, 若 x1+x2>0, 则 f(x1) +f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值 ) B.恒等于零 D.无法确定正负

解析: 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上的单调递减函数,由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2) <0,故选 A.
72

答案: A 6.设 a= 3+2 2,b=2+ 7,则 a,b 的大小关系为________. 解析: a= 3+2 2, b=2+ 7两式的两边分别平方, 可得 a =11+4 6, b =11+4 7, 显然, 6< 7.∴a<b. 答案: a<b 7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab 可以被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整 除”,那么假设的内容是________. 解析: “至少有 n 个”的否定是“最多有 n-1 个”,故应假设 a,b 中没有一个能被 5 整除. 答案: a,b 中没有一个能被 5 整除 8 .(2014·福建福州模拟 ) 如果 a a + b b > a b + b a ,则 a 、 b 应满足的条件是 ____________. 解析: 且 a≠b. 答案: a≥0,b≥0 且 a≠b 9.若 a>b>c>d>0 且 a+d=b+c, 求证: d+ a< b+ c. 证明: 要证 d+ a< b+ c,只需证( d+ a) <( b+ c) , 即 a+d+2 ad<b+c+2 bc, 因 a+d=b+c,只需证 ad< bc, 即 ad<bc,设 a+d=b+c=t, 则 ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)<0, 故 ad<bc 成立,从而 d+ a< b+ c成立. 10.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 三边的倒数成等差 数列,求证:∠B<90°. 证明: 假设∠B<90°不成立,即∠B≥90°,从而∠B 是△ABC 的最大角,∴b 是△ABC 的最大边,即 b>a,b>c. 1 1 1 1 ∴ > , > ,相加得
2 2 2 2

∵a a+b b>a b+b a,即( a- b) ( a+ b)>0,需满足 a≥0,b≥0

2

a b c b

1

a c b b b a c b

1 1 1 2 + > + = ,

1 1 2 这与 + = 矛盾. 故∠B≥90°不成立.
73

因此∠B<90°. B 级 能力提升 1.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 解析: 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形.假 设△A2B2C2 是锐角三角形, sin A =cos A =sin? -A ?, ? ?2 ? ? ?π ? 由?sin B =cos B =sin? -B ?, ?2 ? π ? ?sin C =cos C =sin??? 2 -C ???,
2 1 1 2 1 1 2 1 1

)



?

A = -A , 2 ? ? π 得?B = -B , 2 π ? ?C = 2 -C .
π
2 1 2 1 2 1

π 那么,A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180°相矛盾. 2 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形. 所以△A2B2C2 是钝角三角形. 答案: D 2.已知点 An(n,an)为函数 y= x +1图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点, 其中 n∈N ,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 解析: 由条件得 cn=an-bn= n +1-n= ∴cn 随 n 的增大而减小,∴cn+1<cn. 答案: cn+1<cn 3.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an,an+1)(n∈N )在函数 y=x +1 的图象 上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+2an,求证:bn·bn+2<bn+1. 解析: (1)由已知得 an+1=an+1,则 an+1-an=1,又 a1=1, 所以数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. 故 an=1+(n-1)×1=n. (2)证明:由(1)知,an=n,从而 bn+1-bn=2 .
n
2 * 2 2 * 2

1

n +1+n

2



bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1
74

=2

n-1

+2

n-2

1-2 n +?+2+1= =2 -1. 1-2
2

n

因为 bn·bn+2-bn+1=(2 -1)(2 =(2
2n+2

n

n+2

-1)-(2
n+1

n+1

-1)

2

-2
n

n+2

-2 +1)-(2
n n

n

2n+2

-2×2

+1)

=-5×2 +4×2 =-2 <0, 所以 bn·bn+2<bn+1. 4. 已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点, 若 f(c)=0, 且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根;
2 2

a a

1 (2)试比较 与 c 的大小; (3)证明:-2<b<-1. 解析: (1)证明:∵f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0, ∴x1=c 是 f(x)=0 的根, 又 x1x2= , 1?1 ? ∴x2= ? ≠c?,

c a

a?a

?

1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根.

a

1 1 (2)假设 <c,又 >0,

a

a

由 0<x<c 时,f(x)>0,

?1? ?1? 知 f? ?>0 与 f? ?=0 矛盾, a a ? ? ? ?
1 ∴ ≥c.

a

1 又∵ ≠c,

a

1 ∴ >c.

a

(3)证明:由 f(c)=0, 得 ac+b+1=0, ∴b=-1-ac.
75

又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为

b x1+x2 x2+x2 1 x=- = < =x2= , 2a 2 2 a b 1 即- < . 2a a
又 a>0,∴b>-2, ∴-2<b<-1.

76


推荐相关:

...高考数学(文)大一轮复习精品讲义:第六章 不等式、推...

【三维设计】2016届(新课标)高考数学()大一轮复习精品讲义:第六章 不等式推理与证明 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。第六章 不等式推理与证明 第...


...高考数学(理)大一轮复习精品讲义:第六章 不等式、推...

2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精品讲义:第六章 不等式推理与证明_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第六章 不等式推理与证明 第一节 不等关系与...


2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习不等式、推理与...

2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习不等式推理与证明_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第六章 不等式推理与证明 第一节 不等关系与不等式 基础盘查...


...2016届高考数学大一轮复习精品讲义 第六章 不等式、...

【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习精品讲义 第六章 不等式推理与证明(含解析)_数学_高中教育_教育专区。第六章对应学生用书P85 不等式、推理与...


2016年高考数学一轮复习名师名校精品教案第六章 不等式...

2016年高考数学轮复习名师名校精品教案第六章 不等式推理与证明_高考_高中教育_教育专区。2016年高考数学轮复习名师名校精品教案 ...


2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证...

2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式推理与证明 计时双基练34 不等关系与不等式 _数学_高中教育_教育专区。计时双基练三十四 不等关系与不等式 ) ...


高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 . 直接证...

高考数学轮复习 第六章 不等式推理与证明 . 直接证明与间接证明练习 理解析_数学_高中教育_教育专区。第六章 不等式推理与证明 6.6 直接证明与间接证明...


高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 . 合情推...

高考数学轮复习 第六章 不等式推理与证明 . 合情推理与演绎推理练习 理-课件_数学_高中教育_教育专区。第六章 不等式推理与证明 6.5 合情推理与演绎...


...2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与...

【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式推理与证明 计时双基练36 基本不等式 北师大版_数学_高中教育_教育专区。计时双基练三十六 1 1....


高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 . 基本不...

基本不等式练习 理-课件_数学_高中教育_教育专区。第六章 不等式推理与证明 6.4 基本不等式练习 理 [A 组·基础达标练] 1.[2016·孝感调研]“a>b>0”...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com