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高中数学习题解法辞典1


第一部分 幂函数、指数函数和对数函数

(一 )集 合 提要 (1)用描述法表示集合时,关键是归纳出集合的所有元素的共同属 性,并将这个属性用一个解析式表达出来。 (2)判断某个对象x是否为某个集合A的元素,就是看x是否具备A 中元 素的公共属性。 (3)根据子集和集合相等的定义,判断两个集合之间的关系是通过间 断元素与集合的关系来进行的。例如,要确认A

? B,只须对任意x∈ A,证明x∈B。又如要确认A ? B,除了要证明A ? B外,还须找到一 个x 0 ∈B,但x 0 ? A。 (4)如集合的元素是离散的,则集合间的运算可借助维恩图的直观来 进行。 (5)如集合的元素是连续的,则集合间的运算可借助数轴的直观来完 成。

1. 集 合 的 概 念 、 子 集 例题 解 设?=x-y,? ? y ? z,? ? z ? x,则有? ? ? ? ? ? 0。故 ? ?? ?? ? ? sin sin ? ? ? sin( ? ? ?),sin 2 2 [ A. 3∈A且- 3∈A B.3∈A但- 3 ?A

]

C.3 ? A且- 3 ? A B. 3 ?A但- 3 ?A 解 D ∵ 3 - 1 = 2 3,∴ 3 ?A;∵ ? 3 ? 1 3,∴ ? 3∈A。 < 例 1-1-2 集合 A={(x,y)|y=-1+x-2x2,x∈R,x≠0}若点 P 的 坐标 , (x,y)∈A,则 [ ] A.P 在第一或第二象限 B.P 在第二或第三象限 C.P 在第三或第四象限 D.P在第四或第一象限 由已知函数的解析式得x = 2y - y 2 ,对换x,y得反函数为
2 f ?1 ( x) ? ?? 2x ? x ,x∈(0,1] m 例1 - 1 - 3 集合A = {x|x = ,m∈Z,| m| <2,n∈N,n≤3}用 n 2 3 6 4 列举法表示为 ;集合B = { , , }用描述法 , 5 , 3 9 27 81 243 表示为 。

?

1 1 1 1 解 A = {- 1, 0,1,?? , ,? , } 2 2 3 3 n +1 B = {x|x = n ,n∈N且n≤5} 3 1 例1 -1 - 4 如果 = x ,y = 3 + 2π ,集合M = {m|m = a + b 2, 3- 5 2 a∈Q,b∈Q}那么x、y与集合M的关系为x , M,y M。 1 3 5 2 ,所以x∈M。但π ?Q, 解 ∈,? 因为x = ? ? ?? 41 41 3-5 2 故y ? M。 例 1-1-5 集合 A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一个元素,则 a 的值为 解 。 0或1 当ax2+2x+1=0为一次方程时,A只有一个元素,这时a=0。

当ax2+2x+1=0为二次方程时,由题设有Δ=22-4? 1=0,这时a=1。 a? 注 不要遗漏a=0的情况。 例 1-1-6 集合{有一边长为 4、一内角为 50°的等腰三角形}的 元素个数是 。



4

根据下面的作图可知:

例 1-1-7 已知集合{1,x,x2-x}有 3 个元素,求所有实数 x 形 成 的集合。 解 由题设有 ?1≠x ?? ?1≠x 2 - x ?? 2 ? x≠x - 2 5 解之得 x≠ 0,1, 2 ,1 ? 2 1? 5 所以,所求x的集合为{x|x∈R,且x≠0 ,1,2 , ? }。 2 例 1-1-8 设M={α|α=x2-y2,x,y∈Z}求证: , (1)一切奇数属于M; (2)偶数4k-2(k∈Z)不属于M; (3)属于M的两个整数,其积仍属于M。 解 (1)设α为任意的奇数,即α=2k-1(k∈Z)。 因2k-1=k2-(k-1)2(k,k-1∈Z),故α∈M。 由α的任意性知,一切奇数属于M。 (2)假设4k-2∈M,则存在x,y∈Z,使 4k - 2 = x 2 - y 2 ? (x + y)(x - y) = 2(2k - 1) x-y

(i)

(i)式说明x+y和x-y必有一个是偶数, 另一个是奇数。但是x+y和

具有相同的奇偶性,这是一对矛盾。故 (i)式不成立。所以, 4k - 2 ? M。 (3)设α,β∈M则 α=x21-y21,β=x22-y22,(x1,x2,y1,y2∈Z) 进而 αβ=(x21-y21)(x22-y22)=x21x22+y21y22-x21y22-x22y21 =(x1x2-y1y2)2-(x1y2-x2y1)2 而 x1x2-y1y2∈Z,x1y2-x2y1∈Z 所 以,αβ∈M。 例1-1-9 设A={正方形}B={矩形}C={平行四边形} , , ,D={梯 形} 。 下列包含关系中不正确的是 [ ] A.A ? B B.B ? C C.C ? D D.A ? C 解 C 例1-1-10 数集X={(2n+1)2}(n∈Z)与数集Y={(4k±1)2}(k∈ Z) 之间的关系是 [ ] A.X ? Y B.X ? Y C.X = Y D.以上皆非

解 C 这是因为, n=2m(m∈Z)时, 当 (2n+1)2=(4m+1)2; n=2m+1(m 当 ∈Z)时,(2n+1)2=[4(m+1)-1]?2。故对任意x∈X,有x∈Y, 所以X ? Y。 又(4k+1)2=(2?2k+1)?2,(4k-1)2=[2(2k-1)+1]?2,故对任意y ∈Y,有y∈X。所以Y ? X。 综上可知,X=Y。 例1 - 1- 11 若集合X满足{ 0,1}? X ? {- 2,- 1,0,1, 2}, 则X的个数是 [ ] A.2个 B.4个 C.6个 D.7个 解 D 可列出所有满足题设的X如下:0,1}0,1,-2}0, { { , { , 1,-1}0,1,2}0,1,-2,-1}0,1,-2,2}0,1,-1,2} { , { , { , { , 。 例 1-1-12 已知集合 A={(x,y)|x+2y=7,x,y∈N}用列举法可 将 。 A表示为 ;集合A的子集有 个。 解 {(1,3),(3,2),(5,1)}8。 ; 例1-1-13 已知M={x|x=a2+1,a∈N}P={x|x=b2-4b+5,b∈N} , , 则M与P的关系是 解 M?P 。

设任意x∈N,则x=a2+1,a∈N。由于a2+1=(a+2)2-4(a+2)+5, 所以x∈P,所以M ? P。 又当b = 2时,b 2 - 4b + 4 = 1∈P,但当a∈N时,a 2 + 1>1,1 ? M, 所以M ? P。 例1 - 1 - 14 已知集合A = {x,xy, xy ? 1},B = { 0,| x| ,y}, A = B,求实数x,y的值。 解 要使 xy ? 1有意义,必须xy - 1≥0,所以x≠ 0,y≠0,即A 中的元素x,xy都不可能与B中的元素0对应,于是只能有 xy - 1 = 0 ? xy = 1 于是A={x,1,0}但A=B,所以{x,1,0}={0,|x|,y} 。 。 而x≠1,故y≠1。故只有|x|=1,即x=-1(x≠1)。所以y=-1。 这 时A=B={-1,1,0} 。 注 若x=1,则由xy=1有y=1,这时集合A,B中就各有两个相同的 元素,与集合元素的互异性矛盾。 例 1-1-15 已知集合A={y|y=x2+2x+4,x∈R}B={y|y=ax2, 2x + 4a,x∈R},A ? B。求实数a的取值范围。 解 由y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3得A=[3,+∞)。 当a = 0时,B = R,符合A ? B; 1 当a<0时,B = (-∞, 4a - ],这时A ? B不成立; a 1 1 当a>0时,B = [4a - ,+ ∞ ),由[+,+ ∞) ? [4a - ,+ ∞)得 4a a a 1 ≤3,解得0<a≤1。 a

综上所述,a的取值集合为{a|0≤a≤1} 。 2-2x+4a简单地看成二次函数。事实上,当 a=0时, 它是 注 不要把y=ax 一次函数y=-2x。 例1-1-16 设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),集合A={x|x=f(x), x∈R}B={x|x=f[f(x)],x∈R} , 。 (1) 证明:A ? B (2)当A={-1,3}时,求B。 解 (1)设任意的x0∈A,则x0=f(x0)。而f[f(x0)]=f[x0]=x0,故 x0∈B, 从而A ? B。 (2)x=f(x),即x2+(a-1)x+b=0。因A={-1,3}所以 , 2 ?(-1) + (a - 1)(-1) + b = 0 ? ?? 2 ?3 + (a - 1)·3 + b = 0 ? 解得a=-1,b=-3。故f(x)=x2-x-3。 由x=f[f(x)],得 (x2-x-3)2-(x2-x-3)-x-3=0 解得x = -3, 3,± 3。 T 。 k 例1-1-17 设S是数集合{1,2,3,? ? ,1989}的一个子集合, 且S中任意两个数的差不等于4或7。问S最多可以包含多少个数? 解 1, 6, 9这五个数中任何两个的差都不是4或7。各加11 4, 7, 得 12,15,17,18,20,显然也是这样的数,而且各与前 5 个数中任一 个的差也不是4或7,这样类推,每次连续十一个数中可取五个,一起组 成 集合 S(注意 1989=11?180+9,最后只有九个数 1981,? , 1989,但仍 可 取五个数1981, 1984, 1986, 1987, 1989)。那么S包含的数的个数是 5?181=905。 现证 S 不可能包含更多的数。若不然,则上述 181 组数中至少有一 组可以从取六个数,使得两两的差不是 4 或 7。不妨考虑 1,2,? 11 这 组数,把它划分成五个小组: (4,7,11),(3,10),(2,6),(5,9),(1,8) 其中至少要求有一个 小组要取出两个数。显然后面四对数的每一对都不 能同时取出,只能在第 一小组中取4,7。于是(3,10)中只能取10,(2, 6)中只能取2,(5,9)中只能取5,(1,8)中两个数都不能取,也就是不 可能取得第六个数。从而得证。 数) 的最小正周期是 习题 1-1-1 设集合 M={直角三角形}N={小于 6 的整数}P={比-1 , , 大5的数}Q={大于0且小于1的有理数}其中无限集是 , , [ ]

B.M,N,Q D.N,P,Q 1-1-2 集合 A={x2,3+x+2,5y2-x}B={周长等于 20 厘米的三 角 , 形}C={x|x-3<2,x∈R} , ,D={(x,y)|y=x2-x-1}中描述法表示的 集合有 [ ] A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1-1-3 集合A={(x,y)|xy≤0,x,y∈R}表示坐标平面上 [ ] A.第二象限的点组成的集合 B.第四象限的点组成 的集合 C.第二以及第四象限的点组成的集合 D.第 二、四象限以及x轴、y轴上的点组成的集合 1-1-4 用描述法可将集合 -3,-7,-11, } {1, 5, 9, ? 表示为 。 1-1-5 绝对值不大于6的偶数集用列举法可以表示为 。 1-1-6 设有命题 P:若 x∈A,则 8-x∈A”在由正整数组成的集 合 “ 。 中: (1)满足命题P的一元集A有 个,是 ; (2)满足命题P的二元集A有 个,是 ; (3)满足命题P的集合A共有 个。 y -1 ,且a∈{x|1<x< 3},求y的取值范围。 1 -1 - 7 设 a = y 1 - 1 - 8 设S = {x| x = m + n 2 ,m,n∈Z}, (1)若a∈Z,则a是否是集合S的元素? (2)对S中任意两个元素x1,x2,x1+x2,x1?x2是否属于集合S?
(3) 对于给定的整数n,试求满足 0<m + n 2 <1的S中元素的个数。 7 ,则下列各式 [ ] 1 - 1 - 9 已知集合M = {x| x≥ 3 3,x∈R}及a = 2 中正确的是 A.a ? M B.{a}∈M

A.M,N,P C.M,P,Q

C.a ? M

D.{a} ? M

1 - 1 - 10 设集合A = {(x,y)|y = x},B = {(x,y)| y = 1},则集合 x A,B间的关系是 [ ] A.A ? B B.A ? B C.A = B D.以上都不对 1-1-11 设集合M={(x,y)|x+y>0,xy>0}N={(x,y)|x>0, , 且y>0}那么M,N之间的关系是 , [ ] A.M ? N B.M ? N C.M = N 1 - 1 -12 已知x = 1 33 D.以上都不对 ,y = 1 ,集合A = {x|x 2 -1<0},则x, 3 ?2

y与集合A的关系是x A,y A。 1-1-13 数集X={x|x=12m+8n, n∈Z}与数集Y={x|x=20p+16q, m,

p,q∈Z}之间的关系是 。 1-1-14 集合M={1,2,(1,2)}有

1-1-15 ≠0,若M=N,求q的值。 1-1-16 已知集合 A={(x, y)|2x+y-2=0} B={(x,y)|2x2-ay2-(2a-1)xy+4ay-2=0}

个子集,它们是 。 已知集合 M={a,a+d,a+2d}N={a,aq,aq2}其中 a , ,

若A ? B,求实数a的值。 1-1-17 集合 A 由不同的自然数构成,其元素个数大于 7,且各个 元素的最小公倍数为 210,每两个元素的最大公约数大于 1, A 中所有 若 元素之积能被1920整除,并且不是完全平方数,求A的各个元素。

2. 交 集 、 并 集 、 补 集 例题 例1-1-18 设集合A={(x,y)|3x+2y=7}B={(x,y)|2x+3y=8} , , 则A∩B= [ ] A.(1,2) B.x=1}∩{y=2} { C.1,2} { D.(1,2)} { ?3x + 2y = 7 解 D 解方程组?? 得(x,y) = (1,2)。所以A∩B = {(1,2)}。 ?2x + 3y = 8 例1-1-19 设集合X={0,1,2,4,5,7}Y={1,3,6,8,9} , Z= , {3,7,8}那么集合(X∩Y)∪Z= , [ ] A.0,1,2,6,8} { B.3,7,8} { C.1,3,7,8} { D.1,3,6,7,8} { 解 C 例 1-1-20 若方程 x2-px+6=0 的解集是 M,方程 x2+6x-q=0 的解集 是N,且M∩N={2}那么p+q= , A.21 B.8 C.6 [ D.7 ]

解 A 因为M∩N={2}所以22-p?2+6=0,22+6?2-q=0,即p=5, , q=16。所以p+q=21。 例 1-1-21 满足A∪B={a1,a2}的集合A,B的组数为 [ ] A.5 B.7 C.9 D.10 解 C ∵{a1a2}∪{a1,a2}∪{a1} ={a1}∪{a1a2}={a1,a2} {a2}={a2} ∪ ∪{a1,a2}={a1, a2}∪ = ∪{a1,a2}={a1}∪{a2 }={a2}∪{a1 }={a1,a2} ∴满足要求的A、B有9组。 例1-1-22 S、T是两个非空集合,且S T,T S,若X=∩T,那么 S ∪X= 。 解 S 由右边的维恩图即知。 {(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15}则a的值为 ,



解 1,- 1,

5 2

,- 4 .

当x≠2时,将y=(a+1)(x-2)+3代入(a2-1)x+(a-1)y=15,得 2(a2-1)x=(2a-1)(a-1)+15

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