数学奥林匹克高中训练题(182)

４２

中等数学

熬蟹奥滁醯蔻霭中铷滤篷（１ ８２）
中图分类号：Ｇ４２４。７９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６４１６（２０１４）０９一００４２一０４

第一试
一、填空题（每小题８分，共６４分）
１．已知集合 Ａ＝｛２，Ｏ，１，４｝，Ｂ＝｛戈∈Ａ ｔａｎ戈≥Ｏ｝．

八ｚ）＝口石２＋ｋ＋ｃ（口＞０）， 且３０＋４６＋６ｃ＝０。 证明：八ｘ）在区间（Ｏ，１）上必有零点． １０．（２０分）已知双曲线戈２一），２＝２的左、右焦 分别为点Ｆ。、Ｒ，过定点Ｐ（２，３）作双曲线戈２一ｙ２ ＝２的切线，切点分别为Ａ、曰，且点Ａ的横坐标小 于点８的横坐标． （１）求直线Ａ日的方程；

ｐ∈［０，２７ｃ），则ｐ的取值范围是——．
３．已知ｌｏｇｌｏ
２

则集合曰的所有元素之和为一 ２．若厕一面＜５（ｓｉｎ３伊一ｃｏｓ３ｐ）， ｌ０９１０（ｓｉｎ戈＋ｃｏｓ戈）＝√
ｓｉｎ菇＋ｌｏｇＩｏ

ｃｏｓ菇＝一１．贝０

（２）证明：么Ｆ，朋＝么疋胎．
１１．（２０分）已知实数茗、ｙ满足
３。＋３ｙ＝９。＋９，．

４．在四面体Ａ曰ＣＤ中，已知

么Ａ加＝么肋ｃ＝么ｃ以＝÷，
）

求Ⅳ＝２７。＋２７’的取值范围．
五

△Ａ加、△肋ｃ、△侧的面积分别为等、２、１．则
二

加试
一、（４０分）如图ｌ，已知Ａ曰为凸四边形

此四面体体积为一
值为——．

彻ＣＤ的最长边，
点Ｍ、Ⅳ分别在 Ａ曰、ＢＣ上，且 ＡＮ、ＣＭ均平分 四边形ＡＢＣＤ的 面积．证明：线段
Ａ

５．小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，

直到第一次出现６点为止．则小明和小红投掷的

次数相差不超过ｌ的概率为——－．
６．已知菇２＋ｙ２＋ｚ２＝３．则形＋弘＋搿的最小
７．在平面直角坐标系中，已知ＯＤ。与ＯＤ：交
１１

删平分对角线肋．
二、（４０分）已知正数数列｛ａ。｝、｛６。｝满足对 于任意的正整数ｎ，有
口。＋２

于Ｐ（３，２）、Ｑ两点，两圆半径之积为等．若两圆
』ｏ

均与直线Ｚ：ｙ＝ｈ和茗轴相切，则直线Ｚ的方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．＿．

２口。＋口：＋Ｉ，６。＋２＝６：＋６。＋ｌ，

且ｏＩ＞ｌ，口２＞１，６ｌ＞ｌ，６２＞１．证明： （１）对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２）有

８．将具有如下性质的３×３方格表称为“卜
网格”： （１）五个格填１，四个格填０；

口。＋２＞口：；
（２）从某一个正整数ｎ开始均有ｎ。＞６。． 三、（５０分）设厶表示Ｉｊ｝个数字均为１的十进

（２）三行、三列以及两条对角线共八条线上 至多有一条，其中三个数两两相等．

制数（如，，＝１，ｆ，＝１１１），定义｛ｎ｝！＝Ⅱ厶．

则不同的ｒ一网格共有——个．
二、解答题（共５６分） ９．（１６分）已知函数 万方数据

八叩）＝踹，

（１）对于任意正整数ｍ、凡，令

２０１４年第９期

４３

写出一个关于八ｍ，ｎ）的递推关系式，并证明之； （２）证明：对于任意正整数ｍ、ｎ，｛ｍ＋凡｝！均 可以被｛ｍ｝！?｛凡｝！整除． 四、（５０分）某国有５３座城市，任意两座城市 之间要么有一条双向公路直达，要么没有直接相 连的公路．已知这５３座城市之间共有３１２条公 路，并且由任何一座城市出发通过公路均能到达 其余各城市．每一座城市至多向其余１２座城市引 出公路，且每走一条公路需要缴纳１０元路费． 现甲在城市Ａ，且身上仅有１２０元．甲是否一 定能到达任意一座城市？证明你的结论．

三式相乘得舻＝丢．
设ＤＣ与面Ａ肋所成角为０ｃ，点Ｃ到面ＡＢＤ
的距离为矗．则＾＝ｚｓｉｎ 由图形的对称性知
ａ．

ｃ０８了２ ｃ０８百吨０８
ｊ。ｉｎ

ａ

ｊ

ｃ０８ ａ

２万

ａ：逛．
√３

故所求四面体体积为

参考答案
第一试
一、１．５．

扣＾：文学■：学．
５毒．
设小明、小红投掷次数分别为ｆ、叼．则所求为

注意到，集合曰＝｛０，ｌ，４｝，故所求为５．

２．ｐ∈㈢詈】．
要使得原不等式有意义，需ｃｏｓ
ｐ、ｓｉｎ

∑［Ｐ（亭＝叩＝ｉ）＋Ｐ（ｆ＝ｉ，叼＝ｉ＋１）＋
Ｐ（ｆ＝ｉ＋ｌ，田＝ｉ）］．
由独立性，知所求为

ｐ均大

于或等于ｏ，从而，ｐ∈【ｏ，詈】．
令八石）＝５戈３＋石（ｚ≥ｏ）．
则原不等式等价于八ｃｏｓ秽）＜以ｓｉｎ ｐ）．

∑［Ｐ（孝＝ｉ）Ｐ（叩＝ｉ）＋Ｐ（ｆ＝ｉ）Ｐ（叼＝ｉ＋１）＋
Ｐ（ｆ＝ｉ＋１）Ｐ（叼＝ｉ）］

易知，八戈）在区间［０，＋∞）上严格单调递增．
从而，ｃｏｓ
９＜ｓｉｎ良

＝副∥×吉×（∥×吉＋
２×（詈）”１×吉×（詈）‘×吉】
一旦
一３３。

结合ａ∈【ｏ，詈】，知口∈（詈，詈】．
３．１９ ６一ｌｇ ５．

注意到，ｓｉｎ石、ｃｏｓ茗均为正数，且
．

¨÷．
由（ｚ＋ｙ＋ｚ）２ ＝戈２＋ｙ２＋２２＋２（拶＋弘＋放）≥Ｏ，

１

８１Ｍ吨０８肛而‘
贝０ ２ｌｏｇＩｏ（ｓｉｎ ｘ＋ｃｏｓ戈） ＝ｌｏｇｌｏ（ｓｉｎ戈＋ｃｏｓ ｘ）２ ＝ｌｏｇｌｏ（１＋２ｓｉｎ茗?ｃｏｓ茗）

知所求最／ｊ蚴一要，当筇＋ｙ＋ｚ＝ｏ且％２＋严＋≯＝３

＝ｌ。９１０导＝ｌｇ ６一ｌｇ ５．

时取到．例女Ⅱ如肌加（后，一居巾可．
＿ｌ。！ｙ＝２再％．
由题意，设两个圆的方程为

４．警．
设删、册、Ｄｃ分别为戈、，，、互则

（戈一ｏｉ）２＋（ｙ—ｒｉ）２＝ｒ：（ｉ＝ｌ，２）．

肌ｒ２：导，而＞ｏ．
因为两圆均过点Ｐ（３，２），所以，
一“

竿：譬，竿咄竿乩
２ ２’ ２

～

２

（３一ｎ∥＋（２一ｒ；）２＝聋

万方数据

中等数学

ｊ口；一６口ｉ＋１３—４－＝ｏ．ｑ）
设ｆ：），＝概的倾斜角为ａ（ａ∈（Ｏ，７ｃ））．则
＿｜｝＝ｔａｎ

故结论成立． １０．（１）设点Ａ（茹ｌ，ｙ１），Ｂ（ｚ２，ｙ２）（菇ｌ＜菇２）．

ａ，ｔａｎ睾＝上＞ｏ．
二

则切点分别为Ａ、曰的两条切线Ｚ。、ｆ：的方程分别为
戈ｌ茗一，，ｌ，，２２，菇２茗一儿，，２２．

Ⅱｉ

令忙ｔａｎ詈＝≥．则口。＝÷．
Ｚ 口二 ｆ

因为点Ｐ（２，３）在直线ｆ。、！：上，所以，
２菇Ｉ一３ｙｌ＝２，２戈２—３儿２２，

将其代入式①整理得

即直线Ａ曰的方程为２ｚ一３），＝２．

ｒ；一６￡ｒｉ一４２２ｒｉ＋１３ｆ２＝ｏ．

（２）设么Ｆ，ＰＡ＝ａ，么Ｆ２Ｐ日＝芦，直线ＰＡ、船
的斜率分别为后。、Ｊ｜｝：．

由韦达定理，知，。，：：娑：１３ｔｚ．

设ｆ：，，一３＝七（笫一２），代人茗２一广＝２，整理得

从叭＝譬如ｔａｎ ａ＝鲁＝２压．
故直线ｆ的方程为），＝２在戈．
８．６８．
‘

（１一忌２）菇２＋２后（２后一３）戈一（２七一３）２—２＝０ 号△：４Ｉ｜｝２（２Ｊｉ｝一３）２＋４（１一Ｉ｜｝２）（４＿｜｝２—１２七＋儿）＝Ｏ
＝争２庇２—１２矗＋１１＝０

首先，五个１和四个Ｏ填入３×３方格表的所

ｊ应。＋＿｜｝：：６，蠡。老：：婴．

有方法数为ｃ：＝１２６． 接下来考虑不符合性质（２）的方法数，即使
得八条线中至少有两条线上的三个数相等（以下 简称为好线）． 下面分类进行计数．好线可能为行、列或对 角线．

肌…＝鞣
ＲＩ一芝－＝＝＿而４Ｊ｜Ｉｌ一３
，

３

ｌ＋芝＿＝＝－字兰万七。４＋３矗ｌ’
胁卢２亡。
＋ｋｔａｎ ０ｃ

若两条好线均为对角线，则其上均为１，有１
种方法； 若两条好线均为行（或列），则其中一行填０，

一行填１，共有ｃ；×２×ｃｊ＝１８种，由行与列的对
称性，共２×１８＝３６种； 若两条好线一条为行，另一条为列，此时，好 线均填１，有３×３＝９种； 若两条好线一条为行，另一条为对角线，此 时，好线均填ｌ，有３×２＝６种； 若两条好线一条为列，另一条为对角线，此 时，好线均填１，有３×２＝６种． 故满足性质的方法种数为
１２６—１—３６—９—６—６＝６８．

驭面２ １ｉＦ ２石页函了纠‘
．１

４尼Ｉ忍２—３屉２

２２—３七２

从而，么Ｆ。鳓＝么疋Ｐ８．
１１．令口＝３。，６＝３７．则题设等式化为 ８＋６＝口２＋６２（８、６＞Ｏ）

＝亭（ｎ一丢）２＋（６一号）２＝（譬）２．
由式①在ｎＤ６平面中的图像知 江ｏ＋６∈（１，２］．

①

又。６：皿监掣：年测
Ｕ＝２７。＋２７７＝０３＋６３

二、９．注意到，

＝（ｎ＋６）３—３ｎ６（ｎ＋６）

八ｏ）＝ｃ，八１）＝Ⅱ＋６＋ｃ＝寺（口一２ｃ），

“挣一毒以
若ｃ＞ｏ，则八。讲詈）＜ｏ； 若ｃ≤ｏ，则八１）“手）＜ｏ．
万方数据

。ｍ等忙一号“≯
记八￡）：一寻ｔ，＋寻ｔ２．则当ｔ∈（１，２］时，
厂’（￡）＝一÷￡２＋３￡＝一÷￡（￡一２）＞ｏ．
于是，八ｔ）在ｔ∈（１，２］上单调递增．

２０１４年第９期

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易知，当￡∈（１，２］时，以￡）∈（１，２］． 综上，ｕ＝２７。＋２７７的取值范围为（１，２］．

（Ｊ『。×１０”＋，。）Ⅱ厶
ｔ＝ｌ

加试

（弭厶）（弭Ｌ）

一、由ｓ四边形枷∞＝去Ｉｓ四边形＾战∞＝５四边形Ｍ口ｃ，知
ｓ坐≈ｃ＝ｓ坐址ｊ ＭＮ／７ＡＣ

＝—————生Ｌ—一＋————生Ｌ———一

ｌｏ“ⅡＪ『。

Ⅱ，。

（蕻Ｌ）（喜厶） （枣以）（鞋厶）

ｊ．ｓ△ｃ＾ｃ＝Ｊｓ圳ｃ
＝》ｓ四边形硎Ｄｃ＝｜ｓ四边形Ｍ４Ｄｃ＝÷ｓ四边形＾占∞
＝毒ＢＤ＝２（国．

八¨）＝ｎ加揣叫川∈ｚ＋．
（２）对任意正整数ｎ有 当ｍ、ｎ为大于或等于２的正整数时，对ｍ＋ｎ

＝１０’以，孔一１，ｎ）＋八，ｎ，ｎ一１）．

因此，线段删平分对角线肋。
二、（１）由正数数列｛ｏ。｝知

进行归纳证明．厂（ｍ，ｎ）为整数．
当ｍ＋凡＝４时，

ｎ。＋２＝ｏ。＋口：＋ｌ＞ｎ：＋ｌ＝（口。一ｌ＋口：）２＞口：．
（２）显然，数列｛％｝、｛６。｝均严格递增，从而， 每一项均大于１．

胞２，＝甜‰＝筹

贝Ⅱ６。。＋：＝６：＋６。＋。＝６：＋６：一，＋６。＜３６：．
当凡≥３时，有６。＞３，此时，６。＋２＜碌
对于任意正整数后有

＝等－１０…１

１∈Ｚ．

假设当ｍ＋诧＝Ｊ｝（是≥４）时，八ｍ，尼）为整数．
贝０当，ｎ＋ｎ＝七＋１时，由（１）知

６２女＋５＜６；＾＋３＜…＜６；‘，

６２川＜眩＋２＜…＜磷，
口２川＞口乞＋３＞…＞口；‘，

①

八ｍ，ｎ）＝１０’狄ｍ一１，ｎ）＋八ｍ，凡一１）∈Ｚ．
由数学归纳法原理，知对于任意的正整数ｍ、 凡，有八ｍ，ｎ）为整数． 于是，｛ｍ＋凡｝！均可被｛ｍ｝！?｛凡｝！整除． 四、一定能到达．

％＋４＞ｏ袅＋２＞…＞ｎ０

②

姒＝１粤警＋１，也＝嗨裴＋１．
则当ｊｊ｝＞七．时，

将这５３座城市看成５３个顶点，若两座城市
之间有双向公路直达，则在对应的顶点之间连一 条无向边．如此，构造出图Ｇ．由题意，知Ｇ为简单 连通图．记Ｄ为图Ｇ的直径．原题即问直径Ｄ是 否小于或等于１２． 由直径定义，知存在顶点Ｍ、口使得存在一条 ｕ一秽路，其长度为Ｄ．记这条路上的所有顶点构

㈧＞苦刊ｈ。刊¨。
弓Ｚ‘＞礤
再由式①、②知当矗＞．ｊ｝，时，口：…＞６：川．
同理，当Ｊｉ｝＞庵２时，。２＾＋５＞６２ｋ＋５． 取ｋ＝ｍａ）【｛Ｉ｜｝。，Ｉ｜｝：｝．则当Ｉ｜｝＞Ｉ｜｝。时，有 ０２＾＋４＞６ｎ＋４，且０２ｔ＋５＞６２＾＋５．

成的集合为Ｐ．将图Ｇ去掉集合Ｐ中的顶点以及
和Ｐ中顶点相连的边后得到的子图记为Ｇ’． 由于这条Ｍ一秽路的长度为直径Ｄ，是所有路 中最长的，因此，有结论：这条ｎ一秒路上的顶点之 间除了相邻顶点外，不能相连． 将集合户中的顶点从“到秽顺序编号为 １，２，…，Ｄ＋１，把编号模３余ｉ的顶点构成的集合

故原命题成立．

苁Ｍ）＝然
对于正整数ｍ、ｎ有

三、（１）补充定义｛０｝！＝１．

：————鱼生———～：—————』兰——一

Ⅱ厶

，ｍ＋。Ⅱ＾

记为只（ｉ＝１，２，３）．

（枣厶）（察厶） （尊厶）（枣Ｌ）

则有结论：对于给定的ｉ（ｂ１，２，３），任取集合 只中的两个不同顶点戈、ｙ，这两者之间没有边．

万方数据

中等数学

本期问题
高３９７在等腰Ｒｔ△Ａ日ｃ中，么Ｃ＝９０。，ＡＣ

ｙ２＝戈３＋口名＋６（口、６∈Ｚ），

证明：存在整数ｒ文ｔ满足ｓ、ｒ互素，￡、ｒ互素，且
石２

＝４，尸为三角形内一点．若△船Ｇ、△朋曰、
△以Ｃ的内切圆半径均为ｒ，求ｒ的值．
高３９８

Ｔ，ｙ ５了?
，． ，．

Ｓ

ｆ

上期问题解答
初３５５如图ｌ，已知正方形ＡＢＣＤ的边长为

设ｚｉ∈Ｒ＋（江ｌ，２，…，后），ｍ≥ｌ，

，ｌ∈Ｚ．．证明：

≤志．

高３９９现有ｎ枚棋子排成一排，每枚棋子 一面为黑色，另一面为白色．开始时，从右往左第ｉ

ｌ，对角线ＡＣ与肋交于点Ｄ，Ｅ为边曰Ｃ延长线 上一点，联结ＡＥ，分别与肋、ＣＤ交于点Ｐ、Ｆ，联 结ＢＦ并延长，与线段加交于点Ｇ，联结ＤＥ与 ∞交于点ｓ．若ＰＳ∥ＡＣ，求ＢＧ的长．
Ａ

枚棋子黑色面朝上，其余的棋子均白色面朝上．
甲、乙两人轮流且由甲先开始进行操作，规则如 下： （１）若有连续偶数枚棋子（至少一枚），最左

淡 惑．．
Ｃ

弋

边一枚白色朝上，则允许将它们均翻面，称为一 次操作；
（２）若甲、乙中的某人操作后另一人无法操 作，则他获胜． 证明：当ｉ为奇数时，甲有必胜策略．

网ｌ

解由耶∥ＡＣ，得

△ＤＰｓ∽△胱ｊ筹＝篇． 同理，篙＝筹．
由四边形Ａ曰ＣＤ为正方形，知０Ａ＝０ｃ－

高枷若有理数ｚ、ｙ满足方程
否则，与（ｕ，口）路的长度为直径Ｄ矛盾．

ｊｌＥ（Ｇ，）ｌ≤６（５２一Ｄ）一妻ｆＥＩ．
故３１２＝ＩＥ（Ｇ）ｌ＝Ｄ＋ｌＥｌ＋Ｉ Ｅ（Ｇ’）Ｉ

将图Ｇ的边划分成三个集合，第一个集合是
由Ｐ中的边构成的，共Ｄ条；第二个集合是由两 个顶点分别取自Ｐ和ｙ（Ｇ ７）的边构成的，记此集

≤Ｄ＋ｌＥＩ＋６（５２一Ｄ）一昙ＩＥＩ

合为Ｅ；第三个集合是由子图Ｇ’中的边构成的．
由以上两个结论知 ＩＥＩ≤３（５３一Ｄ—１）＝３（５２一Ｄ）．（爹 注意到，每个顶点至多有１２条边相连． 则２ＩＥ（Ｇ７）Ｉ＋Ｉ苗ｒ≤１２Ｉ以Ｇ’）Ｉ＝１２（５３一Ｄ一１）

：３１２—５Ｄ＋｛ＩＥＩ。
再由式③知
ｌＯＤ≤ＩＥＩ≤３（５２一Ｄ）ｊ
校。１０００３９）
Ｄ≤１２．

（贾祥雪李铁汉董子超

北京市十一学

万方数据

数学奥林匹克高中训练题(182)
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 贾祥雪， 李铁汉， 董子超 北京市十一学校,100039 中等数学 High-School Mathematics 2014(9)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201409012.aspx