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高中物理奥赛必看讲义——运动学


运动学
第一讲 基本知识介绍

一. 基本概念 1. 质点 2. 参照物 3. 参照系——固连于参照物上的坐标系(解题时要记住所选的是参照系,而不仅 是一个点) 4.绝对运动,相对运动,牵连运动:v 绝=v 相+v 牵 二.运动的描述 1.位置:r=r(t) 2.位移:Δr=r(t+Δt)-r(t) 3.速度:v=limΔt→0Δr/Δt.在大学教材中表述为:v=dr/dt, 表示 r 对 t 求导数 4. 加速度 a=an+aτ。an:法向加速度, 速度方向的改变率, an=v2/ρ,ρ 叫做曲率半径, 且 (这 是中学物理竞赛求曲率半径的唯一方法)aτ: 切向加速度,速度大小的改变率。a=dv/dt 5.以上是运动学中的基本物理量,也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。 可是三阶导数为什么不是呢?因为牛顿第二定律是 F=ma,即直接和加速度相联系。 (a 对 t 的导数叫“急动度”。 ) 6.由于以上三个量均为矢量,所以在运算中用分量表示一般比较好 三.等加速运动 等加速运动 v(t)=v0+at r(t)=r0+v0t+1/2 at2

一道经典的物理问题:二次世界大战中物理学家曾经研究,当 大炮的位置固定,以同一速度 v0 沿各种角度发射,问:当飞机在哪 一区域飞行之外时,不会有危险?(注:结论是这一区域为一抛物 线,此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线。此抛物线为在大炮上方 h=v2/2g 处,以 v0 平抛物体的轨迹。 ) 练习题: 练习题: 一盏灯挂在离地板高 l2,天花板下面 l1 处。 灯泡爆裂, 所有碎片以同样大小的速度 v 朝 各个方向飞去。求碎片落到地板上的半径(认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的,即切 向速度不变,法向速度反向;碎片和地板的碰撞是完全非弹性的,即碰后静止。 )

四.刚体的平动和定轴转动 刚体的平动和定轴转动 1. 我们讲过的圆周运动是平动而不是转动 2. 角位移 φ=φ(t), 角速度 ω=dφ/dt , 角加速度 ε=dω/dt 3. 有限的角位移是标量,而极小的角位移是矢量 4. 同一刚体上两点的相对速度和相对加速度 两点的相对距离不变,相对运动轨迹为圆弧,VA=VB+VAB,在 AB 连线上 投影:[VA]AB=[VB]AB,aA=aB+aAB,aAB=,anAB+,aτAB, ,aτAB 垂直于 AB,,anAB=VAB2/AB 例:A,B,C 三质点速度分别 VA ,VB ,VC 求 G 的速度。 五.课后习题: 一只木筏离开河岸,初速度为 V,方向垂直于岸边,航行路线如图。经过时间 T 木筏 划到路线上标有符号处。河水速度恒定 U 用作图法找到在 2T,3T,4T 时刻木筏在航线上 的确切位置。 五、处理问题的一般方法 (1)用微元法求解相关速度问题 例 1:如图所示,物体 A 置于水平面上,A 前固定一滑轮 B,高台上有一 定滑轮 D,一根轻绳一端固定在 C 点,再绕过 B、D,BC 段水平,当以恒定水 平速度 v 拉绳上的自由端时, 沿水平面前进, A 求当跨过 B 的两段绳子的夹角 为 α 时,A 的运动速度。 (vA= (2)抛体运动问题的一般处理方法
1.

v ) 1+ cos α

平抛运动 斜抛运动 常见的处理方法

2.

3.

(1)将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动 (2)将沿斜面和垂直于斜面方向作为 x、y 轴,分别分解初速度和加速度后用运动学 公式解题 (3)将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动两个

分运动,用矢量合成法则求解 例 2:在掷铅球时,铅球出手时距地面的高度为 h,若出手时的速度为 V0,求以何角 度掷球时,水平射程最远?最远射程为多少? (α= sin 1
v0
2 2v 0 + 2 gh

、 x=

2 v 0 v0 + 2 gh

g



运动的合成与分解、 第二讲 运动的合成与分解、相对运动

(一)知识点点拨
(1)

力的独立性原理:各分力作用互不影响,单独起作用。 运动的独立性原理:分运动之间互不影响,彼此之间满足自己的运动规律 力的合成分解:遵循平行四边形定则,方法有正交分解,解直角三角形等 运动的合成分解:矢量合成分解的规律方法适用 位移的合成分解 B.速度的合成分解 C.加速度的合成分解

(2)

(3)

(4)

A.

参考系的转换:动参考系,静参考系 相对运动:动点相对于动参考系的运动 绝对运动:动点相对于静参考系统(通常指固定于地面的参考系)的 运动 牵连运动:动参考系相对于静参考系的运动 (5)位移合成定理:SA 对地=SA 对 B+SB 对地 速度合成定理:V 绝对=V 相对+V 牵连 加速度合成定理:a 绝对=a 相对+a 牵连 (二)典型例题 (1)火车在雨中以 30m/s 的速度向南行驶,雨滴被风吹向南方,在地球上静止的观 察者测得雨滴的径迹与竖直方向成 21 角, 而坐在火车里乘客看到雨滴的径迹恰好竖直方 向。求解雨滴相对于地的运动。 提示:矢量关系入图 答案:83.7m/s (2)某人手拿一只停表,上了一次固定楼梯,又以不同方式上了两趟自动扶梯,为 什么他可以根据测得的数据来计算自动扶梯的台阶数? 提示:V 人对梯=n1/t1


V 梯对地=n/t2 V 人对地=n/t3 V 人对地= V 人对梯+ V 梯对地 答案:n=t2t3n1/(t2-t3)t1 (3)某人驾船从河岸 A 处出发横渡,如果使船头保持跟河岸垂直的 方向航行, 则经 10min 后到达正对岸下游 120m 的 C 处, 如果他使船逆 向上游,保持跟河岸成 а 角的方向航行,则经过 12.5min 恰好到达正对 岸的 B 处,求河的宽度。 提示:120=V 水*600 D=V 船*600 答案:200m (4)一船在河的正中航行,河宽 l=100m,流速 u=5m/s,并在距船 s=150m 的下游形 成瀑布,为了使小船靠岸时,不至于被冲进瀑布中,船对水的最小速度为多少? 提示:如图船航行 答案:1.58m/s (三)同步练习 1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为 β1=30°, 另一次安装成倾角为 β2=15°。问汽车两次速度之比
v1 为多少时,司机都是看见冰雹都是以竖直方向从车的正 v2

面玻璃上弹开?(冰雹相对地面是竖直下落的) 2、模型飞机以相对空气 v=39km/h 的速度绕一个边长 2km 的等边三角形飞行,设风 速 u = 21km/h ,方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同,试求:飞机绕三角形 一周需多少时间? 3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片(俯 视) 两列车沿直轨道分别以速度 v1=50km/h 和 v2=70km/h 行驶, 。 行驶 方向如箭头所示,求风速。 4、细杆 AB 长 L ,两端分别约束在 x 、 y 轴上运动, (1)试求 杆上与 A 点相距 aL(0< a <1)的 P 点运动轨迹; (2)如果 vA 为已知,试求 P 点的 x 、 y 向分速度 vPx 和 vPy 对杆方位角 θ 的函数。 v1 v2

(四)同步练习提示与答案 1、提示:利用速度合成定理,作速度的矢量三角形。答 案为:3。 2、提示:三角形各边的方向为飞机合速度的方向(而非 机头的指向) ; 第二段和第三段 v合 大小相同。 参见右图,显然: v2 = v2 + u2 - 2v 合 ucos120° 合 可解出 v 合 = 24km/h 。 答案:0.2hour(或 12min.) 。 3、提示:方法与练习一类似。答案为:3 4、提示: (1)写成参数方程
x = aL sin θ y = (1 a )L cos θ

后消参数 θ。

(2)解法有讲究:以 A 端为参照, 则杆上各 点只绕 A 转动。 但鉴于杆子的实际运动情形如右图, 应有 v 牵 = vAcosθ, 转 = vA v
cos 2 θ , 可知 B 端相对 A .. . sin θ
v

A 的转动线速度为:v 转 + vAsinθ= 。 . sin θ

P 点的线速度必为

av A =v相 sin θ

所以 vPx = v 相 cosθ+ vAx ,vPy = vAy - v 相 sinθ 答案: (1)
x2 y2 + = 1 ,为椭圆; (2)vPx = avActgθ ,vPy =(1 - a)vA (aL) 2 (1 a) 2 L2


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