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必修2红对勾4-2-36


红对勾系列丛书

第四章 圆与方程

第四章 圆与方程

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4.2 第36课时

直线、圆的位置关系 直线与圆的方程的应用

4.2 第36课时

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1.能用直线和圆的方程解决一些简单的

问题;

2.初步了解用代数方法处理几何问题的
思想.

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一、选择题(每小题5分,共30分) 1.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+4x-4y+4=0关于 直线l对称,那么直线l的方程是( )

A.x+y=0
C.x-y-2=0 答案:D

B.x+y-2=0
D.x-y+2=0

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2.设直线 x+ y= 1 绕(1,0)点顺时针旋转 90° 后,与圆 x2+ (y- 1)2= r2(r>0)相切,则 r 的 值是 ( 2 A. 2 3 2 C. 2 ) B. 2 D. 1

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解析:∵ x+ y=1 的斜率为- 1,绕(1,0)点顺时 针旋转 90° 后,直线斜率为 1,且过(1,0), 故方程为 x- y-1= 0. 由圆 x2+(y- 1)2= r2 与 x-y- 1= 0 相切, |0-1- 1| 圆心到直线的距离 d= = 2= r, 2 ∴ r= 2.
答案:B

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3.已知点 A(-1,1)和⊙C:(x- 5)2+(y- 7)2= 4,一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 上的最短 路程是 ( ) B. 8 D. 10

A. 6 2- 2 C. 4 6
答案:B

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4.已知两点 A(- 1,0)、B(0,2),点 P 是圆(x- 1)2+ y2= 1 上任一点,则△PAB 面积的最大值与最 小值分别是( )

1 A. 2, (4- 5) 2 1 1 B. (4+ 5), (4- 5) 2 2 1 C. 5, 4- 5 2 1 1 D. ( 5+ 2), ( 5- 2) 2 2
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解析: 以 AB 为底边,则 P 到直线 AB 的距离有最 值时,△ PAB 的面积取得最值,直线 AB 的方程为 2x- y + 2 = 0 , AB = 5 ,圆心到直线 AB 的距离为 d = |2× 1- 0+ 2| 4 5 = ,所以 P 到直线 AB 的最大距离、最 2 5 2 +1 4 5 4 5 小距离分别为 1+ 、 - 1,所以△PAB 面积的最 5 5 1 1 大值与最小值分别为 (4+ 5), (4- 5). 2 2
答案:B
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5.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北 方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城 市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的时间

为(

)
A.0.5小时 C.1.5小时 B.1小时 D.2小时

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图1

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解析:如图1,以B为原点,以AB所在直线为x轴,

建立直角坐标系,则台风中心移动的轨迹为直线x-y
+40=0,只需求出该直线与圆x2+y2=302两交点M, N间的距离即可得到B市处在危险区的时间.

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∵ B 到直线 MN 的距离 d= 20 2千米, ∴ |MN|= 2 302-? 20 2?2= 20(千米 ), 20 ∴ B 市处于危险区的时间为 = 1(小时 ). 20
答案:B

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6. (2010· 湖北高考 )若直线 y= x+ b 与曲线 y= 3- 4x- x2有公共点,则 b 的取值范围是( A. [- 1,1+ 2 2] C. [1- 2 2, 3] )

B. [1- 2 2, 1+ 2 2] D. [1- 2, 3]

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图2
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解析:曲线 y= 3- 4x- x2表示圆 (x- 2)2+(y- 3)2 = 4 的下半圆,如图所示,当直线 y= x+ b 经过点 (0,3) 时, b 取最大值 3,当直线与半圆相切时, b 取最小值, |2- 3+ b| 由 = 2? b= 1- 2 2或 1+ 2 2(舍),故 bmin= 1 2 - 2 2, b 的取值范围为 [1- 2 2, 3].
答案: C

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二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.直线 y= 3x+ 2m 和圆 x2+ y2= n2 相切,其中 m、 n∈ N* , |m- n|≤ 5. 试写出所有满足条件的有序实数对 (m, n): ________.

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解析: 圆 x2+ y2= n2 的圆心为(0,0),半径为 n. 则圆心到直线的距离 d= 又 m, n∈ N*, |m- n|≤ 5. 当 m= 1 时, n= 1, 当 m= 2 时, n= 2, |2m| ? 3?2+?- 1?
m 1 = 2 = n. 2


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当m=3时,n=4, 当m=4时,n=8, 当m=5时,n=16(舍去),

故满足条件的有序实数对为 (1,1) , (2,2) , (3,4) ,
(4,8). 答案:(1,1),(2,2),(3,4),(4,8)

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8 .已知圆 (x - 2)2 + (y + 3)2 = 13 和圆 (x - 3)2 + y2 = 9 交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的垂直平分线的方程是

________.
答案:3x-y-9=0

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9.若过点A(4,0)的直线与曲线(x-2)2+y2=1有公 共点,则直线的斜率的取值范围是________. 解析:设过点A的直线l的方程为y=k(x-4),

即kx-y-4k=0,如图3,当l与圆相切时,

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图3

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|2k- 4k| 3 = 1,解得 k=± .由题意 2 3 k +1 3 3 - ≤ k≤ . 3 3
3 3 答案:[- , ] 3 3

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三、解答题(共 45 分)

图4

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10.(本小题15分)一座圆形拱桥,当水面在如图4

所示位置时,拱顶离水面 2米,水面宽 12米,当水面
下降1米后,水面宽多少米? 解:以圆形拱顶点为原点,以过圆形拱顶点的竖 直直线为y轴,建立平面直角坐标系.

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设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B, 则由已知可得A(6,-2), 设圆的半径为r,则C(0,-r),

即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.
将点A的坐标代入上述方程可得r=10,

所以圆的方程为x2+(y+10)2=100,
当水面下降1米后,水面弦的端点为A′、B′,

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可设 A′(x0,- 3)(x0>0),代入 x2+(y+ 10)2= 100, 解得 x0= 51米, ∴水面宽度 |A′ B′ |= 2 51米.

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11.(本小题 15 分 )一个圆与 y 轴相切,圆心在直线 x- 3y= 0 上,且它截直线 x- y= 0 所得弦长为 2 7,求 圆的方程.

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解:设圆心为 (3a, a). ∵圆与 y 轴相切,∴ r= |3a| 又∵圆心到 y= x 的距离 |3a- a| d= = 2|a |, 2 由截得弦长为 2 7,

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∴ 2 7= 2 r2- d2= 2 ? 3a?2-? 2a?2, |a |= 1,∴ a=± 1, ∴所求圆的方程为 (x- 3)2+ (y- 1)2= 9 或 (x+ 3)2+ (y+ 1)2= 9.

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12.(本小题 15 分 )已知圆 C:x2+ y2- 4x- 14y+45 = 0 及点 Q(- 2,3). (1)若 P(m, m+ 1)在圆 C 上,求线段 PQ 的长及直 线 PQ 的斜率; (2)若 P 为圆 C 上任一点, 求 |PQ|长的最大值和最小 值; (3)若实数 a、b 满足 a2+ b2- 4a- 14b+ 45= 0,求 k b- 3 = 的最值. a+ 2
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解: (1)∵P(m, m+ 1)在圆上, ∴ m2+(m+ 1)2- 4m- 14(m+ 1)+ 45= 0,得 m=4, ∴ P(4,5). |PQ|= ? 4+ 2?2+? 5- 3?2= 2 10, 5- 3 1 kPQ= = . 4+ 2 3

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(2)由题意求得: C(2,7), R= 2 2又知 Q(- 2,3) 则: |PQ|max= |QC|+ R= ? 2+ 2?2+? 7- 3?2+ 2 2 = 6 2, |PQ|min= |QC|- R= 4 2- 2 2= 2 2.

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(3)依题意, k 为点 (- 2,3)与圆 C 上任一点连线斜率, 其最大值、最小值分别是过点 (- 2,3)的直线与圆 C 的切 线斜率, ∴ kmax= tan(45° + 30° )= 2+ 3; kmin= tan(45° - 30° )= 2- 3.

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