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高中数学排列组合与概率统计习题[1]


高中数学必修 排列 组合和概率练习题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1) 已知集合 A={1,3,5,7,9,11}, B={1,7,17}.试以集合 A 和 B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐 标系中所确定的不同点的个数是 (A) 32 解 (B) 33 (C) 34 (D) 36 分别以 ? 1, 3, 5, 7, 9, 11 7, 11 ?

和 ?1, ? 的元素为 x 和 y 坐标, 不同点的个数为 P61 P31 分别以 ? 1, 3, 5, 7, 9, 11 7, 11 ? 和 ?1, ? 的元素为 y 和 x 坐标, 不同点的个数为 P61 P31
1 1 1 1 不同点的个数总数是 P (个) 6 P 3 ?P 6 P 3 ? 36

(2) 从 1,2,3,?,9 这九个数学中任取两个,其中一个作底数,另一个作真数,则可以得到不同的对 数值的个数为 (A) 64 (B) 56 (C) 53 55 (D) 51

解 ①从 1,2,3,?,9 这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为 2P92 ; ②1 不能为底数,以 1 为底数的“对数式”个数有 8 个,而应减去; ③1 为真数时,对数为 0,以 1 为真数的“对数式”个数有 8 个 ,应减去 7 个;

1 ,应减去 2 个 2 2 所示求不同的对数值的个数为 2C9 ? 8 ? 7 ? 2 ? 55(个)
④ log 2 4 ? log3 9 ? 2 , log 4 2 ? log9 3 ? (3) 四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名站在一起,但三名女生不能全排在一起,则不同 的排法数有 (A)3600 解 (B)3200
2 3

(C)3080

(D)2880

①三名女生中有两名站在一起的站法种数是 P ; ②将站在一起的二名女生看作 1 人与其他 5 人排列的排列种数是 P66 ,其中的三名女生排在一起的
5 站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作 1 人与 4 名男生作全排列,排列数为 P5 ,站在

1 5 一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列,故三名女生排在一起的种数是 P2 P5 。

符合题设的排列数为:
2 6 1 5 P ( P ? 6? (6 ? 5 ? 4 ? 3? 2 ? 2 ? 5? 4 ? 3? 2) ? 24 ? 5? 4 ? 3? 2 ? 2880 (种) 3 6 ?P 2P 5)

(4) 由 ( 3x ? 3 2)100 展开所得 x 多项式中,系数为有理项的共有 (A)50 项 解
3 100 0 100 100

(B)17 项
1 100 100?1 3 1
100? r r ? 2 3

(C)16 项

(D)15 项
100?r 3 100 3 ( 2)r + +C100 100 ( 2)
r x100?r ? C100 6 300 ? r 6 ( 3 100? r) 2 r ? 6 6

( 3x ? 2) =C ( 3x) +C ( 3x)
可见通项式为: C100 ( 3x)
r 100? r

( 2) + +C ( 3x)
r x100?r ? C100 6

r 100

r ( 3 2)r ? C100 6

x100?r

6 12 , 18 , , 96 时,相应项的系数为有理数,这些项共有 17 个, 故系数为有理项的共有 17 个. 且当 r=0,,

(5) 设有甲、 乙两把不相同的锁,甲锁配有 2 把钥匙,乙锁配有 2 把钥匙,这 4 把钥匙与不能开这两 把锁的 2 把钥匙混在一起,从中任取 2 把钥匙能打开 2 把锁的概率是 (A) 4/15 解 (B) 2/5
2 6

(C) 1/3

(D) 2/3

从 6 把钥匙中任取 2 把的组合数为 P ,若从中任取的 2 把钥匙能打开 2 把锁,则取出的必是甲锁 的 2 把钥匙之一和乙锁的 2 把钥匙之一。假设分二次取钥匙,第一次取到甲锁的钥匙,第二次取到
1 1 乙锁的钥匙,取法的种数为 P 2 P 2 ;当然,第一次取到乙锁的钥匙,第二次取到甲锁的钥匙,取法 1 1 的种数也为 P 2 P 2 。这二种取法都能打开 2 把锁。故从中任取 2 把钥匙能打开 2 把锁的概率是:

1

2P21 P21 4 ? 15 P62
(6) 在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是 解 (A) 5/6 (B) 4/5 ①所有两位数的个数为 90 个; (C) 2/3 (D) 1/2

②能被 2 或 3 整除的二位数的个数 60个 :能被 2 整除的二位数的个数是有 90 ?

5 ,能被 3 =45 (个) 10

6, 9 中选 2 的排列 P32个 , 1, 2、 1, 5、 1, 8、 2, 4、 2, 7、 4, 5、 4, 8、 5, 7、 7, 8 整除的二位数的个数为有 24 个(从 3,
2 18、 24、 42、 54、 72、 48、 84、 78 ) 九组中各选 2 的排列有 9P 2 个 ),能被 3 整除的二位数中有 9 个( 12、 2 2 也能被 3 整除,故能被 2 或 3 整除的二位数的个数是 45 ? 9 ? P 3 ? 9P 2 ? 60个 ;

所有的两位数中,能被 2 或 3 整除二位数所占比例是 数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是

60 2 = .因此, 在所有的两位数中,任取一个 90 3

2 3
(C) 7/8 (D 5/8

(7) 先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是 (A)1/8 (B)3/8

1 3?1 3 1 1 1 解 恰好出现一次正面的概率为 P( 1) =C ( ) ( 1? ) = 3 2 2 8 1 3?2 3 2 1 2 恰好出现二次正面的概率为 P( 1) =C ( ) ( 1? ) = 3 2 2 16 1 1 1 3 3 3?3 恰好出现三次正面的概率为 P( 1) =C ( ) ( 1? ) = 3 2 2 8 3 3 1 5 至少出现一次正面的概率是 P= + + = 8 16 8 8
(8) 在四次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率中的取值范围是

(0, 0.6) [0.4, 1) (0, 0.4] (C) (A) ? (B) 解 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 x ,由题设得

1) (D [0.6,
y

C (x) ( 1 ? x) ? C(x) ( 1 ? x)
1 4 1 2 4 2

4 ?1

4?2

4 x ? 4 x 2 ? 6 x3 5x2 ? 2 x ? 0 2 对于 5x ? 2x=0 ,有 x1 ? 0, x2 ? 0.4
对于 5 x ? 2 x ? 0 ,有 x1 ? 0,x2 ? 0.4
2

x
2 2

[0.4, 1] 根据概率的性质, x 的取值范围为
(9) 若 (2x ? 3)100 ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 100 x100 ,则(a0+a2+a4+?+a100) -(a1+a3+?+a99) 的值为 (A)1 解 (10) 从集合 A x 1 ? x ? 7,x ? N 解 从集合 A x 1 ? x ? 7,x ? N (B)-1 (C) 0 (D)2

?

+

? 中任取 3 个数,这 3 个数的和恰好能被 3 整除的概率是
(C) 4/13
3 7

?

(A) 19/68
+

? 中任取 3 个数的取法种数为 P ;

(B) 13/35

(D) 9/34

取到的数含 3 或 6 时,其余二数为 12、15、24、27、45、57,能被 3 整除的数的个数为 6P2 2P3 ;
3 取到的数不含 3 或 6 和能被 3 整除的三个数是 1、4、7,取法种数有 P3 种;

1

1

2

因此,所求概率为:

6P21 2P31 ? P33 12 ? 2 ? 3 ? 6 13 ? 6 13 ? ? ? 3 7 ? 6 ? 5 7 ? 6 ? 5 35 P7
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(11) 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元

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70 元的单片软件和盒装磁盘, 根

据需要至少买 3 片软件,至少买 2 盒磁盘,则不同的选购方式共有 (A)5 种 解 (B)6 种 (C)7 种 D)8 种

设选购 x 片软件, y 盒磁盘,则: ? 500 - 60 x ? 2( x ? 3) ? 70 ?6 ? x ? 3 ,解得: ? , ? 500 - 70 y ?2 ? y ? 4 ? ? 3( y ? 2) ? 60 软件和磁盘数量的选购方式分别为 (3,2)、(3, ,共 7 种。 3)(3, 4)(4, 2)(4, 3)(5, 2)(6, 2)

(12) 已知 xy ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,而 ( x ? y)9 按 x 的降幂排列的展开式中,T2≤T3,则 x 的取值范围是 1 4 4 (A) (??, ) (B) [ , ??) (C) (1 , ??) (D) (?? , ? ] 5 5 5 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) (13) 已知 A、B 是互相独立事件,C 与 A、B 分别是互斥事件,已知 P(A)=0.2 , P(B)=0.6 , P(C)=0.14 , 则 A、B、C 至少有一个发生的概率 P(A+B+C) ____________ 解 A、B 同时发生的概率 P(A B)=P(A) ? P(B)=0.2 ? 0.6=0.12 A 发生而 B 没有发生的概率 P(A B)=P(A) ? P(B)=0.2 ? 0.4=0.08 A 没有发生而 B 发生的概率 P(A B)=P(A) ? P(B)=0.8 ? 0.6=0.48 C 发生的概率 P(C)=0.14
A、 B 、 C 至少有一个发生的概率
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P(A+B+C) =P(A B)+P(A B)+P(A B)+P(C)=0.12+0.08+0.48+0.14=0.82
(14) (| x | ?
1 ? 2) 3 展开式中的常数项是 ?20 |x|
3
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1 ? ? 解 ?| x | ? ? 2? | x | ? ?
3 3

1 ? ? 1 3 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? = | x | +? ? +? ?2? +3x 2 ? ? 2 ? +3? ? ? x ? 2? +12? x ? +6 ?| x | ? ? ??2?? ? | x |? ? | x| ?| x |? ?| x | ? ?| x |? ? ? 3 6 12 ? 1 ? =x 3 +? ? ? 8+3 x ? 6x 2 + ? 2 +12 x + ? 12 x x x ?| x |? 15 6 ? 1 ? =x +? ? +15 x ? 6x 2 + ? 2 ? 20 | x | x x ? ? 1 1 1 2 1 3 1 10 0 (15) 求值: C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? ? C10 = ____________ 2 3 4 11 1 1 1 2 1 3 1 10 0 解 C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? ? C10 2 3 4 11 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 =C10 C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 10 =C10 C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C1 10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? 2 3 4 5 5 4 3 2 11 0 1 1 = C10 = 11 10 11
3
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2

3

3

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3

(16) 5 人担任 5 种不同的工作,现需调整,调整后至少有 2 人与原来工作不同,则共有多少种不同的调 整方法?________________
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解法一 设该 5 人分别为 ABCDE ,调整前的工作分别是 abcde ,当他们的排列为 BACDE 时, 工作也 分别是 abcde ,即有二人调换工作,故他们的每一排列可表示他们的工作的一种安排情况, 他 们的全排列可表示工作的全部安排情况.全排列数减去 1 即为不同的调整方法.故不同的调整 方法种数为:

P55 ? 1=119(种)
解法二 设该 5 人分别为 ABCDE ,调整前的工作分别是 abcde 。
2 ①求恰有 2 人调整工作的种数: C5 =10(种)

②求恰有 3 人调整工作的种数: 从 5 人中选 3 人的组合数为 C3 5 =10 ,这 10 组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:

ABC:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA,有2种调整方式 ? ABD:ABD,ADB,BAD,BDA,DAB,DBA,有2种调整方式 ? ? ABE:ABE,AEB,BAE,BEA,EAB,EBA,有2种调整方式 ? BCD:BCD,BDC,CBD,CDB,DBC,DCB,有2种调整方式 ? ? BCE:BCE,BEC,CEB,CBE,EBC,ECB,有2种调整方式 ? ? CDE:CDE,CED,DCE,DEC,ECD,EDC,有2种调整方式 ? CDA:CDA,CAD,ACD,ADC,DCA,DAC,有2种调整方式? DEA:DEA,DAE,EDA,EAD,ADE,AED,有2种调整方式 ? ? DEB:DEB,DBE,EDB,EBD,BDE,BED,有2种调整方式 ? DEC:DEC,DCE,CED,CDE,DCE,DEC,有2种调整方式 ? ?

1 3 1 (种) 恰有 3 人调整工作的种数: 2 ? 10=20 [P ] ( ? =20) 5 2! 3!
③求恰有 4 人调换工作的种数:
4 从 5 人中选 4 人的组合数为 C5 =5 ,这 10 组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:

? ? ?ABCD:ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB? ? ? ? ? BCDA:BCDA,BCAD,BACD,BADC,BDCA,BDAC ? ?ABCD ? ? ?有9种调整方式? ? ? ?CDAB:CDAB,CDBA,CADB,CABD,CBDA,CBAD ? ? ? DABC : DABC , DACB , DBAC , DBCA , DCAB , DCBA ? ? ? ? ? ? ?BCDE:BCDE,BCED,BDEC,BDCE,BECD,BEDC ? ? ? ? ? ? ?CDEB:CDEB,CDBE,CBDE,CBED,CEDB,CEBD ? ? ?BCDE ? ? 有 9 种调整方式 ? ? ? ?DEBC:DEBC,DECB,DBCE,DBEC,DCBE,DCEB ? ? ? EBCD : EBCD , EBDC , ECBD , ECDB , EDBC , EDCB ? ? ? ? ? ? ?CDEA:CDEA,CDAE,CADE,CAED,CEAD,CEDA? ? ? ? ? ? ? ? ?DEAC:DEAC,DECA,DACE,DAEC,DCAE,DCEA ? ? ?CDEA ? ?有9种调整方式 ? EACD : E ACD , EADC , ECAD , ECDA , EDAC , EDCA ? ? ? ? ? ? ? ?ACDE:ACDE,ACED,ADCE,ADEC,AECD,AEDC ? ? ? ? ?DEAB:DEAB,DEBA,DABE,DAEB,DBAE,DBEA? ? ? ? ? ? ?EABD:EABD,EADB,EBAD,EBDA,EDAB,EDBA ? ? ?DEAB ?ABDE:ABDE,ABED,ADBE,ADEB,AEBD,AEDB ?有9种调整方式 ? ? ? ? ? ? ? ? ?BDEA:BDEA,BDAE,BADE,BAED,BEAD,BEDA ? ? ? ? EABC : EABC , EACB , EBAC , EBCA , ECAB , ECBA ? ? ? ? ? ? ?EABC ?ABCE:ABCE,ABEC,ACBE,ACEB,AEBC,AECB ?有9种调整方式 ? ? ? ? ? BCEA:BCEA,BCAE,BAEC,BACE,BEAC,BECA ? ? ? ? ?CEAB:CEAB,CEBA,CABE,CAEB,CBAE,CBEA ? ? ? ? ? ? ?
4

1 1 4 1 (种) 恰有 4 人调换工作的种数: 9 ? 5=45 [ P( ] ? + =45) 5 2! 3! 4!
④求恰有 5 人调换工作的种数:

B 换任 A 的工作的排列: ?BCDEA:BCDEA,BCDAE,BCADE,BCAED,BCEAD,BCEDA ? ? ?BDEAC:BDEAC,BDECA,BDACE,BDAEC,BDCAE,BDCEA ? ? B ????? ? 11 种调整方式 ?BEACD:BEACD,BEADC,BECAD,BECDA,BEDAC,BEDCA? ?BACDE:BACDE,BACED,BADCE,BADEC,BAECD,BAEDC? ? ?
C 换任 A 的工作的排列:

?CDEAB:CDEAB,CDEBA,CDABE,CDAEB,CDBAE,CDBEA ? ? ?CEABD:CEABD,CEADB,CEBAD,CEBDA,CEDAB,CEDBA ? ? C ????? ? 11 种调整方式 CABDE : CABDE , CABED , CADBE , CADEB , CAEBD , CAEDB ? ? ? ? CBDEA : CBDEA , CBDAE , CBADE , CBAED , CBEAD , CBEDA ? ?

D 换任 A 的工作的排列:
?DEABC:DEABC,DEACB,DEBAC,DEBCA,DECAB,DECBA ? ? ?DABCE:DABCE,DABEC,DACBE,DACEB,DAEBC,DAECB ? ? D ????? ? 11 种调整方式 DBCEA : DBCEA , DBCAE , DBAEC , DBACE , DBEAC , DBECA ? ? ?DCEAB:DCEAB,DCEBA,DCABE,DCAEB,DCBAE,DCBEA ? ? ?

E 换任 A 的工作的排列: ?EABCD:EABCD,EABDC,EACBD,EACDB,EADBC,EADCB ? ? ?EBCDA:EBCDA,EBCAD,EBACD,EBADC,EBDCA,EBDAC? ? E ????? ? 11 种调整方式 ECDAB : ECDAB , ECDBA , ECADB , ECABD , ECBDA , ECBAD ? ? ? ?EDABC:EDABC,EDACB,EDBAC,EDBCA,EDCAB,EDCBA ? ?
恰有 5 人调换工作的种数共有 11 ? 4=44(种) [ 5!(

1 1 1 1 ? ? ? ) ? 44 ] 2! 3! 4! 5!

故后至少有 2 人与原来工作不同工作的调整方法的种数是:10+20+45+44=119(种) 三、解答题 (17)在二项式 ( 3 x ?

1 2 x
3

) n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列

(Ⅰ)求展开式的第四项; (Ⅱ)求展开式的常数项; (Ⅲ)求展开式中各项的系数和 解 二项式 ( 3 x ?
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1 2 x
3

) n 展开式的通项为
n?r 3

r n?2r ?? 1 1 r (? )r ( x) 3 ? (? )r Cn x 3 , r ? 0,1,2,3, , n 2 2 1 0 0 1 1 1 2 2 由已知得: (? ) Cn , ( )Cn , ( ) Cn 成等差数列 2 2 2 ? n(n ? 1) ?n1 ? 8 1 1 1 ∴ 2 ? Cn ? 1 ? Cn2 , n ? 1 ? , n2 ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 ? 2 4 8 1 舍去) ? ?n2 ?( r n ?r r r Tr ?1 ? Cn a b ? Cn ( x)
2 1 8? 7 ? 6 2 =? ? x 3 = ? 7x 3 8 3? 2 n ? 2r 8 ? 2r 1 r r n?32r (Ⅱ)由 Tr ?1 ? (? ) Cn x 知:当 ? ? 0 ,即 r ? 4 时, T5 为常数项 3 3 2 1 1 8 ? 7 ? 6 ? 5 35 T5 ? (? )4 C84 = ? = 2 16 4! 8 3 (Ⅰ) T4 ? (? )3 C8 x

1 2

8? 2?3 3

(Ⅲ)令 x ? 1 ,则展开式的各项(也即各项系数)为:
5

1 1 1 1 1 4 4 1 5 5 1 6 6 1 7 7 1 8 8 0 1 2 3 (? )0 C8 , (? )1 C8 , (? )2 C8 , (? )3 C8 , (? ) C8 , (? ) C8, (? ) C8 , (? ) C8 , (? ) C8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 各项系数和为: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 (? )0 C80 +( ? )1C8 +( ? ) 2C82 +( ? )3C83 +( ? ) 4C84 +( ? )5C85 +( ? ) 6C86 +( ? ) 7 C87 +( ? )8C8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 1 0 =C80 ? C8 + C8 ? C8 + C8 ? C8 + C8 ? C + C 2 4 8 16 32 64 128 8 256 8 35 7 7 1 1 1 =1 ? 4+7 ? 7+ ? + ? + = 8 4 16 16 256 256
(18) 设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个球放入 5 个盒子内 (Ⅰ)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法? (Ⅱ)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法? (Ⅲ)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法? 解 (Ⅰ)从 5 个盒子中任选 4 个来放球(其中的任 1 个盒放 2 个球) ,有 P54 种选法;从 5 个球中任选 2
2 2 个球(不分先后)的选法有 C5 ,故盒子的 P54 种选法中的每一种都有 C5 种放球的方法。因此投 放方法种数为: 5? 4 2 4 C5 P ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1200 (种) 5 ? 2

(Ⅱ)5 个球的全排列中减去球号与盒号相同的一种排列即为所求:

P55 ? 1=119 (种)
2 3 4 5 五个球分别放在 1,,,, 2 3 4 5 五个盒子中,则球的球的编号与盒子编号全部相同; (Ⅲ) 1,,,, 1,,,, 2 3 4 5 五个球分别放在 2, 1,,, 3 4 5 五个盒子中,则有 2 个球的编号与盒子编号不相同。所以

球号与盒号相同度情况分类如下:

1 1 1 1 ; ? ? ? ) ? 44 种[参考第(16)题分析] 2! 3! 4! 5! 1 1 4 1 ②有 1 个相同(也即有 4 个不同) ,有 P ? ? ) ? 45 种; 5 ( 2! 3! 4! 1 2 ③有 2 个相同(也即有 3 个不同) ,有 P ? 10 种 ; 5 ? 2 ! 1 3 1 ④有 3 个相同(也即有 2 个不同) ,有 P ? ) ? 20 种; 5 ( 2! 3! 1 0 ⑤有 5 个相同(也即没有不相同的) ,有 P ? 1 种; 5 ? 0!
5 ①没有相同的(也即 5 个全部不同) ,P 5 (

本小题求的是③、④、⑤这三类的相同数这种之和,或者说是①~⑤各类的总数减去①~② 二类之和。因此,如每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投 放方法的种数是:

10 ? 20 ? 1=31 (种)
(19)掷三颗骰子,试求:



5 P (种) 5 ? 44 ? 45 ? 31

(Ⅰ)没有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率; (Ⅱ)恰好有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率。 解
2 3 ,则 Ai 互相独立, P( Ai ) ? , Ai 与 Ai 之间也互相 设 Ai 表示第 i 颗骰子出现 1 点或 6 点, i=1 ,,

1 3

独立。 (Ⅰ) P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? [1 ? P( A1 )][(1 ? P( A2 )][(1 ? P( A3 )] ? ? ?
6

2 2 2 8 ? 3 3 3 27

(Ⅱ)掷一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率为 P ?

1 ,将掷三颗骰子看作掷一颗骰子三次,根据公式⑸ 3

k 1 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P)n?k ,可知恰好有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率是: 1 1 4 1 1 3?1 P ? 3 ? ? (1 ? )2 ? 3 (1) ? C3 P (1 ? P) 3 3 9 也可以这样解:

设 Ai 表示“第 i 颗骰子出现 1 点或 6 点” ,D 表示“恰好一颗骰子出现 1 点或 6 点” ,则

D=A1 A2 A3 +A1A2 A3 +A1 A2 A3 ,因 A1 A2 A3 , A1A2 A3 , A1 A2 A3 互斥,故
P( D) ? P(A1 A 2 A 3 +A1A 2 A 3 +A1 A 2 A 3 ) =P (A1 A 2 A 3 ) ? P(A1A 2 A 3 ) ? P(A1 A 2 A 3 ) ? P(A1 )P(A 2 )P(A 3 )+P(A1 )P(A 2 )P(A 3 )+P(A1 )P(A 2 )P(A 3 ) 1 2 =3 ? ? ( ) 2 3 3 4 = 9

(20)已知 A ? x 1 ? log 2 x ? 3,x ? N | A ? x x ? 6 ? 3,x ? N

?

?

?

?

(Ⅰ)从集 A 及 B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标,共可得到多少个不同的点? (Ⅱ)从 A

B 中取出三个不同元素组成三位数,从左到右的数字要逐渐增大,这样的三位数共有

多少个? (Ⅲ) 从集 A 中取一个元素, 从 B 中取三个元素, 可以组成多少个无重复数字且比 4000 大的自然数. 解

A= ?3,4,5,6,7? ,

B= ?4,5,6,7,8? ,

A B=?3, 4, 5, 6, 7, 8? , A B=?4, 5, 6, 7? ,
B 中任 B 中任选 1 个元素既作 x 坐标又作 y 坐

(Ⅰ)从集 A 及 B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标组成不同的点,就是从集合 A 选 2 个元素排列分别作点的坐标组成点与从集合 A 标组成点,所求不同的点的点数为:

P62 ? 4=34 (个)
(Ⅱ)三个不同元素组成三位数有 6 个, 其中从左到右的数字要逐渐增大的三位数只有 1 个,故所求 三位数的个数是:

346, 347, 348, 356, 357, 358, 367, 368, 378 ? P63 ? 345, 3 ? C6 ? 20 (个)? 6 457, 458, 467, 468, 478, 567, 568, 578, 678 ? ? 456, ?
1 (Ⅲ) ① A 中取 3,而 3 不能排头,只能排在第二、 三、 四位, 即有 3 种 站位;B 中 5 选 3, 有 P53 (P 3) 1 3 种选法.故 A 中取元素 3, B 中取三个元素的取法有 P 3 P 5 种;

② A 中分别取 4,5,5,6,7,则 B 中不能取 4,5,5,6,7, A 中可取的元素与 B 中可取的

5, 6, 7, 8 。从 4, 5, 6, 7, 8 中任取 4 个元素的排列是 P5 元素总是 4,
所求四倍位数的个数是:
1 3 4 P (种) 3 P 5 ?P 5 ? 180

4

(21) 一个布袋里有 3 个红球,2 个白球,抽取 3 次,每次任意抽取 2 个,并待放回后再抽下一次,求: (Ⅰ)每次取出的 2 个球都是 1 个白球和 1 个红球的概率; (Ⅱ)有 2 次每次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球,还有 1 次取出的 2 个球同色的概率; (Ⅲ)有 2 次每次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球,还有 1 次取出的 2 个球是红球的概率 解(Ⅰ)∵ P( A) ?
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CC ? 0.6 C52
7

1 3

1 2

3 3 0 ∴ P 3 (3) ? C3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? 0.216

(Ⅱ)∵ B ? C ? A ∴ 可以使用 n 次独立重复试验 ∴ 所求概率为 P3 (2) ? C3 2 ? 0.6 2 ? (1 ? 0.6) 3?2 ? 0.432 (Ⅲ)本题事件可以表示为 A·A·C+A·C·A+C·A·A ∴ P(A·A·C+A·C·A+C·A·A)=C3 P(A)P(A)P(C)=0.324 ??14 分 [网上参考解答] 一、选择题 (1)D (10)B 二、填空题 (13)0.82 三、解答题
r (17) 展开式的通项为 Tr ?1 ? (? )r Cn x n?2r 1 3 ,r=0,1,2,?,n 2 1 1 1 1 2 2 0 由已知: (? )0 Cn , ( )Cn , ( ) Cn 成等差数列 2 2 2 1 1 1 2 ∴ 2 ? Cn ? 1 ? Cn 2 4
1

??8 分

(2)C

(3)D

(4)B

(5)A

(6)C

(7)C

(8)A

(9)A

(11)C (12)C

(14)-20

(15)1/11

(16)119

∴ n=8 (Ⅰ) T4 ? (Ⅱ) T5 ?
2 ?7x 3

??2 分 ??4 分 ??8 分

35 8

(Ⅲ)令 x=1,各项系数和为 (18) (Ⅰ)C5 A5 =1200(种) (Ⅱ)A5 -1=119(种)
5 2 4

1 256

??12 分 ??4 分 ??8 分

(Ⅲ)不满足的情形:第一类,恰有一球相同的放法: C5 ×9=45 第二类,五个球的编号与盒子编号全不同的放法: 1 1 1 1 5!( ? ? ? ) ? 44 2! 3! 4! 5! ∴ 满足条件的放法数为: A5 -45-44=31(种)
5 1

??12 分

(19) 设 Ai 表示第 i 颗骰子出现 1 点或 6 点, i=1,2,3,则 Ai 互相独立,Ai 与 A i 之间也互相独立, 1 P(A1 ) ? P(A 2 ) ? P(A 3 ) ? 3 (1) P(A1 A 2 A 3 ) ? P(A1 )P(A 2 )P(A 3 ) ? (1 ? P(A1 ))(1 ? P(A 2 ))(1 ? P(A 3 )) 2 2 2 8 ??6 分 ? ? ? ? 3 3 3 27 (2)设 D 表示“恰好一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率” 则 D ? A1A 2 A 3 ? A1 A 2 A 3 ? A1A 2 A 3
8

??8 分

因 A1A 2 A 3 , A1 A 2 A 3 , A1A 2 A 3 互斥 ∴ P(D) ? P(A1A 2 A 3 ) ? P(A1 A 2 A 3 ) ? P(A1A 2 A 3 ) ? P( A 1 ) P( A 2 ) P( A 3 ) ? P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) ? P ( A 1 ) P ( A 2 ) P( A 3 )

?

4 9
??2 分 ??4 分 ??8 分
1 3 2

??12 分

(20) A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8} (Ⅰ)A6 +4=34(个) (Ⅱ)C6 =20(个) (Ⅲ)A 中取 3 有 C3 A5 种 A 中不取 3,有 A5 种 ∴ 共有 C3 A5 +A5 =300(种)
1 3 4 4 3

??12 分

(21) 记事件 A 为 “一次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球” , 事件 B 为 “一次取出的 2 个球都是白球” , 事件 C 为“一次取出的 2 个球都是红球” ,A (Ⅰ)∵ P(A) ?
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B

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C 互相独立

C 31C 21 C5 2

? 0.6
??4 分

3 3 0 ∴ P 3 (3) ? C3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? 0.26

(Ⅱ)∵ B ? C ? A ∴ 可以使用 n 次独立重复试验
2 2 3?2 ∴ 所求概率为 P ? 0.432 3 (2) ? C3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6)

??8 分

(Ⅲ)本题事件可以表示为 A·A·C+A·C·A+C·A·A ∴ P(A·A·C+A·C·A+C·A·A)=C3 P(A)P(A)P(C)=0.324 ??14 分
1

一、选择题: 1、将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( (A)81 (B)64 (C)12
2

) (D)14
2

1 解 ①三个球全放在一个盒子中,放法有 P4 种;

②二个球放在一个盒子中,另一球放在一个盒中,放法有 C3 P4 种;
3 ③每个球单独放在一个盒子中,放法有 P4 种。

所求放法有 P (种) 4 ? C3 P 4 ?P 4 ? 64
1 2 2 3

2、 n ? N 且 n ? 55 ,则乘积 (5- n)(56 - n) (A) P 69 ? n
55? n 15

(69 - n) 等于( )
(B) P 55? n (B)60 (C)24
15

(B) P 69? n
2 3 4

(D) P 69? n (D)256
3

14

3、用 1,2,3,4 这四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数( ) (A)64 ( P 4 ?P 4 ?P 4 ?P 4 )
1

4、3 张不同的电影票全部分给 10 个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( ) (A)2160 (B)120 (C)240 (D)720( P 10 )

5、要排一张有 5 个独唱和 3 个合唱的节目表,如果合唱节目不能排在第一个,并且合唱节目不能相邻, 则不同排法的种数是( )
9

3 5 (A) P 3 P 8

5 3 (B) P 5 P 4

5 3 (C) P 5 P 5

5 3 (D) P 5 P 6



5 个独唱节目有的排列有 P55 种; 3 个合唱节目可在 5 个位置中任选 3 个位置排列( ?1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ) ,排列数有 P53 种。
5 3 所求不同排法的种数是 P 5 P 5 种

6、5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( )
3 (A) P 3 3 (B) 4P 3 5 2 3 (C) P 5 ?P 3 P 3 2 3 1 1 3 (D) P 2 P 3 ?P 2P 3P 3



①5 个人的总排列有 P55 种; ②甲乙都不排在两端时(如 ??甲乙 ? ) ,另三人的排法有 P33 种,中间的三个位置甲或乙都可站,排
3 2 法是 P32 种,甲乙都不排在两端的排法是 P 3 P 3 种; 5 2 3 所求不同排法的种数是 P 5 ?P 3 P 3 种

7、用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50000 的偶数有( ) (A)24 解 (B)36 (C)46 (D)60

5 数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数的总个数为 P 5 ,其中偶数有

2 5 P 个; 5 5

5 排在首位时的数大于 50000,有 P44 个,其中偶数有 小于 50000 的偶数有

1 4 P 个应减去; 2 4

2 5 1 4 P ? P ? 36(个) 5 5 2 4

8、某班委会五人分工,分别担任正、副班长,学习委员,劳动委员,体育委员,其中 A 不能担任正班长,

B 不能担任学习委员,则不同的分工方案的种数是( )
4 1 1 3 (A) P 4 ?P 3P 3P 3 2 3 1 3 3 (B) P 3 P 3 ?P 3P 3 ?P 3 5 4 (C) P 5 ? 2P 4 5 4 3 (D) P 5 ?P 4 ?P 3

解法一 ① B 为正班长时,其他委员可任意分工,有 P44 种;
4 3 ② B 为副班长时, A 不能任正班长,其他委员可任意分工,有 P 4 ?P 3 种;

③ B 为劳动委员时, A 不能任正班长,其他委员可任意分工,有 P 4 ?P 3 种;
4 3 4 3 ④ B 为体育委员时, A 不能任正班长,其他委员可任意分工,有 P 4 ?P 3 种; 4 4 3 4 3 4 1 1 3 所求不同的分工方案的种数是 P 4 ? 3( P 4 ?P 3 ) ? 4P 4 ? 3P 3 ?P 4 ?P 3P 3P 3

解法二 ①假设任意分工,则不同的分工方案有 P 5 种。
4 4 ② A 为正班长、B 为任学习委员的分工方案各有 P44 ,应减去 2P 4 ;但 2P 4 中包含 A 为正班长 3 3 3 3 且 B 为任学习委员的分工方案,有 2P 3 种;只能减去 P 3 ;减去 2P 3 后就应加上 P 3 。

5

所求不同的分工方案的种数是 P 5 ? 2P 4 ?P 3 ? 3P 4 ?P 3 ?P 4 ? 2P 4 ?P 3 ?P 4 ?P 3P 3P 3
5 4 3 4 3 4 4 3 4 1 1

3

解法三 ① B 为正班长时,其他委员可任意分工,有 P44 种; ② B 非正班长时,B 有 P 3 种选择,而 A 在 B 的分工确定后也有 P 3 ,其他三个委员在剩下的三 种工作中选择,共有 P 3 。故 B 非正班长时,分工方案有 P 3P 3P 3 。 所求不同的分工方案的种数是 P 4 ?P 3P 3P 3 种.
4 1 1 3 3 1 1 3 1 1

二、填空题 9、 (1)
4 5 4P 8 ? 2P 8 ? 0! ? 6 5 P 8 ?P 9

4?



4 5 4 4 4P 4P ? 4P 8 ? 2P 8 8 ? 2 8 ? 0 ! ? ?1 ? 4 6 5 4 4 P 12P 8 ? P 9 8 ? 9? P 8

10

3 3 (2)若 P 2 n =10P n ,则 n ?

8

.

解 由 P =10P

3 2n

3 n 得:

2n ( 2 n? 1 ) (n2 ?

? 2) n 10 n? (

n1 ?, )(

2 )n? 2 ( n 2 ?

1 ?) ( n ?1 ) n , ? 5(

n 1) ?(

2)

8

10、从 A、B、C、D 这四个不同元素中,取出三个不同元素的排列为____________.
3 解 从四个不同元素的排列中取出三个不同元素的排列的个数为 P4 ,分别是: =24 (个)

?A B C ?A C B ? ?B A C ABC ?B C A ? ?C A B ? ?C B A

? BCD ? BDC ? ? CBD BCD ? ? CDB ? DBC ? ? DCB

? ? ? ? ? ? ? ? ?

CDA CAD DAC CDA DCA ADC ACD

? ? ? ? ? ? ? ? ?

DAB DBA ABD DAB ADB BDA DAB

11、4 名男生,4 名女生排成一排,女生不排两端,则有_________种不同排法。 解
1 4 4 ①四女生排在一起,如 男女女女女男男男 ,有 P 3P 4 P 4 种; 2 3 4 ②三女生排在一起,另一女生分开排,如 男女女女男女男男 ,有 P 3 P 4 P 4 种; 3 2 4 ③二女生排在一起,另二女生分开排,如 男女女男女男女男 ,有 P 3 P 4 P 4 种; 2 2 4 ④二女生排在一起且与另二排在一起的女生分开排,如 男女女男女女男男 ,有 P 3 P 4 P 4 种;

所求不同排法有:
1 4 4 2 3 4 3 2 4 2 2 4 1 2 3 2 2 4 P (2P (种) 3P 4 P 4 ?P 3 P 4P 4 ?P 3 P 4 P 4 ?P 3 P 4 P 4 ? 3 ? 2P 3 ?P 3 ?P 3 )P 4 P 4 ? 8640

12、有一角的人民币 3 张,5 角的人民币 1 张,1 元的人民币 4 张,用这些人民币可以组成_________种不 同币值。 解 ①单张纸币的不同币值种数: 一角、5 角、1 元,共 3 种; ②多张一角纸币组成的不同币值种数:2 角、3 角,共 2 种; ③多张一元纸币组成的不同币值种数:2 元、3 元,4 元,共 3 种; ④一角纸币与 5 角纸币组成的不同币值种数: 6 角、7 角,8 角,共 3 种; ⑤一元纸币与 1 角纸币组成的不同币值种数: 1.1 元、1.2 元、1.3 元 2.1 元、2.2 元、2.3 元 3.1 元、3.2 元、3.3 元 4.1 元、4.2 元、4.3 元 ⑥一元纸币与 5 角纸币组成的不同币值种数: 1.5 元、2.5 元、3.5 元、4.5 元,共 4 种; ⑦含有一元、五角、一角纸币的不同币值种数: 1.6 元、1.7 元、1.8 元 2.6 元、2.7 元、2.8 元 3.6 元、3.7 元、3.8 元 4.6 元、4.7 元、4.8 元 所求不同的币值种数为 3+2+3+3+12+4+12=39 种 三、解答题 13、用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,组成没有重复数字的五位数, (1)在下列情况,各有多少个? ①奇数;②能被 5 整除;③能被 15 整除;④比 35142 小;⑤比 50000 小且不是 5 的倍数. (2)若把这些五位数按从小到大排列,第 100 个数是什么? 解(1)
11

共 12 种;

共 12 种;

1 6 3 5 3 5 P P (3 ? )P ? 288 (个) 6 ? 5 ? 2 5 5 5 2 6 1 5 1 5 ② P P (2 ? )P ? 216 (个) 6 ? 5 ? 6 5 5 5
① ③ ④ ⑤

1 ××× × 1 0 ××× 1 2 ××× 1 3 ××× 1 4 ××× 1502× 15032 15034

14、7 个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头; (2)甲不排头,也不排尾; (3)甲、乙、丙三人必须在一起; (4)甲、乙之间有且只有两人; (5)甲、乙、丙三人两两不相邻; (6)甲在乙的左边(不一定相邻) ; (7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序; (8)甲不排头,乙不排当中。 解(1) P 6 ? 720
6

(2) P 7 ? 2P 6 ? 3600
7 6

(3) P 3 P 5 ? 720
3 5

?甲??乙??, ??甲??乙? , ???甲??乙 , (4)甲、乙之间有且只有两人的站位形式为,甲??乙 ???,
乙? ? 甲 ? ?, ?乙 ?
2 3 8P (种) 5 P 3 ? 960

甲 ??, ?乙 ? ?? 甲 , ?? 乙 ? ?甲 ? 。从其余甲乙外的五名学生中任选二人排 ? ??
2 3

在甲乙之间的选法有 P 3 。所求排法种数为: 5 种,剩下的三名学生的排法有 P (5)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法形式有 ①甲?乙? 丙?? 共 3P3 P4 种; (P ? ?乙? 丙? (P ??甲?乙? 丙(P 3 P 4 种),甲 3 P 4 种), 3 P 4 种),
12
3 4 3 4 3 4 3 4

3 4 3 4 3 4 ②甲??乙? 丙? 共 2P (P (P 3 P 4 种),甲?乙??丙? 3 P 4 种), 3 P 4 种; 3 4 3 4 3 4 ③ ?甲??乙? 丙(P 共 2P ? ?乙??丙(P 3 P 4 种),甲 3 P 4 种), 3 P 4 种; 3 4 ④甲??乙??丙(P 3 P 4 种), 3 4 3 4 3 4 ⑤甲???乙? 丙(P 共 2P 3 P 4 种),甲?乙??? 丙(P 3 P 4 种), 3 P 4 种; 3 4 所求排法种数为: 10P (种) 3 P 4 ? 1440

(6) 从七人中任选七人的排列数为 P77 , 甲在乙左边与乙在甲左边的排列数是相等的, 所求排法种数:

1 7 6 (注意:如果甲乙一定相邻,则甲在乙左边的排列数为 P P ? 2520 (种) 6 ) 2 7
(7)甲、乙、丙三人从左到右,从高到矮排列,可看成一人参与排列,所求排列数为: (注意: 如甲、 乙、 丙三人三人从左到右, 从高到矮排列在一起的排列数为 P55 种) P74 ? 840 (种)
7 6 6 (8)7 人中选 7 的全排列为 P 7 ;甲排头的排列为 P 6 ,乙排尾的排列也为 P 6 ;甲排头和乙排尾中的 5 相同排列是 P 5 。因此,所求排列数为: 7 6 5 5 P ? 42 -12 ? )1 P 37 种 2) 0 7 ?2 P 6 ? P 5 ( 5 ? (

15、从 2,3,4,7,9 这五个数字任取 3 个,组成没有重复数字的三位数。 (1)这样的三位数一共有多少个? (2)所有这些三位数的个位上的数字之和是多少? (3)所有这些三位数的和是多少?
3 解(1) P5 =60 (个)

(2)个位上的数字分别是 2,3,4,7,9 的数的个数分别是 上的数字之和是:

60 ,所有这些三位数的个位 ? 12 (个) 5

1 2? ( 2? 3? 4? 7? )9 ? 3 0 0
(3)百位、十位、个位上的数字之和都是 300,故所有这些三位数的和是:

300 ? ( 1 0? 0

1 ?0 )? 1

33300

答案:
一、选择题: 1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 二、填空题 9.(1)5;(2)8 10.abc,abd,acd,bac,bad,bcd,cab,cad,cbd,dab,dac,dbc 11.8640 12.39
13

三、解答题 13.(1)①3× ② ③ ④ ⑤ (2)略。 =288

14.(1) (2)5 (3) (4) (5)

=720 =3600 =720 =960 =1440

(6) (7) (8)

=2520 =840

15.(1)

(2) (3)300× (100+10+1)=33300

排列与组合练习
14

3 4 1、若 P n ? 6Cn ,则 n 的值为( )

(A)6 解 由 P ? 6C 得:
3 n 4 n

(B)7

(C)8

(D)9

6( n ? 1 )n ( ? 2n )? ( 3) , 6(n ? 3) ? 4!, n ? 7 n( n? 1 ) ( n? 2 ? ) 4!
2、某班有 30 名男生,20 名女生,现要从中选出 5 人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于 2 人的 选法为( )
2 2 (A) C30 C20 C1 46 1 4 4 1 (C) C5 50 ? C30C20 ? C30C20 5 5 (B) C5 50 ? C30 ? C20 3 2 2 3 (D) C30 C20 ? C30 C20

3、空间有 10 个点,其中 5 点在共面,其余没有 4 点共面,则 10 个点可以确定不同平面的个数是( ) (A)206 (B)205 (C)111 (D)110

4、6 本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是( )
2 2 (A) C6 C4

(B)

2 2 2 C6 C4 C2 P33

(C) 6P33

(D) 6C3 3



2 ab, ac, ad , ae, af , bc, bd , be, bf , cd , ce, cf , de, df , ef 。 从 6 本书 ( a, b, c, d , e, f ) 中选 2 本的组合是 C6 种:

当分给甲、乙、丙三人中的一人的书确定后(如 ab ) ,剩下四本书( c, d , e, f )选 2 本的组合是 C2 4 种: ( cd , ce, cf , de, df , ef ) ,可见分给三人中的另二人书的分法有 C2 4 种,故总分法是:
2 2 C6 C4 种

5、由 5 个 1,2 个 2 排成含 7 项的数列,则构成不同的数列的个数是( ) (A)21 解 (B)25
1

(C)32

(D)42

①2 个 2 排列在一起时的数列的个数 P6 ;
2 ②2 个 2 分开排列时的数列的个数 C6 ; 1 2 构成不同的数列的个数: P6 . ? C6 =21 (个)

6、设 P1、P2…,P20 是方程 z20=1 的 20 个复根在复平面上所对应的点,以这些点为顶点的直角三角形的 个数为( ) (A)360 (B)180 (C)90 (D)45

k ?4 k ?2 k ?1 7、若 C21 ? C21 ? C21 (k ? N ), ,则 k 的取值范围是( )

(A)[5,11]

(B)[4,11]

(C)[4,12]

(D)4,15]

8、口袋里有 4 个不同的红球,6 个不同的白球,每次取出 4 个球,取出一个红球记 2 分,取出一个白球记 1 分,则使总分不小于 5 分的取球方法种数是( ) (A) C4C6 +C4C6 +C4C6
4 4 1 3 2 2 3 1

(B) 2C4 +C6
3 4

4

4

(C) C10 ? C6 (D) 3C4C6 解 取球的顺序与计分是无关的,并且只当所取的三个球都是白球时, 总分才小于 5 分,故使总分不小 于 5 分的取球方法种数是: C10 ? C6
4 4

答案: 1、B

2、D

3、C

4、A
15

5、A

6、B

7、B

8、C

2 3 4 5 6 7 8 1、计算: (1) C5 ? C6 ? C7 ? C8 ? C9 ? C10 ? C11 ? _______
2 3 5 6 7 3 3 3 3 解 C5 ?C 6 ? C 74? C ? ?81 C ? C 3? 8 C ? 9C ? 1C 0 1 ? C5 ? C 6 ? C 7 8 C ? 9 C 3 10 3 11

5 ? 4 ? 3 ? 6 ? 5 ? 4 ? 7 ? 6 ? 5 ? 8 ? 7 ? 6 ? 9 ? 8 ? 7 ? 10 ? 9 ? 8 ? 11?10 ? 9 3 ! ? 10 ? 20 ? 35 ? 56 ? 84 ? 120 ? 165 ? 490 ?
17 ?n 3n (2) C20 ? C13 ? n = _______

2、把 7 个相同的小球放到 10 个不同的盒子中,每个盒子中放球不超 1 个,则有_______种不同放法。 解 每个盒子中放球不超 1 个, 故每 7 个小球的每一种放法都必须用 7 个盒子; 因 7 个小球都是相同的, 故小球的放法与盒子的排列顺序无关,从 10 个不同的盒子中任选 7 个盒子组合放球是一种放法。
7 3 因此,所求小球不同放法的种数是 C10 =C10 =120(种) ?

3、在∠AOB 的边 OA 上有 5 个点,边 OB 上有 6 个点,加上 O 点共 12 个点,以这 12 个点为顶点的三角 形有_______个。 4、以 1,2,3,…,9 这几个数中任取 4 个数,使它们的和为奇数,则共有_______种不同取法。 解
4 4 4 2 2 C9 ? C5 ? C4 ? C4 C5 ? 6 0种 ( )

5、已知

1 1 7 m ? m ? ,求 C8 m C5 C6 10C7m





1 1 7 ? m ? 得: m C5 C6 10C7m

(6 - m) m ! 6m ! 7m! ? ? 6 ? 5 ? 4 ? ? (7 - m)(6 - m) 6 ? 5 ? ? (7 - m)(6 - m) 10 ? 7 ? 6 ? ? (8 - m) (7 - m)(6 - m) 6? (6 ? m) ? 10 2 m ? 23m ? 42 ? 0 (m ? 2)(m ? 21) ? 0 m1 ? 2,??m2 ? 21(由C5m知m ? 5,m2 ? 21不合题意,舍去)

C8m ? C82 ? 28
6、 (1)以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个? (2)以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个? (3)以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个?

7、集合 A 中有 7 个元素,集合 B 中有 10 个元素,集合 A∩B 中有 4 个元素,集合 C 满足 (1)C 有 3 个元素; (2) C ? A (3) C

B;

B ? ?,C A ? ?.

求这样的集合 C 的个数。
16

8、在 1,2,3,……30 个数中,每次取两两不等的三个数,使它们的和为 3 的倍数, 共有多少种不同的取法?

答案: 1、490 2、31 3、165 4、60 5、解:

6、解: (1) (2) (3)58+48=106 7、解:A∪B 中有元素 7+10-4=13

8、解:把这 30 个数按除以 3 后的余数分为三类: A={3,6,9,…,30} B={1,4,7,…,28} C={2,5,8,…,29} (个)

17


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