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数学奥林匹克高中训练题(182)


42

中等数学

熬蟹奥滁醯蔻霭中铷滤篷(1 82)
中图分类号:G424。79 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2014)09一0042一04

第一试
一、填空题(每小题8分,共64分)
1.已知集合 A={2,O,1,4},B={戈∈A tan戈≥O}.

r />八z)=口石2+k+c(口>0), 且30+46+6c=0。 证明:八x)在区间(O,1)上必有零点. 10.(20分)已知双曲线戈2一),2=2的左、右焦 分别为点F。、R,过定点P(2,3)作双曲线戈2一y2 =2的切线,切点分别为A、曰,且点A的横坐标小 于点8的横坐标. (1)求直线A日的方程;

p∈[0,27c),则p的取值范围是——.
3.已知loglo


则集合曰的所有元素之和为一 2.若厕一面<5(sin3伊一cos3p), l0910(sin戈+cos戈)=√
sin菇+logIo

cos菇=一1.贝0

(2)证明:么F,朋=么疋胎.
11.(20分)已知实数茗、y满足
3。+3y=9。+9,.

4.在四面体A曰CD中,已知

么A加=么肋c=么c以=÷,


求Ⅳ=27。+27’的取值范围.


△A加、△肋c、△侧的面积分别为等、2、1.则


加试
一、(40分)如图l,已知A曰为凸四边形

此四面体体积为一
值为——.

彻CD的最长边,
点M、Ⅳ分别在 A曰、BC上,且 AN、CM均平分 四边形ABCD的 面积.证明:线段


5.小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子,

直到第一次出现6点为止.则小明和小红投掷的

次数相差不超过l的概率为——-.
6.已知菇2+y2+z2=3.则形+弘+搿的最小
7.在平面直角坐标系中,已知OD。与OD:交
11

删平分对角线肋.
二、(40分)已知正数数列{a。}、{6。}满足对 于任意的正整数n,有
口。+2

于P(3,2)、Q两点,两圆半径之积为等.若两圆
』o

均与直线Z:y=h和茗轴相切,则直线Z的方程为
......................._.

2口。+口:+I,6。+2=6:+6。+l,

且oI>l,口2>1,6l>l,62>1.证明: (1)对于任意的正整数n(n≥2)有

8.将具有如下性质的3×3方格表称为“卜
网格”: (1)五个格填1,四个格填0;

口。+2>口:;
(2)从某一个正整数n开始均有n。>6。. 三、(50分)设厶表示Ij}个数字均为1的十进

(2)三行、三列以及两条对角线共八条线上 至多有一条,其中三个数两两相等.

制数(如,,=1,f,=111),定义{n}!=Ⅱ厶.

则不同的r一网格共有——个.
二、解答题(共56分) 9.(16分)已知函数 万方数据

八叩)=踹,

(1)对于任意正整数m、凡,令

2014年第9期

43

写出一个关于八m,n)的递推关系式,并证明之; (2)证明:对于任意正整数m、n,{m+凡}!均 可以被{m}!?{凡}!整除. 四、(50分)某国有53座城市,任意两座城市 之间要么有一条双向公路直达,要么没有直接相 连的公路.已知这53座城市之间共有312条公 路,并且由任何一座城市出发通过公路均能到达 其余各城市.每一座城市至多向其余12座城市引 出公路,且每走一条公路需要缴纳10元路费. 现甲在城市A,且身上仅有120元.甲是否一 定能到达任意一座城市?证明你的结论.

三式相乘得舻=丢.
设DC与面A肋所成角为0c,点C到面ABD
的距离为矗.则^=zsin 由图形的对称性知
a.

c08了2 c08百吨08
j。in





c08 a

2万

a:逛.
√3

故所求四面体体积为

参考答案
第一试
一、1.5.

扣^:文学■:学.
5毒.
设小明、小红投掷次数分别为f、叼.则所求为

注意到,集合曰={0,l,4},故所求为5.

2.p∈㈢詈】.
要使得原不等式有意义,需cos
p、sin

∑[P(亭=叩=i)+P(f=i,叼=i+1)+
P(f=i+l,田=i)].
由独立性,知所求为

p均大

于或等于o,从而,p∈【o,詈】.
令八石)=5戈3+石(z≥o).
则原不等式等价于八cos秽)<以sin p).

∑[P(孝=i)P(叩=i)+P(f=i)P(叼=i+1)+
P(f=i+1)P(叼=i)]

易知,八戈)在区间[0,+∞)上严格单调递增.
从而,cos
9<sin良

=副∥×吉×(∥×吉+
2×(詈)”1×吉×(詈)‘×吉】
一旦
一33。

结合a∈【o,詈】,知口∈(詈,詈】.
3.19 6一lg 5.

注意到,sin石、cos茗均为正数,且


¨÷.
由(z+y+z)2 =戈2+y2+22+2(拶+弘+放)≥O,



81M吨08肛而‘
贝0 2logIo(sin x+cos戈) =loglo(sin戈+cos x)2 =loglo(1+2sin茗?cos茗)

知所求最/j蚴一要,当筇+y+z=o且%2+严+≯=3

=l。910导=lg 6一lg 5.

时取到.例女Ⅱ如肌加(后,一居巾可.
_l。!y=2再%.
由题意,设两个圆的方程为

4.警.
设删、册、Dc分别为戈、,,、互则

(戈一oi)2+(y—ri)2=r:(i=l,2).

肌r2:导,而>o.
因为两圆均过点P(3,2),所以,
一“

竿:譬,竿咄竿乩
2 2’ 2





(3一n∥+(2一r;)2=聋

万方数据

中等数学

j口;一6口i+13—4-=o.q)
设f:),=概的倾斜角为a(a∈(O,7c)).则
_|}=tan

故结论成立. 10.(1)设点A(茹l,y1),B(z2,y2)(菇l<菇2).

a,tan睾=上>o.


则切点分别为A、曰的两条切线Z。、f:的方程分别为
戈l茗一,,l,,22,菇2茗一儿,,22.

Ⅱi

令忙tan詈=≥.则口。=÷.
Z 口二 f

因为点P(2,3)在直线f。、!:上,所以,
2菇I一3yl=2,2戈2—3儿22,

将其代入式①整理得

即直线A曰的方程为2z一3),=2.

r;一6£ri一422ri+13f2=o.

(2)设么F,PA=a,么F2P日=芦,直线PA、船
的斜率分别为后。、J|}:.

由韦达定理,知,。,::娑:13tz.

设f:,,一3=七(笫一2),代人茗2一广=2,整理得

从叭=譬如tan a=鲁=2压.
故直线f的方程为),=2在戈.
8.68.


(1一忌2)菇2+2后(2后一3)戈一(2七一3)2—2=0 号△:4I|}2(2Ji}一3)2+4(1一I|}2)(4_|}2—12七+儿)=O
=争2庇2—12矗+11=0

首先,五个1和四个O填入3×3方格表的所

j应。+_|}::6,蠡。老::婴.

有方法数为c:=126. 接下来考虑不符合性质(2)的方法数,即使
得八条线中至少有两条线上的三个数相等(以下 简称为好线). 下面分类进行计数.好线可能为行、列或对 角线.

肌…=鞣
RI一芝-==_而4J|Il一3




l+芝_==-字兰万七。4+3矗l’
胁卢2亡。
+ktan 0c

若两条好线均为对角线,则其上均为1,有1
种方法; 若两条好线均为行(或列),则其中一行填0,

一行填1,共有c;×2×cj=18种,由行与列的对
称性,共2×18=36种; 若两条好线一条为行,另一条为列,此时,好 线均填1,有3×3=9种; 若两条好线一条为行,另一条为对角线,此 时,好线均填l,有3×2=6种; 若两条好线一条为列,另一条为对角线,此 时,好线均填1,有3×2=6种. 故满足性质的方法种数为
126—1—36—9—6—6=68.

驭面2 1iF 2石页函了纠‘
.1

4尼I忍2—3屉2

22—3七2

从而,么F。鳓=么疋P8.
11.令口=3。,6=37.则题设等式化为 8+6=口2+62(8、6>O)

=亭(n一丢)2+(6一号)2=(譬)2.
由式①在nD6平面中的图像知 江o+6∈(1,2].



又。6:皿监掣:年测
U=27。+277=03+63

二、9.注意到,

=(n+6)3—3n6(n+6)

八o)=c,八1)=Ⅱ+6+c=寺(口一2c),

“挣一毒以
若c>o,则八。讲詈)<o; 若c≤o,则八1)“手)<o.
万方数据

。m等忙一号“≯
记八£):一寻t,+寻t2.则当t∈(1,2]时,
厂’(£)=一÷£2+3£=一÷£(£一2)>o.
于是,八t)在t∈(1,2]上单调递增.

2014年第9期

45

易知,当£∈(1,2]时,以£)∈(1,2]. 综上,u=27。+277的取值范围为(1,2].

(J『。×10”+,。)Ⅱ厶
t=l

加试

(弭厶)(弭L)

一、由s四边形枷∞=去Is四边形^战∞=5四边形M口c,知
s坐≈c=s坐址j MN/7AC

=—————生L—一+————生L———一

lo“ⅡJ『。

Ⅱ,。

(蕻L)(喜厶) (枣以)(鞋厶)

j.s△c^c=Js圳c
=》s四边形硎Dc=|s四边形M4Dc=÷s四边形^占∞
=毒BD=2(国.

八¨)=n加揣叫川∈z+.
(2)对任意正整数n有 当m、n为大于或等于2的正整数时,对m+n

=10’以,孔一1,n)+八,n,n一1).

因此,线段删平分对角线肋。
二、(1)由正数数列{o。}知

进行归纳证明.厂(m,n)为整数.
当m+凡=4时,

n。+2=o。+口:+l>n:+l=(口。一l+口:)2>口:.
(2)显然,数列{%}、{6。}均严格递增,从而, 每一项均大于1.

胞2,=甜‰=筹

贝Ⅱ6。。+:=6:+6。+。=6:+6:一,+6。<36:.
当凡≥3时,有6。>3,此时,6。+2<碌
对于任意正整数后有

=等-10…1

1∈Z.

假设当m+诧=J}(是≥4)时,八m,尼)为整数.
贝0当,n+n=七+1时,由(1)知

62女+5<6;^+3<…<6;‘,

62川<眩+2<…<磷,
口2川>口乞+3>…>口;‘,



八m,n)=10’狄m一1,n)+八m,凡一1)∈Z.
由数学归纳法原理,知对于任意的正整数m、 凡,有八m,n)为整数. 于是,{m+凡}!均可被{m}!?{凡}!整除. 四、一定能到达.

%+4>o袅+2>…>n0



姒=1粤警+1,也=嗨裴+1.
则当jj}>七.时,

将这53座城市看成53个顶点,若两座城市
之间有双向公路直达,则在对应的顶点之间连一 条无向边.如此,构造出图G.由题意,知G为简单 连通图.记D为图G的直径.原题即问直径D是 否小于或等于12. 由直径定义,知存在顶点M、口使得存在一条 u一秽路,其长度为D.记这条路上的所有顶点构

㈧>苦刊h。刊¨。
弓Z‘>礤
再由式①、②知当矗>.j},时,口:…>6:川.
同理,当Ji}>庵2时,。2^+5>62k+5. 取k=ma)【{I|}。,I|}:}.则当I|}>I|}。时,有 02^+4>6n+4,且02t+5>62^+5.

成的集合为P.将图G去掉集合P中的顶点以及
和P中顶点相连的边后得到的子图记为G’. 由于这条M一秽路的长度为直径D,是所有路 中最长的,因此,有结论:这条n一秒路上的顶点之 间除了相邻顶点外,不能相连. 将集合户中的顶点从“到秽顺序编号为 1,2,…,D+1,把编号模3余i的顶点构成的集合

故原命题成立.

苁M)=然
对于正整数m、n有

三、(1)补充定义{0}!=1.

:————鱼生———~:—————』兰——一

Ⅱ厶

,m+。Ⅱ^

记为只(i=1,2,3).

(枣厶)(察厶) (尊厶)(枣L)

则有结论:对于给定的i(b1,2,3),任取集合 只中的两个不同顶点戈、y,这两者之间没有边.

万方数据

中等数学

本期问题
高397在等腰Rt△A日c中,么C=90。,AC

y2=戈3+口名+6(口、6∈Z),

证明:存在整数r文t满足s、r互素,£、r互素,且
石2

=4,尸为三角形内一点.若△船G、△朋曰、
△以C的内切圆半径均为r,求r的值.
高398

T,y 5了?
,. ,.





上期问题解答
初355如图l,已知正方形ABCD的边长为

设zi∈R+(江l,2,…,后),m≥l,

,l∈Z..证明:

≤志.

高399现有n枚棋子排成一排,每枚棋子 一面为黑色,另一面为白色.开始时,从右往左第i

l,对角线AC与肋交于点D,E为边曰C延长线 上一点,联结AE,分别与肋、CD交于点P、F,联 结BF并延长,与线段加交于点G,联结DE与 ∞交于点s.若PS∥AC,求BG的长.


枚棋子黑色面朝上,其余的棋子均白色面朝上.
甲、乙两人轮流且由甲先开始进行操作,规则如 下: (1)若有连续偶数枚棋子(至少一枚),最左

淡 惑..




边一枚白色朝上,则允许将它们均翻面,称为一 次操作;
(2)若甲、乙中的某人操作后另一人无法操 作,则他获胜. 证明:当i为奇数时,甲有必胜策略.

网l

解由耶∥AC,得

△DPs∽△胱j筹=篇. 同理,篙=筹.
由四边形A曰CD为正方形,知0A=0c-

高枷若有理数z、y满足方程
否则,与(u,口)路的长度为直径D矛盾.

jlE(G,)l≤6(52一D)一妻fEI.
故312=IE(G)l=D+lEl+I E(G’)I

将图G的边划分成三个集合,第一个集合是
由P中的边构成的,共D条;第二个集合是由两 个顶点分别取自P和y(G 7)的边构成的,记此集

≤D+lEI+6(52一D)一昙IEI

合为E;第三个集合是由子图G’中的边构成的.
由以上两个结论知 IEI≤3(53一D—1)=3(52一D).(爹 注意到,每个顶点至多有12条边相连. 则2IE(G7)I+I苗r≤12I以G’)I=12(53一D一1)

:312—5D+{IEI。
再由式③知
lOD≤IEI≤3(52一D)j
校。100039)
D≤12.

(贾祥雪李铁汉董子超

北京市十一学

万方数据

数学奥林匹克高中训练题(182)
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 贾祥雪, 李铁汉, 董子超 北京市十一学校,100039 中等数学 High-School Mathematics 2014(9)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201409012.aspx


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