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【数学】1.2.1任意角的三角函数的定义(一)教案(新人教B版必修4)


1.2.1 三角函数的定义(第一课时)教案

一、教学目标 1.知识目标:(1)理解并掌握各种三角函数的定义及定义域;. (2)三角函数定义的应用; 2.能力目标: (1)培养学生分析数学问题的能力; (2) 根据三角函数定义求三角函数值. 3.情感目标: (1)通过网络载体,利用 PPT 的直观演示,培养学生主动探索、 善于发现的创新意识和创新精神; (2)

在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神; 二、重点难点 教学重点:三角函数的定义和定义域。 教学难点:根据任意角三角函数定义求三角函数值 三、授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

具:多媒体、

1

四、教学过程
教学环 节 复习引 入 1.在初 中我们学 习了锐角 三角函数, 教学内容 师生互动 设计意图

A
c b

B

? a

C

教师提出问题:初中是如何定义角 的? 师 : 前面我们对角的概念进行了扩

它是以锐角为自变量,边的比值为 函数值的三角函数:

sin ? ?

b c b tan ? ? a

cos ? ?

a c

充 , 并学习了弧度制 , 知道角的集合 与实数集是一一对应的 , 在这个基 础上 , 今天我们来研究任意角的三 角函数.

温故知新

概念形 成

1. 用坐标形式表示初中所学的锐角 三角函数 设点 P(x,y)是锐角 ? 终边上的任 意一点,记 OP=r(r≠0), y 则 sin ? ? ,cos ? ? x ,tan ? ? y r r x 2.任意角的三角函数 设 ? 是一个 任意角, 在? 的终边上任 取(异于原点 的)一点 P(x,y)

1. 以坐标原点为锐角 ? 的顶点,以 Ox 轴为角 ? 的始边,则角 ? 的 终边落在直角坐标系的第一象 限内,若设点 P(x , y)是终边上的 任意一点,记 OP=r(r≠0),试将角

将初中定义的锐 角三角函数放到 坐标系中的讨 论,指明研究函 数问题的工具, 完成从三角形到 坐标系的转化, 为后面在直角坐 标系中定义任意

P (x, y)
r

? 的三角函数用 x, y, r 表示出
来. 学生作图,教师在此过程中要 引导学生在坐标系中做出符合

?

2

则 P 与原点的距离

锐角三角函数定义要求的直角
2 2
王新敞
奎屯 新疆

角的三角函数搭 建平台。 2 .通过对比, 让学生对知识进 行类比、迁移及 联想,树立他们 勇于探索的信 心。通过讨论, 充分发挥学生学 习的主动性

r?

x ? y ? x ?y ?0

2

2

根据三角形的相似知识得到

三角形.该过程中要适时指点 学生,并加强学生与学生之间 的讨论与交流. 回答问题:教师通过多媒体将 此过程展示给学生,明确坐标 与三角函数的关系. 2. 教师提出问题: 问题 1:根据刚才我们在直角坐 标系中讨论的锐角三角函数, 你 能给出任意角的三角函数定义 吗? 由学生讨论回答. 问题 2: 角 ? 的三角函数值不受 终边上的点 P 的位置的影响 吗? 这是一个较有思考价值的问题, 教师要注意正确地引导和必要 地提示,锐角三角函数的大小仅 与锐角的大小有关,与直角三角 形的大小无关,类似地-… 问题 3: 依据函数的定义,这几

x y y , , 均为定值。 r r x
比值

y 叫做 ? 的正弦, r
y r

记作: sin ? ?

x 比值 叫做 ? 的余弦, r
记作: cos ? ? x r 比值

y 叫做 ? 的正切, x
y x

记作: tan ? ?

(4)角的其它三种三角函数

x 比值 叫做 ? 的余切, y
记作: cot? ? 比值

x y

r 叫做 ? 的正割, x
r x

记作: sec ? ? 比值

r 叫做 ? 的余割, y

r 记作: csc ? ? y

3

个比值可以分别构成函数吗? 若能构成,他们的自变量是什 么?x 还是 y?r 还是 ? ?

概念深 化

1。角是“任意角”,当β=2kπ+α (k∈Z)时,β与α 的同名三角函数值 应该是相等的,即凡是终边相同的 角的三角函数值都相等。 2.三角函数是以“比值”为函数值 的函数 3.对于正弦函数 sinα = r>0 所以 实数, 对于第 1 到第 2 点教师要点拨,

1. 让学生明确定 义是对任意角而 言的,OP 是角

? 的终边,至于
是转了几圈,安 什么方向旋转的 不清楚,也只有 这样,才能说明 角 ? 是任意的. 2. 使学生明确任 意角的三角函数 的定义与锐角三 角函数的定义的 联系与区别:任 意角的三角函数 包含锐角三角函 数.实质上锐角 三角函数的定义

y ,因为 r

学生思考.对于第 3 点教师提出 问题 :谈到函数 ,定义域要先行 . 在此 , 对三角函数的定义与要 进一步地明确 , 确定三角函数 的定义域的依据就是任意角的 三角函数的定义 . 三角函数是 以角为自变量的函数 , 如何去 确定这些函数定义域 ? 他们的 定义域是什么? 由学生讨论回答

y 恒有意义,即α 取任意 r

y 恒有意义,也就是说 sin r

α 恒有意义, 所以正弦函数的定义域 R; 类似地可写出 余弦函数的定 义 域;对于正切函数 tanα = x=0 时,

y ,因为 x

y 无意义,即 tanα 无意 x

义, 又当且仅当角α 的终边落在纵轴 上时,才有 x=0,所以当α 的终边 不在纵轴上时,

y 恒有意义。 x

4

现将它们列表如下: 三角 函数 sin 定义域 R

与任意角的三角 函数的定义是一 致的,锐角三角 函数是任意角三

?
cos R

角函数的一种特

?
tan {α |α ≠kπ+

?
sec

? ,k∈Z } 2

例 . 所不同的是 , 锐角三角函数是 以边的比来定义 的,任意角的三 角函数是以坐标

?
cot

?
csc

{α |α ≠kπ,k∈Z }

与距离、坐标与 坐标、距离与坐 标的比来定义 的。 3. 让学生掌握正 弦函数、余弦函 数、正切函数的 定义域。

?

应用举 例

例 1.已知角 ? 的终边过点 P(2,-3), 求 ? 的六个三角函数值. 巩固练习:略

教师讲解,学生解题,教师对学 生在解题思路和规范性方面进 行指导

让学生巩固六种 三角函数概念, 感受三角函数的 定义在三角函数

例2、求1350 的正弦,余弦和正切。

5

求值中的应用。 归纳小 结 1. 知识:三角函数的定义及其定义 域 2.数学思想方法:数形结合思想; 类比法。 学生总结,教师进行补充 让学生学会学习 学会反思,学会 总结,重视数学 思想方法在分析 问题和解决问题 中的作用 布置作 业 层次一:教材练习 A,1~3 层次二:教材习题 1-2A,1,2 使学生进一步巩 固和应用所学知 识

6


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