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数学竞赛教案讲义(7)——解三角形


第七章

解三角形

一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边 长, p ?

a?b?c 为半周长。 2 a b c ? ? 1.正弦定理: =2R(R 为△ ABC 外接圆半径) 。 sin A sin B sin C 1 1 1 推论 1:△

ABC 的面积为 S△ABC= ab sin C ? bc sin A ? ca sin B. 2 2 2
推论 2:在△ ABC 中,有 bcosC+ccosB=a. 推论 3:在△ ABC 中,A+B= ? ,解 a 满足

a b ,则 a=A. ? sin a sin(? ? a)
1 ab sin C ;再证推论 2,因为 B+C= ? -A, 2

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论 1,由 正弦函数定义,BC 边上的高为 bsinC,所以 S△ABC=

所以 sin(B+C)=sinA,即 sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;再证推论 3,由正弦定理 价 于 ?

a b sin a sin(? ? a) ? ? ,所以 ,即 sinasin( ? -A)=sin( ? -a)sinA,等 sin A sin B sin A sin(? ? A)

1 1 [cos( ? -A+a)-cos( ? -A-a)]= ? [cos( ? -a+A)-cos( ? -a-A)] , 等 价 于 2 2 cos( ? -A+a)=cos( ? -a+A),因为 0< ? -A+a, ? -a+A< ? . 所以只有 ? -A+a= ? -a+A,所以 a=A,
得证。 2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 ,下面用余弦定理证明几个常 2bc

用的结论。 (1)斯特瓦特定理:在△ ABC 中 , D 是 BC 边 上 任 意 一 点 , BD=p , DC=q , 则

b2 p ? c2q AD = ? pq. p?q
2

(1)

【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ? ADB , 所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos ?ADB . ① 2 2 2 同理 b =AD +q -2AD·qcos ?ADC , ② 因为 ? ADB+ ? ADC= ? , 所以 cos ? ADB+cos ? ADC=0, 所以 q×①+p×②得 qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD =
2 2 2 2

b2 p ? c2q ? pq. p?q 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2

注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式 AD ?

( 2 ) 海 伦 公 式 : 因 为 S ?ABC ?

? 2

1 2 2 2 1 2 2 2 b c sin A= b c (1-cos A)= 4 4

1 2 2 bc 4

? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) 2 ? 1 2 2 2 2 ?1 ? ? ? [(b+c) -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 16 4b 2 c 2 ? ?
这里 p ?

a?b?c . 2

所以 S△ABC=

p( p ? a)( p ? b)( p ? c).

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二、方法与例题 1.面积法。 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线满足

?POQ ? ? , ?QOR ? ? ,另外 OP,OQ,OR 的长分别为 u, w, v,这里 α,β,α+β∈ ? ), (0,
则 P,Q,R 的共线的充要条件是

sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? ? . u v w

2.正弦定理的应用。 例2△ ABC 内有一点 P,使得 ? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB。 求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例3△ ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2 相切,直线 GF 与 DE 交于 P,求证:PA ? BC。

3. 一个常用的代换: ABC 中, 在△ 记点 A, C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z, a=y+z, B, 则 b=z+x, c=x+y. 例 4 在△ ABC 中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4.三角换元。 例 5 设 a, b, c∈ +,且 abc+a+c=b,试求 P ? R

2 2 3 ? 2 ? 2 的最大值。 a ?1 b ?1 c ?1
2

例 6 在△ ABC 中,若 a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc< .

1 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

三、基础训练题 1. ABC 中, AB 为最长边, sinAsinB= 在△ 边 且

2? 3 , cosAcosB 的最大值为__________. 则 4

2.在△ ABC 中,若 AB=1,BC=2,则 ?C 的取值范围是__________. 3. ABC 中, 在△ a=4, b+c=5, tanC+tanB+ 3 ?

3 tanCtanB,则△ABC 的面积为__________.

4.在△ ABC 中,3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1,则 ?C =__________. 5.在△ ABC 中, “a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6.在△ ABC 中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围是__________.

3 5 ,cosB= ,则 cosC=__________. 5 13 A C 1 ? ”的__________条件. 8.在△ ABC 中, “三边 a, b, c 成等差数列”是“tan ? tan 2 2 3
7.在△ ABC 中,sinA= 9.在△ ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则三角形形状是__________. 10.在△ ABC 中,tanA·tanB>1,则△ ABC 为__________角三角形. 0 11.三角形有一个角是 60 ,夹这个角的两边之比是 8:5,内切圆的面积是 12 ? ,求 这个三角形的面积。 12.已知锐角△ ABC 的外心为 D,过 A,B,D 三点作圆,分别与 AC,BC 相交于 M,N 两点。求证:△ MNC 的外接圆半径等于△ ABD 的外接圆半径。 13.已知△ ABC 中,sinC= 四、高考水平训练题 1.在△ ABC 中,若 tanA=

sin A ? sin B ,试判断其形状。 cos A ? cos B 1 1 , tanB= ,且最长边长为 1,则最短边长为__________. 2 3

2.已知 n∈ +,则以 3,5,n 为三边长的钝角三角形有________个. N 3.已知 p, q∈ +, p+q=1,比较大小:psin2A+qsin2B__________pqsin2C. R 4.在△ ABC 中,若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,则△ ABC 为__________角三角形. 5.若 A 为△ ABC 的内角,比较大小: cot

A ? cot A __________3. 8

6.若△ ABC 满足 acosA=bcosB,则△ ABC 的形状为__________. 7.满足 A=600,a= 6 , b=4 的三角形有__________个.

8.设 ? 为三角形最小内角,且 acos2 __________.

? ? ? ? +sin2 -cos2 -asin2 =a+1,则 a 的取值范围是 2 2 2 2

9.A,B,C 是一段笔直公路上的三点,分别在塔 D 的西南方向,正西方向,西偏北 300 方向,且 AB=BC=1km,求塔与公路 AC 段的最近距离。 10.求方程 x y ? 1 ? y x ? 1 ? xy 的实数解。 11.求证:

1 7 ? sin 20 0 ? . 3 20

五、联赛一试水平训练题 1.在△ ABC 中,b2=ac,则 sinB+cosB 的取值范围是____________.

sin B cos A ? 2 cos C ? ,则△ ABC 的形状为____________. sin C cos A ? 2 cos B A B C 3.对任意的△ ABC, T ? cot ? cot ? cot -(cotA+cotB+cotC),则 T 的最大值为 2 2 2
2.在△ ABC 中,若 ____________. 4.在△ ABC 中, sin

A sin B sin C 的最大值为____________. 2

5.平面上有四个点 A,B,C,D,其中 A,B 为定点,|AB|= 3 ,C,D 为动点,且 |AD|=|DC|=|BC|=1。记 S△ABD=S,S△BCD=T,则 S2+T2 的取值范围是____________. 6.在△ ABC 中,AC=BC,?ACB ? 80 ,O 为△ ABC 的一点,?OAB ? 10 ,? ABO=300,
0 0

则 ? ACO=____________. 7.在△ ABC 中,A≥B≥C≥ 值为__________.

? A B C ,则乘积 cos sin cos 的最大值为____________,最小 2 2 2 6
C?A A?C ? cos =____________. 2 2

8.在△ ABC 中,若 c-a 等于 AC 边上的高 h,则 sin

9.如图所示,M,N 分别是△ ABC 外接圆的弧 AB ,AC 中点,P 为 BC 上的动点,PM 交 AB 于 Q,PN 交 AC 于 R,△ ABC 的内心为 I,求证:Q,I,R 三点共线。 10. 如图所示, Q, 分别是△ P, R ABC 的边 BC, CA, 上一点, AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。 AB 且 求证:AB+BC+CA≤2(PQ+QR+RP) 。 11.在△ ABC 外作三个等腰三角形△ BFC,△ ADC,△ AEB,使 BF=FC,CD=DA,AE=EB, 并且 AF, BD, 交于一点, CE 试判断△ ABC ? ADC=2 ? BAC,? AEB=2 ? ABC,? BFC=2 ? ACB, 的形状。 六、联赛二试水平训练题 1.已知等腰△ ABC,AB=AC,一半圆以 BC 的中点为圆心,且与两腰 AB 和 AC 分别相切 于点 D 和 G,EF 与半圆相切,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,过 E 作 AB 的垂线,过 F 作 AC 的垂线,两垂线相交于 P,作 PQ ? BC,Q 为垂足。求证: PQ ?

EF ,此处 ? = ? B。 2 sin ?

2.设四边形 ABCD 的对角线交于点 O,点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点,点 H1,H2 (不重合)分别是△ AOB 与△ COD 的垂心,求证:H1H2 ? MN。

3.已知△ ABC,其中 BC 上有一点 M,且△ ABM 与△ ACM 的内切圆大小相等,求证:

AM ? P( P ? a) ,此处 P ?

1 (a+b+c), a, b, c 分别为△ ABC 对应三边之长。 2

4.已知凸五边形 ABCDE,其中 ? ABC= ? AED=900,? BAC= ? EAD,BD 与 CE 交于点 O, 求证:AO ? BE。 5.已知等腰梯形 ABCD,G 是对角线 BD 与 AC 的交点,过点 G 作 EF 与上、下底平行, 点 E 和 F 分别在 AB 和 CD 上,求证: ? AFB=900 的充要条件是 AD+BC=CD。 6.AP,AQ,AR,AS 是同一个圆中的四条弦,已知 ? PAQ= ? QAR= ? RAS,求证:AR (AP+AR)=AQ(AQ+AS) 。 7.已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d,外接圆半径为 R,如果 a2+b2+c2+d2=8R2,试 问对此四边形有何要求? 8. 设四边形 ABCD 内接于圆, 和 CD 延长后交于点 R, 和 BC 延长后交于点 P, A, BA AD ?

? B,? C 指的都是△ABC 的内角,求证:若 AC 与 BD 交于点 Q,则

cos A cos C cos B ? ? . AP CR BQ

9.设 P 是△ ABC 内一点,点 P 至 BC,CA,AB 的垂线分别为 PD,PE,PF(D,E,F 是垂 足) ,求证:PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD),并讨论等号成立之条件。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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